1. (2024·甘肃中考)若$∠ A=55°$,则$∠ A$的补角为（）

A.$35°$
B.$45°$
C.$115°$
D.$125°$

解：(1)设$t$关于$h$的函数关系式为$t = kh + b(k,b$为常数，且$k ≠ 0)$，
由图可得，$b = \boldsymbol{24}$，即
函数关系式为$t = kh + 24$，
将$\boldsymbol{(4,0)}$代入，得$4k + 24 = 0$，解得$k = \boldsymbol{-6}$，
$\therefore t$关于$h$的函数关系式为$\boldsymbol{t=-6h+24}$；
(2)当$t = 12$时，得
$\boldsymbol{12=-6h+24}$，
解得$h = \boldsymbol{2}$。
答：当空中气温为$12°C$时，此时距离地面的高度为$\boldsymbol{2}$km。

【分析】
首先明确题目要求是求∠A的补角，解题时先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。因此求一个角的补角，只需用180°减去该角的度数即可。解题时要注意区分补角和余角的定义（余角是两个角的和为90°），避免概念混淆算错结果。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，因此∠A的补角 = 180° - ∠A。
将∠A=55°代入计算：180° - 55° = 125°，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查补角定义的直接应用，解题的关键是牢记补角的和为180°，注意不要和余角的概念混淆即可得分。
【难度系数】
0.9

2. 下列说法:①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的余角,那么它们相等;④若$∠1+∠2+∠3=180°$,则$∠1,∠2,∠3$互为补角.其中正确的说法有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. B 解析:①锐角的补角一定是钝角,正确;②钝角的补角小于这个角,错误;③如果两个角是同一个角的余角,那么它们相等,正确;④补角是两个角的关系,三个角不能互为补角,错误.正确的有2个.故选B.

【分析】
解决这道题需要先明确余角、补角的定义和性质，再逐个判断4个说法的正误：首先回忆核心定义，两个角的和为180°时这两个角互为补角，两个角的和为90°时这两个角互为余角，判断时可结合定义性质分析，不确定的结论可以通过举反例验证。
【解析】
我们逐个分析各说法：
①锐角是小于90°的角，它的补角=180°-锐角，计算结果一定大于90°且小于180°，属于钝角，故①正确；
②举反例：若一个角是120°（钝角），它的补角是60°，60°＜120°，即钝角的补角小于这个角，故②错误；
③根据余角的性质，同角的余角相等：如果两个角是同一个角的余角，那么二者都等于90°减去这个角，所以它们相等，故③正确；
④补角是仅针对两个角的数量关系，三个角的和为180°不符合补角的定义，不能说三个角互为补角，故④错误。
综上，正确的说法是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义与性质；余角的性质
【点评】
本题考查余角和补角的基础概念与性质，解题的核心是准确把握余角、补角的适用范围是两个角之间的关系，判断错误说法时可通过举反例快速验证。
【难度系数】
0.8

3. (通辽中考)如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠β互余的摆放方式是 ()

解：
(1) 50
(2) 设直线AC的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
由图象可知，直线AC过点$A(0,6)$和点$B(30,12)$。
将$(0,6)$代入表达式，得$b=6$，
把$b=6$、$(30,12)$代入$y=kx+6$，得：
$30k+6=12$
解得$k=\frac{1}{5}$，
因此直线AC的表达式为$y=\frac{1}{5}x+6$（$0≤ x≤50$）。
将$x=50$代入$y=\frac{1}{5}x+6$，得$y=\frac{1}{5}×50+6=16$。
答：直线AC的表达式为$y=\frac{1}{5}x+6$（$0≤ x≤50$），该植物最高长到16厘米。

【分析】
解题时首先回忆余角的定义：若两个角的和等于90°，则这两个角互余。接下来结合三角尺的角度特征（存在90°直角），逐一分析四个选项中∠α和∠β的和，判断其和是否等于90°即可得出答案。
【解析】
我们根据余角的定义（两个角的和为90°时两角互余）逐一判断：
A. 图中∠α、∠β和三角尺的90°直角共同组成平角（180°），因此∠α + ∠β + 90° = 180°，计算得∠α + ∠β = 90°，两角互余，符合题意；
B. 图中∠α和∠β都等于90°减去同一个公共角，因此∠α=∠β，两角之和不一定为90°，不符合题意；
C. 图中∠α、∠β和三角尺的90°直角之和为周角（360°），因此∠α + ∠β + 90° = 360°，计算得∠α + ∠β = 270°，不符合题意；
D. 图中∠α和∠β共同组成平角（180°），因此∠α + ∠β = 180°，两角互补，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 余角的定义
2. 补角的定义
3. 平角的性质
【点评】
本题结合三角尺的摆放考查余角、补角的判断，解题的核心是熟练掌握余角和补角的定义，结合图形特征准确计算两个角的和即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4. (1)一个角是$25°27'$,则它的余角的度数是________;
(2)已知$∠α$和$∠β$互为补角,且$∠β$比$∠α$小$20°$,则$∠β$等于$\_\_\_\_\_\_°$;
(3)一个角的补角比它的余角的5倍少$10°$,这个角的度数为________.

4. (1)64°33' 解析:一个角是25°27',则它的余角的度数是90°-25°27'=64°33'.
(2)80 解析:由题意得∠β+(∠β+20°)=180°,∠β=80°.
(3)65° 解析:设这个角为x°,由题意得180-x=5(90-x)-10,解得x=65.

【分析】
(1)解题思路：首先回忆余角的定义，互为余角的两个角之和为90°，因此求一个角的余角，用90°减去这个角的度数即可，计算时注意度分是60进制，借位时1°换算为60'。
(2)解题思路：先回忆补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，结合已知条件“∠β比∠α小20°”，可用∠β表示出∠α，代入补角的和为180°的关系式即可求解。
(3)解题思路：已知量和未知量关系明确，适合用方程求解，先设这个角的度数为x°，分别用含x的式子表示出它的补角和余角，再根据“补角比余角的5倍少10°”的等量关系列方程，解出x即可得到答案。
【解析】
(1)根据余角的定义，这个角的余角度数为：
$90° - 25°27' = 89°60' - 25°27' = 64°33'$
(2)
∵∠α和∠β互为补角，
∴$∠α + ∠β = 180°$
又
∵∠β比∠α小20°，
∴$∠α = ∠β + 20°$
将$∠α = ∠β + 20°$代入$∠α + ∠β = 180°$得：
$∠β + 20° + ∠β = 180°$
$2∠β = 160°$
解得$∠β = 80°$
(3)设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180 - x)°$，余角为$(90 - x)°$
根据题意列方程：
$180 - x = 5(90 - x) - 10$
展开右边得：$180 - x = 450 - 5x - 10$
整理得：$180 - x = 440 - 5x$
移项合并同类项得：$4x = 260$
解得$x = 65$，即这个角为$65°$
【答案】
(1)$64°33'$；(2)$80$；(3)$65°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关的基础题型，核心是熟练掌握余角和为90°、补角和为180°的性质，结合等量关系列式或列方程即可求解，是该章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8

5. 如图，∠BOC与∠AOC互为补角，OD平分∠AOC，∠BOC = n°，则∠DOB = °（用含n的代数式表示）。

5. $(90+\frac{1}{2}n)$ 解析:因为∠BOC+∠AOC=180°,所以∠AOC=180°-n°.因为OD平分∠AOC,所以∠COD=$\frac{1}{2}(180°-n°)=90°-\frac{1}{2}n°$,所以∠DOB=∠BOC+∠COD=n°+90°-$\frac{1}{2}n°$=$(90+\frac{1}{2}n)$°.

【分析】
首先根据补角的定义，互为补角的两个角度数之和为180°，结合已知∠BOC=n°，可先求出∠AOC的度数；再根据角平分线的定义，得到∠COD的度数；最后根据图形中角的和的关系，∠DOB=∠BOC+∠COD，代入对应角度化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠BOC与∠AOC互为补角
∴∠BOC + ∠AOC = 180°
又
∵∠BOC = n°
∴∠AOC = 180° - n°
∵OD平分∠AOC
∴$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(180°-n°)=90°-\frac{1}{2}n°$
由图可知$∠ DOB=∠ BOC+∠ COD$
代入得：$∠ DOB=n°+90°-\frac{1}{2}n°=(90+\frac{1}{2}n)°$
【答案】
$(90+\frac{1}{2}n)$
【知识点】
补角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度运算题，解题的核心是熟练掌握补角和角平分线的定义，准确梳理图形中各角的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 如图，AB 是一条直线，∠AOD = ∠BOD = ∠EOC = 90°，∠BOC : ∠AOE = 3 : 1.
(1)求∠COD 的度数.
(2)图中有哪几对角互为余角？
(3)图中有哪几对角互为补角？

6. (1)因为∠AOD = ∠BOD = ∠EOC = 90°,所以∠BOC + ∠AOE = 90°.因为∠BOC : ∠AOE = 3 : 1,所以∠BOC = $\frac{3}{3+1}×90°=67.5°$,所以∠COD = ∠DOB - ∠BOC = 90° - 67.5°=22.5°.
(2)互余的角有∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE.
(3)互补的角有∠COB与∠COA,∠AOE与∠EOB,∠AOD与∠BOD,∠AOD与∠EOC,∠BOD与∠EOC,∠EOD与∠AOC,∠DOC与∠EOB.

【分析】
本题围绕余角、补角的定义和角的和差关系考查角度计算与角的关系识别。
(1) 先根据平角∠AOB=180°，结合∠EOC=90°推出∠AOE+∠BOC=90°，再根据两角的比例关系求出∠BOC的度数，最后利用∠BOD=90°作差即可得到∠COD的度数。
(2) 找互余角时根据“和为90°的两个角互余”，结合已知的三个直角，逐个筛选符合条件的角对即可。
(3) 找互补角时根据“和为180°的两个角互补”，先找邻补角，再结合相等的角的补角相等，筛选所有符合条件的角对即可。
【解析】
(1) 已知AB是直线，故∠AOB=180°，又∠AOD = ∠BOD = ∠EOC = 90°，
因此∠AOE + ∠EOC + ∠BOC = 180°，代入∠EOC=90°可得：∠BOC + ∠AOE = 90°。
因为∠BOC : ∠AOE = 3 : 1，所以$∠ BOC=\frac{3}{3+1}×90°=67.5°$，
则$∠ COD = ∠ DOB - ∠ BOC = 90° - 67.5°=22.5°$。
(2) 根据互余的定义（和为90°的两个角互余），结合图中直角的性质，可得互余的角有：
∠COB与∠COD（和为∠BOD=90°），∠COB与∠AOE（已证和为90°），∠DOE与∠COD（和为∠EOC=90°），∠DOE与∠AOE（和为∠AOD=90°）。
(3) 根据互补的定义（和为180°的两个角互补），结合平角、直角的性质，可得互补的角有：
∠COB与∠COA（和为∠AOB=180°），∠AOE与∠EOB（和为∠AOB=180°），∠AOD与∠BOD（和为180°），∠AOD与∠EOC（均为90°，和为180°），∠BOD与∠EOC（均为90°，和为180°），∠EOD与∠AOC（∠EOD=∠COB，和为180°），∠DOC与∠EOB（∠DOC=∠AOE，和为180°）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{22.5°}$
(2) $∠ COB$与$∠ COD$，$∠ COB$与$∠ AOE$，$∠ DOE$与$∠ COD$，$∠ DOE$与$∠ AOE$
(3) $∠ COB$与$∠ COA$，$∠ AOE$与$∠ EOB$，$∠ AOD$与$∠ BOD$，$∠ AOD$与$∠ EOC$，$∠ BOD$与$∠ EOC$，$∠ EOD$与$∠ AOC$，$∠ DOC$与$∠ EOB$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题侧重考查余角、补角的识别与基础角度计算，解题关键是先利用直角、平角的性质确定角的和差关系，结合比例求出未知角后，再根据定义逐一筛选互余、互补的角，注意不要漏找或重复计数。
【难度系数】
0.7

7. (2025·聊城期末)若$∠α$与$∠β$互为余角，$∠α$与$∠\gamma$互为补角，$∠β=\frac{1}{3}∠\gamma$，则$∠α$为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

7. B 解析:由题意可得∠α+∠β=90°,∠α+∠γ=180°,因为∠β=$\frac{1}{3}∠γ$,所以∠α+$\frac{1}{3}∠γ$=90°.因为∠α+∠γ=180°,所以∠α=45°.故选B.

【分析】
解题时先回忆余角和补角的定义：两个角互余则两角和为90°，两个角互补则两角和为180°。首先根据定义用含∠α的式子分别表示出∠β和∠γ，再结合题目给出的∠β与∠γ的数量关系，建立关于∠α的方程，解方程即可求出∠α的度数。
【解析】
解：
∵∠α与∠β互为余角，
∴∠α + ∠β = 90°，即∠β = 90° - ∠α ①；
∵∠α与∠γ互为补角，
∴∠α + ∠γ = 180°，即∠γ = 180° - ∠α ②；
又
∵∠β = $\frac{1}{3}$∠γ，
将①②代入得：$90° - ∠α = \frac{1}{3}(180° - ∠α)$，
去分母得：$270° - 3∠α = 180° - ∠α$，
移项、合并同类项得：$2∠α = 90°$，
解得：∠α = 45°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查余角和补角定义的应用，结合角度间的数量关系列方程求解是常用的解题方法，熟练掌握余角、补角的基本概念是解决本题的关键。
【难度系数】
0.8

8. 如图,点O在直线AD上,在直线AD的同侧作射线OB,OC,若$60°＜∠ AOC＜90°$,且$∠ AOB$和$∠ AOC$互余.作OM平分$∠ AOC$,ON平分$∠ BOD$,则 ()

A.$∠ BOM+∠ CON=45°$
B.$2∠ BOM+∠ CON=45°$
C.$2∠ BOM+∠ CON=60°$
D.$∠ BOM+2∠ CON=60°$

8. A 解析:设∠AOB=α,因为∠AOB和∠AOC互余,所以∠AOB+∠AOC=90°,所以∠AOC=90°-∠AOB=90°-α,所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-α-α=90°-2α.因为OM平分∠AOC,所以∠AOM=$\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(90°-α)=45°-\frac{1}{2}α$,所以∠BOM=∠AOM-∠AOB=45°-$\frac{1}{2}α$-α=45°-$\frac{3}{2}α$.因为∠AOB=α,所以∠BOD=180°-∠AOB=180°-α.因为ON平分∠BOD,所以∠BON=$\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$,所以∠CON=∠BON-∠BOC=90°-$\frac{1}{2}α$-(90°-2α)=$\frac{3}{2}α$,所以∠BOM=45°-$\frac{3}{2}α$=45°-∠CON,所以∠BOM+∠CON=45°,故选项A正确,符合题意;因为∠BOM+∠CON=45°,所以2∠BOM+∠CON≠45°,又∠BOM和∠CON的大小无法确定,所以选项B,C,D不符合题意.故选A.

【分析】
这是一道角度关系推导题，解题时可先设其中一个基础角为参数，利用已知的互余关系表示出相关角，再结合角平分线的性质、平角为180°的性质，分别将待求的∠BOM和∠CON用参数表示出来，最后计算两个角的组合关系匹配选项即可。用参数法能避免多个未知角混淆，清晰梳理各角之间的数量关系。
【解析】
设$∠ AOB=α$，
∵$∠ AOB$和$∠ AOC$互余，
∴$∠ AOB+∠ AOC=90°$，
∴$∠ AOC=90°-α$，
则$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=90°-α-α=90°-2α$。
∵OM平分$∠ AOC$，
∴$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(90°-α)=45°-\frac{1}{2}α$，
∴$∠ BOM=∠ AOM-∠ AOB=45°-\frac{1}{2}α-α=45°-\frac{3}{2}α$。
∵点O在直线AD上，$∠ AOB=α$，
∴$∠ BOD=180°-∠ AOB=180°-α$，
∵ON平分$∠ BOD$，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$，
∴$∠ CON=∠ BON-∠ BOC=90°-\frac{1}{2}α-(90°-2α)=\frac{3}{2}α$，
∴$∠ BOM+∠ CON=45°-\frac{3}{2}α+\frac{3}{2}α=45°$，
因此A选项的关系成立，B、C、D选项的关系均不成立。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义，角平分线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角度运算的典型题型，通过设参数表示未知角的方法，可将抽象的角的关系转化为具体的代数式运算，降低推导难度。解题核心是熟练运用余角、角平分线、平角的相关性质，准确梳理各角之间的和差关系。
【难度系数】
0.6

9. 如图,已知$∠ AOB=120°$,$∠ COD$在$∠ AOB$内部,且$∠ COD=60°$.下列说法:
①若$∠ AOC=∠ BOD$,则图中有两对互补的角;
②若作$OE$平分$∠ BOC$,则$∠ AOC=2∠ DOE$;
③若作$OM$平分$∠ AOC$,且$∠ MON=90°$,则$ON$平分$∠ BOD$;
④若在$∠ AOB$外部分别作$∠ AOC$,$∠ BOD$的余角$∠ AOP$,$∠ BOQ$,则$\frac{∠ AOP+∠ BOQ}{∠ COD}=2$.其中正确的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

解：
(1) ①；30
(2) 设$y_1 = k_1x + 30$，
将$(500, 80)$代入，得$500k_1 + 30 = 80$，
解得$k_1 = 0.1$，
设$y_2 = k_2x$，将$(500, 100)$代入，得$500k_2 = 100$，解得$k_2 = 0.2$，
∴①收费方式的关系式为$y_1 = 0.1x + 30 \ (x≥0)$；
②收费方式的关系式为$y_2 = 0.2x \ (x≥0)$；
(3) 当$y_1 = y_2$，即$0.1x + 30 = 0.2x$，
解得$x = 300$，
通过图象可知，当用户通讯时间大于300分钟时，第①种收费方式较经济实惠。
答：当用户通讯时间大于300分钟时，选择第①种收费方式较经济实惠。

【分析】
本题是角的相关性质的综合判断题，解题思路如下：首先根据已知∠AOB=120°、∠COD=60°，先推导得出基础结论$∠ AOC+∠ BOD=60°$；接下来对4个说法逐一验证：①结合$∠ AOC=∠ BOD$求出各角度数，再找和为$180°$的互补角即可；②设$∠ AOC$为$x$，用含$x$的式子表示出$∠ BOC$，结合角平分线的性质表示出$∠ DOE$，对比即可判断；③同样设$∠ AOC$为$x$，分$ON$在$OM$右侧和左侧两种情况讨论，判断$ON$是否一定平分$∠ BOD$；④根据余角的定义表示出$∠ AOP$和$∠ BOQ$，求和后和$∠ COD$作比即可判断。
【解析】
已知$∠ AOB=120°$，$∠ COD=60°$，因此可得：
$∠ AOC + ∠ BOD = ∠ AOB - ∠ COD = 120° - 60° = 60°$。
①若$∠ AOC=∠ BOD$，结合$∠ AOC+∠ BOD=60°$，得$∠ AOC=∠ BOD=30°$，
因此$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=30°+60°=90°$，$∠ COB=∠ COD+∠ BOD=60°+30°=90°$，
所以$∠ AOD+∠ COB=180°$，同时$∠ AOB+∠ COD=120°+60°=180°$，共2对互补的角，故①正确。
②设$∠ AOC=x$，则$∠ BOD=60°-x$，
$∠ BOC=∠ COD + ∠ BOD = 60° + (60° - x) = 120° - x$，
因为$OE$平分$∠ BOC$，所以$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC=60° - \frac{1}{2}x$，
则$∠ DOE=∠ BOE - ∠ BOD = (60°-\frac{1}{2}x)-(60°-x)=\frac{1}{2}x$，
因此$∠ AOC=2∠ DOE$，故②正确。
③设$∠ AOC=x$，则$∠ BOD=60°-x$，
因为$OM$平分$∠ AOC$，所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}x$，
当$ON$在$OM$右侧时：$∠ DON=∠ MON - ∠ COD - ∠ COM=90°-60°-\frac{1}{2}x=30°-\frac{1}{2}x$，
$∠ BON=∠ BOD - ∠ DON = (60°-x)-(30°-\frac{1}{2}x)=30°-\frac{1}{2}x$，即$∠ DON=∠ BON$，$ON$平分$∠ BOD$；
当$ON$在$OM$左侧时，仅$ON$的反向延长线平分$∠ BOD$，$ON$本身不是$∠ BOD$的平分线，故③错误。
④$∠ AOP$是$∠ AOC$的余角，$∠ BOQ$是$∠ BOD$的余角，设$∠ AOC=x$，则$∠ BOD=60°-x$，
因此$∠ AOP=90°-x$，$∠ BOQ=90°-(60°-x)=30°+x$，
则$∠ AOP+∠ BOQ=90°-x+30°+x=120°$，
所以$\frac{∠ AOP+∠ BOQ}{∠ COD}=\frac{120°}{60°}=2$，故④正确。
综上，①②④正确，共3个正确说法。
【答案】
C

【知识点】
余角与补角，角平分线的定义，角的运算
【点评】
本题综合考查角的相关计算，解题时可通过设未知数将未知角量化，简化推导过程，同时要注意考虑角的位置的多种可能性，避免因考虑不全面判断失误。
【难度系数】
0.6