1. 用“★”规定一种新运算:对于非负实数$a$，$b$，都有$a★b=(a + b)(a - b)$.如果$x★4=9$，那么$x$的平方根为（ ）
A. 5
B. $\pm5$
C. $\sqrt{5}$
D. $\pm\sqrt{5}$

D

2. 若恰有28个连续自然数的算术平方根的整数部分相同(其小数部分不等于0)，则这个相同的整数为______．

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3. 亮点原创·已知 $ n $ 是正整数，$\sqrt{41 - 5n}$ 是整数，则满足条件的 $ n $ 的最大值为 ______。

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4. 已知实数 $a,b,x,y$ 满足 $y + |\sqrt{x} - \sqrt{3}| = 1 - a^2$，$|x - 3| = y - 1 - b^2$，求 $2^{x+y} + 2^{a+b}$ 的平方根。

解：∵​$y + |\sqrt {x} - \sqrt 3| = 1 - a^2$​∴​$y - 1 = -a^2 - |\sqrt {x} - \sqrt 3|$​又​$a^2 \geq 0，$​​$|\sqrt {x} - \sqrt 3| \geq 0$​∴​$y - 1 \leq 0，$​即​$y \leq 1$​同理，由​$|x - 3| = y - 1 - b^2，$​得​$y - 1 \geq 0$​∴​$y \geq 1，$​即​$y = 1$​∴​$-a^2 - |\sqrt {x} - \sqrt 3| = y - 1 = 0，$​​$|x - 3| + b^2 = y - 1 = 0$​∴​$x = 3，$​​$a = b = 0，$​即​$x + y = 4，$​​$a + b = 0$​∴​$2^{x + y} + 2^{a + b} = 2^4 + 2^0 = 17$​∵​$(\pm \sqrt {17})^2 = 17$​∴​$2^{x + y} + 2^{a + b}$​的平方根为​$\pm \sqrt {17}$​

5. 已知$ a $的算术平方根是$ 12.3 $，$ b $的立方根是$-45.6$，$ x $的平方根是$\pm 1.23$，$ y $的立方根是$ 456 $，则$ x $和$ y $分别是 （ ）
A. $ x=\dfrac{a}{100}, y=1000b $
B. $ x=100a, y=-\dfrac{b}{1000} $
C. $ x=\dfrac{a}{100}, y=-\dfrac{b}{1000} $
D. $ x=\dfrac{a}{100}, y=-1000b $

D

6. 已知 $ M $ 是个位数字不为0的两位数，将 $ M $ 的个位数字与十位数字互换后，得到两位数 $ N $。若 $ M - N $ 的立方根是整数，则这样的 $ M $ 共有 ______ 个。

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7. (1) 若$m^2=(-7)^2,n^3=(-3)^3$,求$m+n$的值；
(2) 已知$a$是$-27$的立方根与$\sqrt{16}$的算术平方根之和,$b$是比$\sqrt[3]{-47}$大且最相邻的整数,求$5a+b$的立方根.

解：​$(1)$​∵​$\mathrm {m^2} = (-7)^2，$​​$n^3 = (-3)^3$​∴​$m = \pm 7，$​​$n = -3$​即​$m + n = 7 - 3 = 4$​或​$m + n = -7 - 3 = -10$​则​$m + n$​的值为​$4$​或​$-10$​​$(2) $​由题意，得​$\sqrt {16} = 4$​∴​$a = \sqrt [3]{-27} + \sqrt 4 = -3 + 2 = -1$​∵​$(-4)^3 ＜ -47 ＜ (-3)^3，$​∴​$b = -3$​∴​$5a + b = 5×(-1) + (-3) = -8$​∵​$-8$​的立方根为​$-2，$​∴​$5a + b$​的立方根为​$-2$​

8. 新素养 抽象能力 已知$ a $是$\sqrt{5} - 1$的整数部分，$ b $是$\sqrt{5} - \frac{1}{2}$的小数部分，则$(-a)^{99} + [b - (\sqrt{5} + \frac{1}{2})]^{4}$的值是______。

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9. 化简:$(\sqrt{1-3x})^{2}-|1-x|.$
解:因为$1-3x ≥ 0$,所以$x ≤ \frac{1}{3}$,即$1-x＞0$.所以原式$=1-3x-(1-x)=1-3x-1+x=-2x$.
依照上面的解法,解答下列问题.
(1)化简:$\sqrt{(x-3)^{2}}-(\sqrt{2-x})^{2}$;
(2)已知实数$a,b$在数轴上的对应点如图所示,试化简:$\sqrt{(a-b)^{2}}-\sqrt{(a+b)^{2}}$.

解：​$(1)$​∵​$2 - x \geq 0，$​∴​$x \leq 2，$​即​$x - 3 ＜ 0$​∴原式​$= 3 - x - (2 - x) = 1$​​$ (2) $​由题图，得​$b ＜ 0 ＜ a，$​​$|b| ＞ |a|$​∴​$a - b ＞ 0，$​​$a + b ＜ 0$​∴原式​$= a - b - (-a - b) = 2a$​