登录
11.小颖用计算器探索方程$ax^2+bx+c=0$的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根$x=-3.4$，则方程的另一个近似根为
$x=1.4$
（精确到0.1）。答案
11. $x=1.4$
解析
【分析】
解题思路如下：①明确对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标；②利用对称性：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根到对称轴的距离相等。首先计算已知根到对称轴$x=-1$的距离，再根据对称性计算另一个根即可。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$的两个根关于直线$x=-1$对称，两个根到$x=-1$的距离相等
设方程的另一个近似根为$x$，根据对称性质可得：
$x - (-1) = -1 - (-3.4)$
化简得：$x+1=2.4$
解得：$x=1.4$
【答案】
$x=1.4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性求解方程的根，需要熟练掌握二次函数图象特征和它与一元二次方程的对应关系，解题难度低，侧重基础性质的应用。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：①明确对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标；②利用对称性：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根到对称轴的距离相等。首先计算已知根到对称轴$x=-1$的距离，再根据对称性计算另一个根即可。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$的两个根关于直线$x=-1$对称，两个根到$x=-1$的距离相等
设方程的另一个近似根为$x$，根据对称性质可得：
$x - (-1) = -1 - (-3.4)$
化简得：$x+1=2.4$
解得：$x=1.4$
【答案】
$x=1.4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性求解方程的根，需要熟练掌握二次函数图象特征和它与一元二次方程的对应关系，解题难度低，侧重基础性质的应用。
【难度系数】
0.8
12.二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，根据图象解答下列问题.
(1) 方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为
(2) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = k $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围为
(1) 方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两个根为
$x_1=1,x_2=3$
，不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ 0 $ 的解集为 $1＜x＜3$
；(2) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = k $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围为
$k＜2$
.答案
12. (1) $x_1=1,x_2=3$ $1＜x＜3$ (2) $k＜2$
解析
【分析】
解题时结合二次函数图象与一元二次方程、不等式的对应关系，用数形结合思想思考：
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标；不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应图象在x轴上方部分的x的取值范围，直接读取图象信息即可求解。
2. 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不等实根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有2个不同交点，结合抛物线的最大值即可判断k的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可得，二次函数与x轴的交点为$(1,0)$、$(3,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$；
当$1＜x＜3$时，二次函数图象位于x轴上方，对应$y=ax^2+bx+c＞0$，因此不等式的解集为$1＜x＜3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，即抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有2个不同交点。由图象可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,2)$，函数最大值为2，因此当$k＜2$时，直线与抛物线有两个交点，即$k$的取值范围为$k＜2$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=3$；$1＜x＜3$
(2) $k＜2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数章节的基础典型题，核心考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数图象交点、顶点的实际意义，掌握对应方法后可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时结合二次函数图象与一元二次方程、不等式的对应关系，用数形结合思想思考：
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标；不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集对应图象在x轴上方部分的x的取值范围，直接读取图象信息即可求解。
2. 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不等实根等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有2个不同交点，结合抛物线的最大值即可判断k的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可得，二次函数与x轴的交点为$(1,0)$、$(3,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$；
当$1＜x＜3$时，二次函数图象位于x轴上方，对应$y=ax^2+bx+c＞0$，因此不等式的解集为$1＜x＜3$。
(2) 方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，即抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有2个不同交点。由图象可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(2,2)$，函数最大值为2，因此当$k＜2$时，直线与抛物线有两个交点，即$k$的取值范围为$k＜2$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=3$；$1＜x＜3$
(2) $k＜2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数章节的基础典型题，核心考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数图象交点、顶点的实际意义，掌握对应方法后可快速求解。
【难度系数】
0.7
13.已知二次函数$y=x^2 - 2mx + m^2 + 3$（$m$是常数）.
(1)求证:无论$m$为何值,该函数的图象都与$x$轴没有公共点.
(2)把该函数的图象沿$y$轴向下平移多少个单位长度后,顶点在$x$轴上?
(1)求证:无论$m$为何值,该函数的图象都与$x$轴没有公共点.
(2)把该函数的图象沿$y$轴向下平移多少个单位长度后,顶点在$x$轴上?
答案
(1)略 (2)3个
解析
【分析】
（1）要证明二次函数图象与x轴无公共点，可转化为判断对应一元二次方程无实根，只需计算方程的根的判别式，证明判别式恒小于0即可。（2）先将二次函数解析式配方为顶点式，得到原顶点的纵坐标，要使平移后顶点落在x轴上，即平移后顶点纵坐标为0，向下平移的单位长度等于原顶点纵坐标的数值。
【解析】
（1）证明：令$y=0$，可得一元二次方程：$x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0$。
计算根的判别式：$\Delta = (-2m)^2 - 4×1×(m^2 + 3) = 4m^2 - 4m^2 - 12 = -12$。
因为$\Delta = -12 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根，即无论$m$为何值，该函数的图象都与$x$轴没有公共点。
（2）将二次函数解析式配方得：
$y = x^2 - 2mx + m^2 + 3 = (x - m)^2 + 3$，
因此原函数图象的顶点坐标为$(m, 3)$。
要使平移后顶点在$x$轴上，即顶点纵坐标为0，因此需将图象沿$y$轴向下平移3个单位长度，平移后函数解析式为$y=(x - m)^2$，顶点坐标为$(m, 0)$，符合要求。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）3个
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数图象的平移；根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是熟练掌握用判别式判断二次函数与x轴交点个数的方法，以及通过配方求二次函数顶点坐标、理解图象平移的规律。
【难度系数】
0.8
（1）要证明二次函数图象与x轴无公共点，可转化为判断对应一元二次方程无实根，只需计算方程的根的判别式，证明判别式恒小于0即可。（2）先将二次函数解析式配方为顶点式，得到原顶点的纵坐标，要使平移后顶点落在x轴上，即平移后顶点纵坐标为0，向下平移的单位长度等于原顶点纵坐标的数值。
【解析】
（1）证明：令$y=0$，可得一元二次方程：$x^2 - 2mx + m^2 + 3 = 0$。
计算根的判别式：$\Delta = (-2m)^2 - 4×1×(m^2 + 3) = 4m^2 - 4m^2 - 12 = -12$。
因为$\Delta = -12 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根，即无论$m$为何值，该函数的图象都与$x$轴没有公共点。
（2）将二次函数解析式配方得：
$y = x^2 - 2mx + m^2 + 3 = (x - m)^2 + 3$，
因此原函数图象的顶点坐标为$(m, 3)$。
要使平移后顶点在$x$轴上，即顶点纵坐标为0，因此需将图象沿$y$轴向下平移3个单位长度，平移后函数解析式为$y=(x - m)^2$，顶点坐标为$(m, 0)$，符合要求。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）3个
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数图象的平移；根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题关键是熟练掌握用判别式判断二次函数与x轴交点个数的方法，以及通过配方求二次函数顶点坐标、理解图象平移的规律。
【难度系数】
0.8
14. 设 $a,b$ 是任意两个实数,定义符号 $\min\{a,b\}$ 的含义为:当 $a ≥ b$ 时,$\min\{a,b\} = b$;当 $a ＜ b$ 时,$\min\{a,b\} = a$.例如:$\min\{1,-2\} = -2$,$\min\{-1,-1\} = -1$.
参照上面的材料,解答下列问题:
(1)$\min\{-5,3\} = \_\_\_\_\_\_$.
(2)若 $\min\{3x+1,-x+5\} = -x+5$,求 $x$ 的取值范围.
(3)①函数 $y=-x^2+2$ 与 $y=x$ 的图象的交点坐标为 ______;
②根据函数 $y=-x^2+2$ 和 $y=x$ 的图象写出当 $x = \_\_\_\_\_\_$ 时,$\min\{x,-x^2+2\}$ 的最大值为 ______.
参照上面的材料,解答下列问题:
(1)$\min\{-5,3\} = \_\_\_\_\_\_$.
(2)若 $\min\{3x+1,-x+5\} = -x+5$,求 $x$ 的取值范围.
(3)①函数 $y=-x^2+2$ 与 $y=x$ 的图象的交点坐标为 ______;
②根据函数 $y=-x^2+2$ 和 $y=x$ 的图象写出当 $x = \_\_\_\_\_\_$ 时,$\min\{x,-x^2+2\}$ 的最大值为 ______.
答案
14. (1) -5 (2) $x≥1$ (3)① $(1,1),(-2,-2)$ ② 1 1
解析
【分析】
(1) 直接根据新定义$\min\{a,b\}$的含义，比较-5和3的大小，取较小值即可；
(2) 根据新定义，若$\min\{3x+1,-x+5\}=-x+5$，说明$3x+1≥ -x+5$，解这个一元一次不等式即可得到x的取值范围；
(3) ①求两个函数的交点坐标，只需联立两个函数的解析式，解方程组即可得到对应的x、y值，即交点坐标；②结合两个函数的图象，分段分析$\min\{x,-x^2+2\}$的取值：在两个交点之间、交点左侧、交点右侧分别判断两个函数的大小，取较小值后分析各段的最大值，即可得到最终结果。
【解析】
(1) $\because -5＜3$，根据$\min\{a,b\}$的定义，得$\min\{-5,3\}=-5$；
(2) 由题意得：当$\min\{3x+1,-x+5\}=-x+5$时，满足$3x+1≥ -x+5$，
移项合并同类项得：$4x≥ 4$，
系数化为1得：$x≥ 1$；
(3) ①联立函数解析式得$\begin{cases}y=-x^2+2 \\ y=x \end{cases}$，
将$y=x$代入$y=-x^2+2$，得$x=-x^2+2$，
整理得$x^2+x-2=0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$，
当$x=1$时，$y=1$；当$x=-2$时，$y=-2$，
$\therefore$ 交点坐标为$(1,1)$、$(-2,-2)$；
②结合函数图象分段分析：
当$x≤ -2$时，$-x^2+2 ＜ x$，故$\min\{x,-x^2+2\}=-x^2+2$，该段函数随x增大而增大，最大值为$x=-2$时的$-2$；
当$-2＜x＜1$时，$x ＜ -x^2+2$，故$\min\{x,-x^2+2\}=x$，该段函数随x增大而增大，最大值接近$x=1$时的$1$；
当$x≥ 1$时，$-x^2+2 ＜ x$，故$\min\{x,-x^2+2\}=-x^2+2$，该段函数随x增大而减小，最大值为$x=1$时的$1$；
综上，当$x=1$时，$\min\{x,-x^2+2\}$的最大值为$1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{x≥ 1}$；(3)① $\boldsymbol{(1,1),(-2,-2)}$；② $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{1}$
【知识点】
新定义运算，函数交点求解，分段函数最值
【点评】
本题结合新定义运算考查了方程、不等式与函数的综合应用，解题的关键是准确理解新定义的含义，灵活运用数形结合的思想分析函数的取值情况，对分段分析问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 直接根据新定义$\min\{a,b\}$的含义，比较-5和3的大小，取较小值即可；
(2) 根据新定义，若$\min\{3x+1,-x+5\}=-x+5$，说明$3x+1≥ -x+5$，解这个一元一次不等式即可得到x的取值范围；
(3) ①求两个函数的交点坐标，只需联立两个函数的解析式，解方程组即可得到对应的x、y值，即交点坐标；②结合两个函数的图象，分段分析$\min\{x,-x^2+2\}$的取值：在两个交点之间、交点左侧、交点右侧分别判断两个函数的大小，取较小值后分析各段的最大值，即可得到最终结果。
【解析】
(1) $\because -5＜3$，根据$\min\{a,b\}$的定义，得$\min\{-5,3\}=-5$；
(2) 由题意得：当$\min\{3x+1,-x+5\}=-x+5$时，满足$3x+1≥ -x+5$，
移项合并同类项得：$4x≥ 4$，
系数化为1得：$x≥ 1$；
(3) ①联立函数解析式得$\begin{cases}y=-x^2+2 \\ y=x \end{cases}$，
将$y=x$代入$y=-x^2+2$，得$x=-x^2+2$，
整理得$x^2+x-2=0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$，
当$x=1$时，$y=1$；当$x=-2$时，$y=-2$，
$\therefore$ 交点坐标为$(1,1)$、$(-2,-2)$；
②结合函数图象分段分析：
当$x≤ -2$时，$-x^2+2 ＜ x$，故$\min\{x,-x^2+2\}=-x^2+2$，该段函数随x增大而增大，最大值为$x=-2$时的$-2$；
当$-2＜x＜1$时，$x ＜ -x^2+2$，故$\min\{x,-x^2+2\}=x$，该段函数随x增大而增大，最大值接近$x=1$时的$1$；
当$x≥ 1$时，$-x^2+2 ＜ x$，故$\min\{x,-x^2+2\}=-x^2+2$，该段函数随x增大而减小，最大值为$x=1$时的$1$；
综上，当$x=1$时，$\min\{x,-x^2+2\}$的最大值为$1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；(2) $\boldsymbol{x≥ 1}$；(3)① $\boldsymbol{(1,1),(-2,-2)}$；② $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{1}$
【知识点】
新定义运算，函数交点求解，分段函数最值
【点评】
本题结合新定义运算考查了方程、不等式与函数的综合应用，解题的关键是准确理解新定义的含义，灵活运用数形结合的思想分析函数的取值情况，对分段分析问题的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
