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一般地,从二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象,可得如下结论:
(1)如果抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴有公共点,公共点的横坐标是 $ x_0 $,那么当 $ x = x_0 $ 时,函数值是
(2)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴的公共点的情况有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,它们分别对应着一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的三种情况:
(1)如果抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴有公共点,公共点的横坐标是 $ x_0 $,那么当 $ x = x_0 $ 时,函数值是
0
,因此 $ x = x_0 $ 是一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个 根
.(2)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴的公共点的情况有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,它们分别对应着一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的三种情况:
没有
实数根, 有两个相等
的实数根, 有两个不相等
的实数根.答案
(1) 0 根 (2) 没有 有两个相等 有两个不相等
解析
【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题思路如下：①对于第(1)问，先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都是0，因此抛物线与x轴公共点的纵坐标为0，代入函数式即可得到对应$x=x_0$时的函数值，再结合一元二次方程根的定义判断$x_0$的属性；②对于第(2)问，直接根据二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，依次匹配三种情况即可。
【解析】
(1)
∵x轴上的点的纵坐标恒为0，抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴公共点的横坐标为$x_0$，即公共点坐标为$(x_0,0)$，
∴当$x=x_0$时，函数值$y=0$，即$ax_0^2+bx_0+c=0$，根据一元二次方程根的定义，$x=x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根。
(2) 根据二次函数与一元二次方程的对应关系：当抛物线与x轴没有公共点时，说明不存在实数x使得$ax^2+bx+c=0$，对应方程没有实数根；当抛物线与x轴有一个公共点时，说明存在唯一的x值满足方程，对应方程有两个相等的实数根；当抛物线与x轴有两个公共点时，说明存在两个不同的x值满足方程，对应方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 0 根 (2) 没有 有两个相等 有两个不相等
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程根的定义；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象与对应一元二次方程之间的转化逻辑，该知识点是解决二次函数与方程、不等式综合题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题思路如下：①对于第(1)问，先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都是0，因此抛物线与x轴公共点的纵坐标为0，代入函数式即可得到对应$x=x_0$时的函数值，再结合一元二次方程根的定义判断$x_0$的属性；②对于第(2)问，直接根据二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，依次匹配三种情况即可。
【解析】
(1)
∵x轴上的点的纵坐标恒为0，抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴公共点的横坐标为$x_0$，即公共点坐标为$(x_0,0)$，
∴当$x=x_0$时，函数值$y=0$，即$ax_0^2+bx_0+c=0$，根据一元二次方程根的定义，$x=x_0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根。
(2) 根据二次函数与一元二次方程的对应关系：当抛物线与x轴没有公共点时，说明不存在实数x使得$ax^2+bx+c=0$，对应方程没有实数根；当抛物线与x轴有一个公共点时，说明存在唯一的x值满足方程，对应方程有两个相等的实数根；当抛物线与x轴有两个公共点时，说明存在两个不同的x值满足方程，对应方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) 0 根 (2) 没有 有两个相等 有两个不相等
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程根的定义；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解二次函数图象与对应一元二次方程之间的转化逻辑，该知识点是解决二次函数与方程、不等式综合题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
•练习1 已知抛物线 $y=x^2 -6x +m$ 与x轴有且只有一个交点，则m的值为
9
。答案
练习1 9
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的关系：抛物线与x轴有且只有一个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式$\Delta=0$。我们只需要从抛物线解析式中提取$a、b、c$的值，代入判别式列方程求解，就能得到$m$的值。
【解析】
已知抛物线$y=x^2 -6x +m$与x轴有且只有一个交点，说明一元二次方程$x^2 -6x +m=0$有两个相等的实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
在抛物线解析式中，$a=1$，$b=-6$，$c=m$，代入判别式可得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1× m = 36 - 4m = 0$
解上述方程，移项得$4m=36$，解得$m=9$。
【答案】
9
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数图像与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练运用判别式列式计算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的关系：抛物线与x轴有且只有一个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式$\Delta=0$。我们只需要从抛物线解析式中提取$a、b、c$的值，代入判别式列方程求解，就能得到$m$的值。
【解析】
已知抛物线$y=x^2 -6x +m$与x轴有且只有一个交点，说明一元二次方程$x^2 -6x +m=0$有两个相等的实数根，因此根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
在抛物线解析式中，$a=1$，$b=-6$，$c=m$，代入判别式可得：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1× m = 36 - 4m = 0$
解上述方程，移项得$4m=36$，解得$m=9$。
【答案】
9
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数图像与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，熟练运用判别式列式计算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
·练习2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx(a＞0)$和直线$y=kx(k＞0)$交于点O和点A，则不等式$ax^2+bx＜kx$的解集为
$0＜x＜3$
。答案
练习2 $0＜x＜3$
解析
【分析】要解不等式$ax^2+bx＜kx$，可利用数形结合思想，将不等式转化为比较两个函数值大小的问题：即找抛物线$y=ax^2+bx$的图象在直线$y=kx$图象下方时对应的x的取值范围。首先确定两个函数的交点横坐标，观察图象可知两个函数都经过原点$O(0,0)$，另一个交点A的横坐标为3，再结合两个交点之间的图象上下位置，就能判断出不等式的解集范围。
【解析】不等式$ax^2+bx ＜ kx$的几何意义是：抛物线$y=ax^2+bx$的函数值小于直线$y=kx$的函数值，对应图象上为抛物线位于直线下方的部分。
由图象可得，抛物线与直线的交点为$O(0,0)$和点A，点A的横坐标为3，即两交点横坐标分别为$x=0$和$x=3$。
观察图象可知：当$0＜x＜3$时，抛物线在直线下方，此时满足$ax^2+bx ＜ kx$。
【答案】$0＜x＜3$
【知识点】二次函数与不等式；函数交点的意义；数形结合思想
【点评】本题是二次函数相关的基础题型，解题核心是理解不等式与函数图象上下位置的对应关系，通过交点坐标结合图象位置即可快速得出结果，重点考查数形结合方法的应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】不等式$ax^2+bx ＜ kx$的几何意义是：抛物线$y=ax^2+bx$的函数值小于直线$y=kx$的函数值，对应图象上为抛物线位于直线下方的部分。
由图象可得，抛物线与直线的交点为$O(0,0)$和点A，点A的横坐标为3，即两交点横坐标分别为$x=0$和$x=3$。
观察图象可知：当$0＜x＜3$时，抛物线在直线下方，此时满足$ax^2+bx ＜ kx$。
【答案】$0＜x＜3$
【知识点】二次函数与不等式；函数交点的意义；数形结合思想
【点评】本题是二次函数相关的基础题型，解题核心是理解不等式与函数图象上下位置的对应关系，通过交点坐标结合图象位置即可快速得出结果，重点考查数形结合方法的应用能力。
【难度系数】0.7
·练习3（教材P47例1变式）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：$h=-5t^2 + 20t$，则当小球飞行时间t为
1或3
时，飞行高度能达到15 m. 答案
练习3 1或3
解析
【分析】
要确定飞行高度达到15m时的飞行时间，已知飞行高度h与飞行时间t的二次函数关系，只需将h=15代入函数解析式，即可将问题转化为求解关于t的一元二次方程，最后结合时间为正数的实际要求筛选解即可。
【解析】
解：当飞行高度h=15m时，将h=15代入$h=-5t^2 + 20t$，可得：
$15=-5t^2+20t$
移项整理得：$5t^2-20t+15=0$
两边同时除以5化简得：$t^2-4t+3=0$
因式分解得：$(t-1)(t-3)=0$
解得：$t_1=1$，$t_2=3$
两个解均为正数，符合飞行时间的实际意义。
【答案】
1或3
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的求解、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用，解题关键是将给定的函数值代入解析式，把函数问题转化为方程问题求解，注意最终解要符合实际情境的要求。
【难度系数】
0.7
要确定飞行高度达到15m时的飞行时间，已知飞行高度h与飞行时间t的二次函数关系，只需将h=15代入函数解析式，即可将问题转化为求解关于t的一元二次方程，最后结合时间为正数的实际要求筛选解即可。
【解析】
解：当飞行高度h=15m时，将h=15代入$h=-5t^2 + 20t$，可得：
$15=-5t^2+20t$
移项整理得：$5t^2-20t+15=0$
两边同时除以5化简得：$t^2-4t+3=0$
因式分解得：$(t-1)(t-3)=0$
解得：$t_1=1$，$t_2=3$
两个解均为正数，符合飞行时间的实际意义。
【答案】
1或3
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的求解、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用，解题关键是将给定的函数值代入解析式，把函数问题转化为方程问题求解，注意最终解要符合实际情境的要求。
【难度系数】
0.7
•练习4 (教材P48例2变式)利用函数图象求一元二次方程$-x^2 + 2x - 3 = -8$的根的近似值(结果精确到0.1).
答案
练习4 图象略.$x_1≈-1.4,x_2≈3.4.$
解析
【分析】
要利用函数图象求解一元二次方程的近似根，首先需将方程转化为对应的函数关系：可以将原方程变形为求二次函数$y=-x^2+2x-3$与直线$y=-8$交点的横坐标，也可移项整理为标准一元二次方程，求对应二次函数与x轴交点的横坐标。接下来先通过计算整数点的函数值确定根所在的整数区间，再在区间内逐步试算十分位的函数值，根据函数值的正负和与目标值的接近程度，确定精确到0.1的近似根。
【解析】
步骤1：转化函数关系
原方程$-x^2 + 2x - 3 = -8$的根，等价于二次函数$y=-x^2+2x-3$的图象与直线$y=-8$交点的横坐标。
步骤2：确定根的大致区间
计算整数点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)-3=-11＜-8$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2×(-1)-3=-6＞-8$，因此第一个根在$-2∼-1$之间。
当$x=3$时，$y=-3^2+2×3-3=-6＞-8$；
当$x=4$时，$y=-4^2+2×4-3=-11＜-8$，因此第二个根在$3∼4$之间。
步骤3：精确到0.1试值判断
① 对$-2∼-1$之间的根：
$x=-1.4$时，$y=-7.76$，与$-8$的差值为$0.24$；
$x=-1.5$时，$y=-8.25$，与$-8$的差值为$0.25$，根更接近$-1.4$，故$x_1\approx-1.4$。
② 对$3∼4$之间的根：
$x=3.4$时，$y=-7.76$，与$-8$的差值为$0.24$；
$x=3.5$时，$y=-8.25$，与$-8$的差值为$0.25$，根更接近$3.4$，故$x_2\approx3.4$。
（图象略）
【答案】
$x_1≈-1.4,x_2≈3.4$
【知识点】
二次函数与方程的关系；图象法求近似根；函数值估算
【点评】
本题考查函数与方程的关联应用，核心是理解方程的根对应函数图象交点的横坐标，通过逐步试值逼近的方法即可得到符合精度要求的解，需要细心计算函数值判断根的区间。
【难度系数】
0.6
要利用函数图象求解一元二次方程的近似根，首先需将方程转化为对应的函数关系：可以将原方程变形为求二次函数$y=-x^2+2x-3$与直线$y=-8$交点的横坐标，也可移项整理为标准一元二次方程，求对应二次函数与x轴交点的横坐标。接下来先通过计算整数点的函数值确定根所在的整数区间，再在区间内逐步试算十分位的函数值，根据函数值的正负和与目标值的接近程度，确定精确到0.1的近似根。
【解析】
步骤1：转化函数关系
原方程$-x^2 + 2x - 3 = -8$的根，等价于二次函数$y=-x^2+2x-3$的图象与直线$y=-8$交点的横坐标。
步骤2：确定根的大致区间
计算整数点的函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)-3=-11＜-8$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2×(-1)-3=-6＞-8$，因此第一个根在$-2∼-1$之间。
当$x=3$时，$y=-3^2+2×3-3=-6＞-8$；
当$x=4$时，$y=-4^2+2×4-3=-11＜-8$，因此第二个根在$3∼4$之间。
步骤3：精确到0.1试值判断
① 对$-2∼-1$之间的根：
$x=-1.4$时，$y=-7.76$，与$-8$的差值为$0.24$；
$x=-1.5$时，$y=-8.25$，与$-8$的差值为$0.25$，根更接近$-1.4$，故$x_1\approx-1.4$。
② 对$3∼4$之间的根：
$x=3.4$时，$y=-7.76$，与$-8$的差值为$0.24$；
$x=3.5$时，$y=-8.25$，与$-8$的差值为$0.25$，根更接近$3.4$，故$x_2\approx3.4$。
（图象略）
【答案】
$x_1≈-1.4,x_2≈3.4$
【知识点】
二次函数与方程的关系；图象法求近似根；函数值估算
【点评】
本题考查函数与方程的关联应用，核心是理解方程的根对应函数图象交点的横坐标，通过逐步试值逼近的方法即可得到符合精度要求的解，需要细心计算函数值判断根的区间。
【难度系数】
0.6
1.下列抛物线中，与$x$轴有两个交点的是(
A.$y=3x^2 -9x +3$
B.$y=2x^2 -4x +12$
C.$y=x^2 -6x +9$
D.$y=5x^2 -3x +9$
A
).A.$y=3x^2 -9x +3$
B.$y=2x^2 -4x +12$
C.$y=x^2 -6x +9$
D.$y=5x^2 -3x +9$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，需用到二次函数对应的一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac：当Δ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=0时，有1个交点；Δ＜0时，没有交点。解题时只需分别提取四个选项中二次函数的a、b、c的值，计算Δ的正负，选出Δ＞0的选项即可。
【解析】
对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），判别式Δ=b²-4ac，其取值与抛物线和x轴交点个数的对应关系为：
①Δ＞0⇔2个交点；②Δ=0⇔1个交点；③Δ＜0⇔0个交点。
逐个计算选项的Δ值：
A选项：a=3，b=-9，c=3，Δ=(-9)² - 4×3×3 = 81 - 36 = 45＞0，符合要求；
B选项：a=2，b=-4，c=12，Δ=(-4)² - 4×2×12 = 16 - 96 = -80＜0，不符合；
C选项：a=1，b=-6，c=9，Δ=(-6)² - 4×1×9 = 36 - 36 = 0，不符合；
D选项：a=5，b=-3，c=9，Δ=(-3)² - 4×5×9 = 9 - 180 = -171＜0，不符合。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数交点判定、根的判别式应用
【点评】
本题是基础题型，核心考察二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，熟练掌握判别式的计算规则和对应结论即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点个数，需用到二次函数对应的一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac：当Δ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=0时，有1个交点；Δ＜0时，没有交点。解题时只需分别提取四个选项中二次函数的a、b、c的值，计算Δ的正负，选出Δ＞0的选项即可。
【解析】
对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），判别式Δ=b²-4ac，其取值与抛物线和x轴交点个数的对应关系为：
①Δ＞0⇔2个交点；②Δ=0⇔1个交点；③Δ＜0⇔0个交点。
逐个计算选项的Δ值：
A选项：a=3，b=-9，c=3，Δ=(-9)² - 4×3×3 = 81 - 36 = 45＞0，符合要求；
B选项：a=2，b=-4，c=12，Δ=(-4)² - 4×2×12 = 16 - 96 = -80＜0，不符合；
C选项：a=1，b=-6，c=9，Δ=(-6)² - 4×1×9 = 36 - 36 = 0，不符合；
D选项：a=5，b=-3，c=9，Δ=(-3)² - 4×5×9 = 9 - 180 = -171＜0，不符合。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数交点判定、根的判别式应用
【点评】
本题是基础题型，核心考察二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，熟练掌握判别式的计算规则和对应结论即可快速得分。
【难度系数】
0.8
