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7.「2026 黑龙江齐齐哈尔期中，★★」如图,从一张长10 cm、宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm²,剪去的正方形的边长应为多少?
(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.
(3)如果从矩形硬纸板的四角剪去2个同样大小的正方形和2个形状、大小相同的矩形,然后折成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况?如果有,请你求出侧面积的最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.
(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm²,剪去的正方形的边长应为多少?
(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.
(3)如果从矩形硬纸板的四角剪去2个同样大小的正方形和2个形状、大小相同的矩形,然后折成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况?如果有,请你求出侧面积的最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.
答案
解析 (1)设剪去的正方形的边长为x cm,则(10-2x)(8-2x)=48,即$x^2-9x+8=0.$
解得$x_1=8$(不合题意,舍去),$x_2=1.$
∴剪去的正方形的边长为1 cm.
(2)有侧面积最大的情况.
设剪去的正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm²,
则y与x的函数关系式为y=2(10-2x)x+2(8-2x)x
$(0＜x＜4),即y=-8x^2+36x=-8(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{2}(0＜x＜4).$
∴当$x=\frac{9}{4}$时,$y_{最大}=\frac{81}{2},$
即当剪去的正方形的边长为$\frac{9}{4}$cm时,长方体盒子的侧面积最大,为$\frac{81}{2}$cm².
(3)有侧面积最大的情况.
设剪去的正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm².
若按图1所示的方法剪、折,则y与x的函数关系式为$y=2(8-2x)x+2·\frac{10-2x}{2}·x,$
即$y=-6(x-\frac{13}{6})^2+\frac{169}{6}.$
∴当$x=\frac{13}{6}$时,$y_{最大}=\frac{169}{6}.$
若按图2所示的方法剪、折,则y与x的函数关系式为$y=2(10-2x)x+2·\frac{8-2x}{2}·x,$
即$y=-6(x-\frac{7}{3})^2+\frac{98}{3}.$
∴当$x=\frac{7}{3}$时,$y_{最大}=\frac{98}{3}.$
比较以上两种剪折方法可以看出,按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为$\frac{7}{3}$cm时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为$\frac{98}{3}$cm².
解得$x_1=8$(不合题意,舍去),$x_2=1.$
∴剪去的正方形的边长为1 cm.
(2)有侧面积最大的情况.
设剪去的正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm²,
则y与x的函数关系式为y=2(10-2x)x+2(8-2x)x
$(0＜x＜4),即y=-8x^2+36x=-8(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{2}(0＜x＜4).$
∴当$x=\frac{9}{4}$时,$y_{最大}=\frac{81}{2},$
即当剪去的正方形的边长为$\frac{9}{4}$cm时,长方体盒子的侧面积最大,为$\frac{81}{2}$cm².
(3)有侧面积最大的情况.
设剪去的正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm².
若按图1所示的方法剪、折,则y与x的函数关系式为$y=2(8-2x)x+2·\frac{10-2x}{2}·x,$
即$y=-6(x-\frac{13}{6})^2+\frac{169}{6}.$
∴当$x=\frac{13}{6}$时,$y_{最大}=\frac{169}{6}.$
若按图2所示的方法剪、折,则y与x的函数关系式为$y=2(10-2x)x+2·\frac{8-2x}{2}·x,$
即$y=-6(x-\frac{7}{3})^2+\frac{98}{3}.$
∴当$x=\frac{7}{3}$时,$y_{最大}=\frac{98}{3}.$
比较以上两种剪折方法可以看出,按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为$\frac{7}{3}$cm时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为$\frac{98}{3}$cm².
解析
【分析】
本题考查一元二次方程与二次函数在几何图形问题中的应用，解题思路如下：
(1) 设剪去的正方形边长为x cm，折成无盖长方体后，底面的长为原长减去2个x，宽为原宽减去2个x，根据底面积=长×宽列一元二次方程求解，结合实际意义舍去不符合的解即可；
(2) 无盖长方体的侧面积是4个侧面的面积之和，两个侧面为“长×高”，两个为“宽×高”，高就是x，据此列侧面积关于x的二次函数，利用二次函数开口向下顶点处取最值的性质求解即可，注意x的取值范围要保证各边长为正；
(3) 有盖长方体有两种剪折方式：一种是沿长边方向裁出盖的两个面，另一种是沿短边方向裁出盖的两个面，分别对两种情况列侧面积的二次函数求最值，再比较两个最值得到最终结果。
【解析】
(1) 设剪去的正方形的边长为x cm，折成无盖长方体盒子的底面长为$(10-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(8-2x)\mathrm{cm}$，根据底面积为$48\mathrm{cm}^2$列方程：
$(10-2x)(8-2x)=48$
展开整理得：$x^2-9x+8=0$
因式分解得：$(x-1)(x-8)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$
当$x=8$时，$8-2x=-8＜0$，不符合实际意义，舍去
∴剪去的正方形的边长为1 cm。
(2) 有侧面积最大的情况。
设剪去的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，x的取值范围为$0＜x＜4$（保证长宽均为正）。
侧面积为两个长侧面加两个宽侧面的和：
$y=2(10-2x)x + 2(8-2x)x$
展开整理得：$y=-8x^2+36x$
配方得：$y=-8(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{2}$
∵$-8＜0$，二次函数开口向下，且$\frac{9}{4}=2.25$在$0＜x＜4$范围内
∴当$x=\frac{9}{4}$时，$y$取得最大值$\frac{81}{2}$
即当剪去的正方形边长为$\frac{9}{4}\mathrm{cm}$时，侧面积最大为$\frac{81}{2}\mathrm{cm}^2$。
(3) 有侧面积最大的情况，分两种剪折方式讨论：
设剪去的正方形边长为x cm，盒子侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$。
① 若沿长边裁出盖的两个面：
$y=2(8-2x)x + 2×\frac{10-2x}{2}× x$
整理得：$y=-6x^2+26x=-6(x-\frac{13}{6})^2+\frac{169}{6}$
当$x=\frac{13}{6}$时，$y$最大值为$\frac{169}{6}\mathrm{cm}^2$。
② 若沿短边裁出盖的两个面：
$y=2(10-2x)x + 2×\frac{8-2x}{2}× x$
整理得：$y=-6x^2+28x=-6(x-\frac{7}{3})^2+\frac{98}{3}$
当$x=\frac{7}{3}$时，$y$最大值为$\frac{98}{3}\mathrm{cm}^2$。
比较两个最值：$\frac{98}{3}=\frac{196}{6}＞\frac{169}{6}$，因此第二种剪法侧面积更大。
即当剪去的正方形边长为$\frac{7}{3}\mathrm{cm}$时，折成的有盖长方体盒子侧面积最大，最大值为$\frac{98}{3}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 剪去的正方形的边长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；
(2) 有最大侧面积，当剪去的正方形边长为$\boldsymbol{\frac{9}{4}\mathrm{cm}}$时，侧面积最大为$\boldsymbol{\frac{81}{2}\mathrm{cm}^2}$；
(3) 有最大侧面积，当剪去的正方形边长为$\boldsymbol{\frac{7}{3}\mathrm{cm}}$时，侧面积最大为$\boldsymbol{\frac{98}{3}\mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；几何体表面积计算
【点评】
本题结合图形折叠问题，考察了方程建模和函数建模的思想，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，第三问需要分类讨论两种剪折情况，避免漏解，能有效提升分析问题和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程与二次函数在几何图形问题中的应用，解题思路如下：
(1) 设剪去的正方形边长为x cm，折成无盖长方体后，底面的长为原长减去2个x，宽为原宽减去2个x，根据底面积=长×宽列一元二次方程求解，结合实际意义舍去不符合的解即可；
(2) 无盖长方体的侧面积是4个侧面的面积之和，两个侧面为“长×高”，两个为“宽×高”，高就是x，据此列侧面积关于x的二次函数，利用二次函数开口向下顶点处取最值的性质求解即可，注意x的取值范围要保证各边长为正；
(3) 有盖长方体有两种剪折方式：一种是沿长边方向裁出盖的两个面，另一种是沿短边方向裁出盖的两个面，分别对两种情况列侧面积的二次函数求最值，再比较两个最值得到最终结果。
【解析】
(1) 设剪去的正方形的边长为x cm，折成无盖长方体盒子的底面长为$(10-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(8-2x)\mathrm{cm}$，根据底面积为$48\mathrm{cm}^2$列方程：
$(10-2x)(8-2x)=48$
展开整理得：$x^2-9x+8=0$
因式分解得：$(x-1)(x-8)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=1$
当$x=8$时，$8-2x=-8＜0$，不符合实际意义，舍去
∴剪去的正方形的边长为1 cm。
(2) 有侧面积最大的情况。
设剪去的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，x的取值范围为$0＜x＜4$（保证长宽均为正）。
侧面积为两个长侧面加两个宽侧面的和：
$y=2(10-2x)x + 2(8-2x)x$
展开整理得：$y=-8x^2+36x$
配方得：$y=-8(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{2}$
∵$-8＜0$，二次函数开口向下，且$\frac{9}{4}=2.25$在$0＜x＜4$范围内
∴当$x=\frac{9}{4}$时，$y$取得最大值$\frac{81}{2}$
即当剪去的正方形边长为$\frac{9}{4}\mathrm{cm}$时，侧面积最大为$\frac{81}{2}\mathrm{cm}^2$。
(3) 有侧面积最大的情况，分两种剪折方式讨论：
设剪去的正方形边长为x cm，盒子侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$。
① 若沿长边裁出盖的两个面：
$y=2(8-2x)x + 2×\frac{10-2x}{2}× x$
整理得：$y=-6x^2+26x=-6(x-\frac{13}{6})^2+\frac{169}{6}$
当$x=\frac{13}{6}$时，$y$最大值为$\frac{169}{6}\mathrm{cm}^2$。
② 若沿短边裁出盖的两个面：
$y=2(10-2x)x + 2×\frac{8-2x}{2}× x$
整理得：$y=-6x^2+28x=-6(x-\frac{7}{3})^2+\frac{98}{3}$
当$x=\frac{7}{3}$时，$y$最大值为$\frac{98}{3}\mathrm{cm}^2$。
比较两个最值：$\frac{98}{3}=\frac{196}{6}＞\frac{169}{6}$，因此第二种剪法侧面积更大。
即当剪去的正方形边长为$\frac{7}{3}\mathrm{cm}$时，折成的有盖长方体盒子侧面积最大，最大值为$\frac{98}{3}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 剪去的正方形的边长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；
(2) 有最大侧面积，当剪去的正方形边长为$\boldsymbol{\frac{9}{4}\mathrm{cm}}$时，侧面积最大为$\boldsymbol{\frac{81}{2}\mathrm{cm}^2}$；
(3) 有最大侧面积，当剪去的正方形边长为$\boldsymbol{\frac{7}{3}\mathrm{cm}}$时，侧面积最大为$\boldsymbol{\frac{98}{3}\mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；几何体表面积计算
【点评】
本题结合图形折叠问题，考察了方程建模和函数建模的思想，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，第三问需要分类讨论两种剪折情况，避免漏解，能有效提升分析问题和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
8. 核心素养 应用意识 「2025江苏连云港中考」一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2 m，面积为1.5 m².
(1)甲、乙两人分别按
、
用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大.
(2)丙、丁两人分别用它按
、
设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积$y(\mathrm{m}^2)$与DE的长$x(\mathrm{m})$之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值.
(1)甲、乙两人分别按
、用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大.(2)丙、丁两人分别用它按
、设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积$y(\mathrm{m}^2)$与DE的长$x(\mathrm{m})$之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值.答案
解析 (1)
∵$BC=2\ \mathrm{m},S_{△ABC}=1.5\ \mathrm{m}^2,$
∴$AC=\frac{1.5}{\frac{1}{2}×2}=1.5(\mathrm{m}),$
∴$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=2.5\ \mathrm{m}.$
设正方形的边长为a.
题图1:
∵四边形CDEF是正方形,
∴DE//CF,DE=CD=a,AD=1.5-a,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC},即\frac{a}{2}=\frac{1.5-a}{1.5},$
解得$a=\frac{6}{7}\ \mathrm{m}.$
题图2:
∵四边形GDEF是正方形,
∴DE//GF,
∴△DEC∽△ABC,
∴$\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5},$
∴$DC=\frac{3}{5}a,$
∴$AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}a,$
∵∠A=∠A,∠AGD=∠C=90°,
∴△ADG∽△ABC,
∴$\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{AB},即\frac{a}{\frac{3}{2}-\frac{3}{5}a}=\frac{4}{5},$
解得$a=\frac{30}{37}\ \mathrm{m}.$
∵$\frac{6}{7}＞\frac{30}{37},$
∴题图1中的正方形面积较大.
(2)由(1)可知AC=1.5 m,BC=2 m,AB=2.5 m.
题图3:
∵四边形CDEF是长方形,
∴DE//CF,DE=CF=x,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CB}=\frac{3}{4},$
∴$AD=\frac{3}{4}x,∴DC=AC-AD=\frac{6-3x}{4},$
∴$y=DE·DC=x·\frac{6-3x}{4}=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4},$
∵$-\frac{3}{4}＜0,$
∴当x=1时,长方形的面积最大,为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2.$
题图4:同(1)得△DEC∽△ABC,
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3},$
∴$DC=\frac{3}{5}x,∴DA=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x,$
同(1)得△ADG∽△ABC,
∴$\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{4}{5},$
∴$DG=\frac{4}{5}DA=\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x),$
∴$y=DE·DG=x·\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)$
$=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4},$
∵$-\frac{12}{25}＜0,$
∴当$x=\frac{5}{4}$时,长方形的面积最大,为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2.$
∵$BC=2\ \mathrm{m},S_{△ABC}=1.5\ \mathrm{m}^2,$
∴$AC=\frac{1.5}{\frac{1}{2}×2}=1.5(\mathrm{m}),$
∴$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=2.5\ \mathrm{m}.$
设正方形的边长为a.
题图1:
∵四边形CDEF是正方形,
∴DE//CF,DE=CD=a,AD=1.5-a,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC},即\frac{a}{2}=\frac{1.5-a}{1.5},$
解得$a=\frac{6}{7}\ \mathrm{m}.$
题图2:
∵四边形GDEF是正方形,
∴DE//GF,
∴△DEC∽△ABC,
∴$\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5},$
∴$DC=\frac{3}{5}a,$
∴$AD=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}a,$
∵∠A=∠A,∠AGD=∠C=90°,
∴△ADG∽△ABC,
∴$\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{AB},即\frac{a}{\frac{3}{2}-\frac{3}{5}a}=\frac{4}{5},$
解得$a=\frac{30}{37}\ \mathrm{m}.$
∵$\frac{6}{7}＞\frac{30}{37},$
∴题图1中的正方形面积较大.
(2)由(1)可知AC=1.5 m,BC=2 m,AB=2.5 m.
题图3:
∵四边形CDEF是长方形,
∴DE//CF,DE=CF=x,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CB}=\frac{3}{4},$
∴$AD=\frac{3}{4}x,∴DC=AC-AD=\frac{6-3x}{4},$
∴$y=DE·DC=x·\frac{6-3x}{4}=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4},$
∵$-\frac{3}{4}＜0,$
∴当x=1时,长方形的面积最大,为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2.$
题图4:同(1)得△DEC∽△ABC,
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3},$
∴$DC=\frac{3}{5}x,∴DA=AC-DC=\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x,$
同(1)得△ADG∽△ABC,
∴$\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{4}{5},$
∴$DG=\frac{4}{5}DA=\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x),$
∴$y=DE·DG=x·\frac{4}{5}(\frac{3}{2}-\frac{3}{5}x)$
$=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4},$
∵$-\frac{12}{25}＜0,$
∴当$x=\frac{5}{4}$时,长方形的面积最大,为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2.$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用直角三角形的面积和已知直角边BC的长度，求出另一条直角边AC的长度，再用勾股定理求出斜边AB的长度，为后续计算做基础准备。2. 第(1)问中，两个正方形均内接于直角三角形，分别根据正方形对边平行的性质找到对应相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求出两个正方形的边长，比较边长大小即可判断面积大小。3. 第(2)问中，两个长方形同样内接于直角三角形，还是借助相似三角形的性质，用DE的长x表示出长方形的另一条边长，再根据长方形面积公式得到y与x的函数表达式，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 已知$BC=2\ \mathrm{m}$，$S_{△ ABC}=1.5\ \mathrm{m}^2$，由三角形面积公式得：
$AC=\frac{2S_{△ ABC}}{BC}=\frac{2×1.5}{2}=1.5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{m}$。
设正方形的边长为$a$：
① 题图1：四边形CDEF是正方形，故$DE// BC$，$DE=CD=a$，$AD=AC-CD=1.5-a$，
可得$△ ADE ∽ △ ACB$，
由相似性质得$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{a}{2}=\frac{1.5-a}{1.5}$，
解得$a=\frac{6}{7}\ \mathrm{m}$。
② 题图2：四边形GDEF是正方形，故$DE// AB$，
可得$△ CDE ∽ △ CAB$，
由相似性质得$\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}$，故$DC=\frac{3}{5}a$，
则$AD=AC-DC=1.5-\frac{3}{5}a$，
又$∠ A=∠ A$，$∠ AGD=∠ C=90°$，故$△ ADG ∽ △ ABC$，
由相似性质得$\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{a}{1.5-\frac{3}{5}a}=\frac{2}{2.5}=\frac{4}{5}$，
解得$a=\frac{30}{37}\ \mathrm{m}$。
因为$\frac{6}{7}=\frac{222}{259}＞\frac{30}{37}=\frac{210}{259}$，所以题图1的正方形面积较大。
(2) 由(1)已知$AC=1.5\ \mathrm{m}$，$BC=2\ \mathrm{m}$，$AB=2.5\ \mathrm{m}$：
① 题图3：四边形CDEF是长方形，故$DE// BC$，$DE=x$，
可得$△ ADE ∽ △ ACB$，
由相似性质得$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{AD}{1.5}=\frac{x}{2}$，解得$AD=\frac{3}{4}x$，
则$CD=AC-AD=1.5-\frac{3}{4}x=\frac{6-3x}{4}$，
长方形面积$y=DE· CD=x·\frac{6-3x}{4}=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4}$，
因为二次项系数$-\frac{3}{4}＜0$，所以当$x=1$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
② 题图4：四边形DEFG是长方形，故$DE// AB$，$DE=x$，
可得$△ CDE ∽ △ CAB$，
由相似性质得$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{AC}$，即$\frac{x}{2.5}=\frac{CD}{1.5}$，解得$CD=\frac{3}{5}x$，
则$AD=AC-CD=1.5-\frac{3}{5}x$，
又$∠ A=∠ A$，$∠ AGD=∠ C=90°$，故$△ ADG ∽ △ ABC$，
由相似性质得$\frac{DG}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DG}{2}=\frac{1.5-\frac{3}{5}x}{2.5}$，解得$DG=\frac{4}{5}(1.5-\frac{3}{5}x)$，
长方形面积$y=DE· DG=x·\frac{4}{5}(1.5-\frac{3}{5}x)=-\frac{12}{25}x^2+\frac{6}{5}x=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4}$，
因为二次项系数$-\frac{12}{25}＜0$，所以当$x=\frac{5}{4}$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 题图1（甲设计）的正方形面积较大；
(2) 题图3：函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x}$（或$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4}$），面积最大值为$\boldsymbol{\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2}$；
题图4：函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{25}x^2+\frac{6}{5}x}$（或$y=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4}$），面积最大值为$\boldsymbol{\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数最值应用
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考察了直角三角形性质、相似三角形应用以及二次函数求最值的相关知识，着重考察学生的逻辑推理能力和数学应用意识，解题的关键是找准相似三角形，正确建立边长之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用直角三角形的面积和已知直角边BC的长度，求出另一条直角边AC的长度，再用勾股定理求出斜边AB的长度，为后续计算做基础准备。2. 第(1)问中，两个正方形均内接于直角三角形，分别根据正方形对边平行的性质找到对应相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，求出两个正方形的边长，比较边长大小即可判断面积大小。3. 第(2)问中，两个长方形同样内接于直角三角形，还是借助相似三角形的性质，用DE的长x表示出长方形的另一条边长，再根据长方形面积公式得到y与x的函数表达式，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 已知$BC=2\ \mathrm{m}$，$S_{△ ABC}=1.5\ \mathrm{m}^2$，由三角形面积公式得：
$AC=\frac{2S_{△ ABC}}{BC}=\frac{2×1.5}{2}=1.5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{m}$。
设正方形的边长为$a$：
① 题图1：四边形CDEF是正方形，故$DE// BC$，$DE=CD=a$，$AD=AC-CD=1.5-a$，
可得$△ ADE ∽ △ ACB$，
由相似性质得$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{a}{2}=\frac{1.5-a}{1.5}$，
解得$a=\frac{6}{7}\ \mathrm{m}$。
② 题图2：四边形GDEF是正方形，故$DE// AB$，
可得$△ CDE ∽ △ CAB$，
由相似性质得$\frac{DC}{DE}=\frac{AC}{AB}=\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}$，故$DC=\frac{3}{5}a$，
则$AD=AC-DC=1.5-\frac{3}{5}a$，
又$∠ A=∠ A$，$∠ AGD=∠ C=90°$，故$△ ADG ∽ △ ABC$，
由相似性质得$\frac{DG}{DA}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{a}{1.5-\frac{3}{5}a}=\frac{2}{2.5}=\frac{4}{5}$，
解得$a=\frac{30}{37}\ \mathrm{m}$。
因为$\frac{6}{7}=\frac{222}{259}＞\frac{30}{37}=\frac{210}{259}$，所以题图1的正方形面积较大。
(2) 由(1)已知$AC=1.5\ \mathrm{m}$，$BC=2\ \mathrm{m}$，$AB=2.5\ \mathrm{m}$：
① 题图3：四边形CDEF是长方形，故$DE// BC$，$DE=x$，
可得$△ ADE ∽ △ ACB$，
由相似性质得$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{AD}{1.5}=\frac{x}{2}$，解得$AD=\frac{3}{4}x$，
则$CD=AC-AD=1.5-\frac{3}{4}x=\frac{6-3x}{4}$，
长方形面积$y=DE· CD=x·\frac{6-3x}{4}=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4}$，
因为二次项系数$-\frac{3}{4}＜0$，所以当$x=1$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
② 题图4：四边形DEFG是长方形，故$DE// AB$，$DE=x$，
可得$△ CDE ∽ △ CAB$，
由相似性质得$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{AC}$，即$\frac{x}{2.5}=\frac{CD}{1.5}$，解得$CD=\frac{3}{5}x$，
则$AD=AC-CD=1.5-\frac{3}{5}x$，
又$∠ A=∠ A$，$∠ AGD=∠ C=90°$，故$△ ADG ∽ △ ABC$，
由相似性质得$\frac{DG}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DG}{2}=\frac{1.5-\frac{3}{5}x}{2.5}$，解得$DG=\frac{4}{5}(1.5-\frac{3}{5}x)$，
长方形面积$y=DE· DG=x·\frac{4}{5}(1.5-\frac{3}{5}x)=-\frac{12}{25}x^2+\frac{6}{5}x=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4}$，
因为二次项系数$-\frac{12}{25}＜0$，所以当$x=\frac{5}{4}$时，$y$取最大值，最大值为$\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 题图1（甲设计）的正方形面积较大；
(2) 题图3：函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x}$（或$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+\frac{3}{4}$），面积最大值为$\boldsymbol{\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2}$；
题图4：函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{25}x^2+\frac{6}{5}x}$（或$y=-\frac{12}{25}(x-\frac{5}{4})^2+\frac{3}{4}$），面积最大值为$\boldsymbol{\frac{3}{4}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数最值应用
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考察了直角三角形性质、相似三角形应用以及二次函数求最值的相关知识，着重考察学生的逻辑推理能力和数学应用意识，解题的关键是找准相似三角形，正确建立边长之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
