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1. [2026六安金安区期中]如图,将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠,则AD是△ABC的高的是 (
D
)答案
由选项D中的折叠方式可知，$∠ ADB = ∠ ADE$，因为$∠ ADB + ∠ ADE = 180°$，所以$∠ ADB = ∠ ADE = 90°$，所以$AD ⊥ BC$，所以AD是$△ ABC$的高.
解析
【分析】
要判断AD是△ABC的高，根据三角形高的定义，只需证明AD垂直于BC即可。折叠的核心性质是折叠前后对应角相等，我们只需逐一分析四个选项的折叠方式，判断哪种能推导出AD与BC的夹角为90°即可得到答案。
【解析】
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等：
观察选项D的折叠方式，∠ADB和∠ADE是折叠前后的对应角，因此$∠ ADB = ∠ ADE$。
又因为点B、D、E、C在同一条直线上，$∠ ADB + ∠ ADE = 180°$，
将$∠ ADB = ∠ ADE$代入可得$2∠ ADB=180°$，解得$∠ ADB = ∠ ADE = 90°$，即$AD ⊥ BC$，符合三角形高的定义。
其余选项的折叠方式均无法推出AD与BC垂直，不符合高的判定要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义；折叠的性质
【点评】
本题结合折叠变换考查三角形高的判定，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征推导垂直关系，属于基础概念的灵活应用类题目。
【难度系数】
0.8
要判断AD是△ABC的高，根据三角形高的定义，只需证明AD垂直于BC即可。折叠的核心性质是折叠前后对应角相等，我们只需逐一分析四个选项的折叠方式，判断哪种能推导出AD与BC的夹角为90°即可得到答案。
【解析】
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等：
观察选项D的折叠方式，∠ADB和∠ADE是折叠前后的对应角，因此$∠ ADB = ∠ ADE$。
又因为点B、D、E、C在同一条直线上，$∠ ADB + ∠ ADE = 180°$，
将$∠ ADB = ∠ ADE$代入可得$2∠ ADB=180°$，解得$∠ ADB = ∠ ADE = 90°$，即$AD ⊥ BC$，符合三角形高的定义。
其余选项的折叠方式均无法推出AD与BC垂直，不符合高的判定要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义；折叠的性质
【点评】
本题结合折叠变换考查三角形高的判定，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征推导垂直关系，属于基础概念的灵活应用类题目。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AD，CE是$△ ABC$的两条高，$AB = 2\ \mathrm{cm}$，$BC = 6\ \mathrm{cm}$，$CE = \frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$，则AD的长为 （
A.$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$
A
）A.$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$
答案
由题意可知，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2}AB · CE$(等面积法)，所以$AD = \frac{AB · CE}{BC} = \frac{2 × \frac{9}{2}}{6} = \frac{3}{2}(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
要求AD的长度，可利用三角形面积的特性求解：同一个三角形的面积可以用不同的底和其对应的高的乘积的一半来计算，两种计算方式得到的面积相等。本题中△ABC以BC为底时对应高是AD，以AB为底时对应高是CE，据此列等式即可求出AD的长度。
【解析】
根据三角形面积公式，△ABC的面积有两种表示方式：
1. 以BC为底，AD为高：$S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · AD$
2. 以AB为底，CE为高：$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · CE$
因为是同一个三角形，面积相等，因此：
$\frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2}AB · CE$
两边约去$\frac{1}{2}$得：$BC · AD = AB · CE$
将$AB = 2\ \mathrm{cm}$，$BC = 6\ \mathrm{cm}$，$CE = \frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$代入上式：
$6×AD = 2×\frac{9}{2}$
化简计算得：$AD = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
A.$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形面积计算、等面积法应用
【点评】
本题是三角形高相关计算的典型基础题，解题关键是明确同一个三角形面积相等，准确匹配底和对应的高建立等式即可求解。
【难度系数】
0.8
要求AD的长度，可利用三角形面积的特性求解：同一个三角形的面积可以用不同的底和其对应的高的乘积的一半来计算，两种计算方式得到的面积相等。本题中△ABC以BC为底时对应高是AD，以AB为底时对应高是CE，据此列等式即可求出AD的长度。
【解析】
根据三角形面积公式，△ABC的面积有两种表示方式：
1. 以BC为底，AD为高：$S_{△ABC} = \frac{1}{2}BC · AD$
2. 以AB为底，CE为高：$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · CE$
因为是同一个三角形，面积相等，因此：
$\frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2}AB · CE$
两边约去$\frac{1}{2}$得：$BC · AD = AB · CE$
将$AB = 2\ \mathrm{cm}$，$BC = 6\ \mathrm{cm}$，$CE = \frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$代入上式：
$6×AD = 2×\frac{9}{2}$
化简计算得：$AD = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
【答案】
A.$\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形面积计算、等面积法应用
【点评】
本题是三角形高相关计算的典型基础题，解题关键是明确同一个三角形面积相等，准确匹配底和对应的高建立等式即可求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，BD，CE是$△ ABC$的高，BD和CE相交于点O.
(1)图中有哪几个直角三角形？
(2)若$∠ 2 = 55°$，$∠ ACB = 65°$，求$∠ 1$，$∠ 3$的度数.
(1)图中有哪几个直角三角形？
(2)若$∠ 2 = 55°$，$∠ ACB = 65°$，求$∠ 1$，$∠ 3$的度数.
答案
解:(1)直角三角形有: $△ BOE, △ BCE, △ ACE, △ BCD, △ COD, △ ABD$.
(2)因为BD是$△ ABC$的高，所以$∠ BDC = 90°$.
又因为$∠ DCB = 65°$,
所以$∠ 1 = 180° - ∠ DCB - ∠ BDC = 180° - 65° - 90° = 25°$.
在$△ BOC$中，$∠ BOC = 180° - ∠ 1 - ∠ 2 = 180° - 25° - 55° = 100°$,所以$∠ 3 = ∠ BOC = 100°$.
(2)因为BD是$△ ABC$的高，所以$∠ BDC = 90°$.
又因为$∠ DCB = 65°$,
所以$∠ 1 = 180° - ∠ DCB - ∠ BDC = 180° - 65° - 90° = 25°$.
在$△ BOC$中，$∠ BOC = 180° - ∠ 1 - ∠ 2 = 180° - 25° - 55° = 100°$,所以$∠ 3 = ∠ BOC = 100°$.
解析
【分析】
(1) 判定直角三角形的核心是找有一个内角为直角的三角形，已知BD、CE是△ABC的高，可得BD⊥AC、CE⊥AB，即∠BEC、∠AEC、∠ADB、∠CDB都是直角，按顺序梳理包含这些直角的三角形即可，避免漏数。
(2) 求∠1时，先根据高的性质得到△BCD中∠BDC=90°，再结合已知的∠ACB=65°，利用三角形内角和为180°即可算出∠1的度数；求∠3时，先在△BOC中利用三角形内角和，结合算出的∠1和已知的∠2求出∠BOC的度数，再根据对顶角相等的性质得到∠3的度数。
【解析】
(1) 根据直角三角形的定义，结合BD、CE为△ABC的高，可得直角三角形有：$△ BOE, △ BCE, △ ACE, △ BCD, △ COD, △ ABD$。
(2) 因为BD是$△ ABC$的高，所以$∠ BDC = 90°$。
在$△ BCD$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ 1 = 180° - ∠ ACB - ∠ BDC = 180° - 65° - 90° = 25°$。
在$△ BOC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOC = 180° - ∠ 1 - ∠ 2 = 180° - 25° - 55° = 100°$，
因为$∠ 3$和$∠ BOC$是对顶角，所以$∠ 3 = ∠ BOC = 100°$。
【答案】
(1) 直角三角形：$△ BOE, △ BCE, △ ACE, △ BCD, △ COD, △ ABD$；
(2) $∠ 1=25°$，$∠ 3=100°$。
【知识点】
直角三角形的判定，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题围绕三角形的高的性质展开考查，属于基础题型，解题时要注意利用高的定义得到直角，再结合角度关系计算，找直角三角形时按固定顺序梳理可避免漏数。
【难度系数】
0.7
(1) 判定直角三角形的核心是找有一个内角为直角的三角形，已知BD、CE是△ABC的高，可得BD⊥AC、CE⊥AB，即∠BEC、∠AEC、∠ADB、∠CDB都是直角，按顺序梳理包含这些直角的三角形即可，避免漏数。
(2) 求∠1时，先根据高的性质得到△BCD中∠BDC=90°，再结合已知的∠ACB=65°，利用三角形内角和为180°即可算出∠1的度数；求∠3时，先在△BOC中利用三角形内角和，结合算出的∠1和已知的∠2求出∠BOC的度数，再根据对顶角相等的性质得到∠3的度数。
【解析】
(1) 根据直角三角形的定义，结合BD、CE为△ABC的高，可得直角三角形有：$△ BOE, △ BCE, △ ACE, △ BCD, △ COD, △ ABD$。
(2) 因为BD是$△ ABC$的高，所以$∠ BDC = 90°$。
在$△ BCD$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ 1 = 180° - ∠ ACB - ∠ BDC = 180° - 65° - 90° = 25°$。
在$△ BOC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BOC = 180° - ∠ 1 - ∠ 2 = 180° - 25° - 55° = 100°$，
因为$∠ 3$和$∠ BOC$是对顶角，所以$∠ 3 = ∠ BOC = 100°$。
【答案】
(1) 直角三角形：$△ BOE, △ BCE, △ ACE, △ BCD, △ COD, △ ABD$；
(2) $∠ 1=25°$，$∠ 3=100°$。
【知识点】
直角三角形的判定，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题围绕三角形的高的性质展开考查，属于基础题型，解题时要注意利用高的定义得到直角，再结合角度关系计算，找直角三角形时按固定顺序梳理可避免漏数。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ 3 = ∠ 4$，下列结论错误的是（
A.$BD$ 是$△ ABC$的角平分线
B.$CE$ 是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3 = \dfrac{1}{2}∠ ACB$
D.$CE$ 是$△ ABC$的角平分线
D
）A.$BD$ 是$△ ABC$的角平分线
B.$CE$ 是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3 = \dfrac{1}{2}∠ ACB$
D.$CE$ 是$△ ABC$的角平分线
答案
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 由此可知BD是$△ ABC$的角平分线，CE是$△ BCD$的角平分线. 因为$∠ 3 = ∠ 4$，$∠ 3 + ∠ 4 = ∠ ACB$，所以$∠ 3 = \frac{1}{2}∠ ACB$. 综上，选项A，B，C正确，选项D错误.
解析
【分析】
解题时首先明确三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐一验证每个选项是否符合三角形角平分线的定义，以及角的数量关系是否成立，最终选出错误的结论。
【解析】
结合三角形角平分线的定义逐一分析选项：
1. 分析选项A：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且点D在△ABC的边AC上，符合三角形角平分线的定义，因此BD是△ABC的角平分线，A结论正确。
2. 分析选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且点E在△BCD的边BD上，符合三角形角平分线的定义，因此CE是△BCD的角平分线，B结论正确。
3. 分析选项C：由图可知∠3+∠4=∠ACB，又因为∠3=∠4，因此2∠3=∠ACB，即$∠ 3 = \dfrac{1}{2}∠ ACB$，C结论正确。
4. 分析选项D：三角形的角平分线的端点必须是三角形的顶点和对边上的点，CE的端点E在BD上，不在△ABC的边AB上，且CE仅平分∠BCD，没有平分整个∠ACB，因此CE不是△ABC的角平分线，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题侧重考查对三角形角平分线概念的辨析，解题时要注意三角形的角平分线是线段，需同时满足“平分对应内角”“端点为角的顶点和该三角形对边上的点”两个条件，注意区分不同三角形对应的角平分线，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三角形角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐一验证每个选项是否符合三角形角平分线的定义，以及角的数量关系是否成立，最终选出错误的结论。
【解析】
结合三角形角平分线的定义逐一分析选项：
1. 分析选项A：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且点D在△ABC的边AC上，符合三角形角平分线的定义，因此BD是△ABC的角平分线，A结论正确。
2. 分析选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且点E在△BCD的边BD上，符合三角形角平分线的定义，因此CE是△BCD的角平分线，B结论正确。
3. 分析选项C：由图可知∠3+∠4=∠ACB，又因为∠3=∠4，因此2∠3=∠ACB，即$∠ 3 = \dfrac{1}{2}∠ ACB$，C结论正确。
4. 分析选项D：三角形的角平分线的端点必须是三角形的顶点和对边上的点，CE的端点E在BD上，不在△ABC的边AB上，且CE仅平分∠BCD，没有平分整个∠ACB，因此CE不是△ABC的角平分线，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题侧重考查对三角形角平分线概念的辨析，解题时要注意三角形的角平分线是线段，需同时满足“平分对应内角”“端点为角的顶点和该三角形对边上的点”两个条件，注意区分不同三角形对应的角平分线，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
5. [2026蚌埠期中] 如图，$DE // BC$，$CD$ 平分 $∠ ACB$。若 $∠ ACB = 58°$，则 $∠ EDC =$
29°
。答案
29° 因为CD平分$∠ ACB$，$∠ ACB = 58°$，所以$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ ACB = 29°$. 因为$DE // BC$，所以$∠ EDC = ∠ BCD = 29°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到CD是∠ACB的角平分线，可先利用角平分线的性质求出∠BCD的度数；再结合DE//BC的条件，根据平行线的内错角相等的性质，可得到∠EDC与∠BCD相等，进而求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵ CD平分∠ACB，∠ACB=58°，
∴ ∠BCD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×58° = 29°，
又
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠BCD = 29°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
29°
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质，准确找到角与角之间的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手：首先看到CD是∠ACB的角平分线，可先利用角平分线的性质求出∠BCD的度数；再结合DE//BC的条件，根据平行线的内错角相等的性质，可得到∠EDC与∠BCD相等，进而求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵ CD平分∠ACB，∠ACB=58°，
∴ ∠BCD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×58° = 29°，
又
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠BCD = 29°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
29°
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质，准确找到角与角之间的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.9
6. [2026合肥四十二中期末]如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,BE平分$∠ ABC$交AC边于点E,$∠ BAC = 55°$, $∠ ABE = 25°$,则$∠ CAD$的度数是
15°
.答案
15° 因为BE平分$∠ ABC$，所以$∠ ABD = 2∠ ABE = 50°$. 因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADB = 90°$,所以$∠ BAD = 180° - ∠ ABD - ∠ ADB = 40°$(三角形内角和定理),所以$∠ CAD = ∠ BAC - ∠ BAD = 55° - 40° = 15°$.
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：首先根据BE是∠ABC的角平分线，结合已知的∠ABE度数，先求出∠ABC的总度数；再利用AD是BC边上的高的性质，得到∠ADB为90°，在△ABD中用三角形内角和定理算出∠BAD的度数；最后用已知的∠BAC减去∠BAD，就能得到所求的∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ABE=25°，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=180°-90°-50°=40°，
又
∵∠BAC=55°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=55°-40°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
角平分线的定义，三角形高的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，核心是梳理清楚三角形中角平分线、高对应的角度关系，结合内角和定理逐步推导即可求解，对逻辑推导能力要求较低。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以按以下思路推导：首先根据BE是∠ABC的角平分线，结合已知的∠ABE度数，先求出∠ABC的总度数；再利用AD是BC边上的高的性质，得到∠ADB为90°，在△ABD中用三角形内角和定理算出∠BAD的度数；最后用已知的∠BAC减去∠BAD，就能得到所求的∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ABE=25°，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=180°-90°-50°=40°，
又
∵∠BAC=55°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=55°-40°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
角平分线的定义，三角形高的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，核心是梳理清楚三角形中角平分线、高对应的角度关系，结合内角和定理逐步推导即可求解，对逻辑推导能力要求较低。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC的中点,G为BC上任意一点,则线段DE,BE,EG,FG中是$△ ABC$的中线的是 (
A.线段DE
B.线段BE
C.线段EG
D.线段FG
B
)A.线段DE
B.线段BE
C.线段EG
D.线段FG
答案
B
解析
【分析】
首先明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。解题时只需逐一判断各选项中的线段是否满足“一个端点是三角形的顶点，另一个端点是该顶点对边的中点”这两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形中线的定义逐一判断：
选项A：线段DE的两个端点分别是AB边中点D和AC边中点E，不符合中线的端点要求，它是△ABC的中位线，不是中线；
选项B：线段BE的端点B是△ABC的顶点，另一个端点E是B的对边AC的中点，完全符合三角形中线的定义，是△ABC的中线；
选项C：线段EG的端点G是BC上任意一点，不是△ABC的顶点，不符合中线定义；
选项D：线段FG的两个端点均不满足中线的端点要求，不是△ABC的中线。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对三角形中线定义的理解和识别，解题时只要紧扣中线的端点特征就能快速作答，注意不要和三角形中位线的概念混淆。
【难度系数】
0.8
首先明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。解题时只需逐一判断各选项中的线段是否满足“一个端点是三角形的顶点，另一个端点是该顶点对边的中点”这两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形中线的定义逐一判断：
选项A：线段DE的两个端点分别是AB边中点D和AC边中点E，不符合中线的端点要求，它是△ABC的中位线，不是中线；
选项B：线段BE的端点B是△ABC的顶点，另一个端点E是B的对边AC的中点，完全符合三角形中线的定义，是△ABC的中线；
选项C：线段EG的端点G是BC上任意一点，不是△ABC的顶点，不符合中线定义；
选项D：线段FG的两个端点均不满足中线的端点要求，不是△ABC的中线。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对三角形中线定义的理解和识别，解题时只要紧扣中线的端点特征就能快速作答，注意不要和三角形中位线的概念混淆。
【难度系数】
0.8
8. 教材P70T1变式 如图,已知点P是△ABC的重心,连接AP并延长,交BC于点D.若△ABC的面积为20,则△ADC的面积为
10
.答案
10 因为点P是$△ ABC$的重心，所以AD是$△ ABC$的中线，所以$△ ADC$的面积等于$△ ABC$面积的一半(三角形的中线等分三角形的面积). 又因为$△ ABC$的面积为20，所以$△ ADC$的面积为10.
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中“P是△ABC的重心”这一关键条件：第一步，根据重心的定义，三角形的重心是三条中线的交点，可推出AD是BC边上的中线；第二步，回忆三角形中线的面积性质：三角形的中线将三角形分为两个等底同高的小三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半；第三步，代入已知的△ABC的面积计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的BC边上的中线，即BD=DC，
△ADC与△ABD等底（DC=BD）、同高（点A到BC边的垂线段长度），因此二者面积相等，均为△ABC面积的一半，
∴$S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=20$，代入得$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形重心的性质；三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形重心和中线的相关性质，熟练掌握核心性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题干中“P是△ABC的重心”这一关键条件：第一步，根据重心的定义，三角形的重心是三条中线的交点，可推出AD是BC边上的中线；第二步，回忆三角形中线的面积性质：三角形的中线将三角形分为两个等底同高的小三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半；第三步，代入已知的△ABC的面积计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的BC边上的中线，即BD=DC，
△ADC与△ABD等底（DC=BD）、同高（点A到BC边的垂线段长度），因此二者面积相等，均为△ABC面积的一半，
∴$S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=20$，代入得$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形重心的性质；三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形重心和中线的相关性质，熟练掌握核心性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 教材 P72T4 变式 [2026 安庆期中]如图,已知 BD 是$△ ABC$的中线,$AB=7,BC=3$,且$△ ABD$的周长为 15,则$△ BCD$的周长是
11
.答案
11 因为BD是$△ ABC$的中线，所以$AD = CD$. 因为$△ ABD$的周长为15，所以$AB + BD + AD = 15$. 又因为$AB = 7$，$BC = 3$，所以$△ BCD$的周长$= CD + BD + BC = AD + BD + BC = 15 - AB + BC = 15 - 7 + 3 = 11$.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此可得AD=CD。观察△ABD和△BCD的周长组成，两个三角形有公共边BD，且AD=CD，因此两个三角形的周长差等于AB与BC的长度差。已知△ABD的周长，结合已知的AB、BC的长度，通过等量代换即可求出△BCD的周长。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线，
∴AD = CD。
∵△ABD的周长为15，
∴AB + BD + AD = 15。
已知AB=7，BC=3，
则△BCD的周长 = CD + BD + BC
= AD + BD + BC
= (AB + BD + AD) - AB + BC
= 15 - 7 + 3
= 11。
【答案】
11
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础题，解题的核心是利用三角形中线的性质得到相等线段，再通过周长表达式的对比找到公共部分，利用等量代换简化计算，避免了求解未知线段长度，提升了解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此可得AD=CD。观察△ABD和△BCD的周长组成，两个三角形有公共边BD，且AD=CD，因此两个三角形的周长差等于AB与BC的长度差。已知△ABD的周长，结合已知的AB、BC的长度，通过等量代换即可求出△BCD的周长。
【解析】
解：
∵BD是△ABC的中线，
∴AD = CD。
∵△ABD的周长为15，
∴AB + BD + AD = 15。
已知AB=7，BC=3，
则△BCD的周长 = CD + BD + BC
= AD + BD + BC
= (AB + BD + AD) - AB + BC
= 15 - 7 + 3
= 11。
【答案】
11
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础题，解题的核心是利用三角形中线的性质得到相等线段，再通过周长表达式的对比找到公共部分，利用等量代换简化计算，避免了求解未知线段长度，提升了解题效率。
【难度系数】
0.8
