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1.在同一平面直角坐标系中，函数$y=ax+b$与函数$y=bx^2 - ax$的图象可能是(
A
). 答案
1. A
解析
【分析】
要判断两个函数图象是否匹配，可先从一次函数图象推导a、b的正负性，再结合二次函数的系数性质，验证二次函数的开口方向、对称轴位置是否符合，用排除法逐一分析选项即可。解题依据：一次函数$y=ax+b$中，斜率$a＞0$时直线上升，$a＜0$时直线下降；与y轴交点在正半轴则$b＞0$，负半轴则$b＜0$。二次函数$y=bx^2-ax$中，开口方向由$b$决定（$b＞0$开口向上，$b＜0$开口向下），对称轴公式为$x=\frac{a}{2b}$，且$x=0$时$y=0$，即抛物线必过原点。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 分析选项A
一次函数图象斜向上，可得$a＞0$；与y轴交于正半轴，可得$b＞0$。
对应二次函数：$b＞0$则开口向上，与图象一致；对称轴$x=\frac{a}{2b}$，a、b均为正，因此对称轴在x轴正半轴，与图象一致；且抛物线过原点，也符合性质，A暂时符合要求。
2. 分析选项B
一次函数斜向上得$a＞0$，与y轴交于负半轴得$b＜0$。
对应二次函数开口向上说明$b＞0$，和推导的$b＜0$矛盾，排除B。
3. 分析选项C
一次函数斜向上得$a＞0$，与y轴交于正半轴得$b＞0$。
对应二次函数开口向下说明$b＜0$，和推导的$b＞0$矛盾，排除C。
4. 分析选项D
一次函数斜向上得$a＞0$，与y轴交于负半轴得$b＜0$。
对应二次函数开口向下符合$b＜0$，但对称轴$x=\frac{a}{2b}＜0$（a正b负），即对称轴应在x轴负半轴，而图象中对称轴在x轴正半轴，矛盾，排除D。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与性质；二次函数图象与性质；函数图象识别
【点评】
本题属于函数图象综合判断题，解题核心是利用两个函数共有的系数a、b的关联，先通过其中一个函数图象推导系数符号，再验证另一个函数图象是否匹配，熟练掌握一次、二次函数图象与系数的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象是否匹配，可先从一次函数图象推导a、b的正负性，再结合二次函数的系数性质，验证二次函数的开口方向、对称轴位置是否符合，用排除法逐一分析选项即可。解题依据：一次函数$y=ax+b$中，斜率$a＞0$时直线上升，$a＜0$时直线下降；与y轴交点在正半轴则$b＞0$，负半轴则$b＜0$。二次函数$y=bx^2-ax$中，开口方向由$b$决定（$b＞0$开口向上，$b＜0$开口向下），对称轴公式为$x=\frac{a}{2b}$，且$x=0$时$y=0$，即抛物线必过原点。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 分析选项A
一次函数图象斜向上，可得$a＞0$；与y轴交于正半轴，可得$b＞0$。
对应二次函数：$b＞0$则开口向上，与图象一致；对称轴$x=\frac{a}{2b}$，a、b均为正，因此对称轴在x轴正半轴，与图象一致；且抛物线过原点，也符合性质，A暂时符合要求。
2. 分析选项B
一次函数斜向上得$a＞0$，与y轴交于负半轴得$b＜0$。
对应二次函数开口向上说明$b＞0$，和推导的$b＜0$矛盾，排除B。
3. 分析选项C
一次函数斜向上得$a＞0$，与y轴交于正半轴得$b＞0$。
对应二次函数开口向下说明$b＜0$，和推导的$b＞0$矛盾，排除C。
4. 分析选项D
一次函数斜向上得$a＞0$，与y轴交于负半轴得$b＜0$。
对应二次函数开口向下符合$b＜0$，但对称轴$x=\frac{a}{2b}＜0$（a正b负），即对称轴应在x轴负半轴，而图象中对称轴在x轴正半轴，矛盾，排除D。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象与性质；二次函数图象与性质；函数图象识别
【点评】
本题属于函数图象综合判断题，解题核心是利用两个函数共有的系数a、b的关联，先通过其中一个函数图象推导系数符号，再验证另一个函数图象是否匹配，熟练掌握一次、二次函数图象与系数的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
2.已知二次函数$y=ax^2$和一次函数$y=bx+c$的图象如图所示，则函数$y=ax^2+bx - c$的图象可能是(
D
).答案
2. D
解析
【分析】
解题需先从已知的两个函数图象提取系数a、b、c的符号信息，再根据二次函数的性质推导目标函数$y=ax^2+bx -c$的核心图象特征，最后匹配符合特征的选项。第一步：由$y=ax^2$的开口方向判断a的符号；第二步：由一次函数$y=bx+c$的倾斜方向判断b的符号，由它与y轴的交点位置判断c的符号；第三步：根据a、b、c的符号，分别推导目标函数的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
首先根据已知图象判断系数符号：
1. 二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，因此$\boldsymbol{a＞0}$；
2. 一次函数$y=bx+c$的图象从左下向右上倾斜，斜率为正，因此$\boldsymbol{b＞0}$；一次函数与y轴的交点在y轴负半轴，即x=0时$y=c＜0$，因此$\boldsymbol{c＜0}$。
再分析目标函数$y=ax^2+bx -c$的图象特征：
① 开口方向：因为$a＞0$，所以抛物线开口向上，排除开口向下的选项；
② 对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＞0、b＞0$，得$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧，排除对称轴在y轴右侧的选项；
③ 与y轴交点：x=0时，$y=-c$，因为$c＜0$，所以$-c＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，排除与y轴交于负半轴的选项。
综上，只有选项D符合所有特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质；一次函数图象与性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心是通过已有图象提取系数符号，再结合二次函数的开口、对称轴、与坐标轴交点等性质筛选选项，掌握函数图象和系数的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
解题需先从已知的两个函数图象提取系数a、b、c的符号信息，再根据二次函数的性质推导目标函数$y=ax^2+bx -c$的核心图象特征，最后匹配符合特征的选项。第一步：由$y=ax^2$的开口方向判断a的符号；第二步：由一次函数$y=bx+c$的倾斜方向判断b的符号，由它与y轴的交点位置判断c的符号；第三步：根据a、b、c的符号，分别推导目标函数的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置，逐一排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
首先根据已知图象判断系数符号：
1. 二次函数$y=ax^2$的图象开口向上，因此$\boldsymbol{a＞0}$；
2. 一次函数$y=bx+c$的图象从左下向右上倾斜，斜率为正，因此$\boldsymbol{b＞0}$；一次函数与y轴的交点在y轴负半轴，即x=0时$y=c＜0$，因此$\boldsymbol{c＜0}$。
再分析目标函数$y=ax^2+bx -c$的图象特征：
① 开口方向：因为$a＞0$，所以抛物线开口向上，排除开口向下的选项；
② 对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＞0、b＞0$，得$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧，排除对称轴在y轴右侧的选项；
③ 与y轴交点：x=0时，$y=-c$，因为$c＜0$，所以$-c＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，排除与y轴交于负半轴的选项。
综上，只有选项D符合所有特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质；一次函数图象与性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心是通过已有图象提取系数符号，再结合二次函数的开口、对称轴、与坐标轴交点等性质筛选选项，掌握函数图象和系数的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
3.函数 $ y_1, y_2 $ 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数 $ y = y_1 + y_2 $ 的大致图象是(
B
).答案
3. B
解析
【分析】
要判断函数$y=y_1+y_2$的大致图象，核心是理解：对同一个自变量$x$，$y$的取值等于该$x$对应的$y_1$、$y_2$的函数值之和。解题时我们可以分$x$的不同取值区间，定性判断$y$的正负、走势，逐一排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们根据$x$的取值范围分析$y=y_1+y_2$的函数值特征：
1. 当$x＞0$时，$y_1$、$y_2$的函数值均为正数，因此二者相加的和$y$也为正数，即$x＞0$时$y$的图象始终在$x$轴上方，可排除$x＞0$时图象存在$x$轴下方部分的错误选项；
2. 当$x＜0$时，$y_1$为负值、$y_2$为正值：当$x$靠近原点时，$y_2$的正值大于$y_1$的负值的绝对值，因此$y＞0$；当$x$远离原点时，$y_1$的负值的绝对值大于$y_2$的正值，因此$y＜0$，说明$x＜0$时$y$的图象与$x$轴有1个交点，且呈现从正到负的变化趋势；
结合以上特征，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
函数图象的意义；函数值运算；函数图象定性判断
【点评】
本题不需要求解函数解析式，只需结合数形结合思想，通过分析不同区间内函数值的正负就能判断图象，是函数图象类问题的典型考法，能有效考查对函数概念的理解。
【难度系数】
0.6
要判断函数$y=y_1+y_2$的大致图象，核心是理解：对同一个自变量$x$，$y$的取值等于该$x$对应的$y_1$、$y_2$的函数值之和。解题时我们可以分$x$的不同取值区间，定性判断$y$的正负、走势，逐一排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们根据$x$的取值范围分析$y=y_1+y_2$的函数值特征：
1. 当$x＞0$时，$y_1$、$y_2$的函数值均为正数，因此二者相加的和$y$也为正数，即$x＞0$时$y$的图象始终在$x$轴上方，可排除$x＞0$时图象存在$x$轴下方部分的错误选项；
2. 当$x＜0$时，$y_1$为负值、$y_2$为正值：当$x$靠近原点时，$y_2$的正值大于$y_1$的负值的绝对值，因此$y＞0$；当$x$远离原点时，$y_1$的负值的绝对值大于$y_2$的正值，因此$y＜0$，说明$x＜0$时$y$的图象与$x$轴有1个交点，且呈现从正到负的变化趋势；
结合以上特征，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
函数图象的意义；函数值运算；函数图象定性判断
【点评】
本题不需要求解函数解析式，只需结合数形结合思想，通过分析不同区间内函数值的正负就能判断图象，是函数图象类问题的典型考法，能有效考查对函数概念的理解。
【难度系数】
0.6
4.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，给出下列结论：①$b＜0$；②$c＞0$；③$a+b+c＞0$；④$4a+2b+c＜0$.其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
（第4题图）
（第5题图）
C
).A.1
B.2
C.3
D.4
（第4题图）
（第5题图）
答案
4. C
解析
【分析】
解题时需结合二次函数图象的性质逐一判断结论：首先根据抛物线开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置利用“左同右异”规则判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，最后分别代入x=1、x=2，根据对应点在x轴的上下方判断对应函数值的正负即可。
【解析】
1. 判断结论①：抛物线开口向下，可得$a＜0$；对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可推出$b＞0$，故①错误；
2. 判断结论②：抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$，故②正确；
3. 判断结论③：当$x=1$时，对应图象上的点在x轴上方，即函数值$y=a+b+c＞0$，故③正确；
4. 判断结论④：当$x=2$时，对应图象上的点在x轴下方，即函数值$y=4a+2b+c＜0$，故④正确。
综上，②③④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数函数值判断，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础常考题，核心考查图象特征与系数、函数值的对应关系，熟练掌握特殊点代入、“左同右异”等技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时需结合二次函数图象的性质逐一判断结论：首先根据抛物线开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置利用“左同右异”规则判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，最后分别代入x=1、x=2，根据对应点在x轴的上下方判断对应函数值的正负即可。
【解析】
1. 判断结论①：抛物线开口向下，可得$a＜0$；对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可推出$b＞0$，故①错误；
2. 判断结论②：抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$，故②正确；
3. 判断结论③：当$x=1$时，对应图象上的点在x轴上方，即函数值$y=a+b+c＞0$，故③正确；
4. 判断结论④：当$x=2$时，对应图象上的点在x轴下方，即函数值$y=4a+2b+c＜0$，故④正确。
综上，②③④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数函数值判断，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数图象的基础常考题，核心考查图象特征与系数、函数值的对应关系，熟练掌握特殊点代入、“左同右异”等技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，下列结论：①$ac＜0$；②$3a + c = 0$；③$4ac - b^2 ＜ 0$；④当$x ＞ -1$时，$y$随$x$的增大而减小，其中正确的个数是(
A.4
B.3
C.2
D.1
B
).A.4
B.3
C.2
D.1
答案
5. B
解析
【分析】
解决这类二次函数图像与结论判断的问题，首先要从图像中提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、增减性等，再结合二次函数的系数性质、对称轴公式、判别式等知识点逐个判断给出的结论是否正确。第一步先根据开口和y轴交点判断ac的符号；第二步利用对称轴公式得到a和b的关系，再代入已知交点坐标验证3a+c是否为0；第三步根据抛物线与x轴交点个数判断判别式的符号；最后结合对称轴和开口方向判断增减性是否正确。
【解析】
首先从图像提取核心信息：
①抛物线开口向上，
∴$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$，因此$ac＜0$，故结论①正确；
②抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$；又抛物线过点$(-1,0)$，将$x=-1,y=0$代入解析式得：$a· (-1)^2 + b· (-1) + c=0$，即$a-b+c=0$，把$b=-2a$代入得$a - (-2a) + c=3a+c=0$，故结论②正确；
③抛物线与x轴有两个不同交点，
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，移项得$4ac - b^2＜0$，故结论③正确；
④抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；则当$-1＜x＜1$时$y$随$x$增大而减小，$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，故结论④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数图像性质的典型考题，需要学生熟练掌握图像特征和函数系数、判别式、增减性等的对应关系，解题的关键是准确从图像中提取有效信息，逐一验证结论。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数图像与结论判断的问题，首先要从图像中提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、增减性等，再结合二次函数的系数性质、对称轴公式、判别式等知识点逐个判断给出的结论是否正确。第一步先根据开口和y轴交点判断ac的符号；第二步利用对称轴公式得到a和b的关系，再代入已知交点坐标验证3a+c是否为0；第三步根据抛物线与x轴交点个数判断判别式的符号；最后结合对称轴和开口方向判断增减性是否正确。
【解析】
首先从图像提取核心信息：
①抛物线开口向上，
∴$a＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$，因此$ac＜0$，故结论①正确；
②抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$；又抛物线过点$(-1,0)$，将$x=-1,y=0$代入解析式得：$a· (-1)^2 + b· (-1) + c=0$，即$a-b+c=0$，把$b=-2a$代入得$a - (-2a) + c=3a+c=0$，故结论②正确；
③抛物线与x轴有两个不同交点，
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，移项得$4ac - b^2＜0$，故结论③正确；
④抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；则当$-1＜x＜1$时$y$随$x$增大而减小，$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，故结论④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数图像性质的典型考题，需要学生熟练掌握图像特征和函数系数、判别式、增减性等的对应关系，解题的关键是准确从图像中提取有效信息，逐一验证结论。
【难度系数】
0.7
