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1.用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（
A.4 m²
B.6 m²
C.8 m²
D.12 m²
A
）A.4 m²
B.6 m²
C.8 m²
D.12 m²
答案
设AB的长为x m,则AD=(4-x)m,设矩形框架ABCD的面积为S m²,则S=AB·AD=-x²+4x=-(x-2)²+4,
∵-1＜0,
∴当x=2时,S取得最大值,为4,
∴矩形框架ABCD的最大面积为4 m².故选A.
∵-1＜0,
∴当x=2时,S取得最大值,为4,
∴矩形框架ABCD的最大面积为4 m².故选A.
解析
【分析】
首先观察框架结构，可知和AB平行的竖档共有3段，和AD平行的横档共有3段，总长度为12m。我们可以先设AB的长度为x m，先表示出3段竖档的总长度，再用总长度减去竖档总长度得到3段横档的总长度，进而求出AD的长度。再根据矩形面积公式写出面积关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求出最大面积即可。
【解析】
设AB的长为x m，观察框架可知，共有3条与AB等长的竖档，因此3条竖档总长度为3x m，剩余材料长度为$(12-3x)$m，这部分是3条与AD等长的横档的总长度，因此AD的长度为$\frac{12-3x}{3}=(4-x)$m。
设矩形框架ABCD的面积为S m²，根据矩形面积公式可得：
$S=AB· AD=x(4-x)=-x^2+4x$
将函数配方得：$S=-(x-2)^2+4$
$\because$二次项系数$-1＜0$，$\therefore$该二次函数图象开口向下，当$x=2$时，S取得最大值，最大值为4。
即矩形框架ABCD的最大面积为4 m²，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是利用二次函数解决几何最值问题的常见题型，解题的关键是准确分析框架的边长数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解，解题时要注意边长的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
首先观察框架结构，可知和AB平行的竖档共有3段，和AD平行的横档共有3段，总长度为12m。我们可以先设AB的长度为x m，先表示出3段竖档的总长度，再用总长度减去竖档总长度得到3段横档的总长度，进而求出AD的长度。再根据矩形面积公式写出面积关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质求出最大面积即可。
【解析】
设AB的长为x m，观察框架可知，共有3条与AB等长的竖档，因此3条竖档总长度为3x m，剩余材料长度为$(12-3x)$m，这部分是3条与AD等长的横档的总长度，因此AD的长度为$\frac{12-3x}{3}=(4-x)$m。
设矩形框架ABCD的面积为S m²，根据矩形面积公式可得：
$S=AB· AD=x(4-x)=-x^2+4x$
将函数配方得：$S=-(x-2)^2+4$
$\because$二次项系数$-1＜0$，$\therefore$该二次函数图象开口向下，当$x=2$时，S取得最大值，最大值为4。
即矩形框架ABCD的最大面积为4 m²，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是利用二次函数解决几何最值问题的常见题型，解题的关键是准确分析框架的边长数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解，解题时要注意边长的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
2.如图所示的是一个长20 m、宽16 m的矩形花园,根据需要将它的长缩短x m、宽增加x m,要想使修改后的花园面积达到最大,则x应为
2
.答案
答案 2
解析 设修改后的花园面积为S m²,由题意可得S=(20-x)(16+x)=-(x-2)²+324,
∴当x=2时,S取得最大值.故答案为2.
解析 设修改后的花园面积为S m²,由题意可得S=(20-x)(16+x)=-(x-2)²+324,
∴当x=2时,S取得最大值.故答案为2.
解析
【分析】
要解决修改后花园面积最大时x的取值问题，首先需要建立面积关于x的函数关系：先确定修改后的长为(20-x)m、宽为(16+x)m，再根据矩形面积公式得到面积的二次函数表达式，由于二次函数开口向下，顶点对应函数的最大值，据此即可求出对应的x值。
【解析】
设修改后的花园面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，
根据矩形面积=长×宽，可得：
$ S=(20-x)(16+x) $
展开并整理：
$ S=-x^2+4x+320 $
配方为顶点式：
$ S=-(x^2-4x)+320=-(x-2)^2+324 $
由于二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，因此当$ x=2 $时，$ S $取得最大值。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的常规题型，解题核心是结合图形面积公式正确列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最值，掌握二次函数的最值性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决修改后花园面积最大时x的取值问题，首先需要建立面积关于x的函数关系：先确定修改后的长为(20-x)m、宽为(16+x)m，再根据矩形面积公式得到面积的二次函数表达式，由于二次函数开口向下，顶点对应函数的最大值，据此即可求出对应的x值。
【解析】
设修改后的花园面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，
根据矩形面积=长×宽，可得：
$ S=(20-x)(16+x) $
展开并整理：
$ S=-x^2+4x+320 $
配方为顶点式：
$ S=-(x^2-4x)+320=-(x-2)^2+324 $
由于二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，因此当$ x=2 $时，$ S $取得最大值。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的常规题型，解题核心是结合图形面积公式正确列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最值，掌握二次函数的最值性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.「2026江苏苏州昆山娄江实验中学月考」如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°,AB=3\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$.点$P$从点$A$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$AB$运动;同时,点$Q$从点$B$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$运动.当点$Q$到达点$C$时,$P,Q$两点同时停止运动,则$△ PBQ$的最大面积是
$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
.答案
答案 $\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
解析 设动点运动的时间为t s,△PBQ的面积为S cm²,
∴PB=(3-t)cm,BQ=2t cm,
∴$S=\frac{1}{2}BQ·PB=\frac{1}{2}×2t×(3-t)=-t²+3t=-(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}(0≤t≤2).$
∴$t=\frac{3}{2}$时,S最大,为$\frac{9}{4}$.故答案为$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$.
解析 设动点运动的时间为t s,△PBQ的面积为S cm²,
∴PB=(3-t)cm,BQ=2t cm,
∴$S=\frac{1}{2}BQ·PB=\frac{1}{2}×2t×(3-t)=-t²+3t=-(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}(0≤t≤2).$
∴$t=\frac{3}{2}$时,S最大,为$\frac{9}{4}$.故答案为$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
本题是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：首先设运动时间为t，先确定t的取值范围：点Q到C时停止运动，Q的速度为2cm/s，BC长4cm，因此t最大为2s，故t的取值范围是0≤t≤2。再用含t的代数式表示出△PBQ的两条直角边的长度：PB是AB减去AP的长度，AP速度1cm/s，故AP=t，PB=(3-t)cm，BQ是Q运动的路程，故BQ=2t cm。由于∠B是直角，△PBQ的面积等于两条直角边乘积的一半，据此建立面积S关于t的二次函数，再根据二次函数的性质在t的取值范围内求最大值即可。
【解析】
设动点运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，且$0≤ t≤ 2$（点Q到达C时停止，$t=\frac{4}{2}=2$）。
$\therefore PB=AB-AP=(3-t)\ \mathrm{cm}$，
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore S=\frac{1}{2}· BQ· PB=\frac{1}{2}× 2t×(3-t)=-t^2+3t$，
将函数配方得：$S=-(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$，
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，且$t=\frac{3}{2}$在$0≤ t≤ 2$范围内，
$\therefore$ 当$t=\frac{3}{2}$时，$S$取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的应用；动点面积计算；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数几何应用的基础题型，解题核心是用时间参数表示出几何图形的相关边长，建立面积的二次函数模型，求解时要注意结合自变量的实际取值范围判断最值的取值点，是考试的常考类型。
【难度系数】
0.7
本题是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：首先设运动时间为t，先确定t的取值范围：点Q到C时停止运动，Q的速度为2cm/s，BC长4cm，因此t最大为2s，故t的取值范围是0≤t≤2。再用含t的代数式表示出△PBQ的两条直角边的长度：PB是AB减去AP的长度，AP速度1cm/s，故AP=t，PB=(3-t)cm，BQ是Q运动的路程，故BQ=2t cm。由于∠B是直角，△PBQ的面积等于两条直角边乘积的一半，据此建立面积S关于t的二次函数，再根据二次函数的性质在t的取值范围内求最大值即可。
【解析】
设动点运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$，且$0≤ t≤ 2$（点Q到达C时停止，$t=\frac{4}{2}=2$）。
$\therefore PB=AB-AP=(3-t)\ \mathrm{cm}$，
$\because ∠ B=90°$，
$\therefore S=\frac{1}{2}· BQ· PB=\frac{1}{2}× 2t×(3-t)=-t^2+3t$，
将函数配方得：$S=-(t-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$，
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，且$t=\frac{3}{2}$在$0≤ t≤ 2$范围内，
$\therefore$ 当$t=\frac{3}{2}$时，$S$取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二次函数的应用；动点面积计算；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数几何应用的基础题型，解题核心是用时间参数表示出几何图形的相关边长，建立面积的二次函数模型，求解时要注意结合自变量的实际取值范围判断最值的取值点，是考试的常考类型。
【难度系数】
0.7
4.为了庆祝元旦,九年级(1)班举办了明信片设计活动,小明挑选了他最喜欢的一个图片制作了一张如图所示的矩形明信片,已知该明信片的宽为$x$ cm,长为40 cm,左侧图片的长比宽多4 cm,若$14≤ x≤16$,求右侧留言部分的面积的最大值.
答案
解析 设右侧留言部分的面积为y cm²,根据题意得y=x(40-x-4)=-x²+36x=-(x-18)²+324,
∴y为x的二次函数,且该函数图象开口向下,对称轴为直线x=18,
∴当x＜18时,y随x的增大而增大,
∵14≤x≤16,
∴当x=16时,y取得最大值,
为-(16-18)²+324=320.
∴右侧留言部分的面积的最大值为320 cm².
∴y为x的二次函数,且该函数图象开口向下,对称轴为直线x=18,
∴当x＜18时,y随x的增大而增大,
∵14≤x≤16,
∴当x=16时,y取得最大值,
为-(16-18)²+324=320.
∴右侧留言部分的面积的最大值为320 cm².
解析
【分析】
解题时首先明确右侧留言部分为矩形，先确定它的长和宽：宽等于明信片的宽$x\ \mathrm{cm}$，长为明信片总长度40 cm减去左侧图片的长$(x+4)\ \mathrm{cm}$。接着设右侧面积为$y$，根据矩形面积公式列出$y$关于$x$的函数关系式，可知该函数为二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴，以及题目给出的$x$的取值范围$14≤ x≤16$，利用函数的增减性即可求出面积的最大值。
【解析】
设右侧留言部分的面积为$y\ \mathrm{cm^2}$，
由题意得右侧留言部分的长为$40-(x+4)=36-x\ (\mathrm{cm})$，宽为$x\ \mathrm{cm}$，
根据矩形面积公式可得：
$y=x(36-x)=-x^2+36x$
将函数配方得：$y=-(x-18)^2+324$
该二次函数的二次项系数为$-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=18$，
因此当$x＜18$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知$14≤ x≤16$，该取值范围在对称轴左侧，$y$随$x$增大而增大，
所以当$x=16$时，$y$取得最大值，
代入计算得：$y=-(16-18)^2+324=-4+324=320$。
【答案】
$\boxed{320\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何实际问题的典型题，解题核心是先根据几何关系正确列出函数表达式，再结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性求最值，注意不能直接取顶点横坐标计算最值，要先判断顶点是否在自变量的取值范围内。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确右侧留言部分为矩形，先确定它的长和宽：宽等于明信片的宽$x\ \mathrm{cm}$，长为明信片总长度40 cm减去左侧图片的长$(x+4)\ \mathrm{cm}$。接着设右侧面积为$y$，根据矩形面积公式列出$y$关于$x$的函数关系式，可知该函数为二次函数，再结合二次函数的开口方向、对称轴，以及题目给出的$x$的取值范围$14≤ x≤16$，利用函数的增减性即可求出面积的最大值。
【解析】
设右侧留言部分的面积为$y\ \mathrm{cm^2}$，
由题意得右侧留言部分的长为$40-(x+4)=36-x\ (\mathrm{cm})$，宽为$x\ \mathrm{cm}$，
根据矩形面积公式可得：
$y=x(36-x)=-x^2+36x$
将函数配方得：$y=-(x-18)^2+324$
该二次函数的二次项系数为$-1＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=18$，
因此当$x＜18$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知$14≤ x≤16$，该取值范围在对称轴左侧，$y$随$x$增大而增大，
所以当$x=16$时，$y$取得最大值，
代入计算得：$y=-(16-18)^2+324=-4+324=320$。
【答案】
$\boxed{320\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何实际问题的典型题，解题核心是先根据几何关系正确列出函数表达式，再结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性求最值，注意不能直接取顶点横坐标计算最值，要先判断顶点是否在自变量的取值范围内。
【难度系数】
0.7
5.「2026辽宁鞍山期中，★☆」用总长为a米的材料做成
所示的矩形窗框，窗框的一边长为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如，则a的值是（
A.9
B.8
C.6
D.不能确定
所示的矩形窗框，窗框的一边长为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如，则a的值是（C
）A.9
B.8
C.6
D.不能确定
答案
C 根据题意得$y=\frac{a-3x}{2}·x=-\frac{3}{2}(x-\frac{a}{6})^2+\frac{a^2}{24}.$
由题图2可知,当x=1时,y取得最大值,为1.5,
∴a=6.故选C.
由题图2可知,当x=1时,y取得最大值,为1.5,
∴a=6.故选C.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先分析窗框的边的构成：窗框共有3条长度为x的水平边，剩余材料分配给2条竖直边，据此可用含a和x的式子表示竖直边的长度；第二步结合矩形面积公式，列出面积y关于x的二次函数解析式；第三步结合函数图象给出的顶点信息（x=1时y取最大值1.5），利用二次函数最值的相关性质列方程求解a的值。
【解析】
解：由窗框结构可知，3条水平边的总长度为3x米，因此2条竖直边的总长度为$(a-3x)$米，单条竖直边的长度为$\frac{a-3x}{2}$米。
根据矩形面积=长×宽，可得面积y的表达式：
$y = x · \frac{a-3x}{2} = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{a}{2}x$
这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值。由图2可知，当$x=1$时，$y$取得最大值1.5。
将$x=1$，$y=1.5$代入解析式可得：
$1.5 = 1×\frac{a-3×1}{2}$
两边同乘2得：$3 = a-3$，解得$a=6$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何实际问题中的典型应用，解题的核心是正确分析窗框的边长构成，列出面积的函数表达式，再结合函数图像的顶点信息求解参数，既考察了代数式的列写能力，也考察了二次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先分析窗框的边的构成：窗框共有3条长度为x的水平边，剩余材料分配给2条竖直边，据此可用含a和x的式子表示竖直边的长度；第二步结合矩形面积公式，列出面积y关于x的二次函数解析式；第三步结合函数图象给出的顶点信息（x=1时y取最大值1.5），利用二次函数最值的相关性质列方程求解a的值。
【解析】
解：由窗框结构可知，3条水平边的总长度为3x米，因此2条竖直边的总长度为$(a-3x)$米，单条竖直边的长度为$\frac{a-3x}{2}$米。
根据矩形面积=长×宽，可得面积y的表达式：
$y = x · \frac{a-3x}{2} = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{a}{2}x$
这是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值。由图2可知，当$x=1$时，$y$取得最大值1.5。
将$x=1$，$y=1.5$代入解析式可得：
$1.5 = 1×\frac{a-3×1}{2}$
两边同乘2得：$3 = a-3$，解得$a=6$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何实际问题中的典型应用，解题的核心是正确分析窗框的边长构成，列出面积的函数表达式，再结合函数图像的顶点信息求解参数，既考察了代数式的列写能力，也考察了二次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
6.「2025江苏南通中考，★☆」综合与实践:学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动.
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用总长为60 m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案:
方案一：如图1，围成一个面积为$450\ \mathrm{m}^2$的矩形花圃
方案二：如图2，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各图1 一个宽为3 m的进出口(此处不用栅栏)
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度.
(2)要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度为多少米？
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用总长为60 m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案:
方案一：如图1，围成一个面积为$450\ \mathrm{m}^2$的矩形花圃
方案二：如图2，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度.
(2)要使方案二中花圃的面积最大,与墙平行的边的长度为多少米？
答案
解析 (1)设与墙垂直的边的长度为x m,则与墙平行的边的长度为(60-2x)m,
根据题意得x(60-2x)=450,
解得$x_1=x_2=15.$
答:与墙垂直的边的长度为15米.
(2)设与墙平行的边的长度为t m,花圃的面积为S m²,
根据题意得$S=\frac{1}{3}t(60+3×2-t)=-\frac{1}{3}t^2+22t$
$=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363,$
∵$-\frac{1}{3}＜0,$
∴当t=33时,S有最大值.
答:当与墙平行的边的长度为33米时,花圃的面积最大.
根据题意得x(60-2x)=450,
解得$x_1=x_2=15.$
答:与墙垂直的边的长度为15米.
(2)设与墙平行的边的长度为t m,花圃的面积为S m²,
根据题意得$S=\frac{1}{3}t(60+3×2-t)=-\frac{1}{3}t^2+22t$
$=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363,$
∵$-\frac{1}{3}＜0,$
∴当t=33时,S有最大值.
答:当与墙平行的边的长度为33米时,花圃的面积最大.
解析
【分析】
(1) 求解方案一的垂直墙边长：首先明确矩形花圃靠墙的一边无需栅栏，栅栏仅围2条与墙垂直的边和1条与墙平行的边。设与墙垂直的边长为$x$ m，可推出与墙平行的边长为总栅栏长减去2条垂直边的长度，即$(60-2x)$ m，再根据矩形面积=长×宽的等量关系，结合已知面积列一元二次方程求解即可，注意验证解的实际合理性。
(2) 求解方案二面积最大时平行墙的边长：首先观察方案二的结构，共有3条与墙垂直的栅栏（2条侧边+1条中间分隔栏），且两侧各有3m宽的进出口不需要栅栏，相当于平行墙方向的栅栏实际所需长度比平行边长少$2×3=6$ m。设与墙平行的边长为$t$ m，先表示出每条垂直边的长度，再根据矩形面积公式写出面积$S$关于$t$的二次函数表达式，将表达式配方为顶点式，结合二次函数开口方向即可求出面积最大时$t$的取值。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$x$ m，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)$ m。
根据题意列方程：
$x(60-2x)=450$
整理得$x^2-30x+225=0$，即$(x-15)^2=0$
解得$x_1=x_2=15$，符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$t$ m，花圃的面积为$S$ $\mathrm{m}^2$。
由题意得，两侧进出口共少用栅栏$3×2=6$ m，因此3条与墙垂直的栅栏总长度为$60+6-t=66-t$，每条垂直边的长度为$\frac{66-t}{3}$ m。
因此花圃面积：
$\begin{split}S&=t· \frac{66-t}{3}=-\frac{1}{3}t^2+22t\\&=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363\end{split}$
$\because -\frac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$t=33$时，$S$取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 与墙垂直的边的长度为15米；
(2) 与墙平行的边的长度为33米时，花圃面积最大。
【知识点】
一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何图形的面积相关问题，解题核心是准确结合图形结构用未知数表示各边长度，建立正确的方程或函数关系，能够锻炼学生的数学建模能力，属于常规应用型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 求解方案一的垂直墙边长：首先明确矩形花圃靠墙的一边无需栅栏，栅栏仅围2条与墙垂直的边和1条与墙平行的边。设与墙垂直的边长为$x$ m，可推出与墙平行的边长为总栅栏长减去2条垂直边的长度，即$(60-2x)$ m，再根据矩形面积=长×宽的等量关系，结合已知面积列一元二次方程求解即可，注意验证解的实际合理性。
(2) 求解方案二面积最大时平行墙的边长：首先观察方案二的结构，共有3条与墙垂直的栅栏（2条侧边+1条中间分隔栏），且两侧各有3m宽的进出口不需要栅栏，相当于平行墙方向的栅栏实际所需长度比平行边长少$2×3=6$ m。设与墙平行的边长为$t$ m，先表示出每条垂直边的长度，再根据矩形面积公式写出面积$S$关于$t$的二次函数表达式，将表达式配方为顶点式，结合二次函数开口方向即可求出面积最大时$t$的取值。
【解析】
(1) 设方案一中与墙垂直的边的长度为$x$ m，则与墙平行的边的长度为$(60-2x)$ m。
根据题意列方程：
$x(60-2x)=450$
整理得$x^2-30x+225=0$，即$(x-15)^2=0$
解得$x_1=x_2=15$，符合实际意义。
(2) 设方案二中与墙平行的边的长度为$t$ m，花圃的面积为$S$ $\mathrm{m}^2$。
由题意得，两侧进出口共少用栅栏$3×2=6$ m，因此3条与墙垂直的栅栏总长度为$60+6-t=66-t$，每条垂直边的长度为$\frac{66-t}{3}$ m。
因此花圃面积：
$\begin{split}S&=t· \frac{66-t}{3}=-\frac{1}{3}t^2+22t\\&=-\frac{1}{3}(t-33)^2+363\end{split}$
$\because -\frac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$ 当$t=33$时，$S$取得最大值，符合实际意义。
【答案】
(1) 与墙垂直的边的长度为15米；
(2) 与墙平行的边的长度为33米时，花圃面积最大。
【知识点】
一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何图形的面积相关问题，解题核心是准确结合图形结构用未知数表示各边长度，建立正确的方程或函数关系，能够锻炼学生的数学建模能力，属于常规应用型题目。
【难度系数】
0.7
