10. [2025六安期末]如图所示,在△ABC中,∠ACB是钝角,若点C在射线BD上向右移动,则△ABC的形状依次变为 ()


A.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形
B.钝角三角形→锐角三角形
C.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形

D

【分析】
解题时首先明确三角形按角分类的判定标准：有一个角是钝角的是钝角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形。结合点C向右移动的过程，逐段分析△ABC中最大内角的类型变化即可判断三角形形状的变化顺序：初始状态∠ACB为钝角，后续随C右移，∠ACB逐渐减小，而∠BAC逐渐增大，依次观察不同阶段最大角的类型即可。
【解析】
初始状态：题目明确∠ACB是钝角，此时△ABC为钝角三角形；
①点C向右移动，∠ACB逐渐减小，当∠ACB=90°时，△ABC是直角三角形；
②继续右移，∠ACB＜90°，此时∠BAC、∠B均为锐角，三个内角都是锐角，△ABC为锐角三角形；
③继续右移，∠BAC逐渐增大，当∠BAC=90°时，△ABC再次为直角三角形；
④继续右移，∠BAC＞90°，此时△ABC为钝角三角形。
因此形状变化依次为：钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形按角分类；三角形内角和定理；动态角度分析
【点评】
本题结合动点场景考查三角形的分类，解题核心是跟踪动点运动过程中最大内角的类型变化，需要具备一定的动态空间想象能力，避免遗漏后续∠BAC变为直角、钝角的阶段。
【难度系数】
0.6

11. [2026滁州期中] 如图，$∠ C = ∠ A = 90°$，$∠ B = 25°$，则$∠ D$的度数是 （）

A.$55°$
B.$35°$
C.$25°$
D.$20°$

记AD和BC相交于点O,在$△OAB$中,$∠AOB=180°-∠A-∠B=65°$,所以$∠COD=∠AOB=65°$(对顶角相等),在$△COD$中,$∠D=180°-∠C-∠COD=25°$.(此题图为8字模型,结论:$∠C+∠D=∠A+∠B$)

【分析】
解题时首先观察图形特征，BC与AD相交形成一组对顶角，已知△OAB和△OCD都是直角三角形。我们可以先借助三角形内角和定理求出△OAB中对顶角∠AOB的度数，再利用对顶角相等得到∠COD的度数，最后在△OCD中再次运用三角形内角和定理即可求出∠D的度数；也可直接利用对顶三角形（8字模型）的结论快速推导。
【解析】
记AD和BC的交点为点O。
在$△ OAB$中，$∠ A=90°$，$∠ B=25°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-90°-25°=65°$
根据对顶角相等，得$∠ COD=∠ AOB=65°$
在$△ COD$中，$∠ C=90°$，再根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ D=180°-∠ C-∠ COD=180°-90°-65°=25°$
（也可利用8字模型结论$∠ C+∠ D=∠ A+∠ B$，代入$∠ C=∠ A=90°$，直接得$∠ D=∠ B=25°$）
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；8字模型
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查三角形内角和定理与对顶角性质的结合应用，也可通过常见的“8字模型”快速得到结果，解题时要注意挖掘图形中对顶角相等等隐含条件，简化计算过程。
【难度系数】
0.8

12. [2026合肥三十八中期中]如图,经测量,B处在A处的南偏西$60°$的方向,C处在A处的南偏东$20°$的方向,BE为正北方向,且$∠ CBE=100°$,则$∠ C$的度数是.

因为B处在A处的南偏西60°的方向,C处在A处的南偏东20°的方向,$AD// BE$,所以$∠ABE=∠DAB=60°$,$∠DAC=20°$,所以$∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°$.
因为$∠CBE=100°$,所以$∠ABC=∠CBE-∠ABE=100°-60°=40°$,所以$∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-80°=60°$.

【分析】
解题时首先观察图形可知BE与AD均为南北方向线，二者互相平行，可利用平行线的内错角相等求出∠ABE的度数；再根据B、C两处相对于A处的方向角，计算出∠BAC的度数；接着结合已知的∠CBE的度数，求出△ABC中∠ABC的度数；最后根据三角形内角和为180°，即可求出∠C的度数。
【解析】
因为B处在A处的南偏西$60°$的方向，C处在A处的南偏东$20°$的方向，且$AD// BE$（南北方向线互相平行），所以$∠ ABE=∠ DAB=60°$，$∠ DAC=20°$，因此$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=60°+20°=80°$。
又因为$∠ CBE=100°$，所以$∠ ABC=∠ CBE-∠ ABE=100°-60°=40°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C=180°-∠ ABC-∠ BAC=180°-40°-80°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
方向角的识别，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际方向角场景考查几何角度计算，解题关键是准确理解方向角的含义，结合平行线性质推导三角形的内角，再利用内角和定理求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7

13. 易错题 [2025淮南期末] 当三角形中一个内角β是另外一个内角α的$\frac{1}{2}$时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α称为“友好角”。如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角”α的度数为。

题中没有明确三角形中哪一个内角是54°,故需分$α=54°,β=54°$,$α$和$β$都不等于54°这三种情况讨论.①当$α=54°$时,“友好角”$α=54°$;②当$β=54°$时,$\frac{1}{2}α=β=54°$,解得$α=108°$,此时$α+β=162°＜180°$,符合题意;③当$α$和$β$都不等于54°时,$α+β+54°=180°$,即$α+\frac{1}{2}α+54°=180°$,解得$α=84°$.综上所述,“友好角”$α$的度数为54°或108°或84°.

【分析】
首先理解“友好三角形”的定义：三角形中一个内角β是另一个内角α的$\frac{1}{2}$，α为“友好角”。题目仅说明三角形有一个内角为54°，未明确该角对应的是α、β还是第三个内角，因此需要分三类情况讨论，每类情况结合三角形内角和为180°求解，最后验证结果是否符合三角形内角的要求。
【解析】
根据题意分三种情况讨论：
① 当54°的角为“友好角”α时，直接得$α=54°$；
② 当54°的角为β时，由$β=\frac{1}{2}α$，得$\frac{1}{2}α=54°$，解得$α=108°$，此时$α+β=108°+54°=162°＜180°$，符合三角形内角和要求；
③ 当54°的角既不是α也不是β时，根据三角形内角和为180°，得$α+β+54°=180°$，将$β=\frac{1}{2}α$代入得：$α+\frac{1}{2}α+54°=180°$，解得$α=84°$，此时$α+β=84°+42°=126°＜180°$，符合要求。
【答案】
$54°$或$108°$或$84°$
【知识点】
三角形内角和定理，新定义问题，分类讨论思想
【点评】
本题是新定义类题型，核心考查三角形内角和的应用，易错点是容易忽略已知角的不确定性，漏分类情况，求解后要注意验证结果是否满足三角形内角和为$180°$，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.6

14. 教材P68T3变式 如图,已知在$△ ABC$中,$∠ ABC = ∠ C, BD ⊥ AC$于点$D$.
(1)若$∠ ABD = 40°$,求$∠ C$的度数;
(2)若$∠ DBC = α$,求$∠ A$的度数.(用含$α$的式子表示)

解:(1)因为$BD⊥AC$,所以$∠ADB=90°$.
又因为$∠ABD=40°$,
所以$∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-40°-90°=50°$,
所以$∠C=∠ABC=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$.
(2)因为$BD⊥AC$,所以$∠CDB=90°$.
又因为$∠DBC=α$,所以$∠C=180°-∠DBC-∠CDB=90°-α$,
所以$∠ABC=∠C=90°-α$,
所以$∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-2(90°-α)=2α$.

【分析】
本题结合等腰三角形和直角三角形的角的性质求解角度，解题思路如下：
(1) 首先由$BD⊥AC$得到直角$△ ABD$中$∠ ADB=90°$，结合已知$∠ ABD=40°$，利用三角形内角和先求出$∠ A$的度数；再根据$△ ABC$中$∠ ABC=∠ C$，即$△ ABC$为等腰三角形，两底角相等，再次利用三角形内角和即可求出底角$∠ C$的度数。
(2) 先由$BD⊥AC$得到直角$△ BDC$中$∠ CDB=90°$，结合$∠ DBC=α$，先求出$∠ C$的度数；再利用等腰三角形两底角相等得到$∠ ABC=∠ C$，最后用三角形内角和求出顶角$∠ A$的度数即可。
【解析】
(1) 因为$BD⊥AC$，所以$∠ADB=90°$。
又因为$∠ABD=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-40°-90°=50°$，
因为在$△ABC$中，$∠ABC = ∠C$，所以：
$∠C=∠ABC=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
(2) 因为$BD⊥AC$，所以$∠CDB=90°$。
又因为$∠DBC = α$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠C=180°-∠DBC-∠CDB=90°-α$，
因为$∠ABC=∠C=90°-α$，所以：
$∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-2(90°-α)=2α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{65°}$；(2) $\boldsymbol{2α}$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形两底角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角的关系的基础应用题，解题的核心是灵活运用垂直的性质得到直角，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理逐步推导所求角度，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

15. 》应用意识 》教材P89T1变式 如图1，这是一个五角星形，求∠A + ∠B + ∠ACE + ∠ADB + ∠E的度数时，我们可以连接CD，根据三角形内角和定理，易得∠B + ∠E = ∠ECD + ∠BDC，这样就把∠A，∠B，∠ACE，∠ADB，∠E的和转化到了同一个三角形(△ACD)中，即∠A + ∠B + ∠ACE + ∠ADB + ∠E = 180°。
尝试练习：
(1)如图2，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数等于；
(2)如图3，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数等于；
(3)如图4，求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数.(提示:四边形的内角和等于360°)

解:(1)$180°$
(2)$180°$
(3)如图,连接BC,根据三角形内角和定理,得$∠E+∠F=∠EBC+∠FCB$,
则$∠A+∠ABE+∠FCD+∠D+∠E+∠F=∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°$.

【分析】
本题采用转化思想求解：(1)图2与五角星结构类似，可仿照题干方法作辅助线，将分散的5个角转化到同一个三角形中，利用三角形内角和为180°计算；(2)图3同样利用对顶角相等和三角形内角和，将∠B、∠E转化为和∠C、∠D相关的角，凑入同一个三角形求和；(3)图4根据提示连接BC，利用三角形内角和将∠E、∠F转化为BC边上的两个角，从而将6个角的和转化为四边形的内角和，结合四边形内角和为360°计算即可。
【解析】
(1) 如图2，连接CD，设BD、CE交于点O。在△BOE和△COD中，∠BOE=∠COD（对顶角相等），由三角形内角和定理可得∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，因此∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = ∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°。
(2) 如图3，设BD、CE交于点O，连接CD，同理可得∠B+∠E=∠OCD+∠ODC，因此∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = ∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°。
(3) 如图，连接BC，设BE、CF交于点G。在△EFG和△BCG中，∠EGF=∠BGC（对顶角相等），由三角形内角和定理可得∠E+∠F=∠EBC+∠FCB，因此∠A+∠ABE+∠FCD+∠D+∠E+∠F = ∠A + ∠ABC + ∠BCD + ∠D。根据四边形内角和为360°，可得该式结果为360°。

【答案】
(1)$180°$
(2)$180°$
(3)如图,连接BC,根据三角形内角和定理,得$∠E+∠F=∠EBC+∠FCB$,
则$∠A+∠ABE+∠FCD+∠D+∠E+∠F=∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°$.

【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，四边形内角和
【点评】
本题是三角形角的关系的典型应用，核心考查转化思想，通过作辅助线将分散的未知角的和转化为已知内角和的规则图形的内角和，解题关键是找准要转化的角，熟练运用内角和与对顶角的性质进行角的等量代换。
【难度系数】
0.7