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11.(教材 P62 复习题 T10 变式)如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留宽均为1 m的两个门，设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m².
(1)求 S 关于 x 的函数解析式并写出 x 的取值范围.
(2)若4＜x＜7，则 S 的最大值是多少？请说明理由.
(1)求 S 关于 x 的函数解析式并写出 x 的取值范围.
(2)若4＜x＜7，则 S 的最大值是多少？请说明理由.
答案
11. (1) $S=-3x^2+26x(5≤ x＜\frac{26}{3})$
(2) S 的最大值为 55. 理由略.
(2) S 的最大值为 55. 理由略.
解析
【分析】
(1) 先梳理矩形边长关系：垂直于墙的边共3条（AB、中间隔栏、CD），长度均为x m；平行于墙的边BC的长度需结合篱笆总长、预留门的宽度计算，24m是篱笆总长度，两个门各宽1m无需用篱笆，因此BC长度=篱笆总长+2个门的总宽度-3条垂直边的总长。再结合墙的最大可用长度为11m，且BC长度必须大于0，即可求出x的取值范围，最后根据矩形面积公式推导S与x的函数解析式。
(2) 先求出二次函数的对称轴，结合开口方向判断函数的增减性，再结合给定的x范围$4＜x＜7$以及第一问的x取值范围，确定S取最大值时对应的x值，代入计算即可得到最大值。
【解析】
(1) 由题意可得，平行于墙的边BC的长度为：$24 + 1×2 - 3x = (26 - 3x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积公式，$S = AB × BC = x(26 - 3x) = -3x^2 + 26x$
结合实际意义列不等式求解x的范围：
① 墙的最大可用长度为11m，因此$26 - 3x ≤ 11$，解得$x ≥ 5$
② 边长为正，因此$26 - 3x ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{26}{3}$
综上，x的取值范围是$5 ≤ x ＜ \frac{26}{3}$，即$S = -3x^2 + 26x(5 ≤ x ＜ \frac{26}{3})$。
(2) 对于二次函数$S = -3x^2 + 26x$，$a=-3＜0$，图象开口向下，
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = \frac{26}{2×3} = \frac{13}{3} \approx 4.33$，
当$x ＞ \frac{13}{3}$时，S随x的增大而减小。
结合条件$4 ＜ x ＜ 7$和第一问的$5 ≤ x ＜ \frac{26}{3}$，可得x的实际取值范围为$5 ≤ x ＜ 7$，该区间在对称轴右侧，
因此当$x=5$时，S取得最大值，代入得：
$S_{\mathrm{最大值}} = -3×5^2 + 26×5 = -75 + 130 = 55$。
【答案】
(1) $S=-3x^2+26x(5≤ x＜\frac{26}{3})$
(2) S的最大值是55
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的性质；不等式的应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的最值问题，解题核心是正确表示出平行于墙的边长，尤其要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略边界条件导致最值计算错误。
【难度系数】
0.65
(1) 先梳理矩形边长关系：垂直于墙的边共3条（AB、中间隔栏、CD），长度均为x m；平行于墙的边BC的长度需结合篱笆总长、预留门的宽度计算，24m是篱笆总长度，两个门各宽1m无需用篱笆，因此BC长度=篱笆总长+2个门的总宽度-3条垂直边的总长。再结合墙的最大可用长度为11m，且BC长度必须大于0，即可求出x的取值范围，最后根据矩形面积公式推导S与x的函数解析式。
(2) 先求出二次函数的对称轴，结合开口方向判断函数的增减性，再结合给定的x范围$4＜x＜7$以及第一问的x取值范围，确定S取最大值时对应的x值，代入计算即可得到最大值。
【解析】
(1) 由题意可得，平行于墙的边BC的长度为：$24 + 1×2 - 3x = (26 - 3x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积公式，$S = AB × BC = x(26 - 3x) = -3x^2 + 26x$
结合实际意义列不等式求解x的范围：
① 墙的最大可用长度为11m，因此$26 - 3x ≤ 11$，解得$x ≥ 5$
② 边长为正，因此$26 - 3x ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{26}{3}$
综上，x的取值范围是$5 ≤ x ＜ \frac{26}{3}$，即$S = -3x^2 + 26x(5 ≤ x ＜ \frac{26}{3})$。
(2) 对于二次函数$S = -3x^2 + 26x$，$a=-3＜0$，图象开口向下，
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = \frac{26}{2×3} = \frac{13}{3} \approx 4.33$，
当$x ＞ \frac{13}{3}$时，S随x的增大而减小。
结合条件$4 ＜ x ＜ 7$和第一问的$5 ≤ x ＜ \frac{26}{3}$，可得x的实际取值范围为$5 ≤ x ＜ 7$，该区间在对称轴右侧，
因此当$x=5$时，S取得最大值，代入得：
$S_{\mathrm{最大值}} = -3×5^2 + 26×5 = -75 + 130 = 55$。
【答案】
(1) $S=-3x^2+26x(5≤ x＜\frac{26}{3})$
(2) S的最大值是55
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的性质；不等式的应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的最值问题，解题核心是正确表示出平行于墙的边长，尤其要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略边界条件导致最值计算错误。
【难度系数】
0.65
12.(2025·佛山禅城区期中节选)某校九年级学生在数学活动课上进行了项目式学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了实践活动，请你尝试帮助他们解决相关问题.
素材1 利用一个边长为40 cm的正方形硬纸板设计无盖纸盒.
素材2 如图，在正方形硬纸板的四个角处各剪掉一个大小相同的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒.
设折成的无盖纸盒的侧面积为$ S \ \mathrm{cm}^2 $，剪掉的小正方形的边长为$ a \ \mathrm{cm} $.
(1)求$ S $关于$ a $的函数解析式.
(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由.
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了实践活动，请你尝试帮助他们解决相关问题.
素材1 利用一个边长为40 cm的正方形硬纸板设计无盖纸盒.
素材2 如图，在正方形硬纸板的四个角处各剪掉一个大小相同的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒.
设折成的无盖纸盒的侧面积为$ S \ \mathrm{cm}^2 $，剪掉的小正方形的边长为$ a \ \mathrm{cm} $.
(1)求$ S $关于$ a $的函数解析式.
(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由.
答案
12. (1) $S=-8a^2+160a$
(2) 有最大值. 最大侧面积为 800 cm²,此时剪掉的小正方形的边长为 10 cm.
(2) 有最大值. 最大侧面积为 800 cm²,此时剪掉的小正方形的边长为 10 cm.
解析
【分析】
(1) 求解侧面积S关于a的函数解析式时，先明确无盖纸盒的侧面构成：剪掉的小正方形边长为a，因此纸盒的高等于小正方形边长a；原正方形边长为40cm，四个角各剪去边长为a的小正方形后，纸盒底面正方形的边长为(40-2a)cm，侧面积为4个完全相同的长方形面积之和，结合长方形面积公式即可列出函数关系式，同时要注意a需满足实际取值要求。
(2) 判断侧面积是否有最大值，观察(1)中所得函数为二次函数，且二次项系数小于0，因此抛物线开口向下，在顶点处可取得最大值，通过配方法或者二次函数顶点公式即可求出最大值及对应的a的值，验证a符合实际取值范围即可。
【解析】
(1) 由题意得，剪掉的小正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，因此折成的无盖纸盒的高为$a\ \mathrm{cm}$，底面正方形的边长为$(40-2a)\ \mathrm{cm}$，其中$a＞0$且$40-2a＞0$，即$0＜a＜20$。
无盖纸盒的侧面积为4个长为$(40-2a)\ \mathrm{cm}$、宽为$a\ \mathrm{cm}$的长方形面积之和，因此：
$\begin{aligned}S&=4× a×(40-2a)\\&=-8a^2+160a\end{aligned}$
(2) 侧面积有最大值，求解过程如下：
对$S=-8a^2+160a$配方得：
$\begin{aligned}S&=-8(a^2-20a)\\&=-8(a^2-20a+100-100)\\&=-8(a-10)^2+800\end{aligned}$
$\because -8＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，当$a=10$时，$S$取得最大值，最大值为$800\ \mathrm{cm}^2$，且$a=10$满足$0＜a＜20$，符合实际意义。
【答案】
(1) $S=-8a^2+160a$
(2) 有最大值，最大侧面积为$800\ \mathrm{cm}^2$，此时剪掉的小正方形的边长为$10\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
列二次函数关系式，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题以无盖纸盒制作为背景考查二次函数的实际应用，解题核心是结合图形的边长关系正确列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
(1) 求解侧面积S关于a的函数解析式时，先明确无盖纸盒的侧面构成：剪掉的小正方形边长为a，因此纸盒的高等于小正方形边长a；原正方形边长为40cm，四个角各剪去边长为a的小正方形后，纸盒底面正方形的边长为(40-2a)cm，侧面积为4个完全相同的长方形面积之和，结合长方形面积公式即可列出函数关系式，同时要注意a需满足实际取值要求。
(2) 判断侧面积是否有最大值，观察(1)中所得函数为二次函数，且二次项系数小于0，因此抛物线开口向下，在顶点处可取得最大值，通过配方法或者二次函数顶点公式即可求出最大值及对应的a的值，验证a符合实际取值范围即可。
【解析】
(1) 由题意得，剪掉的小正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，因此折成的无盖纸盒的高为$a\ \mathrm{cm}$，底面正方形的边长为$(40-2a)\ \mathrm{cm}$，其中$a＞0$且$40-2a＞0$，即$0＜a＜20$。
无盖纸盒的侧面积为4个长为$(40-2a)\ \mathrm{cm}$、宽为$a\ \mathrm{cm}$的长方形面积之和，因此：
$\begin{aligned}S&=4× a×(40-2a)\\&=-8a^2+160a\end{aligned}$
(2) 侧面积有最大值，求解过程如下：
对$S=-8a^2+160a$配方得：
$\begin{aligned}S&=-8(a^2-20a)\\&=-8(a^2-20a+100-100)\\&=-8(a-10)^2+800\end{aligned}$
$\because -8＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，当$a=10$时，$S$取得最大值，最大值为$800\ \mathrm{cm}^2$，且$a=10$满足$0＜a＜20$，符合实际意义。
【答案】
(1) $S=-8a^2+160a$
(2) 有最大值，最大侧面积为$800\ \mathrm{cm}^2$，此时剪掉的小正方形的边长为$10\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
列二次函数关系式，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题以无盖纸盒制作为背景考查二次函数的实际应用，解题核心是结合图形的边长关系正确列出函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
