1.「2026北京师大附属实验中学月考」某种商品每件的进价为30元，经调查表明：在某段时间内，若以每件x元(30＜x＜40，且x为整数)的价格出售，则可卖出(42−x)件，要使这段时间内利润最大，每件的售价应为 ()

A.34元
B.35元
C.36元
D.38元

设最大利润为w元,则w=(x-30)(42-x)=-(x-36)²+36,
∵ 30≤x≤40,-1＜0,
∴ 当x=36时,二次函数有最大值,为36,
∴ 要使利润最大,每件的售价应为36元.故选C.

【分析】
解决这类利润最值问题，首先要明确销售问题的核心数量关系：总利润=单件利润×销售数量。我们可以先设总利润为w元，先用售价x表示出单件利润（售价减进价），再结合题目给出的销量表达式，列出总利润关于售价x的函数关系式，再根据二次函数的性质求最大值，同时要注意x的取值范围限制，即可求出最优售价。
【解析】
设这段时间的总利润为w元。
单件商品的利润为$(x-30)$元，销售数量为$(42-x)$件，因此总利润为：
$w=(x-30)(42-x)$
展开并配方得：
$w=-x^2+72x-1260=-(x-36)^2+36$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，$\therefore$ 该二次函数的图象开口向下，在顶点处取得最大值。
又$\because 30＜x＜40$，且x为整数，$x=36$在给定取值范围内，
$\therefore$ 当$x=36$时，w取得最大值，即此时利润最大。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
销售利润计算；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数解决利润问题的典型基础题，解题关键是正确根据利润公式列出函数表达式，再结合二次函数的图象性质求最值，要注意自变量的实际取值范围会影响最值点的取舍。
【难度系数】
0.8

2. 学科特色 教材变式 某花圃用花盆培育花苗,每盆的盈利与每盆种植的株数有一定的关系.每盆种植4株时,平均每株盈利4元,以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均每株盈利就减少0.5元.要使每盆盈利达到最大,则每盆应种植株.

解析 设每盆的盈利为y元,每盆种植x株,则y=x[4-(x-4)×0.5 ] = 6x - 0.5x² = - 0.5(x-6)² + 18,
∵ -0.5＜0,
∴ 当x=6时,y有最大值,为18.故要使每盆盈利达到最大,每盆应种植6株.

【分析】
本题是利用二次函数求解利润最大值的实际问题，解题思路如下：第一步，明确变量，设每盆种植株数为自变量x，每盆总盈利为因变量y；第二步，推导单株盈利的表达式：已知每盆种4株时单株盈利4元，每多种1株单株盈利减0.5元，那么种x株时，比4株多了(x-4)株，单株盈利就为$[4 - 0.5(x-4)]$元；第三步，根据“总盈利=单株盈利×总株数”列出函数关系式；第四步，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向判断最大值对应的自变量取值，注意自变量需符合实际意义。
【解析】
设每盆的盈利为y元，每盆种植x株（x为正整数，且$x≥4$）。
由题意得单株盈利为：$4 - 0.5(x - 4)$元
则总盈利$y = x[4 - 0.5(x - 4)]$
展开化简：
$y = x(4 - 0.5x + 2) = x(6 - 0.5x) = -0.5x^2 + 6x$
配方为顶点式：
$y = -0.5(x^2 - 12x) = -0.5[(x - 6)^2 - 36] = -0.5(x - 6)^2 + 18$
∵ 二次项系数$-0.5 ＜ 0$，
∴ 该二次函数图象开口向下，顶点为函数的最大值点
∴ 当$x = 6$时，y取得最大值18，符合实际意义。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，利润问题计算
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的典型基础题，解题核心是准确梳理单株利润与种植株数的数量关系，正确列出二次函数解析式，再结合二次函数的图象性质求解最值，此类题型是实际应用类问题的常考方向。
【难度系数】
0.7

3.「2025四川达州中考」为弘扬达州地方文化,让更多游客了解巴人故里,某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元/件,当售价为40元/件时,每天可以售出60件.经调查发现,每件售价每降价1元,每天可以多售出10件.
(1)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元,则每天售出的数量是件.
(2)为让利于游客,该款巴小虎吉祥物每件应该降价多少元,才能使文旅公司每天的利润是630元?
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元,当每件售价为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少?

(1)(60+10x).
(2)根据题意可得(40-30-x)(60+10x)= 630,整理可得x²-4x+3=0,解得x₁=1,x₂=3,
∵ 要让利于游客,
∴ x=3,
∴ 该款巴小虎吉祥物每件降价3元时,文旅公司每天的利润是630元.
(3)根据题意得,W=(40-30-x)(60+10x)
= (10-x)(60+10x)
= -10x²+40x+600
=-10(x-2)²+640,
∵ -10＜0,
∴ 当x=2时,W取最大值,为640,此时每件的售价为38元.
答:每件的售价为38元时,每天的利润最大,最大利润是640元.

【分析】
(1) 已知原日销量为60件，每降价1元日销量增加10件，降价x元时日销量增加10x件，总销量=原销量+增加的销量，代入数量即可得结果。
(2) 销售问题核心等量关系为：总利润=单件利润×销售数量。先表示出降价x元后的单件利润为(40-30-x)元，销售数量为第(1)问的结果，令总利润等于630元列一元二次方程求解，再结合“让利于游客”的要求，选择降价幅度更大的解即可。
(3) 先根据总利润等量关系列出W关于x的二次函数表达式，结合二次函数的性质，通过配方求最值，再将x的值换算为实际售价，即可得到最大利润。
【解析】
(1) 原销量60件，降价x元后多售出10x件，因此每天售出的数量是(60+10x)件。
(2) 依题意列方程：
$(40-30-x)(60+10x)=630$
整理得：$x^2-4x+3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
∵要让利于游客，应选择降价幅度更大的方案
∴$x=3$
(3) 依题意得利润表达式：
$W=(40-30-x)(60+10x)$
$=(10-x)(60+10x)$
$=-10x^2+40x+600$
配方得：$W=-10(x-2)^2+640$
∵$-10＜0$，抛物线开口向下
∴当$x=2$时，W取最大值640，此时售价为$40-2=38$元
【答案】
(1) $\boldsymbol{(60+10x)}$
(2) 该款巴小虎吉祥物每件降价3元时，文旅公司每天的利润是630元。
(3) 当每件售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；销售利润问题
【点评】
本题结合实际生活场景考查销售类利润问题，解题核心是掌握“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，同时要注意题干的限制条件，对求得的解进行合理取舍。
【难度系数】
0.7

4.「2026江苏泰州兴化期中」某桶装水公司每天的房租、水电费、人员工资等固定成本为250元,每桶水的进价是5元,规定销售单价不得高于12元,也不得低于7元,调查发现日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的函数图象如图所示.
(1)求日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的函数关系式.
(2)设日均获利为w(元),当销售单价为多少时,w达到最大?w最大为多少?

(1)设日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
根据题意得$\begin{cases}7k+b=500,\\12k+b=250,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-50,\\b=850,\end{cases}$
∴ y=-50x+850,
∴ 日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的函数关系式为y=-50x+850.
(2)根据题意得w=(x-5)(-50x+850)-250,
=-50x²+1 100x-4 500
=-50(x-11)²+1 550,
∵ a=-50＜0,且7≤x≤12,
∴ 当x=11时,w有最大值,为1 550.
答:当销售单价为11元时,w达到最大,w最大为1 550.

【分析】
（1）由图象可知日均销售量y是销售单价x的一次函数，且函数过点(7,500)和(12,250)，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），将两个已知点坐标代入得到二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到函数关系式，同时要注意x的取值范围为7≤x≤12。
（2）日均获利的计算逻辑为：总获利=单桶利润×日均销售量-固定成本。其中单桶利润为(x-5)元，日均销售量为（1）中求出的y的表达式，代入后可得到w关于x的二次函数解析式，将解析式配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，即可求出w的最大值及对应的销售单价。
【解析】
(1) 设日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(7,500)$、$(12,250)$代入解析式，得：
$\begin{cases}7k+b=500\\12k+b=250\end{cases}$
两式相减得$5k=-250$，解得$k=-50$，
将$k=-50$代入$7k+b=500$，得$-350+b=500$，解得$b=850$，
因此日均销售量y与x的函数关系式为$y=-50x+850（7≤ x≤12）$。
(2) 根据题意，单桶水的利润为$(x-5)$元，固定成本为250元，因此日均获利：
$\begin{aligned}w&=(x-5)(-50x+850)-250\\&=-50x^2+1100x-4250-250\\&=-50x^2+1100x-4500\\&=-50(x-11)^2+1550\end{aligned}$
∵ $a=-50＜0$，二次函数开口向下，且$7≤ x≤12$，顶点横坐标$x=11$在取值范围内，
∴ 当$x=11$时，w取得最大值，最大值为1550元。
【答案】
(1) $y=-50x+850（7≤ x≤12）$；
(2) 当销售单价为11元时，w达到最大，最大为1550元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数利润应用；二次函数求最值
【点评】
本题是函数实际应用的常规题型，需要结合图象信息和利润计算逻辑建立函数关系，求解最值时要注意自变量的实际取值范围，避免直接取顶点而忽略范围限制的错误。
【难度系数】
0.65

5.「2025广西南宁青秀一模，★☆」某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润$y_1$(万元)与投入的资金$x$(万元)成正比例关系，如图①所示，种植果树的利润$y_2$(万元)与投入的资金$x$(万元)成二次函数关系，如图②所示。如果这位专业户投入种植茶树及果树的资金共有10万元，则他能获取的最大总利润是 ()


A.20万元
B.32万元
C.48万元
D.50万元

设y₁=kx(k≠0),把P(1,2)代入y₁=kx中得k=2,
∴ y₁=2x.
设y₂=ax²,把Q(2,2)代入y₂=ax²中得2=4a,解得a=$\frac{1}{2}$,
∴ y₂=$\frac{1}{2}x²$.
设这位专业户投入种植果树的资金为m万元,则投入种植茶树的资金为(10-m)万元,设他获得的总利润为w万元,
由题意得w=2(10-m)+$\frac{1}{2}m²$=$\frac{1}{2}m²$-2m+20=$\frac{1}{2}(m-2)²+18$,
∵ $\frac{1}{2}$＞0,
∴ 当m=2时,w有最小值,
∵ 0≤m≤10,
∴ 当m=10时,w有最大值,w最大=50,
∴ 能获取的最大总利润是50万元,故选D.

【分析】
解题时首先要根据函数类型和图像上的已知点，分别求出种植茶树、果树的利润对应函数的解析式；其次设投入种植果树的资金为m万元，可推出投入茶树的资金为(10-m)万元，总利润为两类作物利润之和，据此列总利润关于m的函数表达式；最后结合m的实际取值范围，根据二次函数的性质求最值即可，注意本题中二次函数开口向上，顶点处为最小值，最大值需在自变量取值区间的端点处计算。
【解析】
1. 求种植茶树的利润函数：
设$y_1=kx(k≠0)$，将点$P(1,2)$代入解析式，得$2=k×1$，解得$k=2$，因此$y_1=2x$。
2. 求种植果树的利润函数：
由图②可知二次函数过原点，设$y_2=ax^2(a≠0)$，将点$Q(2,2)$代入解析式，得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，因此$y_2=\frac{1}{2}x^2$。
3. 求总利润的最大值：
设投入种植果树的资金为$m$万元，则投入种植茶树的资金为$(10-m)$万元，总利润为$w$万元，根据题意得：
$\begin{aligned}w&=2(10-m)+\frac{1}{2}m^2\\&=\frac{1}{2}m^2-2m+20\\&=\frac{1}{2}(m-2)^2+18\end{aligned}$
因为$\frac{1}{2}＞0$，所以二次函数开口向上，顶点$(2,18)$为函数的最小值点。
结合实际意义，$m$的取值范围为$0≤ m≤10$，在该区间内函数在$m＞2$时随$m$增大而增大，因此当$m=10$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{最大}}=\frac{1}{2}×(10-2)^2+18=50$（万元）。
【答案】D
【知识点】
正比例函数求解析式；二次函数求解析式；二次函数最值应用
【点评】
本题结合实际投资场景考查函数的综合应用，解题关键是准确求出两类利润的函数表达式，再根据总利润的构成列出函数关系式；解题时要注意二次函数的最值不一定在顶点处取得，需结合自变量的实际取值范围判断最值的位置，避免惯性思维直接代入顶点求值出错。
【难度系数】
0.65