条件:射线OC在∠AOB内,OM,ON分别平分∠BOC和∠AOC
结论:∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB

条件:射线OC在∠AOB外,OM,ON分别平分∠BOC和∠AOC
结论:∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB

x=-1

将图象上的两点(0,1)、(2,3)代入y=kx+b，可得b=1，2k+1=3，解得k=1，因此一次函数解析式为y=x+1。令y=0，即x+1=0，解得x=-1，也就是方程kx+b=0的解为x=-1。

1. (2024·南京中考)如图,点A,O,B在同一条直线上,OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线.若∠AOE = 162°,则∠BOD = .

$x=2$

将点$P(m,4)$代入$y=x+2$，得$4=m+2$，解得$m=2$，即点$P$的坐标为$(2,4)$。方程$kx+b=4$的几何意义是一次函数$y=kx+b$的函数值为4时对应的自变量$x$的取值，因此该方程的解就是点$P$的横坐标，即$x=2$。

2. 已知点 C 在直线 AB 上,射线 CD,CE 在直线 AB 的同一侧.
(1) 如图①,若$∠ ACD = 30°$,$∠ BCE = 45°$,则$∠ DCE=$度;
(2) 如图②,若 CF 平分$∠ ACD$,CG 平分$∠ BCE$,$∠ DCF: ∠ ECG: ∠ DCE=2:3:10$,求$∠ FCG$的度数;
(3) 如图③,若 CF 平分$∠ ACD$,CG 平分$∠ BCE$,$∠ DCE=20°$,求$∠ FCG$的度数.

解：
(1) 将$x=-2$代入$y=|x-1|+1$，得$y=|-2-1|+1=4$；
将$x=2$代入$y=|x-1|+1$，得$y=|2-1|+1=2$。
因此表格空缺处依次填入$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{2}$。
在平面直角坐标系中描出对应点，依次连线，得到顶点为$(1,1)$的V形函数图象。
(2) ① 函数图象关于直线$x=1$对称；
② 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大。
（答案不唯一，合理即可）
(3) 当$m＜1$时，方程$|x-1|+1=m$的解的个数为0；
当$m=1$时，方程$|x-1|+1=m$的解的个数为1；
当$m＞1$时，方程$|x-1|+1=m$的解的个数为2。

【分析】
(1) 点C在直线AB上，可得∠ACB为180°的平角，∠DCE的度数等于平角∠ACB减去已知的∠ACD和∠BCE的度数，直接代入数值计算即可。
(2) 已知三个角的比值，优先设参数表示各角的度数，再结合角平分线的性质，将∠ACD、∠BCE用含参数的式子表示，最后根据三个角加和为平角列方程求解参数，再计算∠FCG的度数。
(3) 设∠ACD为未知数，用含未知数的式子表示出∠BCE，再根据角平分线性质分别表示∠DCF、∠ECG，最后通过角度和差关系计算∠FCG，计算过程中未知数会抵消，直接得到结果。
【解析】
(1)
∵点C在直线AB上，
∴∠ACB=180°，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-30°-45°=105°。
(2) 设∠DCF=2x，∠ECG=3x，∠DCE=10x，
∵CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，
∴∠ACD=2∠DCF=4x，∠BCE=2∠ECG=6x，
∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°，
∴4x+10x+6x=180°，
解得x=9°，
∴∠FCG=∠DCF+∠DCE+∠ECG=2x+10x+3x=15x=15×9°=135°。
(3) 设∠ACD=y，则∠BCD=180°-y，
∵∠DCE=20°，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-y+20°=200°-y，
∵CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$y，∠ECG=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$(200°-y)=100°-$\frac{1}{2}$y，
∴∠FCG=∠DCF+∠ECG-∠DCE=$\frac{1}{2}$y + 100° - $\frac{1}{2}$y -20°=80°。
【答案】
(1) 105；(2) 135°；(3) 80°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角计算的典型题型，结合了平角性质和角平分线的应用，通过设参数的方法可简化角度关系的推导，第三问中参数自动消去，体现了整体代换的解题思路，掌握双角平分线模型的角度推导规律，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7

3. 根据要求,回答下列问题:
(1)如图①,∠AOB=80°,OC是∠AOB的平分线,OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,求∠DOE的度数.
(2)如图②,在(1)中,把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB内任意一条射线”,其他条件都不变,则∠DOE=°.
(3)如图③,在(1)中,若把“OC是∠AOB外任意一条射线”,其他条件都不变,能否求出∠DOE的度数?请说明理由.(其中∠AOC的度数小于∠AOB的度数)
(4)在(2)(3)中,若把“∠AOB=80°”改为“∠AOB=α”,其他条件不变,∠DOE的度数是多少?请直接写出结论.

3. (1) 40 解析:因为 OC 是∠AOB 的平分线,所以∠AOC=∠BOC=40°.因为 OD,OE 分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=1/2∠BOC=20°,∠EOC=1/2∠AOC=20°,所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=20°+20°=40°.
(2) 因为 OD,OE 分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=1/2∠BOC,∠EOC=1/2∠AOC,所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=1/2∠BOC+1/2∠AOC=1/2∠AOB=1/2×80°=40°.
(3) 因为 OD,OE 分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=1/2∠BOC,∠EOC=1/2∠AOC,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=1/2∠BOC-1/2∠AOC=1/2∠AOB=1/2×80°=40°.
(4) ∠DOE=1/2 α. 解析:当 OC 是∠AOB 内任意一条射线时,因为 OD,OE 分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=1/2∠BOC,∠EOC=1/2∠AOC,所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=1/2∠BOC+1/2∠AOC=1/2∠AOB=1/2 α;当 OC 是∠AOB 外任意一条射线时,因为 OD,OE 分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=1/2∠BOC,∠EOC=1/2∠AOC,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=1/2∠BOC-1/2∠AOC=1/2∠AOB=1/2 α.综上分析可知,∠DOE=1/2 α.

【分析】
本题是双角平分线模型的典型题型，解题核心是利用角平分线的定义，结合角的和差关系推导所求角与已知大角的关系：(1)先根据角平分线定义求出OC平分∠AOB得到的两个角的度数，再由OD、OE是小角的平分线，分别求出∠DOC、∠EOC的度数，相加即可得到∠DOE；(2)OC为角内任意射线时，将∠DOE拆为∠DOC+∠EOC，利用角平分线定义转化为∠AOB的一半代入计算；(3)OC在角外时，将∠DOE拆为∠DOC-∠EOC，同样转化为∠AOB的一半计算；(4)将∠AOB的度数替换为α，同理推导即可得到通用结论。
【解析】
(1) 已知∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，因此$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=40°$。
因为OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ BOC=20°$，$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$，
因此$∠ DOE=∠ DOC+∠ EOC=20°+20°=40°$。
(2) 因为OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，
因此$∠ DOE=∠ DOC+∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC+\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC+∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(3) 能求出∠DOE的度数，理由如下：
因为OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，
因此$∠ DOE=∠ DOC-∠ EOC=\frac{1}{2}∠ BOC-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC-∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(4) 当OC在∠AOB内部时，$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOC+\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC+∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}α$；
当OC在∠AOB外部时，$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOC-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC-∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}α$；
综上可得$∠ DOE=\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $40°$；(2) $40$；(3) 能，$∠ DOE=40°$，理由见解析；(4) $∠ DOE=\frac{1}{2}α$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，双角平分线模型
【点评】
本题重点考查双角平分线模型的应用，无论第三条射线在已知角的内部还是外部，两条角平分线的夹角始终等于已知大角的一半，掌握该模型规律可快速解决同类型角度计算问题。
【难度系数】
0.7