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对于某些实际问题,如果其中变量之间的关系可以用
·练习 某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙(墙长15 m),另三边用总长40 m的栅栏围成(如图所示).若设花园的边AB的长为x m,花园的面积为y m².
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)此花园的面积能否达到150 m²?若能,请求出x的值;若不能,请说明理由.
(3)当x是多少时,花园的面积y最大?最大面积是多少?
方法指导 当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据二次函数的增减性,在自变量的取值范围内求出函数的最值.
二次函数
来刻画,那么就可以利用二次函数的图象和性质
对其进行研究.·练习 某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙(墙长15 m),另三边用总长40 m的栅栏围成(如图所示).若设花园的边AB的长为x m,花园的面积为y m².
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)此花园的面积能否达到150 m²?若能,请求出x的值;若不能,请说明理由.
(3)当x是多少时,花园的面积y最大?最大面积是多少?
方法指导 当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据二次函数的增减性,在自变量的取值范围内求出函数的最值.
答案
(1) y=-2x²+40x(12.5≤x＜20)
(2) 能.x的值为15.
(3) 当x是12.5时,花园的面积y最大,最大面积是187.5 m².
(2) 能.x的值为15.
(3) 当x是12.5时,花园的面积y最大,最大面积是187.5 m².
解析
【分析】
本题考查二次函数在图形面积问题中的实际应用，解题思路如下：
1. 求解函数解析式与自变量范围：先根据栅栏总长度表示出矩形BC边的长度，再用矩形面积公式推导y与x的函数关系；自变量范围需要符合两个实际要求：一是靠墙的BC边长度不超过墙长15m，二是所有边长为正数，据此列不等式求解即可。
2. 判断面积能否达到150m²：将y=150代入函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解后检验解是否在自变量取值范围内，存在符合范围的解则可以达到该面积，反之不能。
3. 求面积最大值：先将二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，结合函数开口方向、增减性，对照自变量的取值范围，找到对应最大值的x值，代入计算最大面积即可。
【解析】
题干开头填空：变量之间的关系可以用二次函数来刻画，可利用二次函数的性质对其进行研究。
接下来解答3个小问：
(1) 已知AB的长为x m，则CD=AB=x m，因此BC边的长度为$(40-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$y=AB× BC=x(40-2x)=-2x^2+40x$
结合实际意义列不等式求解自变量范围：
① 靠墙边BC不超过墙长：$40-2x≤15$，解得$x≥12.5$；
② 边长为正：$40-2x＞0$，解得$x＜20$；
因此自变量x的取值范围为$12.5≤ x＜20$。
(2) 令$y=150$，代入函数解析式得：
$-2x^2+40x=150$
整理为标准一元二次方程：$x^2-20x+75=0$
因式分解得：$(x-5)(x-15)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=15$。
结合自变量范围$12.5≤ x＜20$，舍去不符合要求的$x=5$，得$x=15$。
(3) 将函数解析式配方：
$y=-2x^2+40x=-2(x^2-20x)=-2(x-10)^2+200$
二次项系数$-2＜0$，函数开口向下，对称轴为$x=10$，当$x＞10$时，y随x的增大而减小。
结合自变量范围$12.5≤ x＜20$，该区间内y随x增大而减小，因此当x取最小值12.5时，y取得最大值。
代入$x=12.5$计算：
$y=-2×(12.5)^2+40×12.5=187.5$
【答案】
二次函数；性质
(1) $y=-2x^2+40x(12.5≤ x＜20)$
(2) 能，x的值为15
(3) 当x为12.5时，花园的面积y最大，最大面积是$187.5\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的求解；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型应用题，解题核心是要根据实际限制确定自变量的取值范围，求最值时不能直接套用顶点坐标，需结合函数增减性和自变量范围综合判断，避免忽略实际条件导致错误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在图形面积问题中的实际应用，解题思路如下：
1. 求解函数解析式与自变量范围：先根据栅栏总长度表示出矩形BC边的长度，再用矩形面积公式推导y与x的函数关系；自变量范围需要符合两个实际要求：一是靠墙的BC边长度不超过墙长15m，二是所有边长为正数，据此列不等式求解即可。
2. 判断面积能否达到150m²：将y=150代入函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解后检验解是否在自变量取值范围内，存在符合范围的解则可以达到该面积，反之不能。
3. 求面积最大值：先将二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，结合函数开口方向、增减性，对照自变量的取值范围，找到对应最大值的x值，代入计算最大面积即可。
【解析】
题干开头填空：变量之间的关系可以用二次函数来刻画，可利用二次函数的性质对其进行研究。
接下来解答3个小问：
(1) 已知AB的长为x m，则CD=AB=x m，因此BC边的长度为$(40-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$y=AB× BC=x(40-2x)=-2x^2+40x$
结合实际意义列不等式求解自变量范围：
① 靠墙边BC不超过墙长：$40-2x≤15$，解得$x≥12.5$；
② 边长为正：$40-2x＞0$，解得$x＜20$；
因此自变量x的取值范围为$12.5≤ x＜20$。
(2) 令$y=150$，代入函数解析式得：
$-2x^2+40x=150$
整理为标准一元二次方程：$x^2-20x+75=0$
因式分解得：$(x-5)(x-15)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=15$。
结合自变量范围$12.5≤ x＜20$，舍去不符合要求的$x=5$，得$x=15$。
(3) 将函数解析式配方：
$y=-2x^2+40x=-2(x^2-20x)=-2(x-10)^2+200$
二次项系数$-2＜0$，函数开口向下，对称轴为$x=10$，当$x＞10$时，y随x的增大而减小。
结合自变量范围$12.5≤ x＜20$，该区间内y随x增大而减小，因此当x取最小值12.5时，y取得最大值。
代入$x=12.5$计算：
$y=-2×(12.5)^2+40×12.5=187.5$
【答案】
二次函数；性质
(1) $y=-2x^2+40x(12.5≤ x＜20)$
(2) 能，x的值为15
(3) 当x为12.5时，花园的面积y最大，最大面积是$187.5\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的求解；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数结合实际场景的典型应用题，解题核心是要根据实际限制确定自变量的取值范围，求最值时不能直接套用顶点坐标，需结合函数增减性和自变量范围综合判断，避免忽略实际条件导致错误。
【难度系数】
0.7
1.用总长为40 cm的绳子围成一个矩形，则矩形面积$ y $（单位：$ \mathrm{cm}^2 $）与一边长$ x $（单位：cm）之间的函数解析式为(
A.$ y=x^2 $
B.$ y=-x^2+40x $
C.$ y=-x^2+20x $
D.$ y=-x^2+20 $
C
)。A.$ y=x^2 $
B.$ y=-x^2+40x $
C.$ y=-x^2+20x $
D.$ y=-x^2+20 $
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：绳子总长40cm即矩形周长为40cm，已知矩形一边长为x，需要先根据矩形周长公式求出另一边长，再结合矩形面积公式推导面积y与x的函数解析式，最后对照选项选出正确答案。具体思考步骤：第一步，由矩形周长公式“周长=2×(长+宽)”，可算出矩形相邻两边的和为周长的一半；第二步，用两边和减去已知边长x，得到另一边长的表达式；第三步，根据“矩形面积=长×宽”列出函数式，化简后匹配选项即可。
【解析】
已知矩形周长为40cm，一边长为x cm，
根据矩形周长公式，可得矩形另一边长为：$\frac{40}{2} - x = 20 - x$（cm）
根据矩形面积公式，面积等于相邻两边长的乘积，因此：
$y = x(20 - x)$
展开整理得：$y = -x^2 + 20x$
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形周长计算；矩形面积计算；列二次函数解析式
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心考查结合几何图形性质列函数关系式，解题的易错点是容易忽略矩形周长是两组对边长度之和，直接用40减x作为另一边长，从而误选B，计算时先求相邻两边的和可有效避免这类错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：绳子总长40cm即矩形周长为40cm，已知矩形一边长为x，需要先根据矩形周长公式求出另一边长，再结合矩形面积公式推导面积y与x的函数解析式，最后对照选项选出正确答案。具体思考步骤：第一步，由矩形周长公式“周长=2×(长+宽)”，可算出矩形相邻两边的和为周长的一半；第二步，用两边和减去已知边长x，得到另一边长的表达式；第三步，根据“矩形面积=长×宽”列出函数式，化简后匹配选项即可。
【解析】
已知矩形周长为40cm，一边长为x cm，
根据矩形周长公式，可得矩形另一边长为：$\frac{40}{2} - x = 20 - x$（cm）
根据矩形面积公式，面积等于相邻两边长的乘积，因此：
$y = x(20 - x)$
展开整理得：$y = -x^2 + 20x$
故本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形周长计算；矩形面积计算；列二次函数解析式
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心考查结合几何图形性质列函数关系式，解题的易错点是容易忽略矩形周长是两组对边长度之和，直接用40减x作为另一边长，从而误选B，计算时先求相邻两边的和可有效避免这类错误。
【难度系数】
0.7
2. 如图，用总长度为12 m的不锈钢材料设计成
所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为(
A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为(A
).A.$4\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$8\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这个矩形框架的最大面积问题，我们可以按以下思路思考：首先观察框架结构，数出平行于AB、AD的边的数量，先设其中一边的长度为未知数，用总材料长度表示出另一边的长度，再根据矩形面积公式写出面积关于未知数的函数表达式，最后利用二次函数的性质求出最大值即可。
【解析】
设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，由图可知，平行于AB的竖档共有3条，因此3条竖档总长度为$3x\ \mathrm{m}$。
剩余材料为平行于AD的3条横档的总长度，即$12-3x\ \mathrm{m}$，因此AD的长度为$\frac{12-3x}{3}=(4-x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜4$。
设矩形ABCD的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式得：
$S = x(4-x) = -x^2 +4x$
对函数配方得：$S=-(x-2)^2 +4$
因为二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=2$时，$S$取得最大值，最大值为$4\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值，矩形面积计算，二次函数实际应用
【点评】
本题是利用二次函数解决实际面积最值的基础题型，解题的关键是准确理清框架各边的数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解，解题时要注意自变量的取值范围符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个矩形框架的最大面积问题，我们可以按以下思路思考：首先观察框架结构，数出平行于AB、AD的边的数量，先设其中一边的长度为未知数，用总材料长度表示出另一边的长度，再根据矩形面积公式写出面积关于未知数的函数表达式，最后利用二次函数的性质求出最大值即可。
【解析】
设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，由图可知，平行于AB的竖档共有3条，因此3条竖档总长度为$3x\ \mathrm{m}$。
剩余材料为平行于AD的3条横档的总长度，即$12-3x\ \mathrm{m}$，因此AD的长度为$\frac{12-3x}{3}=(4-x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜4$。
设矩形ABCD的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式得：
$S = x(4-x) = -x^2 +4x$
对函数配方得：$S=-(x-2)^2 +4$
因为二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=2$时，$S$取得最大值，最大值为$4\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数最值，矩形面积计算，二次函数实际应用
【点评】
本题是利用二次函数解决实际面积最值的基础题型，解题的关键是准确理清框架各边的数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解，解题时要注意自变量的取值范围符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3.如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的解析式是$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}$$(x＞0)$,则水流喷出的最大高度是 (
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
B
)A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
答案
3. B
解析
【分析】
水流喷出的高度y与水平距离x的函数关系是二次函数，二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，因此二次函数的最大值就是水流的最大高度，对应抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式求出顶点的纵坐标即可得到结果。
【解析】
我们可以用配方法求解：
对函数解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$-(x-1)^2≤0$，所以当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
也可使用顶点公式求解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-1,b=2,c=\frac{7}{4}$，可得最值为$\frac{4×(-1)×\frac{7}{4}-2^2}{4×(-1)}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值；配方法；二次函数性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是将实际问题中的最大高度转化为二次函数的顶点纵坐标，熟练掌握求二次函数最值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
水流喷出的高度y与水平距离x的函数关系是二次函数，二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，因此二次函数的最大值就是水流的最大高度，对应抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式求出顶点的纵坐标即可得到结果。
【解析】
我们可以用配方法求解：
对函数解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
因为$-(x-1)^2≤0$，所以当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
也可使用顶点公式求解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-1,b=2,c=\frac{7}{4}$，可得最值为$\frac{4×(-1)×\frac{7}{4}-2^2}{4×(-1)}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值；配方法；二次函数性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是将实际问题中的最大高度转化为二次函数的顶点纵坐标，熟练掌握求二次函数最值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
