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10. [2026合肥瑶海区期中]如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于点E,且满足BE⊥AC.给出下列结论:①线段AG是△ABE的角平分线;②△ABG与△DBG的面积相等;③线段AE是△ABG的边BG上的高;④线段GE是△ADC的边AD上的中线.其中正确结论的个数是 (
A.4
B.3
C.2
D.1
B
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B ①因为$∠ 1 = ∠ 2$，所以AD平分$∠ BAC$，所以AG是$△ ABE$的角平分线，故结论①正确；②因为G为AD中点，所以$AG = DG$，所以$△ ABG$与$△ DBG$的面积相等，故结论②正确；③因为$BE ⊥ AC$，所以$AE ⊥ BG$，所以线段AE是$△ ABG$的边BG上的高，故结论③正确；④连接DE(图略)，因为G为AD中点，所以$AG = DG$，所以线段GE是$△ ADE$的边AD上的中线，故结论④不正确. 综上所述，正确的是①②③，共3个.
解析
【分析】
解决本题需要先明确三角形的角平分线、中线、高的定义，以及等底同高的三角形面积相等的性质，再对4个结论逐一验证：1. 判断AG是否是△ABE的角平分线，只需验证AG是否平分∠BAE；2. 判断两个三角形面积是否相等，看是否满足等底同高的条件；3. 判断AE是否是△ABG的边BG上的高，看AE是否垂直于BG；4. 判断GE是否是△ADC的边AD上的中线，要紧扣中线定义，看线段是否是从△ADC的顶点出发连接对边中点的线段，逐一验证即可得到正确结论的数量。
【解析】
我们逐个分析给出的结论：
① 已知$∠1=∠2$，即AD平分$∠BAC$，AG是AD上的线段，在$△ ABE$中，$∠BAG=∠1$，$∠EAG=∠2$，因此$∠BAG=∠EAG$，即AG平分$∠BAE$，所以线段AG是$△ ABE$的角平分线，故①正确；
② 因为G为AD中点，所以$AG=DG$，$△ ABG$和$△ DBG$分别以AG、DG为底时，高都是点B到直线AD的垂线段长度，两个三角形等底同高，因此面积相等，故②正确；
③ 已知$BE⊥AC$，即$AE⊥BE$，又因为B、G、E三点共线，所以$AE⊥BG$，根据三角形高的定义，线段AE是$△ ABG$的边BG上的高，故③正确；
④ 三角形的中线是从三角形的一个顶点连接对边中点的线段，$△ ADC$的边AD上的中线应该是连接顶点C和AD中点G的线段，不是GE，GE是$△ ADE$的边AD上的中线，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题重点考查三角形三类重要线段的定义辨析，解题时需紧扣定义，注意区分不同三角形的对应线段，避免混淆中线、高所属的三角形。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先明确三角形的角平分线、中线、高的定义，以及等底同高的三角形面积相等的性质，再对4个结论逐一验证：1. 判断AG是否是△ABE的角平分线，只需验证AG是否平分∠BAE；2. 判断两个三角形面积是否相等，看是否满足等底同高的条件；3. 判断AE是否是△ABG的边BG上的高，看AE是否垂直于BG；4. 判断GE是否是△ADC的边AD上的中线，要紧扣中线定义，看线段是否是从△ADC的顶点出发连接对边中点的线段，逐一验证即可得到正确结论的数量。
【解析】
我们逐个分析给出的结论：
① 已知$∠1=∠2$，即AD平分$∠BAC$，AG是AD上的线段，在$△ ABE$中，$∠BAG=∠1$，$∠EAG=∠2$，因此$∠BAG=∠EAG$，即AG平分$∠BAE$，所以线段AG是$△ ABE$的角平分线，故①正确；
② 因为G为AD中点，所以$AG=DG$，$△ ABG$和$△ DBG$分别以AG、DG为底时，高都是点B到直线AD的垂线段长度，两个三角形等底同高，因此面积相等，故②正确；
③ 已知$BE⊥AC$，即$AE⊥BE$，又因为B、G、E三点共线，所以$AE⊥BG$，根据三角形高的定义，线段AE是$△ ABG$的边BG上的高，故③正确；
④ 三角形的中线是从三角形的一个顶点连接对边中点的线段，$△ ADC$的边AD上的中线应该是连接顶点C和AD中点G的线段，不是GE，GE是$△ ADE$的边AD上的中线，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题重点考查三角形三类重要线段的定义辨析，解题时需紧扣定义，注意区分不同三角形的对应线段，避免混淆中线、高所属的三角形。
【难度系数】
0.7
11. [2025 武汉武昌区期中] 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC, ∠ ACB$ 的平分线相交于点 $D, ∠ A = 118°$, 则 $∠ BDC$ 的度数为（
A.$149°$
B.$140°$
C.$124°$
D.$150°$
A
）A.$149°$
B.$140°$
C.$124°$
D.$150°$
答案
A 因为$∠ ABC, ∠ ACB$的平分线相交于点D，所以$∠ ABC = 2∠ DBC$，$∠ ACB = 2∠ DCB$，因为$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，$∠ A = 118°$，所以$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 118° = 62°$，所以$2∠ DBC + 2∠ DCB = 62°$，所以$∠ DBC + ∠ DCB = 31°$，因为$∠ BDC + ∠ DBC + ∠ DCB = 180°$，所以$∠ BDC = 180° - 31° = 149°$.
解析
【分析】
要计算∠BDC的度数，我们可以按如下思路推导：首先，∠BDC是△BDC的内角，根据三角形内角和为180°，只需要先求出△BDC中另外两个内角∠DBC与∠DCB的和即可。已知BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，因此∠DBC是∠ABC的一半，∠DCB是∠ACB的一半，我们可以先在△ABC中利用内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再除以2得到∠DBC与∠DCB的和，最后代入△BDC的内角和公式就能算出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D
∴∠ABC = 2∠DBC，∠ACB = 2∠DCB
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，已知∠A=118°
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - 118° = 62°
即2∠DBC + 2∠DCB = 62°，化简得∠DBC + ∠DCB = 31°
在△BDC中，根据三角形内角和定理：
∠BDC + ∠DBC + ∠DCB = 180°
∴∠BDC = 180° - 31° = 149°
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线性质与内角和定理的综合基础题，解题关键是通过角平分线的性质建立两个三角形内角的数量关系，属于几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要计算∠BDC的度数，我们可以按如下思路推导：首先，∠BDC是△BDC的内角，根据三角形内角和为180°，只需要先求出△BDC中另外两个内角∠DBC与∠DCB的和即可。已知BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，因此∠DBC是∠ABC的一半，∠DCB是∠ACB的一半，我们可以先在△ABC中利用内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再除以2得到∠DBC与∠DCB的和，最后代入△BDC的内角和公式就能算出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D
∴∠ABC = 2∠DBC，∠ACB = 2∠DCB
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，已知∠A=118°
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - 118° = 62°
即2∠DBC + 2∠DCB = 62°，化简得∠DBC + ∠DCB = 31°
在△BDC中，根据三角形内角和定理：
∠BDC + ∠DBC + ∠DCB = 180°
∴∠BDC = 180° - 31° = 149°
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线性质与内角和定理的综合基础题，解题关键是通过角平分线的性质建立两个三角形内角的数量关系，属于几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 易错题 [2025合肥庐阳区段考] 已知AD是$△ ABC$的高,若$∠ BAD=65°, ∠ CAD=30°$,则$∠ BAC$的度数为
95°或35°
.答案
95°或35° 分两种情况讨论:①当AD在$△ ABC$的内部时，
，$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 65° + 30° = 95°$；②当AD在$△ ABC$的外部时，
，$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 65° - 30° = 35°$. 综上所述，$∠ BAC$的度数为95°或35°.解析
【分析】
题目未明确△ABC的形状，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况计算∠BAC的度数。首先分析高在三角形内部的情况，此时∠BAC由∠BAD和∠CAD相加得到；再分析高在三角形外部的情况，此时∠BAC为∠BAD减去∠CAD的差，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当AD在$△ ABC$的内部时，，
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 65° + 30° = 95°$；
②当AD在$△ ABC$的外部时，，
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 65° - 30° = 35°$。
综上所述，$∠ BAC$的度数为95°或35°。
【答案】
95°或35°
【知识点】
三角形的高；角度和差计算；分类讨论
【点评】
本题是易错题，解题时常会忽略高在三角形外部的情况，仅算出95°导致漏解。遇到未明确三角形形状的高的相关问题时，要考虑高的不同位置，分情况讨论得出所有符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
题目未明确△ABC的形状，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况计算∠BAC的度数。首先分析高在三角形内部的情况，此时∠BAC由∠BAD和∠CAD相加得到；再分析高在三角形外部的情况，此时∠BAC为∠BAD减去∠CAD的差，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当AD在$△ ABC$的内部时，
，$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 65° + 30° = 95°$；
②当AD在$△ ABC$的外部时，
，$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 65° - 30° = 35°$。
综上所述，$∠ BAC$的度数为95°或35°。
【答案】
95°或35°
【知识点】
三角形的高；角度和差计算；分类讨论
【点评】
本题是易错题，解题时常会忽略高在三角形外部的情况，仅算出95°导致漏解。遇到未明确三角形形状的高的相关问题时，要考虑高的不同位置，分情况讨论得出所有符合条件的结果。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在$△ ABC$中,AE为边BC上的高,D为边BC上的一点,连接AD.
(1)当AD为边BC上的中线时,若$AE =4$,$△ ABC$的面积为24,求CD的长.
(2)当AD为$∠ BAC$的平分线时.
①若$∠ B = 35°$,$∠ C = 65°$,求$∠ DAE$的度数;
②若$∠ C - ∠ B =20°$,则$∠ DAE =$
(1)当AD为边BC上的中线时,若$AE =4$,$△ ABC$的面积为24,求CD的长.
(2)当AD为$∠ BAC$的平分线时.
①若$∠ B = 35°$,$∠ C = 65°$,求$∠ DAE$的度数;
②若$∠ C - ∠ B =20°$,则$∠ DAE =$
10
°.答案
解:(1)因为AE为边BC上的高，$AE = 4$，$△ ABC$的面积为24，
所以$\frac{1}{2}BC · AE = 24$，所以$BC = 12$.
因为AD为边BC上的中线，
所以$CD = \frac{1}{2}BC = 6$.
(2)①因为$∠ B = 35°$，$∠ C = 65°$，
所以$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 35° - 65° = 80°$.
因为AD平分$∠ BAC$，所以$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 40°$.
因为$AE ⊥ BC$，所以$∠ AEB = 90°$，
所以$∠ BAE = 180° - ∠ AEB - ∠ B = 180° - 90° - 35° = 55°$，
所以$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 55° - 40° = 15°$.
②10 由①可得$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 180° - 90° - ∠ B - \frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C) = \frac{1}{2}(∠ C - ∠ B) = 10°$.
所以$\frac{1}{2}BC · AE = 24$，所以$BC = 12$.
因为AD为边BC上的中线，
所以$CD = \frac{1}{2}BC = 6$.
(2)①因为$∠ B = 35°$，$∠ C = 65°$，
所以$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 35° - 65° = 80°$.
因为AD平分$∠ BAC$，所以$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 40°$.
因为$AE ⊥ BC$，所以$∠ AEB = 90°$，
所以$∠ BAE = 180° - ∠ AEB - ∠ B = 180° - 90° - 35° = 55°$，
所以$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 55° - 40° = 15°$.
②10 由①可得$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 180° - 90° - ∠ B - \frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C) = \frac{1}{2}(∠ C - ∠ B) = 10°$.
解析
【分析】
(1) 首先结合已知的三角形面积和高AE，利用三角形面积公式求出底边BC的长度；再根据中线平分对边的性质，可知CD为BC的一半，代入数值计算即可。
(2) ① 先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质算出∠BAD的度数；然后由AE是高可得∠AEB=90°，在直角△ABE中求出∠BAE的度数，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE的度数。
② 参照①的推导逻辑，将∠DAE用含∠B、∠C的式子表示，化简后可得到∠DAE和∠C-∠B的数量关系，代入已知差值直接计算即可。
【解析】
(1) 因为AE为BC边上的高，$AE=4$，$△ABC$的面积为24，
根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × BC × AE$，代入得：
$\frac{1}{2} × BC × 4 = 24$，解得$BC=12$。
又因为AD是BC边上的中线，即D为BC中点，
因此$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 12=6$。
(2) ① 在$△ABC$中，三角形内角和为180°，
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 35° - 65° = 80°$。
因为AD平分$∠BAC$，所以$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
因为$AE⊥BC$，所以$∠ AEB=90°$，在$Rt△ABE$中：
$∠ BAE = 180° - ∠ AEB - ∠ B = 180° - 90° - 35° = 55°$，
因此$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 55° - 40° = 15°$。
② 由①的推导过程可得：
$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD$
$= (90° - ∠ B) - \frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C)$
$= \frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)$
已知$∠ C - ∠ B =20°$，代入得$∠ DAE = \frac{1}{2} × 20° =10°$。
【答案】
(1) $CD=6$；(2) ① $∠ DAE=15°$；② $10$
【知识点】
三角形重要线段性质，三角形内角和定理，三角形面积公式
【点评】
本题属于三角形基础综合题，围绕三角形的高、中线、角平分线的核心性质考查，解题时需要理清各线段对应的边角数量关系，第二小问的通用推导结论可以帮助快速解决同类型角度计算问题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先结合已知的三角形面积和高AE，利用三角形面积公式求出底边BC的长度；再根据中线平分对边的性质，可知CD为BC的一半，代入数值计算即可。
(2) ① 先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质算出∠BAD的度数；然后由AE是高可得∠AEB=90°，在直角△ABE中求出∠BAE的度数，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE的度数。
② 参照①的推导逻辑，将∠DAE用含∠B、∠C的式子表示，化简后可得到∠DAE和∠C-∠B的数量关系，代入已知差值直接计算即可。
【解析】
(1) 因为AE为BC边上的高，$AE=4$，$△ABC$的面积为24，
根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × BC × AE$，代入得：
$\frac{1}{2} × BC × 4 = 24$，解得$BC=12$。
又因为AD是BC边上的中线，即D为BC中点，
因此$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 12=6$。
(2) ① 在$△ABC$中，三角形内角和为180°，
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 35° - 65° = 80°$。
因为AD平分$∠BAC$，所以$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
因为$AE⊥BC$，所以$∠ AEB=90°$，在$Rt△ABE$中：
$∠ BAE = 180° - ∠ AEB - ∠ B = 180° - 90° - 35° = 55°$，
因此$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 55° - 40° = 15°$。
② 由①的推导过程可得：
$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD$
$= (90° - ∠ B) - \frac{1}{2}(180° - ∠ B - ∠ C)$
$= \frac{1}{2}(∠ C - ∠ B)$
已知$∠ C - ∠ B =20°$，代入得$∠ DAE = \frac{1}{2} × 20° =10°$。
【答案】
(1) $CD=6$；(2) ① $∠ DAE=15°$；② $10$
【知识点】
三角形重要线段性质，三角形内角和定理，三角形面积公式
【点评】
本题属于三角形基础综合题，围绕三角形的高、中线、角平分线的核心性质考查，解题时需要理清各线段对应的边角数量关系，第二小问的通用推导结论可以帮助快速解决同类型角度计算问题。
【难度系数】
0.7
14. 推理能力 已知$△ ABC$的两条高分别是4和12，若第三条高也为整数，则第三条高为（
A.1或2
B.2或3
C.3或4
D.4或5
D
）A.1或2
B.2或3
C.3或4
D.4或5
答案
D 设$△ ABC$的三边长分别为a,b,c，面积为S，第三条高为h，其中长为a的边上的高为4，长为b的边上的高为12，则$a = \frac{2S}{4}, b = \frac{2S}{12}, c = \frac{2S}{h}$，由三角形的三边关系，得$\frac{2S}{4} - \frac{2S}{12} ＜ \frac{2S}{h} ＜ \frac{2S}{4} + \frac{2S}{12}$，所以$3 ＜ h ＜ 6$. 因为第三条高为整数，所以第三条高为4或5.
解析
【分析】
遇到三角形高的相关问题，首先可以结合三角形面积公式，将三条边的长度用面积和对应边上的高表示出来；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，消去公共的面积参数后，就能求出第三条高的取值范围，最后结合高为整数的条件筛选出符合要求的结果即可。
【解析】
设$△ ABC$的三边长分别为$a$、$b$、$c$，面积为$S$，第三条高为$h$。其中边$a$对应的高为4，边$b$对应的高为12，边$c$对应的高为$h$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$a=\frac{2S}{4}$，$b=\frac{2S}{12}$，$c=\frac{2S}{h}$
根据三角形三边关系$a - b ＜ c ＜ a + b$，将上述边长表达式代入得：
$\frac{2S}{4} - \frac{2S}{12} ＜ \frac{2S}{h} ＜ \frac{2S}{4} + \frac{2S}{12}$
因为三角形面积$S＞0$，不等式两边同时除以$2S$，不等号方向不变，化简得：
$\frac{1}{6} ＜ \frac{1}{h} ＜ \frac{1}{3}$
由于$h$是正数，对不等式取倒数后不等号方向改变，得$3 ＜ h ＜ 6$。
已知第三条高$h$为整数，因此$h$可取4或5。
【答案】D
【知识点】
三角形面积公式；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形高、面积与三边关系的综合应用，解题核心是通过面积作为中间量，将三边转化为用高表示的形式，消去面积参数后求解高的范围，考查了转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
遇到三角形高的相关问题，首先可以结合三角形面积公式，将三条边的长度用面积和对应边上的高表示出来；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，消去公共的面积参数后，就能求出第三条高的取值范围，最后结合高为整数的条件筛选出符合要求的结果即可。
【解析】
设$△ ABC$的三边长分别为$a$、$b$、$c$，面积为$S$，第三条高为$h$。其中边$a$对应的高为4，边$b$对应的高为12，边$c$对应的高为$h$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$a=\frac{2S}{4}$，$b=\frac{2S}{12}$，$c=\frac{2S}{h}$
根据三角形三边关系$a - b ＜ c ＜ a + b$，将上述边长表达式代入得：
$\frac{2S}{4} - \frac{2S}{12} ＜ \frac{2S}{h} ＜ \frac{2S}{4} + \frac{2S}{12}$
因为三角形面积$S＞0$，不等式两边同时除以$2S$，不等号方向不变，化简得：
$\frac{1}{6} ＜ \frac{1}{h} ＜ \frac{1}{3}$
由于$h$是正数，对不等式取倒数后不等号方向改变，得$3 ＜ h ＜ 6$。
已知第三条高$h$为整数，因此$h$可取4或5。
【答案】D
【知识点】
三角形面积公式；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形高、面积与三边关系的综合应用，解题核心是通过面积作为中间量，将三边转化为用高表示的形式，消去面积参数后求解高的范围，考查了转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 已知两中线 [2025 合肥庐阳区期中] 如图，在$△ ABC$中，$D$是$BC$上一点，$BE$是$△ ABD$的中线，若$△ ABC$的面积是24，则$△ BCE$的面积是（
A.15
B.12
C.7.5
D.6
B
）A.15
B.12
C.7.5
D.6
答案
B 因为BE是$△ ABD$的中线，所以$AE = DE$，所以$S_{△ BED} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CED} = \frac{1}{2}S_{△ ACD}$，所以$S_{△ BCE} = S_{△ BED} + S_{△ CED} = \frac{1}{2}(S_{△ ABD} + S_{△ ACD}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$. 因为$△ ABC$的面积是24，所以$S_{△ BCE} = \frac{1}{2} × 24 = 12$.
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。已知BE是△ABD的中线，可得E是AD的中点，那么CE也可看作△ACD的中线，因此△BED的面积是△ABD面积的一半，△CED的面积是△ACD面积的一半，两者相加即可得到△BCE的面积与△ABC面积的关系，代入△ABC的面积数值即可求解。
【解析】
∵ BE是△ABD的中线，
∴ E为AD的中点，即$AE=DE$，
∴ △BED和△ABE等底同高，△CED和△ACE等底同高，
∴ $S_{△ BED} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CED} = \frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ BCE} = S_{△ BED} + S_{△ CED} = \frac{1}{2}(S_{△ ABD} + S_{△ ACD}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ $S_{△ ABC}=24$，
∴ $S_{△ BCE} = \frac{1}{2} × 24 = 12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形中线的性质 2. 等积变换求面积
【点评】
本题是三角形中线性质的基础应用题，解题的关键是利用中线分得的两个三角形面积相等的性质，将所求三角形的面积转化为原三角形面积的一半，是三角形面积类问题的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。已知BE是△ABD的中线，可得E是AD的中点，那么CE也可看作△ACD的中线，因此△BED的面积是△ABD面积的一半，△CED的面积是△ACD面积的一半，两者相加即可得到△BCE的面积与△ABC面积的关系，代入△ABC的面积数值即可求解。
【解析】
∵ BE是△ABD的中线，
∴ E为AD的中点，即$AE=DE$，
∴ △BED和△ABE等底同高，△CED和△ACE等底同高，
∴ $S_{△ BED} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CED} = \frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ BCE} = S_{△ BED} + S_{△ CED} = \frac{1}{2}(S_{△ ABD} + S_{△ ACD}) = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵ $S_{△ ABC}=24$，
∴ $S_{△ BCE} = \frac{1}{2} × 24 = 12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形中线的性质 2. 等积变换求面积
【点评】
本题是三角形中线性质的基础应用题，解题的关键是利用中线分得的两个三角形面积相等的性质，将所求三角形的面积转化为原三角形面积的一半，是三角形面积类问题的常见考法。
【难度系数】
0.8
2. ▶已知三中线 [2026合肥包河区期中]如图,已知△ABC的面积为4,延长BC至点D,使得CD=BC,延长CA至点E,使得AE=AC,延长AB至点F,使得BF=AB,依次连接DE,EF,FD,则阴影部分面积为 (
A.12
B.16
C.18
D.24
D
)A.12
B.16
C.18
D.24
答案
D 如图，连接AD,BE,CF(构造三角形)，因为$AE = AC$，所以$S_{△ ABE} = S_{△ ABC} = 4$，因为$BF = AB$，所以$S_{△ BEF} = S_{△ ABE} = 4$，所以$S_{△ AEF} = S_{△ ABE} + S_{△ BEF} = 4 + 4 = 8$. 同理，可得$S_{△ BDF} = 8$，$S_{△ CDE} = 8$，所以$S_{阴影} = S_{△ AEF} + S_{△ BDF} + S_{△ CDE} = 8 + 8 + 8 = 24$.
解析
【分析】
本题可利用等底等高的三角形面积相等的性质求解。观察题干可知，△ABC的三边均向外延长了1倍，存在多组等长线段，我们可以通过连接AD、BE、CF作辅助线，将阴影部分的3个大三角形分别拆分成与△ABC等底等高的小三角形，先求出每个阴影大三角形的面积，再求和即可得到阴影部分总面积。
【解析】
连接AD、BE、CF，如图：
1. 计算$S_{△AEF}$：
因为$AE=AC$，△ABE和△ABC同高（以B为顶点，AC、AE为底），所以$S_{△ABE}=S_{△ABC}=4$；
又因为$BF=AB$，△BEF和△ABE同高（以E为顶点，AB、BF为底），所以$S_{△BEF}=S_{△ABE}=4$；
因此$S_{△AEF}=S_{△ABE}+S_{△BEF}=4+4=8$。
2. 同理可证：
$S_{△BDF}=8$，$S_{△CDE}=8$。
3. 阴影部分总面积为三个阴影三角形面积之和：
$S_{阴影}=8+8+8=24$。
【答案】
D
【知识点】
等底等高面积性质，三角形面积计算，辅助线构造
【点评】
本题是三角形面积应用的典型题型，核心是利用等底等高的三角形面积相等的性质，通过作辅助线将未知面积的图形转化为已知面积的三角形求解，解题时注意对“等底同高面积相等”这一性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
本题可利用等底等高的三角形面积相等的性质求解。观察题干可知，△ABC的三边均向外延长了1倍，存在多组等长线段，我们可以通过连接AD、BE、CF作辅助线，将阴影部分的3个大三角形分别拆分成与△ABC等底等高的小三角形，先求出每个阴影大三角形的面积，再求和即可得到阴影部分总面积。
【解析】
连接AD、BE、CF，如图
：1. 计算$S_{△AEF}$：
因为$AE=AC$，△ABE和△ABC同高（以B为顶点，AC、AE为底），所以$S_{△ABE}=S_{△ABC}=4$；
又因为$BF=AB$，△BEF和△ABE同高（以E为顶点，AB、BF为底），所以$S_{△BEF}=S_{△ABE}=4$；
因此$S_{△AEF}=S_{△ABE}+S_{△BEF}=4+4=8$。
2. 同理可证：
$S_{△BDF}=8$，$S_{△CDE}=8$。
3. 阴影部分总面积为三个阴影三角形面积之和：
$S_{阴影}=8+8+8=24$。
【答案】
D
【知识点】
等底等高面积性质，三角形面积计算，辅助线构造
【点评】
本题是三角形面积应用的典型题型，核心是利用等底等高的三角形面积相等的性质，通过作辅助线将未知面积的图形转化为已知面积的三角形求解，解题时注意对“等底同高面积相等”这一性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
3. 已知四中线 [2026 亳州期末] 如图, 在$△ ABC$中, $D,E,F$分别为$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=16\ \mathrm{cm}^2$,则$△ BEF$的面积为 (
A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$
B
)A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$6\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$
答案
B 因为D为BC的中点，所以$S_{△ ADB} = S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = 8\ \mathrm{cm}^2$. 因为E为AD的中点，所以$S_{△ BED} = \frac{1}{2}S_{△ ADB} = 4\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED} = \frac{1}{2}S_{△ ADC} = 4\ \mathrm{cm}^2$，所以$S_{△ BEC} = S_{△ BED} + S_{△ CED} = 8\ \mathrm{cm}^2$. 因为F为CE的中点，所以$S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = 4\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可按从整体到局部的顺序推导：首先借助D是BC中点的条件，将大三角形ABC的面积分为相等的两部分；再利用E是AD中点的条件，求出△BEC的面积；最后根据F是CE中点的条件，即可求出△BEF的面积。
【解析】
解：
∵D为BC的中点，AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ADB} = S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}^2$。
∵E为AD的中点，BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，
∴$S_{△ BED} = \frac{1}{2}S_{△ ADB} = 4\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED} = \frac{1}{2}S_{△ ADC} = 4\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BEC} = S_{△ BED} + S_{△ CED} = 4+4=8\ \mathrm{cm}^2$。
∵F为CE的中点，BF是△BEC的中线，
∴$S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = \frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}^2$。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形中线相关的基础常考题，重点考查对“三角形中线分三角形为面积相等的两部分”这一性质的理解与运用，解题时只需按中线的分布逐步推导各三角形面积关系即可，逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.75
解决本题的核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可按从整体到局部的顺序推导：首先借助D是BC中点的条件，将大三角形ABC的面积分为相等的两部分；再利用E是AD中点的条件，求出△BEC的面积；最后根据F是CE中点的条件，即可求出△BEF的面积。
【解析】
解：
∵D为BC的中点，AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ADB} = S_{△ ADC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}^2$。
∵E为AD的中点，BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，
∴$S_{△ BED} = \frac{1}{2}S_{△ ADB} = 4\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED} = \frac{1}{2}S_{△ ADC} = 4\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BEC} = S_{△ BED} + S_{△ CED} = 4+4=8\ \mathrm{cm}^2$。
∵F为CE的中点，BF是△BEC的中线，
∴$S_{△ BEF} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = \frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}^2$。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】
三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形中线相关的基础常考题，重点考查对“三角形中线分三角形为面积相等的两部分”这一性质的理解与运用，解题时只需按中线的分布逐步推导各三角形面积关系即可，逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.75
