10. 如图,已知$2∠BOC=∠AOC$,∠AOC的余角比$∠BOC$小$30°$,作射线OD,使得$∠AOC=4∠AOD$,则$∠DOB$的度数为.

10. 100°或140° 解析:设∠BOC=x,则∠AOC=2x,可得90°-2x=x-30°,解得x=40°,即∠AOB=120°,∠AOC=80°.①当射线OD在∠AOC内部时,∠AOD=20°,则∠DOB=∠AOB-∠AOD=120°-20°=100°;②当射线OD在∠AOC外部时,∠AOD=20°,则∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°,∠DOB=∠DOC+∠BOC=100°+40°=140°.

【分析】
解题时首先利用题目给出的角度倍数关系设未知数，再结合余角的定义列方程求出基础角的度数；接下来由于射线OD的位置未明确说明，需要分OD在∠AOC内部和外部两种情况，结合角的和差关系分别计算∠DOB的度数，避免漏解。
【解析】
设$∠ BOC=x$，则由$2∠ BOC=∠ AOC$可得$∠ AOC=2x$。
根据“$∠ AOC$的余角比$∠ BOC$小$30°$”，结合余角定义（和为$90°$的两个角互余）列方程：
$90° - 2x = x - 30°$
解方程得$3x=120°$，即$x=40°$。
因此$∠ BOC=40°$，$∠ AOC=2×40°=80°$，$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=80°+40°=120°$。
由$∠ AOC=4∠ AOD$，可得$∠ AOD=∠ AOC÷4=80°÷4=20°$，分两种情况讨论：
①当射线OD在$∠ AOC$内部时，$∠ DOB = ∠ AOB - ∠ AOD = 120° - 20° = 100°$；
②当射线OD在$∠ AOC$外部时，$∠ DOB = ∠ AOD + ∠ AOB = 20° + 120° = 140°$。
【答案】
$100°$或$140°$
【知识点】
余角的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题结合方程思想考查角度的计算，易错点是忽略射线OD位置的不确定性，未进行分类讨论导致漏解，解题时要注意题目没有明确射线位置时需考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6

11.若$∠α$和$∠β$互补,且$∠α＞∠β(∠β≠0°)$,则下列表示$∠β$的余角的式子:①$90°-∠β$;②$∠α-90°$;③$\frac{1}{2}(∠α+∠β)$;④$\frac{1}{2}(∠α-∠β)$.其中正确的是________(填序号).

B

1. 验证选项A：甲无人机从地面起飞，8s时高度为64m，上升速度为$64÷8=8\ \mathrm{m/s}$，A正确。
2. 推导乙的高度函数：乙初始高度为24m，设$y_乙=kx+24$，将$(8,64)$代入得$64=8k+24$，解得$k=5$，即乙上升速度为$5\ \mathrm{m/s}$。8s时乙上升的实际高度为$5×8=40\ \mathrm{m}$，并非64m，B错误。
3. 验证选项C：12s时乙距离地面高度为$5×12+24=84\ \mathrm{m}$，C正确。
4. 验证选项D：16s时甲高度为$8×16=128\ \mathrm{m}$，乙高度为$5×16+24=104\ \mathrm{m}$，高度差为$128-104=24\ \mathrm{m}$，D正确。
综上，不正确的是B。

12. 在同一平面内,已知$∠ AOB=150°,∠ COD=90°,OE$平分$∠ BOD$.
(1) 当$∠ COD$的位置如图①所示,且$∠ EOC=35°$时,$∠ AOD=\_\_\_\_\_\_°$;
(2) 当$∠ COD$的位置如图②所示时,作$∠ AOC$的平分线$OF$,求$∠ EOF$的度数;
(3) 当$∠ COD$的位置如图③所示时,若$∠ AOC$与$∠ BOD$互补,请你过点$O$作射线$OM$,使得$∠ COM$为$∠ AOC$的余角,并求出$∠ MOE$的度数(题中的角都是小于平角的角).

(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$
(3) $\boldsymbol{10}$
(4) $\boldsymbol{x+10}$，$\boldsymbol{2x}$
(5) $\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{60}$

解：
(1) 由图象可知，乙车间开始生产时，甲车间已生产了10 t；
(2) 甲车间生产20天的新增产量为20 t，因此每天生产$\frac{20}{20}=1$ t；乙车间10天的总产量为20 t，因此每天生产$\frac{20}{10}=2$ t；
(3) 令两函数值相等，解得对应时间为x=10，即从乙车间开始生产的第10天结束时，两车间生产的总产量相同；
(4) 设甲的函数关系式为$y_甲=k_1x+b$，将$(0,10)$、$(10,20)$代入得：
$\begin{cases}b=10\\10k_1+b=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=1\\b=10\end{cases}$，因此$y_甲=x+10$；
设乙的函数关系式为$y_乙=k_2x$，将$(10,20)$代入得$10k_2=20$，解得$k_2=2$，因此$y_乙=2x$；
(5) 当x=30时，$y_甲=30+10=40$，$y_乙=2×30=60$。

13. 阅读材料并完成下面各题:
小华遇到这样的一个问题:如图①,已知锐角∠AOB,画一条射线 OC,使∠AOC与∠BOC互为余角.
聪明的小华这样画出射线 OC.
①如图②,先用直角三角尺画出∠AOP = 90°;
②再用量角器画出∠BOP的平分线 OC,则∠AOC与∠BOC互为余角.
(1)当锐角∠AOB大小发生变化时,请说明∠AOC与∠BOC互为余角;
(2)类比小华的画图方法,在图③中画出所有符合条件的射线 OD,使∠AOD与∠BOD互为补角(保留画图痕迹,不写画法);
(3)若∠EOF+∠GOF=120°,射线 OM 平分∠EOF,ON 平分∠GOF,若∠EOF=α,请直接写出∠MON的度数为(用含α的式子表示).

13. (1)因为OC平分∠BOP,所以∠COP=∠BOC.又因为∠AOP=90°,所以∠COP+∠AOC=90°,所以∠BOC+∠AOC=90°,所以∠AOC与∠BOC互为余角.
(2)如图①所示,先用直尺延长AO至点G,然后用量角器画出∠BOG的平分线OD,则∠BOD和∠AOD互补;

如图②所示,先用直尺延长BO至点G,然后用量角器画出∠AOG的平分线OD,则∠BOD和∠AOD互补.

(3)60°或|60°-α| 解析:如图③所示,当OF在∠GOE内部时,因为∠EOF+∠GOF=120°,∠EOF=α,所以∠GOF=120°-α.因为射线OM平分∠EOF,ON平分∠GOF,所以∠FON=$\frac{1}{2}∠GOF=60°-\frac{1}{2}α$,∠FOM=$\frac{1}{2}∠EOF=\frac{1}{2}α$,所以∠MON=∠FON+∠FOM=60°-$\frac{1}{2}α$+$\frac{1}{2}α$=60°.

如图④所示,当OF在∠GOE外部时,因为∠EOF+∠GOF=120°,∠EOF=α,所以∠GOF=120°-α.因为射线OM平分∠EOF,ON平分∠GOF,所以∠FON=$\frac{1}{2}∠GOF=60°-\frac{1}{2}α$,∠FOM=$\frac{1}{2}∠EOF=\frac{1}{2}α$,所以∠MON=∠FOM-∠FON=$\frac{1}{2}α-(60°-\frac{1}{2}α)=α-60°$.
如图⑤所示,当OF在∠GOE外部时,因为∠EOF+∠GOF=120°,∠EOF=α,所以∠GOF=120°-α.因为射线OM平分∠EOF,ON平分∠GOF,所以∠FON=$\frac{1}{2}∠GOF=60°-\frac{1}{2}α$,∠FOM=$\frac{1}{2}∠EOF=\frac{1}{2}α$,所以∠MON=∠FON-∠FOM=60°-$\frac{1}{2}α$-$\frac{1}{2}α$=60°-α.综上所述,∠MON=60°或∠MON=|60°-α|.

【分析】
(1) 要证明∠AOC与∠BOC互余，只需证明二者之和为90°。已知OC平分∠BOP，可得∠COP=∠BOC，再结合∠AOP=90°即∠COP+∠AOC=90°，等量代换即可得证。
(2) 类比余角的画法，互为补角的两个角和为180°，因此先构造平角（180°），再作平角与∠AOB的差的角平分线即可，注意存在两种符合条件的射线OD，不要漏画。
(3) 需分情况讨论OF的位置：当OF在∠GOE内部时，∠MON是两个半角的和；当OF在∠GOE外部时，∠MON是两个半角的差，结合角平分线的性质分别计算，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 因为OC平分∠BOP，所以∠COP=∠BOC。
又因为∠AOP=90°，所以∠COP+∠AOC=90°，
将∠COP替换为∠BOC，可得∠BOC+∠AOC=90°，
因此∠AOC与∠BOC互为余角。
(2) 符合条件的射线OD有2条：
第一种：先用直尺延长AO至点G，然后用量角器画出∠BOG的平分线OD，此时∠BOD和∠AOD互补；
第二种：先用直尺延长BO至点G，然后用量角器画出∠AOG的平分线OD，此时∠BOD和∠AOD互补。
(3) 分情况讨论：
①当OF在∠GOE内部时，已知∠EOF+∠GOF=120°，∠EOF=α，所以∠GOF=120°-α。
因为OM平分∠EOF，ON平分∠GOF，所以$∠ FOM=\frac{1}{2}∠ EOF=\frac{1}{2}α$，$∠ FON=\frac{1}{2}∠ GOF=60°-\frac{1}{2}α$，
因此$∠ MON=∠ FON+∠ FOM=60°-\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}α=60°$。
②当OF在∠GOE外部时，同理可得$∠ FOM=\frac{1}{2}α$，$∠ FON=60°-\frac{1}{2}α$：
若$∠ EOF＞∠ GOF$，则$∠ MON=∠ FOM-∠ FON=\frac{1}{2}α-(60°-\frac{1}{2}α)=α-60°$；
若$∠ GOF＞∠ EOF$，则$∠ MON=∠ FON-∠ FOM=60°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}α=60°-α$。
综上，∠MON的度数为60°或|60°-α|。
【答案】
(1) ∠AOC与∠BOC互为余角，证明见解析；
(2) 作图如下：


(3) $60°$或$|60°-α|$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的性质，角度和差计算
【点评】
本题结合作图探究与角度计算，考查了余角、补角的核心概念，同时渗透了分类讨论的数学思想，需要注意考虑射线的不同位置对角度和差的影响，能有效提升逻辑推理与作图分析能力。
【难度系数】
0.6