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6.「2026 安徽阜阳月考，★☆」某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动.根据王大伯往年的饲养经验,他们发现:饲养A种白鹅获得的利润$y_1$(万元)与投资金额$x$(万元)的函数关系式为$y_1=ax^2$,饲养B种白鹅获得的利润$y_2$(万元)与投资金额$x$(万元)的函数关系式为$y_2=-3ax^2+bx$.画出两函数的图象如图所示.
(1)求函数$y_1,y_2$的表达式.
(2)王大伯计划明年投资10万元饲养A,B两种白鹅.根据以往经验,如何配资金,可使得总利润最大?最大总利润是多少?
(1)求函数$y_1,y_2$的表达式.
(2)王大伯计划明年投资10万元饲养A,B两种白鹅.根据以往经验,如何配资金,可使得总利润最大?最大总利润是多少?
答案
(1)由条件可得5=100a,5=-300a+10b,
解得a=$\frac{1}{20}$,b=2,
∴ y₁=$\frac{1}{20}x²$,y₂=-$\frac{3}{20}x²+2x$.
(2)设投资m万元饲养A种白鹅,则B种白鹅的投资为(10-m)万元,
由题意得y₁+y₂=$\frac{1}{20}m²+[-\frac{3}{20}(10-m)²+2(10-m)]$,
整理得y₁+y₂=-$\frac{1}{10}m²+m+5$=-$\frac{1}{10}(m-5)²+7.5$,
∵ -$\frac{1}{10}$＜0,
∴ 当m=5时,y₁+y₂有最大值,最大值为7.5.
答:当投资5万元饲养A种白鹅,且投资5万元饲养B种白鹅时,可使得利润最大,最大利润为7.5万元.
解得a=$\frac{1}{20}$,b=2,
∴ y₁=$\frac{1}{20}x²$,y₂=-$\frac{3}{20}x²+2x$.
(2)设投资m万元饲养A种白鹅,则B种白鹅的投资为(10-m)万元,
由题意得y₁+y₂=$\frac{1}{20}m²+[-\frac{3}{20}(10-m)²+2(10-m)]$,
整理得y₁+y₂=-$\frac{1}{10}m²+m+5$=-$\frac{1}{10}(m-5)²+7.5$,
∵ -$\frac{1}{10}$＜0,
∴ 当m=5时,y₁+y₂有最大值,最大值为7.5.
答:当投资5万元饲养A种白鹅,且投资5万元饲养B种白鹅时,可使得利润最大,最大利润为7.5万元.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式优先使用待定系数法，观察图象可知两个利润函数都经过点$(10,5)$，即当$x=10$时，$y_1=y_2=5$。先将该点坐标代入$y_1=ax^2$求出$a$的值，再把$a$的值和点$(10,5)$代入$y_2$的表达式即可求出$b$的值，最终得到两个函数的解析式。
(2) 求解总利润最大值问题，首先明确总利润是A、B两种白鹅的利润之和。设投资A种白鹅$m$万元，则投资B种白鹅的金额为$(10-m)$万元，分别代入两个利润函数求和，整理得到总利润关于$m$的二次函数，结合二次函数的开口方向，利用顶点式即可求出最大利润及对应的投资分配方案。
【解析】
(1) 由图象可得，当$x=10$时，$y_1=y_2=5$，代入函数关系式得：
$\begin{cases}5=100a\\5=-300a+10b\end{cases}$
解得$a=\frac{1}{20}$，$b=2$
∴ $y_1=\frac{1}{20}x^2$，$y_2=-\frac{3}{20}x^2+2x$。
(2) 设投资$m$万元饲养A种白鹅，则投资B种白鹅的金额为$(10-m)$万元，总利润为$w$万元：
$w=\frac{1}{20}m^2+[-\frac{3}{20}(10-m)^2+2(10-m)]$
整理得：
$w=-\frac{1}{10}m^2+m+5=-\frac{1}{10}(m-5)^2+7.5$
∵ $-\frac{1}{10}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$m=5$时，$w$有最大值，最大值为7.5万元，此时$10-m=5$万元。
【答案】
(1) $y_1=\frac{1}{20}x^2$，$y_2=-\frac{3}{20}x^2+2x$；
(2) 投资5万元饲养A种白鹅、5万元饲养B种白鹅时总利润最大，最大总利润为7.5万元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，二次函数最值
【点评】
本题结合养殖投资的生活场景考查二次函数的应用，解题关键是从图象中获取有效信息，理清总利润的构成关系，正确列出函数表达式后结合二次函数性质求解最值，是典型的函数应用型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式优先使用待定系数法，观察图象可知两个利润函数都经过点$(10,5)$，即当$x=10$时，$y_1=y_2=5$。先将该点坐标代入$y_1=ax^2$求出$a$的值，再把$a$的值和点$(10,5)$代入$y_2$的表达式即可求出$b$的值，最终得到两个函数的解析式。
(2) 求解总利润最大值问题，首先明确总利润是A、B两种白鹅的利润之和。设投资A种白鹅$m$万元，则投资B种白鹅的金额为$(10-m)$万元，分别代入两个利润函数求和，整理得到总利润关于$m$的二次函数，结合二次函数的开口方向，利用顶点式即可求出最大利润及对应的投资分配方案。
【解析】
(1) 由图象可得，当$x=10$时，$y_1=y_2=5$，代入函数关系式得：
$\begin{cases}5=100a\\5=-300a+10b\end{cases}$
解得$a=\frac{1}{20}$，$b=2$
∴ $y_1=\frac{1}{20}x^2$，$y_2=-\frac{3}{20}x^2+2x$。
(2) 设投资$m$万元饲养A种白鹅，则投资B种白鹅的金额为$(10-m)$万元，总利润为$w$万元：
$w=\frac{1}{20}m^2+[-\frac{3}{20}(10-m)^2+2(10-m)]$
整理得：
$w=-\frac{1}{10}m^2+m+5=-\frac{1}{10}(m-5)^2+7.5$
∵ $-\frac{1}{10}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$m=5$时，$w$有最大值，最大值为7.5万元，此时$10-m=5$万元。
【答案】
(1) $y_1=\frac{1}{20}x^2$，$y_2=-\frac{3}{20}x^2+2x$；
(2) 投资5万元饲养A种白鹅、5万元饲养B种白鹅时总利润最大，最大总利润为7.5万元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数实际应用，二次函数最值
【点评】
本题结合养殖投资的生活场景考查二次函数的应用，解题关键是从图象中获取有效信息，理清总利润的构成关系，正确列出函数表达式后结合二次函数性质求解最值，是典型的函数应用型基础题。
【难度系数】
0.7
7. 核心素养 应用意识 某菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点(
)，发现该蔬菜需求量$y_{需求}$（吨）关于售价$x$（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为$y_{需求}=ax^2 + c$，部分对应值如下表：
②该蔬菜供给量$y_{供给}$（吨）关于售价$x$（元/千克）的函数表达式为$y_{供给}=x - 1$，函数图象见。
③1~7月份该蔬菜售价$x_{售价}$（元/千克）、成本$x_{成本}$（元/千克）关于月份$t$的函数表达式分别为$x_{售价}=\frac{1}{2}t + 2$，$x_{成本}=\frac{1}{4}t^2 - \frac{3}{2}t + 3$，函数图象见
。
请解答下列问题：
(1)求$a,c$的值.
(2)根据图2，在哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？请说明理由.
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.
①统计售价与需求量的数据，通过描点(
)，发现该蔬菜需求量$y_{需求}$（吨）关于售价$x$（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为$y_{需求}=ax^2 + c$，部分对应值如下表：②该蔬菜供给量$y_{供给}$（吨）关于售价$x$（元/千克）的函数表达式为$y_{供给}=x - 1$，函数图象见。
③1~7月份该蔬菜售价$x_{售价}$（元/千克）、成本$x_{成本}$（元/千克）关于月份$t$的函数表达式分别为$x_{售价}=\frac{1}{2}t + 2$，$x_{成本}=\frac{1}{4}t^2 - \frac{3}{2}t + 3$，函数图象见
。请解答下列问题：
(1)求$a,c$的值.
(2)根据图2，在哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？请说明理由.
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.
答案
(1)把(3,7.2),(4,5.8)代入$y_{需求}=ax² + c$,
得$\begin{cases}9a+c=7.2①,\\16a+c=5.8②,\end{cases}$
②-①,得7a=-1.4,解得a=-$\frac{1}{5}$,
把a=-$\frac{1}{5}$代入①,得c=9,
∴ a的值为-$\frac{1}{5}$,c的值为9.
(2)设这种蔬菜每千克获利w元,根据题意得w=$x_{售价}-x_{成本}=\frac{1}{2}t+2-(\frac{1}{4}t²-\frac{3}{2}t+3)=-\frac{1}{4}(t-4)²+3$,
∵ -$\frac{1}{4}$＜0,且1≤t≤7,
∴ 当t=4时,w有最大值,即在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
(3)当$y_{供给}=y_{需求}$时,$x-1=-\frac{1}{5}x²+9$,
解得x₁=5,x₂=-10(舍去),
∴ 售价为5元/千克时,该蔬菜供给量与需求量相等,此时$y_{供给}=x-1=4$,4吨=4 000千克.
令$\frac{1}{2}t+2=5$,解得t=6,
此时w=-$\frac{1}{4}×(6-4)²+3=2$,
∴ w·y=2×4 000=8 000.
故该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8 000元.
得$\begin{cases}9a+c=7.2①,\\16a+c=5.8②,\end{cases}$
②-①,得7a=-1.4,解得a=-$\frac{1}{5}$,
把a=-$\frac{1}{5}$代入①,得c=9,
∴ a的值为-$\frac{1}{5}$,c的值为9.
(2)设这种蔬菜每千克获利w元,根据题意得w=$x_{售价}-x_{成本}=\frac{1}{2}t+2-(\frac{1}{4}t²-\frac{3}{2}t+3)=-\frac{1}{4}(t-4)²+3$,
∵ -$\frac{1}{4}$＜0,且1≤t≤7,
∴ 当t=4时,w有最大值,即在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
(3)当$y_{供给}=y_{需求}$时,$x-1=-\frac{1}{5}x²+9$,
解得x₁=5,x₂=-10(舍去),
∴ 售价为5元/千克时,该蔬菜供给量与需求量相等,此时$y_{供给}=x-1=4$,4吨=4 000千克.
令$\frac{1}{2}t+2=5$,解得t=6,
此时w=-$\frac{1}{4}×(6-4)²+3=2$,
∴ w·y=2×4 000=8 000.
故该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克,按此价格出售获得的总利润为8 000元.
解析
【分析】
(1) 求a、c的值使用待定系数法：已知需求量函数解析式为$y_{需求}=ax^2 + c$，题目给出两组对应值，将其代入解析式即可得到关于a、c的二元一次方程组，通过消元法解方程组就能求出两个系数。
(2) 每千克获利=售价-成本，先把售价、成本关于月份t的表达式代入获利公式，整理得到获利关于t的二次函数，再化为顶点式，结合二次函数开口方向和t的取值范围（1≤t≤7），即可求出获利最大的月份。
(3) 供给量与需求量相等即两个函数值相等，联立表达式得到一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根得到均衡售价；再根据售价求出对应供给量、对应的月份，算出此时每千克利润，乘以总质量（注意单位换算）即可得到总利润。
【解析】
(1) 把$(3,7.2),(4,5.8)$代入$y_{需求}=ax^2 + c$，得
$\begin{cases}9a+c=7.2①\\16a+c=5.8②\end{cases}$
②-①，得$7a=-1.4$，解得$a=-\frac{1}{5}$，
把$a=-\frac{1}{5}$代入①，得$c=9$。
(2) 设这种蔬菜每千克获利$w$元，根据题意得：
$w=x_{售价}-x_{成本}=\frac{1}{2}t+2-(\frac{1}{4}t^2-\frac{3}{2}t+3)=-\frac{1}{4}(t-4)^2+3$
$\because -\frac{1}{4}＜0$，且$1≤ t≤7$，
$\therefore$ 当$t=4$时，$w$有最大值，即在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大。
(3) 当$y_{供给}=y_{需求}$时，$x-1=-\frac{1}{5}x^2+9$，
解得$x_1=5$，$x_2=-10$（售价不能为负，舍去），
$\therefore$ 售价为5元/千克时，供给量与需求量相等，此时$y_{供给}=x-1=4$吨=4000千克。
令$\frac{1}{2}t+2=5$，解得$t=6$，
此时每千克利润$w=-\frac{1}{4}×(6-4)^2+3=2$元，
总利润为$2×4000=8000$元。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{5}$，$c=9$；
(2) 4月份；
(3) 售价为5元/千克，总利润为8000元。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数最值应用
3. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题结合真实生产销售场景，综合考查了函数、方程的相关知识，解题时需理清各量的对应关系，注意实际问题中变量的取值合理性，能锻炼学生用数学知识解决现实问题的应用意识。
【难度系数】
0.6
(1) 求a、c的值使用待定系数法：已知需求量函数解析式为$y_{需求}=ax^2 + c$，题目给出两组对应值，将其代入解析式即可得到关于a、c的二元一次方程组，通过消元法解方程组就能求出两个系数。
(2) 每千克获利=售价-成本，先把售价、成本关于月份t的表达式代入获利公式，整理得到获利关于t的二次函数，再化为顶点式，结合二次函数开口方向和t的取值范围（1≤t≤7），即可求出获利最大的月份。
(3) 供给量与需求量相等即两个函数值相等，联立表达式得到一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根得到均衡售价；再根据售价求出对应供给量、对应的月份，算出此时每千克利润，乘以总质量（注意单位换算）即可得到总利润。
【解析】
(1) 把$(3,7.2),(4,5.8)$代入$y_{需求}=ax^2 + c$，得
$\begin{cases}9a+c=7.2①\\16a+c=5.8②\end{cases}$
②-①，得$7a=-1.4$，解得$a=-\frac{1}{5}$，
把$a=-\frac{1}{5}$代入①，得$c=9$。
(2) 设这种蔬菜每千克获利$w$元，根据题意得：
$w=x_{售价}-x_{成本}=\frac{1}{2}t+2-(\frac{1}{4}t^2-\frac{3}{2}t+3)=-\frac{1}{4}(t-4)^2+3$
$\because -\frac{1}{4}＜0$，且$1≤ t≤7$，
$\therefore$ 当$t=4$时，$w$有最大值，即在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大。
(3) 当$y_{供给}=y_{需求}$时，$x-1=-\frac{1}{5}x^2+9$，
解得$x_1=5$，$x_2=-10$（售价不能为负，舍去），
$\therefore$ 售价为5元/千克时，供给量与需求量相等，此时$y_{供给}=x-1=4$吨=4000千克。
令$\frac{1}{2}t+2=5$，解得$t=6$，
此时每千克利润$w=-\frac{1}{4}×(6-4)^2+3=2$元，
总利润为$2×4000=8000$元。
【答案】
(1) $a=-\frac{1}{5}$，$c=9$；
(2) 4月份；
(3) 售价为5元/千克，总利润为8000元。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数最值应用
3. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题结合真实生产销售场景，综合考查了函数、方程的相关知识，解题时需理清各量的对应关系，注意实际问题中变量的取值合理性，能锻炼学生用数学知识解决现实问题的应用意识。
【难度系数】
0.6
