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1. 如图,下列结论中,不能说明射线 OC 平分∠AOB 的是 (
A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOB=2∠BOC
C.∠AOB=2∠AOC
D.∠AOC+∠BOC=∠BOA
D
)A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOB=2∠BOC
C.∠AOB=2∠AOC
D.∠AOC+∠BOC=∠BOA
答案
1. D 解析: A. ∠AOC = ∠BOC, B. ∠AOB = 2∠BOC, C. ∠AOB = 2∠AOC, 均可说明射线 OC 平分∠AOB; D. ∠AOC+∠BOC = ∠BOA, ∠AOC 与 ∠BOC 不一定相等,故不可说明射线 OC 平分∠AOB.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先明确角平分线的核心判定条件：若射线OC平分∠AOB，则一定能推出∠AOC=∠BOC，反之只要能得到∠AOC=∠BOC，即可说明OC平分∠AOB。接下来逐一分析每个选项，判断选项结论是否能推导出∠AOC=∠BOC即可。
【解析】
根据角平分线的定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线叫做该角的平分线，逐一判断选项：
A. 若∠AOC=∠BOC，直接符合角平分线定义，可说明OC平分∠AOB；
B. 若∠AOB=2∠BOC，结合角的和差关系∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入可得2∠BOC=∠AOC+∠BOC，化简得∠AOC=∠BOC，可说明OC平分∠AOB；
C. 若∠AOB=2∠AOC，结合角的和差关系∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入可得2∠AOC=∠AOC+∠BOC，化简得∠BOC=∠AOC，可说明OC平分∠AOB；
D. 只要射线OC在∠AOB内部，就恒有∠AOC+∠BOC=∠BOA，无法推出∠AOC和∠BOC相等，因此不能说明OC平分∠AOB。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角平分线判定的基础题，解题关键是抓住角平分线的核心特征“分大角为两个相等的小角”，不要混淆角的和差关系和角平分线的判定条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确角平分线的核心判定条件：若射线OC平分∠AOB，则一定能推出∠AOC=∠BOC，反之只要能得到∠AOC=∠BOC，即可说明OC平分∠AOB。接下来逐一分析每个选项，判断选项结论是否能推导出∠AOC=∠BOC即可。
【解析】
根据角平分线的定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线叫做该角的平分线，逐一判断选项：
A. 若∠AOC=∠BOC，直接符合角平分线定义，可说明OC平分∠AOB；
B. 若∠AOB=2∠BOC，结合角的和差关系∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入可得2∠BOC=∠AOC+∠BOC，化简得∠AOC=∠BOC，可说明OC平分∠AOB；
C. 若∠AOB=2∠AOC，结合角的和差关系∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入可得2∠AOC=∠AOC+∠BOC，化简得∠BOC=∠AOC，可说明OC平分∠AOB；
D. 只要射线OC在∠AOB内部，就恒有∠AOC+∠BOC=∠BOA，无法推出∠AOC和∠BOC相等，因此不能说明OC平分∠AOB。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角平分线判定的基础题，解题关键是抓住角平分线的核心特征“分大角为两个相等的小角”，不要混淆角的和差关系和角平分线的判定条件。
【难度系数】
0.8
2.（2025·北京模拟）如图，$∠ AOB = 160°$，$∠ DOB = 90°$.若$OD$平分$∠ AOC$，则$∠ COB$的大小为（
A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
）A.$10°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
(1) $y=2x+15$ (2) $2.5$
解析
(1) 把x=0，y=15代入y=kx+b，可得b=15；再将x=2，y=19代入y=kx+15，得19=2k+15，解得k=2，验证x=5时，y=2×5+15=25，与表格数据一致，因此y与x的函数关系式为y=2x+15。
(2) 将y=20代入y=2x+15，得20=2x+15，解得x=2.5。
(2) 将y=20代入y=2x+15，得20=2x+15，解得x=2.5。
3. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕，若$∠ CBD=66°$，则$∠ ABE$的度数为（
A.$20°$
B.$24°$
C.$40°$
D.$50°$
B
）A.$20°$
B.$24°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
3. B 解析:由题意可得∠ABE = ∠A'BE, ∠DBC = ∠DBC'.又因为∠ABE+∠A'BE+∠DBC+∠DBC' = 180°,所以∠ABE+∠DBC = 90°.又因为∠CBD = 66°,所以∠ABE = 90°-66°=24°.
解析
【分析】
解决本题首先要明确折叠的性质：折叠前后对应的角相等，因此折痕BE平分∠ABA'，BD平分∠CBC'。其次，点A、B、C在同一条直线上，∠ABC是平角为180°，折叠后形成的四个角∠ABE、∠A'BE、∠DBC、∠DBC'的和仍为180°，通过等量代换可推出∠ABE与∠DBC的和为90°，最后代入已知的∠CBD的度数即可求出∠ABE的大小。
【解析】
根据折叠的性质可得：∠ABE = ∠A'BE，∠DBC = ∠DBC'。
∵A、B、C三点共线，
∴∠ABC=180°，即：
$∠ ABE + ∠ A'BE + ∠ DBC + ∠ DBC' = 180°$
将$∠ A'BE=∠ ABE$，$∠ DBC'=∠ DBC$代入上式得：
$2∠ ABE + 2∠ DBC = 180°$
化简得：$∠ ABE + ∠ DBC = 90°$
已知$∠ CBD=66°$，因此：
$∠ ABE = 90° - 66° = 24°$
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题属于折叠类角度计算的基础题型，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征推导角的和差关系，再代入数值计算即可。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确折叠的性质：折叠前后对应的角相等，因此折痕BE平分∠ABA'，BD平分∠CBC'。其次，点A、B、C在同一条直线上，∠ABC是平角为180°，折叠后形成的四个角∠ABE、∠A'BE、∠DBC、∠DBC'的和仍为180°，通过等量代换可推出∠ABE与∠DBC的和为90°，最后代入已知的∠CBD的度数即可求出∠ABE的大小。
【解析】
根据折叠的性质可得：∠ABE = ∠A'BE，∠DBC = ∠DBC'。
∵A、B、C三点共线，
∴∠ABC=180°，即：
$∠ ABE + ∠ A'BE + ∠ DBC + ∠ DBC' = 180°$
将$∠ A'BE=∠ ABE$，$∠ DBC'=∠ DBC$代入上式得：
$2∠ ABE + 2∠ DBC = 180°$
化简得：$∠ ABE + ∠ DBC = 90°$
已知$∠ CBD=66°$，因此：
$∠ ABE = 90° - 66° = 24°$
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题属于折叠类角度计算的基础题型，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角的特征推导角的和差关系，再代入数值计算即可。
【难度系数】
0.85
4. (2026·西安期末)如图, $∠ AOB$ 是平角, $∠ AOC = 30°$, $∠ BOD = 60°$, $OM$, $ON$ 分别是 $∠ AOC$, $∠ BOD$ 的平分线, 则 $∠ MON =$
135°
.答案
4. 135° 解析:因为 OM, ON 分别是 ∠AOC, ∠BOD 的平分线, ∠AOC=30°, ∠BOD=60°,所以 ∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}×30°=15°$, ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×60°=30°$.因为 ∠AOB 是平角,所以 ∠AOB = 180°,所以 ∠MON = ∠AOB - ∠AOM - ∠BON = 180°-15°-30° = 135°.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：∠AOB是平角即180°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线。首先根据角平分线的定义，计算出∠AOM和∠BON的度数，再观察图形可知，∠MON等于平角∠AOB减去∠AOM和∠BON的度数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠AOC=30°，∠BOD=60°
∴$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×30°=15°$，
$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵∠AOB是平角，
∴$∠ AOB=180°$，
∴$∠ MON=∠ AOB-∠ AOM-∠ BON=180°-15°-30°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规基础题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和平角的概念，结合图形中角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：∠AOB是平角即180°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线。首先根据角平分线的定义，计算出∠AOM和∠BON的度数，再观察图形可知，∠MON等于平角∠AOB减去∠AOM和∠BON的度数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠AOC=30°，∠BOD=60°
∴$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×30°=15°$，
$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵∠AOB是平角，
∴$∠ AOB=180°$，
∴$∠ MON=∠ AOB-∠ AOM-∠ BON=180°-15°-30°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规基础题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和平角的概念，结合图形中角的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 已知$∠ AOB = 50°$，$∠ BOC = 30°$，$OD$平分$∠ AOC$，则$∠ AOD$的度数为
10°或40°
.答案
0；自变量x；x轴；横坐标
解析
根据一次函数与一元一次方程的对应关系：令一次函数$y=kx+b$的函数值为0，此时等式变为$kx+b=0$，对应的自变量$x$的值就是方程$kx+b=0$的解；从图象角度，一次函数$y=kx+b$的图象上纵坐标为0的点是图象与x轴的交点，该交点的横坐标就是方程$kx+b=0$的解。
6. 如图，$∠ AOB = 60°$, $OC$ 是 $∠ AOB$ 的平分线，$OC_1$ 是 $∠ AOC$ 的平分线，$OC_2$ 是 $∠ AOC_1$ 的平分线，…，$OC_n$ 是 $∠ AOC_{n-1}$ 的平分线，则 $∠ AOC_n =$
$\frac{1}{2^{n+1}}×60°$
.答案
6. $\frac{1}{2^{n+1}}×60°$ 解析:因为 OC 平分 ∠AOB, ∠AOB = 60°,所以
∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×60°$. 因为 $OC_1$ 平分 ∠AOC,所以
∠AOC₁ = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×60° = \frac{1}{2^2}×60°$. 因为 $OC_2$ 平分
∠AOC₁,所以 ∠AOC₂ = $\frac{1}{2}$∠AOC₁ = $\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}×60° = \frac{1}{2^3}×60°$.因
为 $OC_3$ 平分 ∠AOC₂,所以 ∠AOC₃ = $\frac{1}{2}$∠AOC₂ = $\frac{1}{2^4}×60°$……
所以 ∠AOCₙ = $\frac{1}{2^{n+1}}×60°$.
∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×60°$. 因为 $OC_1$ 平分 ∠AOC,所以
∠AOC₁ = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×60° = \frac{1}{2^2}×60°$. 因为 $OC_2$ 平分
∠AOC₁,所以 ∠AOC₂ = $\frac{1}{2}$∠AOC₁ = $\frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}×60° = \frac{1}{2^3}×60°$.因
为 $OC_3$ 平分 ∠AOC₂,所以 ∠AOC₃ = $\frac{1}{2}$∠AOC₂ = $\frac{1}{2^4}×60°$……
所以 ∠AOCₙ = $\frac{1}{2^{n+1}}×60°$.
解析
【分析】
解决本题首先要用到角平分线的定义：角平分线会将一个角分成两个大小相等的角，即平分后的角是原角的$\frac{1}{2}$。我们可以先依次计算前几次平分后得到的∠AOC、∠AOC₁、∠AOC₂的度数，观察结果中2的指数和平分次数的对应关系，进而归纳出n次平分后∠AOCₙ的通用表达式。
【解析】
已知∠AOB=60°，
∵ OC是∠AOB的平分线，
∴ $∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×60°$；
∵ OC₁是∠AOC的平分线，
∴ $∠ AOC_1 = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×60° = \frac{1}{2^2}×60°$；
∵ OC₂是∠AOC₁的平分线，
∴ $∠ AOC_2 = \frac{1}{2}∠ AOC_1 = \frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}×60° = \frac{1}{2^3}×60°$；
……
以此类推，每次平分后，表达式中2的指数比平分次数多1，因此第n次平分后，$∠ AOC_n = \frac{1}{2^{n+1}}×60°$。
【答案】
$\frac{1}{2^{n+1}}×60°$
【知识点】
角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题结合角平分线的性质考查规律归纳能力，解题关键是抓住每次平分后角度变为原角$\frac{1}{2}$的特点，通过列举前几项的结果总结出通用规律，属于基础的探究类题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要用到角平分线的定义：角平分线会将一个角分成两个大小相等的角，即平分后的角是原角的$\frac{1}{2}$。我们可以先依次计算前几次平分后得到的∠AOC、∠AOC₁、∠AOC₂的度数，观察结果中2的指数和平分次数的对应关系，进而归纳出n次平分后∠AOCₙ的通用表达式。
【解析】
已知∠AOB=60°，
∵ OC是∠AOB的平分线，
∴ $∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×60°$；
∵ OC₁是∠AOC的平分线，
∴ $∠ AOC_1 = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×60° = \frac{1}{2^2}×60°$；
∵ OC₂是∠AOC₁的平分线，
∴ $∠ AOC_2 = \frac{1}{2}∠ AOC_1 = \frac{1}{2}×\frac{1}{2^2}×60° = \frac{1}{2^3}×60°$；
……
以此类推，每次平分后，表达式中2的指数比平分次数多1，因此第n次平分后，$∠ AOC_n = \frac{1}{2^{n+1}}×60°$。
【答案】
$\frac{1}{2^{n+1}}×60°$
【知识点】
角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题结合角平分线的性质考查规律归纳能力，解题关键是抓住每次平分后角度变为原角$\frac{1}{2}$的特点，通过列举前几项的结果总结出通用规律，属于基础的探究类题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示,已知点O在直线AB上,∠AOE:∠EOD = 1:3,OC是∠BOD的平分线,∠EOC=115°,求∠AOE和∠BOC的度数.
答案
7. 因为∠AOE : ∠EOD = 1 : 3,所以设 ∠AOE = x,则 ∠EOD = 3x.又因为 ∠EOC = 115°,所以 ∠COD = 115° - 3x.因为 OC 是 ∠BOD 的平分线,所以 ∠COB = ∠COD = 115° - 3x.又因为点 O 在直线 AB 上,所以 ∠AOE + ∠EOD + ∠COD + ∠COB = 180°,所以 x + 3x + 2(115° - 3x) = 180°,解得 x = 25°,所以 ∠AOE = 25°,所以 ∠BOC = 115° - 3×25° = 40°.
解析
【分析】
遇到已知角的比例关系的角度计算问题，首先可通过设未知数的方法表示相关角：设∠AOE=x，则∠EOD=3x。再结合已知∠EOC=115°，用含x的式子表示出∠COD；接着利用OC是∠BOD的平分线，可得∠BOC和∠COD相等。最后根据点O在直线AB上，∠AOB为平角等于180°，即所有组成平角的角的和为180°，据此列方程求解x，再代入计算即可得到所求角的度数。
【解析】
解：因为∠AOE:∠EOD = 1:3，所以设∠AOE = x，则∠EOD = 3x。
已知∠EOC=115°，所以∠COD = ∠EOC - ∠EOD = 115° - 3x。
因为OC是∠BOD的平分线，所以∠COB = ∠COD = 115° - 3x。
又因为点O在直线AB上，∠AOB是平角，所以∠AOE + ∠EOD + ∠COD + ∠COB = 180°，
代入得：$x + 3x + 2(115° - 3x) = 180°$
化简得：$4x + 230° - 6x = 180°$
移项合并得：$-2x = -50°$
解得：$x = 25°$
所以∠AOE = 25°，
∠BOC = $115° - 3×25° = 40°$。
【答案】
∠AOE=25°，∠BOC=40°
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是角度计算的典型基础题型，综合考查了角平分线性质、平角性质的应用，结合比例设未知数列方程是解决这类问题的常用技巧，解题时需理清图中各角的和差关系，准确代入建立等式求解即可。
【难度系数】
0.7
遇到已知角的比例关系的角度计算问题，首先可通过设未知数的方法表示相关角：设∠AOE=x，则∠EOD=3x。再结合已知∠EOC=115°，用含x的式子表示出∠COD；接着利用OC是∠BOD的平分线，可得∠BOC和∠COD相等。最后根据点O在直线AB上，∠AOB为平角等于180°，即所有组成平角的角的和为180°，据此列方程求解x，再代入计算即可得到所求角的度数。
【解析】
解：因为∠AOE:∠EOD = 1:3，所以设∠AOE = x，则∠EOD = 3x。
已知∠EOC=115°，所以∠COD = ∠EOC - ∠EOD = 115° - 3x。
因为OC是∠BOD的平分线，所以∠COB = ∠COD = 115° - 3x。
又因为点O在直线AB上，∠AOB是平角，所以∠AOE + ∠EOD + ∠COD + ∠COB = 180°，
代入得：$x + 3x + 2(115° - 3x) = 180°$
化简得：$4x + 230° - 6x = 180°$
移项合并得：$-2x = -50°$
解得：$x = 25°$
所以∠AOE = 25°，
∠BOC = $115° - 3×25° = 40°$。
【答案】
∠AOE=25°，∠BOC=40°
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是角度计算的典型基础题型，综合考查了角平分线性质、平角性质的应用，结合比例设未知数列方程是解决这类问题的常用技巧，解题时需理清图中各角的和差关系，准确代入建立等式求解即可。
【难度系数】
0.7
8. 已知$∠ AOB$是一个直角,作射线$OC$,再分别作$∠ AOC$和$∠ BOC$的平分线$OD$,$OE$.
(1) 如图①,当$∠ BOC = 40°$时,求$∠ DOE$的度数.
(2) 如图②,当射线$OC$在$∠ AOB$内绕$O$点旋转时,$∠ DOE$的大小是否发生变化?说明理由.
(3) 当射线$OC$在$∠ AOB$外绕$O$点旋转且$∠ AOC$为钝角时,画出图形,求$∠ DOE$的度数.
(1) 如图①,当$∠ BOC = 40°$时,求$∠ DOE$的度数.
(2) 如图②,当射线$OC$在$∠ AOB$内绕$O$点旋转时,$∠ DOE$的大小是否发生变化?说明理由.
(3) 当射线$OC$在$∠ AOB$外绕$O$点旋转且$∠ AOC$为钝角时,画出图形,求$∠ DOE$的度数.
答案
解：由一次函数图象可得：
(1) 方程 $ax+b=0$ 的解是函数值 $y=0$ 时对应的自变量$x$的值，观察图象得直线与$x$轴交点横坐标为$-4$，因此方程的解是$\boldsymbol{x=-4}$；
(2) 方程 $ax+b=2$ 的解是函数值 $y=2$ 时对应的自变量$x$的值，观察图象得直线过点$(0,2)$，因此方程的解是$\boldsymbol{x=0}$；
(3) 方程 $ax+b+1=0$ 可变形为 $ax+b=-1$，其解是函数值 $y=-1$ 时对应的自变量$x$的值，观察图象得直线过点$(-6,-1)$，因此方程的解是$\boldsymbol{x=-6}$。
(1) 方程 $ax+b=0$ 的解是函数值 $y=0$ 时对应的自变量$x$的值，观察图象得直线与$x$轴交点横坐标为$-4$，因此方程的解是$\boldsymbol{x=-4}$；
(2) 方程 $ax+b=2$ 的解是函数值 $y=2$ 时对应的自变量$x$的值，观察图象得直线过点$(0,2)$，因此方程的解是$\boldsymbol{x=0}$；
(3) 方程 $ax+b+1=0$ 可变形为 $ax+b=-1$，其解是函数值 $y=-1$ 时对应的自变量$x$的值，观察图象得直线过点$(-6,-1)$，因此方程的解是$\boldsymbol{x=-6}$。
解析
【分析】
(1) 解题时先利用直角的性质求出∠AOC的度数，再结合角平分线的定义分别得到∠COD和∠COE的度数，最后通过角的加法运算即可求出∠DOE的度数；
(2) 判断∠DOE是否变化时，可把∠DOE拆分为两个角平分线分成的小角之和，提取公因式后可发现∠DOE的大小等于∠AOB的一半，因为∠AOB是固定的直角，所以∠DOE大小不变；
(3) 当射线OC在∠AOB外时，需要分两种情况讨论：①OC在OB靠近下方的一侧，此时∠DOE是两个角的差；②OC在OA和OB的另一侧区域，此时∠DOE是两个角的和，分别结合角平分线的性质计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知∠AOB是直角，即$∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ AOC = 90° - ∠ BOC = 90° - 40° = 50°$，
∵OD、OE分别平分$∠ AOC$和$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD+∠ COE=25°+20°=45°$。
(2) $∠ DOE$的大小不变，理由如下：
$∠ DOE=∠ COD+∠ COE$，
∵OD、OE分别平分$∠ AOC$和$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又$\because ∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}×90°=45°$，即$∠ DOE$的大小不随OC的旋转发生变化。
(3) 分两种情况计算：
第一种情况（如图①）：
∵OD、OE分别平分$∠ AOC$和$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
此时$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)$，
$\because ∠ AOC-∠ BOC=∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}×90°=45°$；
第二种情况（如图②）：
同理可得$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
此时$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
$\because ∠ AOC+∠ BOC=360°-∠ AOB=360°-90°=270°$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}×270°=135°$。
综上，$∠ DOE$的度数为$45°$或$135°$。
【答案】
(1) $∠ DOE=45°$；
(2) $∠ DOE$的大小不变，恒为$45°$，理由见解析；
(3) 图形如下，$∠ DOE$的度数为$45°$或$135°$。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题以角的旋转为背景，考查角平分线性质和角度运算，第二问运用整体思想简化推导过程，第三问需要结合射线的位置分类讨论，避免漏解，能有效锻炼角度运算的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先利用直角的性质求出∠AOC的度数，再结合角平分线的定义分别得到∠COD和∠COE的度数，最后通过角的加法运算即可求出∠DOE的度数；
(2) 判断∠DOE是否变化时，可把∠DOE拆分为两个角平分线分成的小角之和，提取公因式后可发现∠DOE的大小等于∠AOB的一半，因为∠AOB是固定的直角，所以∠DOE大小不变；
(3) 当射线OC在∠AOB外时，需要分两种情况讨论：①OC在OB靠近下方的一侧，此时∠DOE是两个角的差；②OC在OA和OB的另一侧区域，此时∠DOE是两个角的和，分别结合角平分线的性质计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知∠AOB是直角，即$∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ AOC = 90° - ∠ BOC = 90° - 40° = 50°$，
∵OD、OE分别平分$∠ AOC$和$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD+∠ COE=25°+20°=45°$。
(2) $∠ DOE$的大小不变，理由如下：
$∠ DOE=∠ COD+∠ COE$，
∵OD、OE分别平分$∠ AOC$和$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又$\because ∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}×90°=45°$，即$∠ DOE$的大小不随OC的旋转发生变化。
(3) 分两种情况计算：
第一种情况（如图①）：
∵OD、OE分别平分$∠ AOC$和$∠ BOC$，
$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
此时$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)$，
$\because ∠ AOC-∠ BOC=∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}×90°=45°$；
第二种情况（如图②）：
同理可得$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
此时$∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
$\because ∠ AOC+∠ BOC=360°-∠ AOB=360°-90°=270°$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}×270°=135°$。
综上，$∠ DOE$的度数为$45°$或$135°$。
【答案】
(1) $∠ DOE=45°$；
(2) $∠ DOE$的大小不变，恒为$45°$，理由见解析；
(3) 图形如下，$∠ DOE$的度数为$45°$或$135°$。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题以角的旋转为背景，考查角平分线性质和角度运算，第二问运用整体思想简化推导过程，第三问需要结合射线的位置分类讨论，避免漏解，能有效锻炼角度运算的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
