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4.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长$x$(单位:m)与面积$y$(单位:$\mathrm{m}^2$)满足函数关系$y=-(x-12)^2+144(0＜x＜24)$，则该矩形面积的最大值为
144
$\mathrm{m}^2$。答案
4. 144
解析
【分析】
本题是利用二次函数求解实际问题中的最值，解题思路如下：第一步，观察给出的函数解析式是二次函数的顶点式，回忆二次函数顶点式的性质：对于$y=a(x-h)^2+k$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点坐标为$(h,k)$，此时$x=h$时$y$取得最大值$k$；第二步，验证顶点的横坐标是否在自变量$x$的取值范围内，若在取值范围内，顶点对应的纵坐标就是函数的最大值，若不在则需要结合函数增减性在取值范围内找最值。本题中顶点横坐标$x=12$刚好在$0＜x＜24$的范围内，因此直接取顶点的纵坐标即可得到面积最大值。
【解析】
解：已知函数解析式$y=-(x-12)^2+144$为二次函数的顶点式，其中二次项系数$a=-1＜0$，
∴该抛物线开口向下，函数存在最大值，顶点坐标为$(12,144)$。
又
∵自变量$x$的取值范围是$0＜x＜24$，顶点的横坐标$x=12$在该取值范围内，
∴当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为$144$。
【答案】
144
【知识点】
1. 二次函数的性质 2. 二次函数最值求解
【点评】
本题侧重考查二次函数在实际面积问题中的应用，解题核心是掌握二次函数顶点式的最值特点，同时要注意结合自变量的实际取值范围判断最值能否取到，养成验证取值范围的习惯，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.85
本题是利用二次函数求解实际问题中的最值，解题思路如下：第一步，观察给出的函数解析式是二次函数的顶点式，回忆二次函数顶点式的性质：对于$y=a(x-h)^2+k$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点坐标为$(h,k)$，此时$x=h$时$y$取得最大值$k$；第二步，验证顶点的横坐标是否在自变量$x$的取值范围内，若在取值范围内，顶点对应的纵坐标就是函数的最大值，若不在则需要结合函数增减性在取值范围内找最值。本题中顶点横坐标$x=12$刚好在$0＜x＜24$的范围内，因此直接取顶点的纵坐标即可得到面积最大值。
【解析】
解：已知函数解析式$y=-(x-12)^2+144$为二次函数的顶点式，其中二次项系数$a=-1＜0$，
∴该抛物线开口向下，函数存在最大值，顶点坐标为$(12,144)$。
又
∵自变量$x$的取值范围是$0＜x＜24$，顶点的横坐标$x=12$在该取值范围内，
∴当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为$144$。
【答案】
144
【知识点】
1. 二次函数的性质 2. 二次函数最值求解
【点评】
本题侧重考查二次函数在实际面积问题中的应用，解题核心是掌握二次函数顶点式的最值特点，同时要注意结合自变量的实际取值范围判断最值能否取到，养成验证取值范围的习惯，避免遗漏条件出错。
【难度系数】
0.85
5.如图，一块矩形土地ABCD用篱笆围着，并且用一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=
150
m时，矩形土地ABCD的面积最大.答案
5. 150
解析
【分析】
要解决矩形土地面积最大的问题，我们可以先设AB的长度为x m，根据篱笆总长度表示出矩形另一边BC的长度，再结合矩形面积公式得到面积关于x的二次函数关系式，最后利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的x值即可。
【解析】
设AB的长度为x m，
由题意可知，篱笆包含3条与AB等长的边（AB、CD、EF）和2条与BC等长的边（BC、AD），因此总长度满足：
$3x + 2BC = 900$
解得：$BC = \frac{900 - 3x}{2}$
设矩形ABCD的面积为S，根据矩形面积公式可得：
$S = AB × BC = x · \frac{900 - 3x}{2} = -\frac{3}{2}x^2 + 450x$
这是一个二次函数，其中$a = -\frac{3}{2} ＜ 0$，函数图象开口向下，当$x = -\frac{b}{2a}$时，S取得最大值。
代入$a = -\frac{3}{2}$，$b = 450$得：
$x = -\frac{450}{2 × (-\frac{3}{2})} = 150$
即当AB=150 m时，矩形土地面积最大。
【答案】
150
【知识点】
二次函数最值，矩形面积计算，函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题的核心是根据题干的数量关系正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意结合实际意义判断自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
要解决矩形土地面积最大的问题，我们可以先设AB的长度为x m，根据篱笆总长度表示出矩形另一边BC的长度，再结合矩形面积公式得到面积关于x的二次函数关系式，最后利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的x值即可。
【解析】
设AB的长度为x m，
由题意可知，篱笆包含3条与AB等长的边（AB、CD、EF）和2条与BC等长的边（BC、AD），因此总长度满足：
$3x + 2BC = 900$
解得：$BC = \frac{900 - 3x}{2}$
设矩形ABCD的面积为S，根据矩形面积公式可得：
$S = AB × BC = x · \frac{900 - 3x}{2} = -\frac{3}{2}x^2 + 450x$
这是一个二次函数，其中$a = -\frac{3}{2} ＜ 0$，函数图象开口向下，当$x = -\frac{b}{2a}$时，S取得最大值。
代入$a = -\frac{3}{2}$，$b = 450$得：
$x = -\frac{450}{2 × (-\frac{3}{2})} = 150$
即当AB=150 m时，矩形土地面积最大。
【答案】
150
【知识点】
二次函数最值，矩形面积计算，函数实际应用
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题的核心是根据题干的数量关系正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意结合实际意义判断自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
6.已知一个直角三角形两条直角边长的和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为
50
$ cm^2.$答案
6. 50
解析
【分析】
要解决直角三角形最大面积问题，首先结合已知条件：两条直角边和为20cm，直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为直角边）。我们可以设其中一条直角边为自变量，用含自变量的式子表示另一条直角边，进而列出面积关于自变量的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最大值即可，注意边长的取值范围需大于0。
【解析】
设其中一条直角边长为$x\ \mathrm{cm}$（$0＜x＜20$），则另一条直角边长为$(20-x)\ \mathrm{cm}$。
直角三角形的面积$S=\frac{1}{2}x(20-x)$，展开整理得：
$S=-\frac{1}{2}x^2 + 10x$
这是一个二次函数，其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2}$，$b=10$得：
$x=-\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})}=10$
将$x=10$代入面积公式，得最大面积：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×10×(20-10)=50\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
50
【知识点】
二次函数最值，直角三角形面积计算，函数解析式建立
【点评】
本题是二次函数在几何面积最值中的基础应用，解题核心是根据已知的边长关系建立面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，掌握二次函数最值的求法是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决直角三角形最大面积问题，首先结合已知条件：两条直角边和为20cm，直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$（a、b为直角边）。我们可以设其中一条直角边为自变量，用含自变量的式子表示另一条直角边，进而列出面积关于自变量的二次函数表达式，再根据二次函数的性质求最大值即可，注意边长的取值范围需大于0。
【解析】
设其中一条直角边长为$x\ \mathrm{cm}$（$0＜x＜20$），则另一条直角边长为$(20-x)\ \mathrm{cm}$。
直角三角形的面积$S=\frac{1}{2}x(20-x)$，展开整理得：
$S=-\frac{1}{2}x^2 + 10x$
这是一个二次函数，其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2}$，$b=10$得：
$x=-\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})}=10$
将$x=10$代入面积公式，得最大面积：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×10×(20-10)=50\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
50
【知识点】
二次函数最值，直角三角形面积计算，函数解析式建立
【点评】
本题是二次函数在几何面积最值中的基础应用，解题核心是根据已知的边长关系建立面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，掌握二次函数最值的求法是解题关键。
【难度系数】
0.7
7.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形风筝的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形风筝的面积S(单位:cm²)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
(1)请直接写出S关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
答案
7. (1) $S=-\frac{1}{2}x^2+30x$
(2) 当x是30时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450 cm².
(2) 当x是30时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450 cm².
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式首先回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半。已知其中一条对角线长为x，两条对角线之和为60cm，可先表示出另一条对角线的长度，再代入面积公式整理即可得到S关于x的函数解析式。
(2) 求面积最大值时，观察第一问得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数取最大值。使用九年级所学的二次函数顶点坐标公式先求出对应x的值，再代入解析式计算最大面积即可。
【解析】
(1) 已知一条对角线的长为x cm，两条对角线长度之和为60cm，则另一条对角线的长为$(60-x)$cm。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}×对角线\_\_\_\_\_\_1×对角线\_\_\_\_\_\_2$，代入数据得：
$S=\frac{1}{2}x(60-x)=-\frac{1}{2}x^2+30x$
(2) 由(1)得$S=-\frac{1}{2}x^2+30x$，该式为二次函数，其中$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，S存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2}$、$b=30$得：
$x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$
将$x=30$代入函数解析式计算最大面积：
$S=-\frac{1}{2}×30^2+30×30=450(cm²)$
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+30x$
(2) 当x是30时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm²
【知识点】
菱形面积计算、二次函数最值、二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景，将几何面积计算与二次函数知识结合考查，既需要熟练掌握基础几何公式，也需要灵活运用二次函数性质解决实际最值问题，核心是正确列出函数解析式后按照二次函数最值规则求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数解析式首先回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半。已知其中一条对角线长为x，两条对角线之和为60cm，可先表示出另一条对角线的长度，再代入面积公式整理即可得到S关于x的函数解析式。
(2) 求面积最大值时，观察第一问得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处函数取最大值。使用九年级所学的二次函数顶点坐标公式先求出对应x的值，再代入解析式计算最大面积即可。
【解析】
(1) 已知一条对角线的长为x cm，两条对角线长度之和为60cm，则另一条对角线的长为$(60-x)$cm。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}×对角线\_\_\_\_\_\_1×对角线\_\_\_\_\_\_2$，代入数据得：
$S=\frac{1}{2}x(60-x)=-\frac{1}{2}x^2+30x$
(2) 由(1)得$S=-\frac{1}{2}x^2+30x$，该式为二次函数，其中$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，S存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{1}{2}$、$b=30$得：
$x=-\frac{30}{2×(-\frac{1}{2})}=30$
将$x=30$代入函数解析式计算最大面积：
$S=-\frac{1}{2}×30^2+30×30=450(cm²)$
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+30x$
(2) 当x是30时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm²
【知识点】
菱形面积计算、二次函数最值、二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景，将几何面积计算与二次函数知识结合考查，既需要熟练掌握基础几何公式，也需要灵活运用二次函数性质解决实际最值问题，核心是正确列出函数解析式后按照二次函数最值规则求解。
【难度系数】
0.7
8.九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，其中最佳方案是(
A.方案1
B.方案2
C.方案3
D.无法确定
C
)。A.方案1
B.方案2
C.方案3
D.无法确定
答案
8. C
解析
【分析】
要确定最佳方案，需分别计算三种方案下菜园的最大面积，再比较大小。首先明确每种方案围栏的使用范围：方案1的矩形靠墙侧无需围栏，围栏用于1条平行墙的边和2条垂直墙的边，可通过二次函数求最值；方案2的等腰三角形底边靠墙，围栏用于2条腰，可结合完全平方公式求面积最大值；方案3的半圆形直径靠墙，围栏就是半圆弧长，先根据弧长求半径，再计算半圆面积，最后对比三个面积的大小即可。
【解析】
我们分别计算三种方案的最大面积：
1. 方案1（矩形）：
设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(8-2x)\ \mathrm{m}$，菜园面积为：
$S_1 = x(8-2x) = -2x^2 +8x$
这是开口向下的二次函数，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-2)}=2$时，$S_1$取得最大值：
$S_{1\mathrm{max}}=2×(8-2×2)=8\ \mathrm{m}^2$
2. 方案2（等腰三角形，底边靠墙）：
设等腰三角形的高为$h\ \mathrm{m}$，底边长的一半为$b\ \mathrm{m}$，则腰长为$\sqrt{b^2+h^2}$，围栏总长为两条腰的长度和，即$2\sqrt{b^2+h^2}=8$，化简得$b^2+h^2=16$。
等腰三角形面积$S_2=\frac{1}{2}× 2b × h = bh$，根据完全平方公式$(b-h)^2≥0$，展开得$b^2+h^2 - 2bh ≥0$，即$2bh ≤ b^2+h^2=16$，因此$bh≤8$，当$b=h$时取等号，故$S_{2\mathrm{max}}=8\ \mathrm{m}^2$。
3. 方案3（半圆形，直径靠墙）：
围栏为半圆弧长，设半圆半径为$r$，则半圆弧长$π r=8$，解得$r=\frac{8}{π}$。
半圆面积$S_3=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{8}{π})^2=\frac{32}{π}\approx10.19\ \mathrm{m}^2$。
对比三个最大值：$\frac{32}{π}＞8$，因此方案3的面积最大，是最佳方案。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值应用，图形面积计算，圆的周长与面积计算
【点评】
本题需要结合不同几何图形的性质，在围栏长度固定的条件下分别计算最大面积，解题时要先明确围栏对应图形的哪条边，避免出现周长计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
要确定最佳方案，需分别计算三种方案下菜园的最大面积，再比较大小。首先明确每种方案围栏的使用范围：方案1的矩形靠墙侧无需围栏，围栏用于1条平行墙的边和2条垂直墙的边，可通过二次函数求最值；方案2的等腰三角形底边靠墙，围栏用于2条腰，可结合完全平方公式求面积最大值；方案3的半圆形直径靠墙，围栏就是半圆弧长，先根据弧长求半径，再计算半圆面积，最后对比三个面积的大小即可。
【解析】
我们分别计算三种方案的最大面积：
1. 方案1（矩形）：
设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(8-2x)\ \mathrm{m}$，菜园面积为：
$S_1 = x(8-2x) = -2x^2 +8x$
这是开口向下的二次函数，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-2)}=2$时，$S_1$取得最大值：
$S_{1\mathrm{max}}=2×(8-2×2)=8\ \mathrm{m}^2$
2. 方案2（等腰三角形，底边靠墙）：
设等腰三角形的高为$h\ \mathrm{m}$，底边长的一半为$b\ \mathrm{m}$，则腰长为$\sqrt{b^2+h^2}$，围栏总长为两条腰的长度和，即$2\sqrt{b^2+h^2}=8$，化简得$b^2+h^2=16$。
等腰三角形面积$S_2=\frac{1}{2}× 2b × h = bh$，根据完全平方公式$(b-h)^2≥0$，展开得$b^2+h^2 - 2bh ≥0$，即$2bh ≤ b^2+h^2=16$，因此$bh≤8$，当$b=h$时取等号，故$S_{2\mathrm{max}}=8\ \mathrm{m}^2$。
3. 方案3（半圆形，直径靠墙）：
围栏为半圆弧长，设半圆半径为$r$，则半圆弧长$π r=8$，解得$r=\frac{8}{π}$。
半圆面积$S_3=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{8}{π})^2=\frac{32}{π}\approx10.19\ \mathrm{m}^2$。
对比三个最大值：$\frac{32}{π}＞8$，因此方案3的面积最大，是最佳方案。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值应用，图形面积计算，圆的周长与面积计算
【点评】
本题需要结合不同几何图形的性质，在围栏长度固定的条件下分别计算最大面积，解题时要先明确围栏对应图形的哪条边，避免出现周长计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
9.如图,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1 cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为
3
s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值为18
cm².答案
9. 3 18
解析
【分析】
解题时先设运动时间为$ t $ s，根据动点的运动速度可表示出各线段长度：$ AE=BF=CG=DH=t $，$ EB=FC=GD=HA=6-t $；易证正方形四个角落的直角三角形全等，因此四边形$ EFGH $的面积可表示为大正方形面积减去4个直角三角形的面积，即可得到关于$ t $的二次函数，最后结合二次函数的性质求最小值即可。
【解析】
设运动时间为$ t $ s（$ 0≤ t≤6 $），由题意得：$ AE=BF=CG=DH=t\ \mathrm{cm} $，
$ \therefore EB=FC=GD=HA=(6-t)\ \mathrm{cm} $。
四个角落的直角三角形全等，单个直角三角形的面积为$ \frac{1}{2} × t × (6-t) $，
则四边形$ EFGH $的面积：
$\begin{aligned}S&=S_{正方形ABCD}-4S_{直角三角形}\\&=6×6 - 4×\frac{1}{2}t(6-t)\\&=36-2t(6-t)\\&=2t^2-12t+36\end{aligned}$
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为$ t=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{2×2}=3 $，在$ t $的取值范围内，
当$ t=3 $时，$ S $取最小值，最小值为$ 2×3^2 -12×3 +36=18 $。
【答案】
$ 3 $；$ 18 $
【知识点】
二次函数的最值；正方形的性质；动点面积计算
【点评】
本题结合动点问题与二次函数最值，解题关键是通过面积的和差关系建立函数模型，再利用二次函数性质求解，能很好地考察学生数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先设运动时间为$ t $ s，根据动点的运动速度可表示出各线段长度：$ AE=BF=CG=DH=t $，$ EB=FC=GD=HA=6-t $；易证正方形四个角落的直角三角形全等，因此四边形$ EFGH $的面积可表示为大正方形面积减去4个直角三角形的面积，即可得到关于$ t $的二次函数，最后结合二次函数的性质求最小值即可。
【解析】
设运动时间为$ t $ s（$ 0≤ t≤6 $），由题意得：$ AE=BF=CG=DH=t\ \mathrm{cm} $，
$ \therefore EB=FC=GD=HA=(6-t)\ \mathrm{cm} $。
四个角落的直角三角形全等，单个直角三角形的面积为$ \frac{1}{2} × t × (6-t) $，
则四边形$ EFGH $的面积：
$\begin{aligned}S&=S_{正方形ABCD}-4S_{直角三角形}\\&=6×6 - 4×\frac{1}{2}t(6-t)\\&=36-2t(6-t)\\&=2t^2-12t+36\end{aligned}$
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为$ t=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{2×2}=3 $，在$ t $的取值范围内，
当$ t=3 $时，$ S $取最小值，最小值为$ 2×3^2 -12×3 +36=18 $。
【答案】
$ 3 $；$ 18 $
【知识点】
二次函数的最值；正方形的性质；动点面积计算
【点评】
本题结合动点问题与二次函数最值，解题关键是通过面积的和差关系建立函数模型，再利用二次函数性质求解，能很好地考察学生数形结合的能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB边向点B(终点)以1 cm/s的速度运动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C(终点)以2 cm/s的速度运动,当其中一点运动至终点时,另一点也随之停止运动.
(1)设运动t s后,五边形APQCD的面积为S cm²,求出S关于t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围.
(2)t为何值时,S最小?最小值是多少?
(1)设运动t s后,五边形APQCD的面积为S cm²,求出S关于t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围.
(2)t为何值时,S最小?最小值是多少?
答案
10. (1) $S=t^2-6t+72(0＜t＜6)$
(2) 当t=3时,S最小,最小值是63.
(2) 当t=3时,S最小,最小值是63.
解析
【分析】
解决本题的核心思路是用割补法求解不规则图形面积：五边形APQCD属于不规则图形，直接计算面积难度较大，因此可以用矩形ABCD的总面积减去直角三角形PBQ的面积推导S的表达式。首先根据P、Q两点的运动速度和运动时间t，分别表示出线段PB、BQ的长度，先求出△PBQ的面积，再推导出S关于t的函数解析式，结合两点的运动上限确定t的取值范围；第二问求二次函数的最值，根据二次函数的开口方向和顶点坐标即可求出最小值和对应的t值。
【解析】
(1) 先计算矩形ABCD的总面积：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=6×12=72\ \mathrm{cm}^2$
运动$t\ \mathrm{s}$后，点P的运动路程$AP=t\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动路程$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
直角三角形PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(6-t)×2t=6t-t^2$
五边形APQCD的面积$S=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ PBQ}$，代入得：
$S=72-(6t-t^2)=t^2-6t+72$
再确定自变量t的取值范围：
点P从A运动到B的总时长为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，点Q从B运动到C的总时长为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，运动开始后、结束前可形成五边形，因此t的取值范围是$0＜t＜6$。
(2) 对函数$S=t^2-6t+72$配方得：
$S=t^2-6t+9+63=(t-3)^2+63$
∵二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点处S取最小值，
∴当$t=3$时，$S$的最小值为$63$。
【答案】
(1) $S=t^2-6t+72(0＜t＜6)$
(2) 当t=3时，S最小，最小值是63。
【知识点】
二次函数实际应用；图形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题是动点问题结合二次函数求最值的典型题型，解题关键是通过割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，再结合二次函数性质求解最值，很好地考察了数形结合思想和函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是用割补法求解不规则图形面积：五边形APQCD属于不规则图形，直接计算面积难度较大，因此可以用矩形ABCD的总面积减去直角三角形PBQ的面积推导S的表达式。首先根据P、Q两点的运动速度和运动时间t，分别表示出线段PB、BQ的长度，先求出△PBQ的面积，再推导出S关于t的函数解析式，结合两点的运动上限确定t的取值范围；第二问求二次函数的最值，根据二次函数的开口方向和顶点坐标即可求出最小值和对应的t值。
【解析】
(1) 先计算矩形ABCD的总面积：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=6×12=72\ \mathrm{cm}^2$
运动$t\ \mathrm{s}$后，点P的运动路程$AP=t\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动路程$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
直角三角形PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×(6-t)×2t=6t-t^2$
五边形APQCD的面积$S=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ PBQ}$，代入得：
$S=72-(6t-t^2)=t^2-6t+72$
再确定自变量t的取值范围：
点P从A运动到B的总时长为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，点Q从B运动到C的总时长为$12÷2=6\ \mathrm{s}$，运动开始后、结束前可形成五边形，因此t的取值范围是$0＜t＜6$。
(2) 对函数$S=t^2-6t+72$配方得：
$S=t^2-6t+9+63=(t-3)^2+63$
∵二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点处S取最小值，
∴当$t=3$时，$S$的最小值为$63$。
【答案】
(1) $S=t^2-6t+72(0＜t＜6)$
(2) 当t=3时，S最小，最小值是63。
【知识点】
二次函数实际应用；图形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题是动点问题结合二次函数求最值的典型题型，解题关键是通过割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，再结合二次函数性质求解最值，很好地考察了数形结合思想和函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
