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6.抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴是$x=-1$，其图象如图所示.下列结论：
①$abc＜0$；②$(4a+c)^2＜(2b)^2$；③若$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$是抛物线上的两点，则当$|x_1+1|＞|x_2+1|$时，$y_1＜y_2$；④抛物线的顶点坐标为$(-1,m)$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=m-1$无实数根.其中正确的个数是(
A.4
B.3
C.2
D.1
①$abc＜0$；②$(4a+c)^2＜(2b)^2$；③若$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$是抛物线上的两点，则当$|x_1+1|＞|x_2+1|$时，$y_1＜y_2$；④抛物线的顶点坐标为$(-1,m)$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=m-1$无实数根.其中正确的个数是(
B
).A.4
B.3
C.2
D.1
答案
6. B
解析
【分析】
首先从二次函数图像提取核心信息：开口向上得a＞0；对称轴为$x=-1$，即$-\frac{b}{2a}=-1$，推出$b=2a$，故b＞0；抛物线与x轴一个交点为$(-3,0)$，由对称性得另一个交点为$(1,0)$；抛物线与y轴交点在负半轴，故c＜0。再逐一验证4个结论：①判断a、b、c符号乘积即可；②将不等式变形为平方差形式，代入$x=\pm2$的函数值判断符号；③根据开口向上时，抛物线上点到对称轴距离越远函数值越大判断；④根据二次函数最小值为顶点纵坐标，判断方程是否有解。
【解析】
步骤1：判断结论①
由开口向上得$a＞0$，由对称轴$x=-1=-\frac{b}{2a}$，得$b=2a＞0$，抛物线与y轴交于负半轴得$c＜0$，故$abc=$正$×$正$×$负$＜0$，①正确。
步骤2：判断结论②
将$(4a+c)^2＜(2b)^2$变形为$(4a+c-2b)(4a+c+2b)＜0$：
当$x=-2$时，代入函数得$y=4a-2b+c$，由对称性，$x=-2$与$x=0$关于$x=-1$对称，故$4a-2b+c=c＜0$；
当$x=2$时，代入函数得$y=4a+2b+c$，$x=2$在x轴正半轴交点$(1,0)$右侧，开口向上，故$4a+2b+c＞0$；
两者乘积小于0，即$(4a+c)^2＜(2b)^2$，②正确。
步骤3：判断结论③
$|x_1+1|$是点$(x_1,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离，$|x_2+1|$是点$(x_2,y_2)$到对称轴的距离；
抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，故当$|x_1+1|＞|x_2+1|$时，$y_1＞y_2$，③错误。
步骤4：判断结论④
顶点坐标为$(-1,m)$，说明二次函数最小值为m，即$ax^2+bx+c≥ m$恒成立；
故$ax^2+bx+c=m-1$左边$≥ m$，右边$m-1＜m$，等式不可能成立，方程无实根，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数与不等式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点等图像性质与参数的对应关系，结合代数变形判断结论，是二次函数的常考综合题型。
【难度系数】
0.65
首先从二次函数图像提取核心信息：开口向上得a＞0；对称轴为$x=-1$，即$-\frac{b}{2a}=-1$，推出$b=2a$，故b＞0；抛物线与x轴一个交点为$(-3,0)$，由对称性得另一个交点为$(1,0)$；抛物线与y轴交点在负半轴，故c＜0。再逐一验证4个结论：①判断a、b、c符号乘积即可；②将不等式变形为平方差形式，代入$x=\pm2$的函数值判断符号；③根据开口向上时，抛物线上点到对称轴距离越远函数值越大判断；④根据二次函数最小值为顶点纵坐标，判断方程是否有解。
【解析】
步骤1：判断结论①
由开口向上得$a＞0$，由对称轴$x=-1=-\frac{b}{2a}$，得$b=2a＞0$，抛物线与y轴交于负半轴得$c＜0$，故$abc=$正$×$正$×$负$＜0$，①正确。
步骤2：判断结论②
将$(4a+c)^2＜(2b)^2$变形为$(4a+c-2b)(4a+c+2b)＜0$：
当$x=-2$时，代入函数得$y=4a-2b+c$，由对称性，$x=-2$与$x=0$关于$x=-1$对称，故$4a-2b+c=c＜0$；
当$x=2$时，代入函数得$y=4a+2b+c$，$x=2$在x轴正半轴交点$(1,0)$右侧，开口向上，故$4a+2b+c＞0$；
两者乘积小于0，即$(4a+c)^2＜(2b)^2$，②正确。
步骤3：判断结论③
$|x_1+1|$是点$(x_1,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离，$|x_2+1|$是点$(x_2,y_2)$到对称轴的距离；
抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，故当$|x_1+1|＞|x_2+1|$时，$y_1＞y_2$，③错误。
步骤4：判断结论④
顶点坐标为$(-1,m)$，说明二次函数最小值为m，即$ax^2+bx+c≥ m$恒成立；
故$ax^2+bx+c=m-1$左边$≥ m$，右边$m-1＜m$，等式不可能成立，方程无实根，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数与不等式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点等图像性质与参数的对应关系，结合代数变形判断结论，是二次函数的常考综合题型。
【难度系数】
0.65
7.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的对称轴是$x=1$，且经过点$P(3,0)$，则$a-b+c$的值为(
A.0
B.－1
C.1
D.2
A
).A.0
B.－1
C.1
D.2
答案
7. A
解析
【分析】
要计算a-b+c的值，首先观察代数式的形式：将x=-1代入二次函数解析式$y=ax^2+bx+c$，得到的函数值恰好为$y=a-b+c$，因此问题转化为求x=-1时二次函数的函数值。已知抛物线对称轴为x=1，且经过点$P(3,0)$，根据二次函数的轴对称性，抛物线上关于对称轴对称的点函数值相等，只需要找到点$P(3,0)$关于对称轴x=1的对称点，即可得到x=-1时的函数值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
1. 当$x=-1$时，代入解析式得$y=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a - b + c$，即所求$a-b+c$是$x=-1$对应的函数值。
2. 已知抛物线对称轴为直线$x=1$，点$P(3,0)$在抛物线上，设点P关于对称轴$x=1$的对称点横坐标为$x$，根据对称轴是对称点横坐标的中点，可得：
$\frac{3+x}{2}=1$，解得$x=2×1 -3=-1$。
3. 因此点$(-1,0)$也在抛物线上，即$x=-1$时，$y=0$，故$a-b+c=0$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的核心是将代数式转化为二次函数对应x取值的函数值，再利用二次函数的轴对称性快速求解，避免了繁琐的参数计算，是二次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.8
要计算a-b+c的值，首先观察代数式的形式：将x=-1代入二次函数解析式$y=ax^2+bx+c$，得到的函数值恰好为$y=a-b+c$，因此问题转化为求x=-1时二次函数的函数值。已知抛物线对称轴为x=1，且经过点$P(3,0)$，根据二次函数的轴对称性，抛物线上关于对称轴对称的点函数值相等，只需要找到点$P(3,0)$关于对称轴x=1的对称点，即可得到x=-1时的函数值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
1. 当$x=-1$时，代入解析式得$y=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a - b + c$，即所求$a-b+c$是$x=-1$对应的函数值。
2. 已知抛物线对称轴为直线$x=1$，点$P(3,0)$在抛物线上，设点P关于对称轴$x=1$的对称点横坐标为$x$，根据对称轴是对称点横坐标的中点，可得：
$\frac{3+x}{2}=1$，解得$x=2×1 -3=-1$。
3. 因此点$(-1,0)$也在抛物线上，即$x=-1$时，$y=0$，故$a-b+c=0$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的核心是将代数式转化为二次函数对应x取值的函数值，再利用二次函数的轴对称性快速求解，避免了繁琐的参数计算，是二次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.8
8.将抛物线$y=ax^2 -4ax + c(a＜0)$向左平移$t(t＞0)$个单位长度后得到新抛物线.若新抛物线与直线$l$相交于点$P(t,m)$，$Q(t-2,m)$，则$t$的值为(
A.3
B.2
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
C
).A.3
B.2
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
8. C
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步先求原抛物线的对称轴，使用二次函数对称轴公式即可计算；第二步根据平移规律得出平移后新抛物线的对称轴；第三步观察到P、Q两点纵坐标相同，说明两点关于新抛物线对称轴对称，两点横坐标的平均值就是新抛物线的对称轴；第四步用两种方式表示新抛物线的对称轴，列等式解方程即可求出t的值。
【解析】
1. 计算原抛物线的对称轴：
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$，原抛物线$y=ax^2 -4ax + c$中$A=a$，$B=-4a$，代入得：
$x=-\frac{-4a}{2a}=2$，即原抛物线对称轴为直线$x=2$。
2. 求平移后新抛物线的对称轴：
抛物线向左平移$t$个单位，对称轴也向左平移$t$个单位，因此新抛物线对称轴为直线$x=2-t$。
3. 利用P、Q的对称关系表示对称轴：
点$P(t,m)$和$Q(t-2,m)$纵坐标相等，两点关于新抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值：
$x=\frac{t+(t-2)}{2}=t-1$。
4. 列方程求解t：
两个表达式均为新抛物线的对称轴，因此有：
$2-t = t-1$
移项计算得$2t=3$，解得$t=\frac{3}{2}$。
【答案】C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的平移；二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题的核心是抓住纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的特点，结合平移前后对称轴的变化建立等式求解，是二次函数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步先求原抛物线的对称轴，使用二次函数对称轴公式即可计算；第二步根据平移规律得出平移后新抛物线的对称轴；第三步观察到P、Q两点纵坐标相同，说明两点关于新抛物线对称轴对称，两点横坐标的平均值就是新抛物线的对称轴；第四步用两种方式表示新抛物线的对称轴，列等式解方程即可求出t的值。
【解析】
1. 计算原抛物线的对称轴：
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$，原抛物线$y=ax^2 -4ax + c$中$A=a$，$B=-4a$，代入得：
$x=-\frac{-4a}{2a}=2$，即原抛物线对称轴为直线$x=2$。
2. 求平移后新抛物线的对称轴：
抛物线向左平移$t$个单位，对称轴也向左平移$t$个单位，因此新抛物线对称轴为直线$x=2-t$。
3. 利用P、Q的对称关系表示对称轴：
点$P(t,m)$和$Q(t-2,m)$纵坐标相等，两点关于新抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值：
$x=\frac{t+(t-2)}{2}=t-1$。
4. 列方程求解t：
两个表达式均为新抛物线的对称轴，因此有：
$2-t = t-1$
移项计算得$2t=3$，解得$t=\frac{3}{2}$。
【答案】C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的平移；二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题的核心是抓住纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的特点，结合平移前后对称轴的变化建立等式求解，是二次函数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
9.已知抛物线$y=a(x-h)^2 +k$经过$(0,4),(6,5)$两点.若$a＜0,0＜h＜6$,则$h$的值可能为(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9. D
解析
【分析】
首先明确抛物线顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，当$a＜0$时抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大。已知两点的纵坐标分别为4和5，$5＞4$，说明横坐标为6的点离对称轴更近，据此列出关于h的绝对值不等式，结合$0＜h＜6$的范围解不等式得到h的取值范围，再对照选项选出符合条件的值即可。
【解析】
解：
∵抛物线$y=a(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，且$a＜0$，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大。
∵抛物线经过$(0,4)$、$(6,5)$两点，且$5＞4$，
∴点$(6,5)$到对称轴$x=h$的距离小于点$(0,4)$到对称轴的距离，即$|6-h| ＜ |0-h|$。
又
∵$0＜h＜6$，
∴去绝对值得：$6-h ＜ h$，
解得$h＞3$，
结合$0＜h＜6$，可得$3＜h＜6$。
观察选项，只有4符合该范围，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.二次函数增减性
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数开口向下时“点距对称轴越近，函数值越大”的性质，不需要求解参数a、k的具体值，通过列不等式即可快速得到h的范围，是二次函数性质的典型应用。
【难度系数】
0.7
首先明确抛物线顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，当$a＜0$时抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大。已知两点的纵坐标分别为4和5，$5＞4$，说明横坐标为6的点离对称轴更近，据此列出关于h的绝对值不等式，结合$0＜h＜6$的范围解不等式得到h的取值范围，再对照选项选出符合条件的值即可。
【解析】
解：
∵抛物线$y=a(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，且$a＜0$，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大。
∵抛物线经过$(0,4)$、$(6,5)$两点，且$5＞4$，
∴点$(6,5)$到对称轴$x=h$的距离小于点$(0,4)$到对称轴的距离，即$|6-h| ＜ |0-h|$。
又
∵$0＜h＜6$，
∴去绝对值得：$6-h ＜ h$，
解得$h＞3$，
结合$0＜h＜6$，可得$3＜h＜6$。
观察选项，只有4符合该范围，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式性质 2.二次函数增减性
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数开口向下时“点距对称轴越近，函数值越大”的性质，不需要求解参数a、k的具体值，通过列不等式即可快速得到h的范围，是二次函数性质的典型应用。
【难度系数】
0.7
10.若抛物线上有不重合的两个点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_1)$,则$A,B$两点关于抛物线的对称轴对称,且抛物线的对称轴为$x=\frac{x_1+x_2}{2}$.
已知二次函数$y=2026x^2 +k$的图象上有两个不同点$M(t_1,4),N(t_2,4)$,则$2026t_1 +2026t_2=$
已知二次函数$y=2026x^2 +k$的图象上有两个不同点$M(t_1,4),N(t_2,4)$,则$2026t_1 +2026t_2=$
0
.答案
10. 0
解析
【分析】
解题时先结合题干给出的抛物线性质思考：①抛物线上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标之和的一半；②先确定二次函数$y=2026x^2 +k$的对称轴，再通过对称轴公式求出$t_1+t_2$的值，最后对所求代数式因式分解后整体代入计算即可。
【解析】
∵ 点$M(t_1,4)$、$N(t_2,4)$是二次函数$y=2026x^2 +k$图象上纵坐标相同的两个不同点
∴ 根据题意给出的性质，M、N关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线$x=\frac{t_1+t_2}{2}$
∵ 二次函数$y=2026x^2 +k$的形式为$y=ax^2+c$，其对称轴为直线$x=0$
∴ $\frac{t_1+t_2}{2}=0$，解得$t_1+t_2=0$
∴ $2026t_1 +2026t_2=2026(t_1+t_2)=2026×0=0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数对称轴的确定，代数式化简求值
【点评】
本题主要考查二次函数对称性的应用，解题时不需要分别求出$t_1$、$t_2$的具体值，利用整体代入的思想计算即可，同时题干给出的新性质可直接运用，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
解题时先结合题干给出的抛物线性质思考：①抛物线上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标之和的一半；②先确定二次函数$y=2026x^2 +k$的对称轴，再通过对称轴公式求出$t_1+t_2$的值，最后对所求代数式因式分解后整体代入计算即可。
【解析】
∵ 点$M(t_1,4)$、$N(t_2,4)$是二次函数$y=2026x^2 +k$图象上纵坐标相同的两个不同点
∴ 根据题意给出的性质，M、N关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线$x=\frac{t_1+t_2}{2}$
∵ 二次函数$y=2026x^2 +k$的形式为$y=ax^2+c$，其对称轴为直线$x=0$
∴ $\frac{t_1+t_2}{2}=0$，解得$t_1+t_2=0$
∴ $2026t_1 +2026t_2=2026(t_1+t_2)=2026×0=0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数对称轴的确定，代数式化简求值
【点评】
本题主要考查二次函数对称性的应用，解题时不需要分别求出$t_1$、$t_2$的具体值，利用整体代入的思想计算即可，同时题干给出的新性质可直接运用，降低了解题难度。
【难度系数】
0.8
11.已知三点$(3,y_1),(1.5,y_2),(0,y_3)$在抛物线$y=-2(x-2)^2+m$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系正确的是（
A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_1＜y_2＜y_3$
B
）.A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_1＜y_2＜y_3$
答案
11. B
解析
【分析】
解题时我们可以利用二次函数的性质快速比较函数值大小，思路如下：第一步先从抛物线的顶点式解析式入手，确定开口方向和对称轴：二次项系数小于0时抛物线开口向下，此时抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大；第二步分别计算三个已知点的横坐标到对称轴的距离；第三步根据距离大小即可对应判断三个y值的大小关系。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=-2(x-2)^2+m$：
1. 确定开口方向与对称轴：
二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，可得本题抛物线对称轴为直线$x=2$。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$(3,y_1)$到$x=2$的距离：$|3-2|=1$；
点$(1.5,y_2)$到$x=2$的距离：$|1.5-2|=0.5$；
点$(0,y_3)$到$x=2$的距离：$|0-2|=2$。
3. 比较函数值大小：
开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，距离大小为$0.5＜1＜2$，因此$y_2＞y_1＞y_3$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查对二次函数图象性质的理解，通过判断点到对称轴的距离比较函数值大小，比直接代入计算更简便，掌握该方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以利用二次函数的性质快速比较函数值大小，思路如下：第一步先从抛物线的顶点式解析式入手，确定开口方向和对称轴：二次项系数小于0时抛物线开口向下，此时抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大；第二步分别计算三个已知点的横坐标到对称轴的距离；第三步根据距离大小即可对应判断三个y值的大小关系。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=-2(x-2)^2+m$：
1. 确定开口方向与对称轴：
二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，可得本题抛物线对称轴为直线$x=2$。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$(3,y_1)$到$x=2$的距离：$|3-2|=1$；
点$(1.5,y_2)$到$x=2$的距离：$|1.5-2|=0.5$；
点$(0,y_3)$到$x=2$的距离：$|0-2|=2$。
3. 比较函数值大小：
开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，距离大小为$0.5＜1＜2$，因此$y_2＞y_1＞y_3$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数值大小比较
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查对二次函数图象性质的理解，通过判断点到对称轴的距离比较函数值大小，比直接代入计算更简便，掌握该方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
12.如图,已知抛物线经过(-2,-3)和(3,-3)两点,如果点(1,y₁)与点(2,y₂)在此抛物线上,那么y₁
＞
y₂(填“＞”“＜”或“=”).答案
12. ＞
解析
【分析】
解题时先观察已知两点的坐标特征，两点纵坐标相同，说明它们关于抛物线的对称轴对称，据此可先求出抛物线的对称轴；再结合抛物线开口方向判断其增减性；最后比较点$(1,y_1)$、$(2,y_2)$的横坐标与对称轴的位置关系，利用增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：
∵抛物线经过$(-2,-3)$和$(3,-3)$，两点纵坐标相等，
∴这两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}$。
由函数图像可知抛物线开口向下，
∴当$x＞\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$(1,y_1)$、$(2,y_2)$都在对称轴右侧，且$1＜2$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数比较函数值的典型题型，解题核心是先确定对称轴，再结合开口方向利用函数的增减性判断，解题时要注意结合图像分析开口方向，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知两点的坐标特征，两点纵坐标相同，说明它们关于抛物线的对称轴对称，据此可先求出抛物线的对称轴；再结合抛物线开口方向判断其增减性；最后比较点$(1,y_1)$、$(2,y_2)$的横坐标与对称轴的位置关系，利用增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
解：
∵抛物线经过$(-2,-3)$和$(3,-3)$，两点纵坐标相等，
∴这两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}$。
由函数图像可知抛物线开口向下，
∴当$x＞\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$(1,y_1)$、$(2,y_2)$都在对称轴右侧，且$1＜2$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数比较函数值的典型题型，解题核心是先确定对称轴，再结合开口方向利用函数的增减性判断，解题时要注意结合图像分析开口方向，避免出错。
【难度系数】
0.8
13.在平面直角坐标系中，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$是二次函数$y=-x^2+4x-1$图象上的三点.若$0＜x_1＜1$，$x_2＞4$，则$y_1$$y_2$（填“＞”或“＜”）；若对于$m＜x_1＜m+1$，$m+1＜x_2＜m+2$，$m+2＜x_3＜m+3$存在$y_1＜y_3＜y_2$，则$m$的取值范围是.
答案
13. ＞ $-\frac{1}{2}＜m＜1$
解析
【分析】
首先先确定二次函数的基本性质：二次函数$y=-x^2+4x-1$中$a=-1＜0$，开口向下，由对称轴公式可求得对称轴为直线$x=2$；开口向下的抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大。第一空：分别计算$x_1$、$x_2$到对称轴的距离范围，比较距离大小即可判断$y_1$和$y_2$的大小；第二空：将$y_1＜y_3＜y_2$转化为三个点到对称轴$x=2$的距离关系$|x_2-2|＜|x_3-2|＜|x_1-2|$，结合三个$x$的取值区间的范围，分析临界情况列不等式求解$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4x-1$，其中$a=-1$，$b=4$：
1. 求对称轴：
由对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=2$的距离越近，对应的函数值$y$越大。
2. 比较$y_1$和$y_2$的大小：
$\because 0＜x_1＜1$，$\therefore x_1$到对称轴的距离满足$1＜2-x_1＜2$；
$\because x_2＞4$，$\therefore x_2$到对称轴的距离满足$x_2-2＞4-2=2$；
$\therefore x_2$到对称轴的距离大于$x_1$到对称轴的距离，$\therefore y_1＞y_2$。
3. 求$m$的取值范围：
已知$m＜x_1＜m+1$，$m+1＜x_2＜m+2$，$m+2＜x_3＜m+3$，要存在$y_1＜y_3＜y_2$，即存在三点满足距离关系$|x_2-2|＜|x_3-2|＜|x_1-2|$：
临界1：若不存在$y_3＜y_2$，则$x_2$的最大值和$x_3$的最小值关于对称轴对称，即$m+2 + (m+2)=2×2$，结合区间范围得$m=-\frac{1}{2}$；
临界2：若不存在$y_1＜y_3$，则$x_1$的最大值和$x_3$的最小值关于对称轴对称，即$(m+1)+(m+3)=2×2$，结合区间范围得$m=1$；
要存在符合条件的三个点，需取两个临界之间的范围，即$-\frac{1}{2}＜m＜1$。
【答案】
$\boxed{＞}$；$\boxed{-\dfrac{1}{2}＜m＜1}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的综合应用，解题核心是将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离关系，第二空需要结合区间的边界分析临界情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先先确定二次函数的基本性质：二次函数$y=-x^2+4x-1$中$a=-1＜0$，开口向下，由对称轴公式可求得对称轴为直线$x=2$；开口向下的抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大。第一空：分别计算$x_1$、$x_2$到对称轴的距离范围，比较距离大小即可判断$y_1$和$y_2$的大小；第二空：将$y_1＜y_3＜y_2$转化为三个点到对称轴$x=2$的距离关系$|x_2-2|＜|x_3-2|＜|x_1-2|$，结合三个$x$的取值区间的范围，分析临界情况列不等式求解$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4x-1$，其中$a=-1$，$b=4$：
1. 求对称轴：
由对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴$x=2$的距离越近，对应的函数值$y$越大。
2. 比较$y_1$和$y_2$的大小：
$\because 0＜x_1＜1$，$\therefore x_1$到对称轴的距离满足$1＜2-x_1＜2$；
$\because x_2＞4$，$\therefore x_2$到对称轴的距离满足$x_2-2＞4-2=2$；
$\therefore x_2$到对称轴的距离大于$x_1$到对称轴的距离，$\therefore y_1＞y_2$。
3. 求$m$的取值范围：
已知$m＜x_1＜m+1$，$m+1＜x_2＜m+2$，$m+2＜x_3＜m+3$，要存在$y_1＜y_3＜y_2$，即存在三点满足距离关系$|x_2-2|＜|x_3-2|＜|x_1-2|$：
临界1：若不存在$y_3＜y_2$，则$x_2$的最大值和$x_3$的最小值关于对称轴对称，即$m+2 + (m+2)=2×2$，结合区间范围得$m=-\frac{1}{2}$；
临界2：若不存在$y_1＜y_3$，则$x_1$的最大值和$x_3$的最小值关于对称轴对称，即$(m+1)+(m+3)=2×2$，结合区间范围得$m=1$；
要存在符合条件的三个点，需取两个临界之间的范围，即$-\frac{1}{2}＜m＜1$。
【答案】
$\boxed{＞}$；$\boxed{-\dfrac{1}{2}＜m＜1}$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的综合应用，解题核心是将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离关系，第二空需要结合区间的边界分析临界情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
