登录
4.已知点$A(4,y_1),B(3,y_2),C(-3,y_3)$均在抛物线$y=-x^2+2x-1$上,则(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
B
).A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
4. B
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先明确抛物线的开口方向和对称轴：该抛物线二次项系数为-1＜0，开口向下，开口向下的抛物线上的点，横坐标离对称轴越近，对应的y值越大。因此解题步骤为：①利用对称轴公式求出抛物线的对称轴；②分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离；③根据距离大小结合开口方向，判断y值的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+2x-1$，其中$a=-1$，$b=2$，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
$\because a=-1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 横坐标到对称轴$x=1$的距离越小，对应的函数值$y$越大，
计算各点横坐标到对称轴的距离：
点A横坐标为4，距离：$|4-1|=3$，
点B横坐标为3，距离：$|3-1|=2$，
点C横坐标为-3，距离：$|-3-1|=4$，
$\because 2＜3＜4$，
$\therefore y_2＞y_1＞y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；对称轴计算；函数值比较
【点评】
本题考查二次函数的性质，无需代入计算每个点的函数值，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小是更简便的方法，掌握开口方向与函数值和对称轴距离的对应关系是解题核心。
【难度系数】
0.7
要比较三个点的函数值大小，首先明确抛物线的开口方向和对称轴：该抛物线二次项系数为-1＜0，开口向下，开口向下的抛物线上的点，横坐标离对称轴越近，对应的y值越大。因此解题步骤为：①利用对称轴公式求出抛物线的对称轴；②分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离；③根据距离大小结合开口方向，判断y值的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+2x-1$，其中$a=-1$，$b=2$，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
$\because a=-1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 横坐标到对称轴$x=1$的距离越小，对应的函数值$y$越大，
计算各点横坐标到对称轴的距离：
点A横坐标为4，距离：$|4-1|=3$，
点B横坐标为3，距离：$|3-1|=2$，
点C横坐标为-3，距离：$|-3-1|=4$，
$\because 2＜3＜4$，
$\therefore y_2＞y_1＞y_3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；对称轴计算；函数值比较
【点评】
本题考查二次函数的性质，无需代入计算每个点的函数值，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小是更简便的方法，掌握开口方向与函数值和对称轴距离的对应关系是解题核心。
【难度系数】
0.7
5.若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过A(1，4)，B(3，4)两点，则抛物线的对称轴为
$x=2$
.答案
5. $x=2$
解析
【分析】
拿到题目先观察已知两点的坐标特征，发现A、B两点的纵坐标均为4，是相等的。结合二次函数的图象是轴对称图形的性质可知，纵坐标相同的两个点一定是抛物线上关于对称轴对称的点，因此对称轴就是两点连线的垂直平分线。由于两点连线平行于x轴，所以它的垂直平分线是垂直于x轴的直线，横坐标为两点横坐标的平均值，据此即可求出对称轴。
【解析】
解：
∵ 点A(1，4)、B(3，4)的纵坐标相等，
∴ A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，
∴ 抛物线的对称轴为直线 $\displaystyle x=\frac{1+3}{2}=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题关键是发现纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称，无需代入解析式计算即可快速求出对称轴，简化了解题过程。
【难度系数】
0.9
拿到题目先观察已知两点的坐标特征，发现A、B两点的纵坐标均为4，是相等的。结合二次函数的图象是轴对称图形的性质可知，纵坐标相同的两个点一定是抛物线上关于对称轴对称的点，因此对称轴就是两点连线的垂直平分线。由于两点连线平行于x轴，所以它的垂直平分线是垂直于x轴的直线，横坐标为两点横坐标的平均值，据此即可求出对称轴。
【解析】
解：
∵ 点A(1，4)、B(3，4)的纵坐标相等，
∴ A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，
∴ 抛物线的对称轴为直线 $\displaystyle x=\frac{1+3}{2}=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题关键是发现纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称，无需代入解析式计算即可快速求出对称轴，简化了解题过程。
【难度系数】
0.9
6.已知抛物线$y=x^2 - 2mx$，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$m$的取值范围是
$m≥1$
。答案
6. $m≥1$
解析
【分析】
拿到本题，首先明确考查二次函数的增减性相关知识，思考步骤如下：1. 先判断抛物线的开口方向：二次项系数a的正负决定开口方向，进而决定增减性的变化规律；2. 利用对称轴公式计算抛物线的对称轴，开口向上的抛物线在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；3. 结合题目给出的“x＜1时y随x增大而减小”的条件，可知x＜1的区间需全部在对称轴左侧（包含对称轴），由此即可推出m的取值范围。
【解析】
对于抛物线$y=x^2 - 2mx$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=-2m$，可得对称轴为直线$x=\frac{2m}{2×1}=m$；
3. 结合增减性分析范围：开口向上的抛物线，在对称轴左侧的区域y随x的增大而减小，已知$x＜1$时y随x的增大而减小，说明$x＜1$的区间全部位于对称轴左侧或与对称轴重合，因此$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先确定开口方向，再结合对称轴判断增减区间的范围，要注意判断等号是否可取，避免因漏写等号出现错误。
【难度系数】
0.7
拿到本题，首先明确考查二次函数的增减性相关知识，思考步骤如下：1. 先判断抛物线的开口方向：二次项系数a的正负决定开口方向，进而决定增减性的变化规律；2. 利用对称轴公式计算抛物线的对称轴，开口向上的抛物线在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；3. 结合题目给出的“x＜1时y随x增大而减小”的条件，可知x＜1的区间需全部在对称轴左侧（包含对称轴），由此即可推出m的取值范围。
【解析】
对于抛物线$y=x^2 - 2mx$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=-2m$，可得对称轴为直线$x=\frac{2m}{2×1}=m$；
3. 结合增减性分析范围：开口向上的抛物线，在对称轴左侧的区域y随x的增大而减小，已知$x＜1$时y随x的增大而减小，说明$x＜1$的区间全部位于对称轴左侧或与对称轴重合，因此$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先确定开口方向，再结合对称轴判断增减区间的范围，要注意判断等号是否可取，避免因漏写等号出现错误。
【难度系数】
0.7
7.将抛物线$C_1:y=x^2+2x-a^2+2a+1$先向右平移$a$个单位长度，再向下平移4个单位长度，若平移后的抛物线与抛物线$C_2:y=x^2+bx+b$重合，则$a,b$的值分别为（
A.$\frac{5}{2},-3$
B.$\frac{5}{2},3$
C.$\frac{1}{2},-3$
D.$\frac{1}{2},3$
A
）。A.$\frac{5}{2},-3$
B.$\frac{5}{2},3$
C.$\frac{1}{2},-3$
D.$\frac{1}{2},3$
答案
7. A
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”。首先需要将抛物线$C_1$的一般式转化为顶点式，方便后续平移操作；再按照题目给出的平移方向和单位长度，得到平移后的抛物线解析式；最后将平移后的解析式化为一般式，与抛物线$C_2$的解析式对比，令对应项系数相等，列方程求解即可得到$a、b$的值。
【解析】
第一步：将抛物线$C_1$的解析式化为顶点式：
$y=x^2+2x-a^2+2a+1=(x^2+2x+1) -a^2+2a=(x+1)^2 -a^2+2a$
第二步：根据平移规则求平移后的抛物线解析式：
向右平移$a$个单位长度，自变量$x$替换为$x-a$，得：$y=(x+1 -a)^2 -a^2+2a$
再向下平移4个单位长度，整体减4，得平移后解析式：
$y=(x+1 -a)^2 -a^2+2a -4$
第三步：将平移后的解析式展开为一般式，与$C_2$对比系数：
展开得：
$\begin{aligned}y&=x^2 + 2(1-a)x + (1-a)^2 -a^2+2a -4\\&=x^2 + 2(1-a)x + 1 -2a +a^2 -a^2 +2a -4\\&=x^2 + 2(1-a)x -3\end{aligned}$
已知平移后抛物线与$C_2:y=x^2+bx+b$重合，因此对应项系数相等：
常数项：$b=-3$
一次项系数：$2(1-a)=b$
将$b=-3$代入一次项系数等式：
$2(1-a)=-3$
解得：$1-a=-\frac{3}{2}$，即$a=\frac{5}{2}$
因此$a=\frac{5}{2}$，$b=-3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数的配方、待定系数法求参数
【点评】
本题重点考查二次函数的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，能够正确进行一般式和顶点式的相互转化是解题的关键，解题时注意平移是针对自变量$x$进行调整，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”。首先需要将抛物线$C_1$的一般式转化为顶点式，方便后续平移操作；再按照题目给出的平移方向和单位长度，得到平移后的抛物线解析式；最后将平移后的解析式化为一般式，与抛物线$C_2$的解析式对比，令对应项系数相等，列方程求解即可得到$a、b$的值。
【解析】
第一步：将抛物线$C_1$的解析式化为顶点式：
$y=x^2+2x-a^2+2a+1=(x^2+2x+1) -a^2+2a=(x+1)^2 -a^2+2a$
第二步：根据平移规则求平移后的抛物线解析式：
向右平移$a$个单位长度，自变量$x$替换为$x-a$，得：$y=(x+1 -a)^2 -a^2+2a$
再向下平移4个单位长度，整体减4，得平移后解析式：
$y=(x+1 -a)^2 -a^2+2a -4$
第三步：将平移后的解析式展开为一般式，与$C_2$对比系数：
展开得：
$\begin{aligned}y&=x^2 + 2(1-a)x + (1-a)^2 -a^2+2a -4\\&=x^2 + 2(1-a)x + 1 -2a +a^2 -a^2 +2a -4\\&=x^2 + 2(1-a)x -3\end{aligned}$
已知平移后抛物线与$C_2:y=x^2+bx+b$重合，因此对应项系数相等：
常数项：$b=-3$
一次项系数：$2(1-a)=b$
将$b=-3$代入一次项系数等式：
$2(1-a)=-3$
解得：$1-a=-\frac{3}{2}$，即$a=\frac{5}{2}$
因此$a=\frac{5}{2}$，$b=-3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数的配方、待定系数法求参数
【点评】
本题重点考查二次函数的平移规律，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，能够正确进行一般式和顶点式的相互转化是解题的关键，解题时注意平移是针对自变量$x$进行调整，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
8.将二次函数$y=x^2 -6x +m^2 +6$（$m$为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得二次函数的图象经过点$(1,5)$，则$m$的值为
$\pm3$
。答案
8. $\pm3$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：① 首先根据二次函数图象平移的“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体值）”法则，对原二次函数的解析式进行平移变换，得到平移后的二次函数解析式；② 已知平移后的函数图象过点(1,5)，将点的坐标代入平移后的解析式，即可得到关于m的方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
先将原二次函数化为顶点式方便平移计算：
$y=x^2 -6x +m^2 +6=(x-3)^2 +m^2 -3$
根据平移规则，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，可得平移后的顶点式：
$y=(x-3+1)^2 +m^2 -3 -2=(x-2)^2 +m^2 -5$
已知平移后的图象经过点$(1,5)$，将$x=1$、$y=5$代入上述解析式：
$5=(1-2)^2 +m^2 -5$
计算得：
$5=1 +m^2 -5$
整理得$m^2=9$，解得$m=\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
二次函数图象平移；函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数平移的基础常考题，核心考查对二次函数平移规则的掌握，以及利用函数图象上点的坐标性质建立方程求解参数的能力，熟练掌握平移计算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：① 首先根据二次函数图象平移的“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体值）”法则，对原二次函数的解析式进行平移变换，得到平移后的二次函数解析式；② 已知平移后的函数图象过点(1,5)，将点的坐标代入平移后的解析式，即可得到关于m的方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
先将原二次函数化为顶点式方便平移计算：
$y=x^2 -6x +m^2 +6=(x-3)^2 +m^2 -3$
根据平移规则，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，可得平移后的顶点式：
$y=(x-3+1)^2 +m^2 -3 -2=(x-2)^2 +m^2 -5$
已知平移后的图象经过点$(1,5)$，将$x=1$、$y=5$代入上述解析式：
$5=(1-2)^2 +m^2 -5$
计算得：
$5=1 +m^2 -5$
整理得$m^2=9$，解得$m=\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
二次函数图象平移；函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数平移的基础常考题，核心考查对二次函数平移规则的掌握，以及利用函数图象上点的坐标性质建立方程求解参数的能力，熟练掌握平移计算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，对称轴为$x=-1$，有下列结论：①$abc＜0$；②$2a+b=0$；③$a-b+c＞0$；④$4a-2b+c＜0$。
其中正确的是
其中正确的是
①④
（填序号）答案
9. ①④
解析
【分析】解题时先从二次函数图象提取信息：先由开口方向确定a的符号，再结合对称轴公式推导b与a的关系、判断b的符号，由图象与y轴交点确定c的符号，再通过代入特殊x值、利用二次函数对称性逐一验证四个结论即可。
【解析】
解：根据二次函数图象性质分析：
1. 确定a、b、c的符号：
① 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
② 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，$\therefore b＞0$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，$\therefore c＜0$。
2. 逐个判断结论：
结论①：$\because a＞0,b＞0,c＜0$，$\therefore abc＜0$，故①正确；
结论②：由$b=2a$得$2a-b=0$，$2a+b=4a＞0$，故②错误；
结论③：当$x=-1$时，函数值$y=a· (-1)^2 +b· (-1)+c=a-b+c$，由图象可知x=-1是抛物线顶点，位于x轴下方，$\therefore a-b+c＜0$，故③错误；
结论④：当$x=-2$时，函数值$y=a· (-2)^2 +b· (-2)+c=4a-2b+c$，$\because$对称轴为$x=-1$，$\therefore x=-2$与$x=0$关于对称轴对称，两点函数值相等，$x=0$时$y=c＜0$，$\therefore 4a-2b+c＜0$，故④正确。
综上，正确的结论是①④。
【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数关系；二次函数对称性
【点评】本题是二次函数图象类的典型题型，需要结合图象特征和函数性质综合分析，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、特殊点函数值的判断规律是解题的核心。
【难度系数】0.6
【解析】
解：根据二次函数图象性质分析：
1. 确定a、b、c的符号：
① 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
② 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，$\therefore b＞0$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，$\therefore c＜0$。
2. 逐个判断结论：
结论①：$\because a＞0,b＞0,c＜0$，$\therefore abc＜0$，故①正确；
结论②：由$b=2a$得$2a-b=0$，$2a+b=4a＞0$，故②错误；
结论③：当$x=-1$时，函数值$y=a· (-1)^2 +b· (-1)+c=a-b+c$，由图象可知x=-1是抛物线顶点，位于x轴下方，$\therefore a-b+c＜0$，故③错误；
结论④：当$x=-2$时，函数值$y=a· (-2)^2 +b· (-2)+c=4a-2b+c$，$\because$对称轴为$x=-1$，$\therefore x=-2$与$x=0$关于对称轴对称，两点函数值相等，$x=0$时$y=c＜0$，$\therefore 4a-2b+c＜0$，故④正确。
综上，正确的结论是①④。
【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数关系；二次函数对称性
【点评】本题是二次函数图象类的典型题型，需要结合图象特征和函数性质综合分析，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、特殊点函数值的判断规律是解题的核心。
【难度系数】0.6
10.如图，抛物线$y = x^2 + bx + c$经过坐标原点，并与$x$轴交于点$A(2,0)$。
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点$B$，且$S_{△ OAB} = 3$，求点$B$的坐标。
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点$B$，且$S_{△ OAB} = 3$，求点$B$的坐标。
答案
10.(1) $y=x^2-2x$.
(2)顶点坐标为$(1,-1)$,对称轴为 $x=1$.
(3)点 $B$ 的坐标为$(3,3)$或$(-1,3)$.
(2)顶点坐标为$(1,-1)$,对称轴为 $x=1$.
(3)点 $B$ 的坐标为$(3,3)$或$(-1,3)$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过原点$(0,0)$和点$A(2,0)$，可采用待定系数法，将两个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于系数$b、c$的方程，求解即可得到函数解析式。
(2) 求顶点坐标与对称轴，可将第一问得到的一般式通过配方法转化为顶点式，直接读出顶点坐标和对称轴，也可利用二次函数顶点坐标公式计算。
(3) $△ OAB$的底$OA$长度为2，三角形的高为点$B$到$x$轴的距离，即点$B$纵坐标的绝对值，先根据面积公式求出纵坐标的取值，再代入函数解析式求横坐标，最后结合二次函数的取值范围舍去不符合题意的解，即可得到点$B$的坐标。
【解析】
(1) 解：$\because$抛物线$y = x^2 + bx + c$过原点$(0,0)$和$A(2,0)$
将$(0,0)$代入解析式得：$0 = 0 + 0 + c$，解得$c=0$
将$c=0$、$A(2,0)$代入解析式得：$0 = 2^2 + 2b + 0$
解得$b=-2$
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = x^2 - 2x$
(2) 解：将解析式配方得：
$y = x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$
$\therefore$顶点坐标为$(1,-1)$，对称轴为直线$x=1$
(3) 解：由题意得$OA=2$，设点$B$的坐标为$(x,y)$
$S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × OA × |y| = \frac{1}{2} × 2 × |y| = |y| = 3$
解得$y=3$或$y=-3$
$\because$抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-1$，即函数最小值为$-1$
$\therefore y=-3$不符合题意，舍去
将$y=3$代入$y = x^2 - 2x$得：
$x^2 - 2x = 3$，整理得$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
$\therefore$点$B$的坐标为$(3,3)$或$(-1,3)$
【答案】
(1) $y=x^2-2x$
(2) 顶点坐标为$(1,-1)$，对称轴为$x=1$
(3) 点$B$的坐标为$(3,3)$或$(-1,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数与几何综合
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，涵盖了解析式求解、顶点与对称轴计算、结合几何面积求点坐标等考点，解题时要注意结合函数的取值范围舍去不符合的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线经过原点$(0,0)$和点$A(2,0)$，可采用待定系数法，将两个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于系数$b、c$的方程，求解即可得到函数解析式。
(2) 求顶点坐标与对称轴，可将第一问得到的一般式通过配方法转化为顶点式，直接读出顶点坐标和对称轴，也可利用二次函数顶点坐标公式计算。
(3) $△ OAB$的底$OA$长度为2，三角形的高为点$B$到$x$轴的距离，即点$B$纵坐标的绝对值，先根据面积公式求出纵坐标的取值，再代入函数解析式求横坐标，最后结合二次函数的取值范围舍去不符合题意的解，即可得到点$B$的坐标。
【解析】
(1) 解：$\because$抛物线$y = x^2 + bx + c$过原点$(0,0)$和$A(2,0)$
将$(0,0)$代入解析式得：$0 = 0 + 0 + c$，解得$c=0$
将$c=0$、$A(2,0)$代入解析式得：$0 = 2^2 + 2b + 0$
解得$b=-2$
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y = x^2 - 2x$
(2) 解：将解析式配方得：
$y = x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$
$\therefore$顶点坐标为$(1,-1)$，对称轴为直线$x=1$
(3) 解：由题意得$OA=2$，设点$B$的坐标为$(x,y)$
$S_{△ OAB} = \frac{1}{2} × OA × |y| = \frac{1}{2} × 2 × |y| = |y| = 3$
解得$y=3$或$y=-3$
$\because$抛物线开口向上，顶点纵坐标为$-1$，即函数最小值为$-1$
$\therefore y=-3$不符合题意，舍去
将$y=3$代入$y = x^2 - 2x$得：
$x^2 - 2x = 3$，整理得$x^2 - 2x - 3 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
$\therefore$点$B$的坐标为$(3,3)$或$(-1,3)$
【答案】
(1) $y=x^2-2x$
(2) 顶点坐标为$(1,-1)$，对称轴为$x=1$
(3) 点$B$的坐标为$(3,3)$或$(-1,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数与几何综合
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，涵盖了解析式求解、顶点与对称轴计算、结合几何面积求点坐标等考点，解题时要注意结合函数的取值范围舍去不符合的解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
11.如图，抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(-1,0)$，点$B(5,0)$，交$y$轴于点$C$.
(1)求$b,c$的值.
(2)若$P(x_0,y_0)(0＜x_0＜5)$是抛物线上的动点.当$x_0$取何值时，$△ PBC$的面积最大？并求出$△ PBC$面积的最大值.
(1)求$b,c$的值.
(2)若$P(x_0,y_0)(0＜x_0＜5)$是抛物线上的动点.当$x_0$取何值时，$△ PBC$的面积最大？并求出$△ PBC$面积的最大值.
答案
11.(1)$b=-4,c=-5$.
(2)当 $x_0=\frac{5}{2}$ 时,$S_{△ PBC}$ 的值最大,最大值为$\frac{125}{8}$.
(2)当 $x_0=\frac{5}{2}$ 时,$S_{△ PBC}$ 的值最大,最大值为$\frac{125}{8}$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线过A、B两个定点，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求得b、c的值。
(2) 先求出点C坐标和直线BC的解析式，利用“铅垂高+水平宽”的方法表示△PBC的面积：过P作x轴垂线交BC于点Q，用x₀表示出PQ的长度，进而将△PBC的面积转化为关于x₀的二次函数，再根据二次函数的性质即可求出面积的最大值及对应的x₀值。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(5,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\25 + 5b + c = 0 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$24+6b=0$，解得$b=-4$，
将$b=-4$代入$1 - b + c = 0$，得$1+4+c=0$，解得$c=-5$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-4x-5$，
令$x=0$，得$y=-5$，即$C(0,-5)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(5,0)$、$C(0,-5)$代入得：
$\begin{cases}5k + m = 0 \\m=-5 \end{cases}$
解得$k=1$，$m=-5$，即直线BC解析式为$y=x-5$。
过点P作$PQ ⊥ x$轴，交BC于点Q，
因为$P(x_0,y_0)$在抛物线上，所以$y_0=x_0^2-4x_0-5$，Q点坐标为$(x_0,x_0-5)$，
当$0＜x_0＜5$时，$PQ=(x_0-5)-(x_0^2-4x_0-5)=-x_0^2+5x_0$，
则$S_{△ PBC}=\frac{1}{2} × PQ × 5=\frac{5}{2}(-x_0^2+5x_0)=-\frac{5}{2}x_0^2+\frac{25}{2}x_0$，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x_0=-\frac{\frac{25}{2}}{2 × (-\frac{5}{2})}=\frac{5}{2}$，
代入得最大面积$S_{max}=-\frac{5}{2} × (\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} × \frac{5}{2}=\frac{125}{8}$。
【答案】
(1) $b=-4,c=-5$；
(2) 当$x_0=\frac{5}{2}$时，$△ PBC$的面积最大，最大值为$\frac{125}{8}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问考查待定系数法的基础应用，第二问的关键是用铅垂高法将三角形面积转化为二次函数，再利用二次函数性质求最值，是二次函数应用的常见题型。
【难度系数】
0.65
(1) 已知抛物线过A、B两个定点，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求得b、c的值。
(2) 先求出点C坐标和直线BC的解析式，利用“铅垂高+水平宽”的方法表示△PBC的面积：过P作x轴垂线交BC于点Q，用x₀表示出PQ的长度，进而将△PBC的面积转化为关于x₀的二次函数，再根据二次函数的性质即可求出面积的最大值及对应的x₀值。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(5,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\25 + 5b + c = 0 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$24+6b=0$，解得$b=-4$，
将$b=-4$代入$1 - b + c = 0$，得$1+4+c=0$，解得$c=-5$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2-4x-5$，
令$x=0$，得$y=-5$，即$C(0,-5)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(5,0)$、$C(0,-5)$代入得：
$\begin{cases}5k + m = 0 \\m=-5 \end{cases}$
解得$k=1$，$m=-5$，即直线BC解析式为$y=x-5$。
过点P作$PQ ⊥ x$轴，交BC于点Q，
因为$P(x_0,y_0)$在抛物线上，所以$y_0=x_0^2-4x_0-5$，Q点坐标为$(x_0,x_0-5)$，
当$0＜x_0＜5$时，$PQ=(x_0-5)-(x_0^2-4x_0-5)=-x_0^2+5x_0$，
则$S_{△ PBC}=\frac{1}{2} × PQ × 5=\frac{5}{2}(-x_0^2+5x_0)=-\frac{5}{2}x_0^2+\frac{25}{2}x_0$，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x_0=-\frac{\frac{25}{2}}{2 × (-\frac{5}{2})}=\frac{5}{2}$，
代入得最大面积$S_{max}=-\frac{5}{2} × (\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} × \frac{5}{2}=\frac{125}{8}$。
【答案】
(1) $b=-4,c=-5$；
(2) 当$x_0=\frac{5}{2}$时，$△ PBC$的面积最大，最大值为$\frac{125}{8}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问考查待定系数法的基础应用，第二问的关键是用铅垂高法将三角形面积转化为二次函数，再利用二次函数性质求最值，是二次函数应用的常见题型。
【难度系数】
0.65
