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2.已知二次函数$y=x^2+2x+m$的部分图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+m=0$的根为(
A.$x_1=3,x_2=1$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x_1=-3,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=-1$
B
).A.$x_1=3,x_2=1$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x_1=-3,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=-1$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定一元二次方程$x^2+2x+m=0$的根，可利用二次函数与一元二次方程的关系：方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。已知图象与x轴的一个交点横坐标为-3，我们可以先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数图象的对称性求出另一个交点的横坐标，即可得到方程的两个根；也可以先将已知交点代入函数解析式求出m的值，再解一元二次方程得到根。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=x^2+2x+m$中，$a=1$，$b=2$，因此对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
由图象可知二次函数与x轴的一个交点为$(-3,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数图象的对称性，两个交点关于对称轴对称，因此：
$\frac{-3+x_2}{2}=-1$
解得$x_2=1$
因此一元二次方程$x^2+2x+m=0$的根为$x_1=-3,x_2=1$。
方法2：先求参数再解方程
将交点$(-3,0)$代入$y=x^2+2x+m$得：
$(-3)^2+2×(-3)+m=0$
$9-6+m=0$，解得$m=-3$
因此原方程为$x^2+2x-3=0$
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=-3,x_2=1$
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，既可以通过图象对称性快速得到结果，也可以通过求参数解方程的方法求解，注重考查函数与方程的转化思想，是该章节的核心考点题型。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$x^2+2x+m=0$的根，可利用二次函数与一元二次方程的关系：方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。已知图象与x轴的一个交点横坐标为-3，我们可以先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数图象的对称性求出另一个交点的横坐标，即可得到方程的两个根；也可以先将已知交点代入函数解析式求出m的值，再解一元二次方程得到根。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=x^2+2x+m$中，$a=1$，$b=2$，因此对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
由图象可知二次函数与x轴的一个交点为$(-3,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数图象的对称性，两个交点关于对称轴对称，因此：
$\frac{-3+x_2}{2}=-1$
解得$x_2=1$
因此一元二次方程$x^2+2x+m=0$的根为$x_1=-3,x_2=1$。
方法2：先求参数再解方程
将交点$(-3,0)$代入$y=x^2+2x+m$得：
$(-3)^2+2×(-3)+m=0$
$9-6+m=0$，解得$m=-3$
因此原方程为$x^2+2x-3=0$
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=-3,x_2=1$
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，既可以通过图象对称性快速得到结果，也可以通过求参数解方程的方法求解，注重考查函数与方程的转化思想，是该章节的核心考点题型。
【难度系数】
0.8
3.如图是二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象，由图象可知不等式$ax^2+bx+c≥0$的解集是(
A.$-1≤ x≤5$
B.$x≤5$
C.$-1＜x＜5$
D.$x＜-1$或$x＞5$
A
).A.$-1≤ x≤5$
B.$x≤5$
C.$-1＜x＜5$
D.$x＜-1$或$x＞5$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决不等式$ax^2+bx+c≥0$的解集，首先明确其几何意义是二次函数图像位于x轴上方（包含与x轴的交点）对应的x的取值范围。解题步骤如下：1. 先从图像中获取对称轴、已知x轴交点的信息；2. 利用二次函数的对称性求出另一个与x轴的交点坐标；3. 结合抛物线开口方向，确定图像在x轴上方对应的x范围即可。
【解析】
由图像可知，二次函数的对称轴为直线$x=2$，且抛物线与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
根据二次函数图像的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$m$，则有$\frac{m+5}{2}=2$，解得$m=2×2 -5=-1$，即另一个交点坐标为$(-1,0)$。
不等式$ax^2+bx+c≥0$对应二次函数图像在x轴上方（含交点）的部分，由于抛物线开口向下，因此对应的x的取值范围是$-1≤x≤5$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题需要结合二次函数的图像性质求解不等式解集，核心是利用对称性求出未知的x轴交点，再结合图像的位置判断x的范围，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要解决不等式$ax^2+bx+c≥0$的解集，首先明确其几何意义是二次函数图像位于x轴上方（包含与x轴的交点）对应的x的取值范围。解题步骤如下：1. 先从图像中获取对称轴、已知x轴交点的信息；2. 利用二次函数的对称性求出另一个与x轴的交点坐标；3. 结合抛物线开口方向，确定图像在x轴上方对应的x范围即可。
【解析】
由图像可知，二次函数的对称轴为直线$x=2$，且抛物线与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
根据二次函数图像的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$m$，则有$\frac{m+5}{2}=2$，解得$m=2×2 -5=-1$，即另一个交点坐标为$(-1,0)$。
不等式$ax^2+bx+c≥0$对应二次函数图像在x轴上方（含交点）的部分，由于抛物线开口向下，因此对应的x的取值范围是$-1≤x≤5$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题需要结合二次函数的图像性质求解不等式解集，核心是利用对称性求出未知的x轴交点，再结合图像的位置判断x的范围，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
4. 如图是二次函数$y_1=ax^2+bx+c$和一次函数$y_2=mx+n$的图象，观察图象，当$y_1 ≤ y_2$时，$x$的取值范围是(
A.$x ≥ 0$
B.$0 ≤ x ≤ 1$
C.$-2 ≤ x ≤ 1$
D.$x ≤ 1$
C
).A.$x ≥ 0$
B.$0 ≤ x ≤ 1$
C.$-2 ≤ x ≤ 1$
D.$x ≤ 1$
答案
4. C
解析
【分析】
解决两个函数比较函数值大小的问题，核心思路是：首先找到两个函数图象的交点，交点处两个函数的y值相等；其次，函数图象位置越高，对应的函数值越大，位置越低对应的函数值越小。本题要找$y_1 ≤ y_2$的x取值范围，只需先确定两个函数交点的横坐标，再找到二次函数$y_1$的图象在一次函数$y_2$图象下方（包含交点）的区域对应的x区间即可。
【解析】
观察图象可得：二次函数$y_1$与一次函数$y_2$的交点横坐标分别为$x=-2$和$x=1$。
当$y_1 ≤ y_2$时，对应二次函数图象不高于一次函数图象的区域，该区域的x取值在两个交点之间，包含端点，即$-2 ≤ x ≤ 1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数值大小的图象判断；二次函数与一次函数交点
【点评】
本题是函数图象的基础应用题型，解题关键是理解函数图象位置和函数值大小的对应关系，能够准确识别交点对应的x取值，是函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解决两个函数比较函数值大小的问题，核心思路是：首先找到两个函数图象的交点，交点处两个函数的y值相等；其次，函数图象位置越高，对应的函数值越大，位置越低对应的函数值越小。本题要找$y_1 ≤ y_2$的x取值范围，只需先确定两个函数交点的横坐标，再找到二次函数$y_1$的图象在一次函数$y_2$图象下方（包含交点）的区域对应的x区间即可。
【解析】
观察图象可得：二次函数$y_1$与一次函数$y_2$的交点横坐标分别为$x=-2$和$x=1$。
当$y_1 ≤ y_2$时，对应二次函数图象不高于一次函数图象的区域，该区域的x取值在两个交点之间，包含端点，即$-2 ≤ x ≤ 1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数值大小的图象判断；二次函数与一次函数交点
【点评】
本题是函数图象的基础应用题型，解题关键是理解函数图象位置和函数值大小的对应关系，能够准确识别交点对应的x取值，是函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
5.下表是二次函数$y=ax^2+bx-2.5$中x与y的部分对应值，则方程$ax^2+bx-2.5=0$的一个根$x_1$的取值范围是(
A.$1＜x_1＜1.1$
B.$1.1＜x_1＜1.2$
C.$1.2＜x_1＜1.3$
D.$1.3＜x_1＜1.4$
C
).A.$1＜x_1＜1.1$
B.$1.1＜x_1＜1.2$
C.$1.2＜x_1＜1.3$
D.$1.3＜x_1＜1.4$
答案
5. C
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx-2.5=0$的根的范围，首先明确方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx-2.5$中$y=0$时对应的$x$值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当相邻两个$x$对应的$y$值一正一负时，说明这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的一个根，我们只需要找到表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx-2.5=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx-2.5$的图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
观察表格中的数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.16＜0$；
当$x=1.3$时，$y=0.165＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$1.2＜x＜1.3$的范围内，必然存在一个$x_1$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx-2.5=0$的一个根$x_1$的取值范围是$1.2＜x_1＜1.3$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化判断对应一元二次方程根的范围，解题关键是理解二次函数图象连续，$y$值正负发生改变的区间内一定存在函数与$x$轴的交点，也就是方程的根，属于二次函数章节的基础考点。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx-2.5=0$的根的范围，首先明确方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx-2.5$中$y=0$时对应的$x$值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当相邻两个$x$对应的$y$值一正一负时，说明这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的一个根，我们只需要找到表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx-2.5=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx-2.5$的图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
观察表格中的数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.16＜0$；
当$x=1.3$时，$y=0.165＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$1.2＜x＜1.3$的范围内，必然存在一个$x_1$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx-2.5=0$的一个根$x_1$的取值范围是$1.2＜x_1＜1.3$。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化判断对应一元二次方程根的范围，解题关键是理解二次函数图象连续，$y$值正负发生改变的区间内一定存在函数与$x$轴的交点，也就是方程的根，属于二次函数章节的基础考点。
【难度系数】
0.8
6.如图,以$(1,-4)$为顶点的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴负半轴交于点$A$,则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是(
A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
C
).A.$2＜x＜3$
B.$3＜x＜4$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
答案
6. C
解析
【分析】
解题首先利用二次函数顶点坐标确定对称轴，再结合图象得到x轴负半轴交点的横坐标范围，最后根据二次函数图象关于对称轴对称的性质，推导得到x轴正半轴交点的横坐标范围，也就是一元二次方程正数解的范围。具体步骤：第一步，由顶点横坐标直接得对称轴为直线x=1；第二步，读图得左交点横坐标范围为-3＜x₁＜-2；第三步，根据两交点关于对称轴对称，即两交点横坐标的平均数等于对称轴横坐标，代入左交点范围计算即可得到右交点的范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(1,-4)$，
∴函数图象的对称轴为直线$x=1$。
观察图象可知，函数与x轴负半轴交点A的横坐标$x_1$满足：$-3 ＜ x_1 ＜ -2$。
设函数与x轴正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数的对称性，两个交点关于对称轴对称，因此有：
$\frac{x_1 + x_2}{2}=1$，整理得$x_2=2 - x_1$。
对$x_1$的范围变形推导$x_2$的范围：
∵$x_1 ＞ -3$，
∴$-x_1 ＜ 3$，则$x_2=2 - x_1 ＜ 2+3=5$；
∵$x_1 ＜ -2$，
∴$-x_1 ＞ 2$，则$x_2=2 - x_1 ＞ 2+2=4$。
综上，$4 ＜ x_2 ＜ 5$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解范围是$4＜x＜5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；范围估算
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，核心是利用对称性将未知的正半轴交点范围和已知的负半轴交点范围关联，解题过程中需要结合图象读取信息，体现了数形结合的数学思想，掌握二次函数对称性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题首先利用二次函数顶点坐标确定对称轴，再结合图象得到x轴负半轴交点的横坐标范围，最后根据二次函数图象关于对称轴对称的性质，推导得到x轴正半轴交点的横坐标范围，也就是一元二次方程正数解的范围。具体步骤：第一步，由顶点横坐标直接得对称轴为直线x=1；第二步，读图得左交点横坐标范围为-3＜x₁＜-2；第三步，根据两交点关于对称轴对称，即两交点横坐标的平均数等于对称轴横坐标，代入左交点范围计算即可得到右交点的范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(1,-4)$，
∴函数图象的对称轴为直线$x=1$。
观察图象可知，函数与x轴负半轴交点A的横坐标$x_1$满足：$-3 ＜ x_1 ＜ -2$。
设函数与x轴正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数的对称性，两个交点关于对称轴对称，因此有：
$\frac{x_1 + x_2}{2}=1$，整理得$x_2=2 - x_1$。
对$x_1$的范围变形推导$x_2$的范围：
∵$x_1 ＞ -3$，
∴$-x_1 ＜ 3$，则$x_2=2 - x_1 ＜ 2+3=5$；
∵$x_1 ＜ -2$，
∴$-x_1 ＞ 2$，则$x_2=2 - x_1 ＞ 2+2=4$。
综上，$4 ＜ x_2 ＜ 5$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解范围是$4＜x＜5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；范围估算
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，核心是利用对称性将未知的正半轴交点范围和已知的负半轴交点范围关联，解题过程中需要结合图象读取信息，体现了数形结合的数学思想，掌握二次函数对称性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.若二次函数$y=kx^2 -7x -7$的图象和x轴有公共点，则k的取值范围是
$k≥-\frac{7}{4}且k≠0$
。答案
7. $k≥-\frac{7}{4}且k≠0$
解析
【分析】
解题时首先要明确题目给出的是二次函数，因此二次项系数不能为0，这是容易忽略的前提条件；其次二次函数图象与x轴有公共点，等价于对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0。先根据判别式列出不等式求解k的范围，再结合二次项系数不为0的条件取交集，即可得到最终取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=kx^2 -7x -7$是二次函数
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 二次函数图象与x轴有公共点
∴ 一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有实数根，根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入得：
$\Delta = (-7)^2 - 4× k× (-7) ≥ 0$
$49 + 28k ≥ 0$
解得$k ≥ -\frac{7}{4}$
结合$k≠0$的条件，可得k的取值范围是$k≥ -\frac{7}{4}且k≠0$
【答案】
$k≥-\frac{7}{4}且k≠0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式的应用
【点评】
本题易错点是遗漏二次函数二次项系数不为0的前提条件，解题时需先明确定义限制，再结合图象与x轴交点和判别式的关系求解，考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目给出的是二次函数，因此二次项系数不能为0，这是容易忽略的前提条件；其次二次函数图象与x轴有公共点，等价于对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0。先根据判别式列出不等式求解k的范围，再结合二次项系数不为0的条件取交集，即可得到最终取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=kx^2 -7x -7$是二次函数
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 二次函数图象与x轴有公共点
∴ 一元二次方程$kx^2 -7x -7=0$有实数根，根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入得：
$\Delta = (-7)^2 - 4× k× (-7) ≥ 0$
$49 + 28k ≥ 0$
解得$k ≥ -\frac{7}{4}$
结合$k≠0$的条件，可得k的取值范围是$k≥ -\frac{7}{4}且k≠0$
【答案】
$k≥-\frac{7}{4}且k≠0$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式的应用
【点评】
本题易错点是遗漏二次函数二次项系数不为0的前提条件，解题时需先明确定义限制，再结合图象与x轴交点和判别式的关系求解，考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
8. 如图，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $(-1,0),(3,0)$ 两点，则下列判断错误的是(
A.图象的对称轴是 $x=1$
B.当 $x＞2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
C.当 $-1＜x＜1$ 时，$y＜0$
D.一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根是 $-1$ 和 $3$
C
).A.图象的对称轴是 $x=1$
B.当 $x＞2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
C.当 $-1＜x＜1$ 时，$y＜0$
D.一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根是 $-1$ 和 $3$
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先结合抛物线与x轴的两个交点坐标推导相关性质，再逐一判断选项：①先利用抛物线与x轴两交点的对称性求对称轴，判断A选项；②结合开口方向判断函数增减性，验证B选项；③根据x轴上方的图像对应y＞0，确定y＞0的x取值范围，判断C选项；④根据二次函数与一元二次方程的对应关系判断D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$两点，逐一分析选项：
1. 对于A选项：抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，A判断正确，不符合题意；
2. 对于B选项：由图像可知抛物线开口向下，在对称轴右侧即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞2$属于$x＞1$的范围，因此$x＞2$时$y$随$x$的增大而减小，B判断正确，不符合题意；
3. 对于C选项：抛物线在x轴上方的部分对应$y＞0$，对应x的取值范围是两个交点之间，即$-1＜x＜3$时$y＞0$，因此$-1＜x＜1$时$y＞0$，C判断错误，符合题意；
4. 对于D选项：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此两个根是$-1$和$3$，D判断正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题围绕二次函数的图像性质展开考查，需要结合图像直观判断函数的相关特征，解题关键是掌握抛物线与x轴交点和对称轴、方程根的对应关系，熟练运用数形结合思想分析问题。
【难度系数】
0.8
解题时先结合抛物线与x轴的两个交点坐标推导相关性质，再逐一判断选项：①先利用抛物线与x轴两交点的对称性求对称轴，判断A选项；②结合开口方向判断函数增减性，验证B选项；③根据x轴上方的图像对应y＞0，确定y＞0的x取值范围，判断C选项；④根据二次函数与一元二次方程的对应关系判断D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$两点，逐一分析选项：
1. 对于A选项：抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$，A判断正确，不符合题意；
2. 对于B选项：由图像可知抛物线开口向下，在对称轴右侧即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞2$属于$x＞1$的范围，因此$x＞2$时$y$随$x$的增大而减小，B判断正确，不符合题意；
3. 对于C选项：抛物线在x轴上方的部分对应$y＞0$，对应x的取值范围是两个交点之间，即$-1＜x＜3$时$y＞0$，因此$-1＜x＜1$时$y＞0$，C判断错误，符合题意；
4. 对于D选项：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此两个根是$-1$和$3$，D判断正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题围绕二次函数的图像性质展开考查，需要结合图像直观判断函数的相关特征，解题关键是掌握抛物线与x轴交点和对称轴、方程根的对应关系，熟练运用数形结合思想分析问题。
【难度系数】
0.8
9.已知函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，那么关于$x$的方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况是(
A.有两个同号不相等的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无实数根
（第9题图）
（第10题图）
A
).A.有两个同号不相等的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无实数根
（第9题图）
（第10题图）
答案
9. A
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，可先将方程变形为$ax^2+bx+c=-2$，此时问题转化为判断二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$的交点情况：先根据抛物线的最小值判断交点个数，再结合抛物线与x轴交点的位置判断交点横坐标的符号，即可得到根的情况。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c+2=0$整理得$ax^2+bx+c=-2$，该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为-2时对应的x的值，即抛物线与直线$y=-2$的交点横坐标。
1. 判断根的个数：由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$开口向上，最小值为-3，因为$-3＜-2$，所以直线$y=-2$与抛物线有2个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根。
2. 判断根的符号：观察图象可得，抛物线与x轴的两个交点都在x轴正半轴，说明当y=0时对应的两个根均为正数；而$y=-2$介于最小值-3和0之间，因此$y=-2$对应的两个x值也都为正数，即两个根同号。
综上，方程有两个同号不相等的实数根，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的关键是将一元二次方程的根的问题转化为二次函数图象与水平直线的交点问题，结合图象的最值、交点位置即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况，可先将方程变形为$ax^2+bx+c=-2$，此时问题转化为判断二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$的交点情况：先根据抛物线的最小值判断交点个数，再结合抛物线与x轴交点的位置判断交点横坐标的符号，即可得到根的情况。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c+2=0$整理得$ax^2+bx+c=-2$，该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为-2时对应的x的值，即抛物线与直线$y=-2$的交点横坐标。
1. 判断根的个数：由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$开口向上，最小值为-3，因为$-3＜-2$，所以直线$y=-2$与抛物线有2个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根。
2. 判断根的符号：观察图象可得，抛物线与x轴的两个交点都在x轴正半轴，说明当y=0时对应的两个根均为正数；而$y=-2$介于最小值-3和0之间，因此$y=-2$对应的两个x值也都为正数，即两个根同号。
综上，方程有两个同号不相等的实数根，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题的关键是将一元二次方程的根的问题转化为二次函数图象与水平直线的交点问题，结合图象的最值、交点位置即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=kx+m$交于$A(-3,y_1),B(1,y_2)$两点,则关于$x$的不等式$ax^2+c≥ -kx+m$的解集是(
A.$x≤ -3$或$x≥1$
B.$x≤ -1$或$x≥3$
C.$-3≤ x≤1$
D.$-1≤ x≤3$
D
).A.$x≤ -3$或$x≥1$
B.$x≤ -1$或$x≥3$
C.$-3≤ x≤1$
D.$-1≤ x≤3$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先明确核心思路：将不等式问题转化为两个函数值大小比较的图象问题。首先回忆抛物线$y=ax^2+c$的性质，其对称轴为y轴，图象关于y轴对称；再观察所求不等式$ax^2 + c ≥ -kx + m$，可理解为抛物线$y=ax^2+c$的函数值大于等于直线$y=-kx+m$的函数值的x范围。已知直线$y=kx+m$与抛物线的交点，利用“$y=kx+m$与$y=-kx+m$关于y轴对称”的性质，结合抛物线的轴对称性，可推出$y=-kx+m$与抛物线的交点坐标，最后根据开口向下的抛物线在直线上方的区域为两交点之间的x取值，即可得到解集。
【解析】
1. 抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，图象关于y轴对称。
2. 不等式$ax^2+c≥ -kx+m$的几何意义是：抛物线$y=ax^2+c$的图象在直线$y=-kx+m$图象上方（含交点）时，对应的$x$的取值范围。
3. 直线$y=-kx+m$是直线$y=kx+m$关于y轴对称的直线，结合抛物线的轴对称性：
已知直线$y=kx+m$与抛物线交于$A(-3,y_1)$、$B(1,y_2)$，则直线$y=-kx+m$与抛物线的交点为$A$关于y轴的对称点$(3,y_1)$，$B$关于y轴的对称点$(-1,y_2)$。
4. 由图可知抛物线开口向下，抛物线在直线上方的区域对应两个交点之间的$x$值，因此解集为$-1≤ x≤ 3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；一次函数的性质
【点评】
本题考查数形结合思想在解函数不等式中的应用，解题的关键是通过函数的对称性找到所求不等式对应的交点坐标，结合图象的上下位置关系即可快速得出解集，避免了复杂的代数计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确核心思路：将不等式问题转化为两个函数值大小比较的图象问题。首先回忆抛物线$y=ax^2+c$的性质，其对称轴为y轴，图象关于y轴对称；再观察所求不等式$ax^2 + c ≥ -kx + m$，可理解为抛物线$y=ax^2+c$的函数值大于等于直线$y=-kx+m$的函数值的x范围。已知直线$y=kx+m$与抛物线的交点，利用“$y=kx+m$与$y=-kx+m$关于y轴对称”的性质，结合抛物线的轴对称性，可推出$y=-kx+m$与抛物线的交点坐标，最后根据开口向下的抛物线在直线上方的区域为两交点之间的x取值，即可得到解集。
【解析】
1. 抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，图象关于y轴对称。
2. 不等式$ax^2+c≥ -kx+m$的几何意义是：抛物线$y=ax^2+c$的图象在直线$y=-kx+m$图象上方（含交点）时，对应的$x$的取值范围。
3. 直线$y=-kx+m$是直线$y=kx+m$关于y轴对称的直线，结合抛物线的轴对称性：
已知直线$y=kx+m$与抛物线交于$A(-3,y_1)$、$B(1,y_2)$，则直线$y=-kx+m$与抛物线的交点为$A$关于y轴的对称点$(3,y_1)$，$B$关于y轴的对称点$(-1,y_2)$。
4. 由图可知抛物线开口向下，抛物线在直线上方的区域对应两个交点之间的$x$值，因此解集为$-1≤ x≤ 3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；一次函数的性质
【点评】
本题考查数形结合思想在解函数不等式中的应用，解题的关键是通过函数的对称性找到所求不等式对应的交点坐标，结合图象的上下位置关系即可快速得出解集，避免了复杂的代数计算。
【难度系数】
0.6
