1. [2026安庆迎江区期中]如图，$△ ABC$的面积为42，$3BD=DC$，$AE=ED$，则图中阴影部分的面积为。

连接FD,设$S_{△ AEF}=a,S_{△ CDE}=b$,因为$AE=ED$,所以$S_{△ AEF}=S_{△ DEF}=a,S_{△ CDE}=S_{△ CAE}=b$,所以$S_{△ CDF}=S_{△ DEF}+S_{△ CDE}=a+b$.因为$3BD=DC$,所以$S_{△ BDF}=\frac{1}{3}S_{△ CDF}=\frac{1}{3}(a+b)$.
因为$S_{△ ABC}=S_{△ BDF}+S_{△ AEF}+S_{△ DEF}+ S_{△ CDE}+S_{△ CAE}$,所以$\frac{1}{3}(a + b)+2(a + b)=42$,所以$a + b=18$,即阴影部分的面积为18.

【分析】
本题是求不规则阴影部分的面积，已知△ABC的总面积、线段比例关系和中点条件，解题核心是利用三角形面积与底高的关系转化面积：①首先考虑添加辅助线FD，借助AE=ED的中点条件，得到多组等底同高、面积相等的三角形；②再根据3BD=DC的比例关系，得到同高的△BDF与△CDF的面积比；③最后设未知数表示各部分面积，结合总面积列方程，即可求出阴影部分的面积和。
【解析】
作辅助线连接FD，
设$ S_{△ AEF}=a $，$ S_{△ CDE}=b $。
1. 利用中点转化面积：
因为$ AE=ED $，$ △ AEF $和$ △ DEF $等底同高，$ △ CDE $和$ △ CAE $等底同高，
所以$ S_{△ AEF}=S_{△ DEF}=a $，$ S_{△ CDE}=S_{△ CAE}=b $，
因此$ S_{△ CDF}=S_{△ DEF}+S_{△ CDE}=a+b $。
2. 利用线段比例转化面积：
因为$ 3BD=DC $，即$ BD:DC=1:3 $，$ △ BDF $和$ △ CDF $同高，面积比等于底的比，
所以$ S_{△ BDF}=\frac{1}{3}S_{△ CDF}=\frac{1}{3}(a+b) $。
3. 结合总面积列方程求解：
$ S_{△ ABC}=S_{△ BDF}+S_{△ AEF}+S_{△ DEF}+S_{△ CDE}+S_{△ CAE} $，
代入各部分面积得：
$ \frac{1}{3}(a+b) + a + a + b + b = 42 $
整理得$ \frac{1}{3}(a+b)+2(a+b)=42 $，即$ \frac{7}{3}(a+b)=42 $，
解得$ a+b=18 $。
阴影部分面积为$ S_{△ AEF}+S_{△ CDE}=a+b $。
【答案】
18
【知识点】
等底等高三角形面积相等；同高三角形面积比等于底的比；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，解题关键是合理添加辅助线，借助中点和线段比例关系转化面积，将不规则的阴影面积转化为可求的整体量，避免分别求解两个阴影部分的面积，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$D$是$BC$的中点,点$E$在边$AB$上.
(1)若$△ BDE$的周长与四边形$ACDE$的周长相等,求线段$AE$的长.
(2)若$△ ABC$的周长被$DE$分成的两部分的差是$2\ \mathrm{cm}$,求线段$AE$的长.

(1)因为$△ BDE$的周长与四边形$ACDE$的周长相等,所以$BE + BD + DE = AE + AC + DC + DE$.
因为$D$是$BC$的中点,所以$BD = DC$,
所以$BE = AE + AC$.
因为$AB = 10\ \mathrm{cm},AC = 6\ \mathrm{cm}$,所以$10 - AE = AE + 6$,
所以$AE = 2\ \mathrm{cm}$.
(2)由题意及(1),得$BE = AE + AC + 2$或$BE = AE + AC - 2$.
因为$AB = BE + AE = 10\ \mathrm{cm},AC = 6\ \mathrm{cm}$,
所以$AE = 1\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}$.

【分析】
(1) 解决第一问时，先分别写出△BDE和四边形ACDE的周长表达式，对比可知两个周长均包含公共边DE，又因为D是BC中点，所以BD=DC，将相等的量从周长相等的等式中消去，就能得到BE与AE、AC的等量关系，再结合AB=BE+AE，把BE用10-AE替换，列一元一次方程即可求解AE的长度。
(2) 解决第二问时，两部分周长的差为2cm，未明确哪部分更长，因此要分两种情况讨论：①△BDE的周长比四边形ACDE的周长长2cm；②四边形ACDE的周长比△BDE的周长长2cm，分别对应两种等量关系，代入已知边长解方程即可得到符合条件的AE的长度。
【解析】
(1) 已知$△ BDE$的周长与四边形$ACDE$的周长相等，因此：
$BE + BD + DE = AE + AC + DC + DE$
因为$D$是$BC$的中点，所以$BD = DC$，等式两边同时减去$DE$、$BD$、$DC$，可得：
$BE = AE + AC$
又因为$AB = BE + AE = 10\ \mathrm{cm}$，所以$BE = 10 - AE$，结合$AC=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$10 - AE = AE + 6$
计算得$2AE=4$，解得$AE=2\ \mathrm{cm}$。
(2) 由题意，周长被DE分成的两部分差为2cm，分两种情况讨论：
情况1：$△ BDE$的周长比四边形$ACDE$的周长长2cm，结合(1)的推导可得：
$BE = AE + AC + 2$
代入$BE=10-AE$、$AC=6\ \mathrm{cm}$，得：
$10 - AE = AE + 6 + 2$
解得$2AE=2$，即$AE=1\ \mathrm{cm}$。
情况2：四边形$ACDE$的周长比$△ BDE$的周长长2cm，可得：
$BE = AE + AC - 2$
代入$BE=10-AE$、$AC=6\ \mathrm{cm}$，得：
$10 - AE = AE + 6 - 2$
解得$2AE=6$，即$AE=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AE=2\ \mathrm{cm}$
(2) $AE=1\ \mathrm{cm}$或$AE=3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形中线性质；周长计算；分类讨论
【点评】
本题核心是通过转化周长的等量关系，消去公共边和相等线段简化计算，第二问要注意周长差的不确定性，需分类讨论避免漏解，结合方程思想求解更简便。
【难度系数】
0.7

3. 教材P87T9变式 [2026安庆期中] 在$△ ABC$中，$∠ C ＞ ∠ B$，$AE$平分$∠ BAC$，$F$为射线$AE$上一点（不与点$E$重合），且$FD ⊥ BC$于点$D$.
（1）如图1，如果点$F$与点$A$重合，且$∠ C = 50°$，$∠ B = 30°$，求$∠ EFD$的度数.
（2）如图2，如果点$F$在线段$AE$上（不与点$A$重合），此时$∠ EFD$与$∠ C - ∠ B$有怎样的数量关系？请说明理由.
（3）如图3，如果点$F$在$△ ABC$的外部，此时$∠ EFD$与$∠ C - ∠ B$的数量关系是否会发生变化？请说明理由.

(1)因为$∠ C=50°,∠ B=30°$,
所以$∠ BAC=180°-50°-30°=100°$.
因为$AE$平分$∠ BAC$,所以$∠ CAE=50°$.
因为$FD⊥ BC$,所以$∠ FDC=90°$,
所以$∠ CFD=180°-90°-50°=40°$,
所以$∠ EFD=∠ CAE-∠ CFD=10°$.
(2)$∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.理由如下:
因为$AE$平分$∠ BAC$,
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{180°-∠ C-∠ B}{2}=90°-\frac{1}{2}(∠ C+∠ B)$.
在$△ AEC$中,$∠ AEC+∠ EAC+∠ C=180°$,
所以$∠ AEC=180°-∠ C-∠ EAC=180°-∠ C-90°+\frac{1}{2}(∠ C+∠ B)=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$.
因为$FD⊥ BC$,所以$∠ FDE=90°$,
所以$∠ EFD=180°-∠ FDE-∠ AEC=180°-90°-90°-\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$,即$∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.
(3)$∠ EFD$与$∠ C-∠ B$的数量关系不会发生变化,$∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.理由如下:
因为$AE$平分$∠ BAC$,
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{180°-∠ C-∠ B}{2}=90°-\frac{1}{2}(∠ C+∠ B)$.
在$△ AEC$中,$∠ AEC+∠ EAC+∠ C=180°$,
所以$∠ AEC=180°-∠ C-∠ EAC=180°-∠ C-90°+\frac{1}{2}(∠ C+∠ B)=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$,
所以$∠ DEF=∠ AEC=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$.
因为$FD⊥ BC$,所以$∠ FDE=90°$,
所以$∠ EFD=180°-∠ FDE-∠ DEF=180°-90°-90°-\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$,即$∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.

【分析】
（1）解决第一小问可先根据三角形内角和求出$∠ BAC$，再由角平分线定义得到$∠ CAE$，结合$FD⊥ BC$的条件，在直角三角形$FDC$中求出$∠ CFD$，最后通过角的差计算$∠ EFD$的度数。
（2）推导第二小问的一般关系时，先使用角平分线定义用$∠ B$、$∠ C$表示出$∠ EAC$，再在$△ AEC$中利用内角和定理表示$∠ AEC$，最后在$Rt△ FDE$中利用内角和整理即可得到$∠ EFD$与$∠ C-∠ B$的数量关系。
（3）第三小问点$F$在三角形外部时，先利用对顶角相等得到$∠ DEF=∠ AEC$，后续推导步骤和第二小问完全一致，即可判断数量关系是否发生变化。
【解析】
(1) 因为$∠ C=50°,∠ B=30°$，
所以$∠ BAC=180°-50°-30°=100°$。
因为$AE$平分$∠ BAC$，所以$∠ CAE=50°$。
因为$FD⊥ BC$，所以$∠ FDC=90°$，
所以$∠ CFD=180°-90°-50°=40°$，
所以$∠ EFD=∠ CAE-∠ CFD=10°$。
(2) $∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。理由如下：
因为$AE$平分$∠ BAC$，
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{180°-∠ C-∠ B}{2}=90°-\frac{1}{2}(∠ C+∠ B)$。
在$△ AEC$中，$∠ AEC+∠ EAC+∠ C=180°$，
所以$∠ AEC=180°-∠ C-∠ EAC=180°-∠ C-90°+\frac{1}{2}(∠ C+∠ B)=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$。
因为$FD⊥ BC$，所以$∠ FDE=90°$，
所以$∠ EFD=180°-∠ FDE-∠ AEC=180°-90°-90°-\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，即$∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(3) $∠ EFD$与$∠ C-∠ B$的数量关系不会发生变化，$∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。理由如下：
因为$AE$平分$∠ BAC$，
所以$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{180°-∠ C-∠ B}{2}=90°-\frac{1}{2}(∠ C+∠ B)$。
在$△ AEC$中，$∠ AEC+∠ EAC+∠ C=180°$，
所以$∠ AEC=180°-∠ C-∠ EAC=180°-∠ C-90°+\frac{1}{2}(∠ C+∠ B)=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，
所以$∠ DEF=∠ AEC=90°+\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$。
因为$FD⊥ BC$，所以$∠ FDE=90°$，
所以$∠ EFD=180°-∠ FDE-∠ DEF=180°-90°-90°-\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，即$∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
【答案】
(1) $\boxed{10°}$
(2) $\boxed{∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)}$
(3) 数量关系不变，$\boxed{∠ EFD=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角的关系综合题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，解题关键是灵活运用角平分线性质和三角形内角和定理完成角的转化，图形位置变化时要注意对顶角等隐含相等角的应用，即可快速找到不变的数量规律。
【难度系数】
0.6