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1 对于二次函数$y=x^2 -4x -1$的图象，下列叙述正确的是（
A.开口向下
B.对称轴为直线$x=2$
C.顶点坐标为$(-2,-5)$
D.当$x≥2$时，$y$随$x$增大而减小
B
）A.开口向下
B.对称轴为直线$x=2$
C.顶点坐标为$(-2,-5)$
D.当$x≥2$时，$y$随$x$增大而减小
答案
∵ y=x²-4x-1=(x-2)²-5，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,-5)，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意。
2[2025上海青浦区期中]已知函数$y=(a^2+1)x^2+a^2x+1$，在$x＜-1$的范围内，函数$y$的值随$x$的值的增大而
减小
。答案
∵a²≥0，
∴a²+1≥1，
∴抛物线开口向上。
∵a²+1＞a²≥0，
∴对称轴为直线x=-a²/(2(a²+1))，且-1/2 ＜ -a²/(2(a²+1)) ＜0，
∴在x＜-1的范围内，函数y的值随x的值的增大而减小。
3 [2026 浙江杭州拱墅区质检]
如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx-2(a＞0)$的部分图象如图所示,其对称轴为直线$x=2$,则当$y＜-2$时,$x$的取值范围是
如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx-2(a＞0)$的部分图象如图所示,其对称轴为直线$x=2$,则当$y＜-2$时,$x$的取值范围是
0＜x＜4
.答案
由题意得，抛物线对称轴为直线x=2，抛物线经过点(0,-2)，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点(4,-2)，结合图象可得，当y＜-2时，0＜x＜4。
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点(4,-2)，结合图象可得，当y＜-2时，0＜x＜4。
4 设二次函数$y=a(x-m)(x-m-k)(a＞0,m,k是实数),则 ( )$
A.当$k=2$时,函数$y$的最小值为$-a$
B.当$k=2$时,函数$y$的最小值为$-2a$
C.当$k=4$时,函数$y$的最小值为$-a$
D.当$k=4$时,函数$y$的最小值为$-2a$
A.当$k=2$时,函数$y$的最小值为$-a$
B.当$k=2$时,函数$y$的最小值为$-2a$
C.当$k=4$时,函数$y$的最小值为$-a$
D.当$k=4$时,函数$y$的最小值为$-2a$
答案
令y=0，则a(x-m)(x-m-k)=0，
∴x₁=m，x₂=m+k，
∴二次函数y=a(x-m)(x-m-k)(a＞0,m,k是实数)的图象与x轴的交点坐标是(m,0),(m+k,0)，
∴二次函数的图象的对称轴是直线x=(m+m+k)/2=(2m+k)/2。
∵a＞0，
∴y有最小值，当x=(2m+k)/2时，y最小，即y=a((2m+k)/2 -m)·((2m+k)/2 -m -k)= -k²/4 a，当k=2时，函数y的最小值为-2²/4 a=-a；当k=4时，函数y的最小值为-4²/4 a=-4a，故选A。
∴x₁=m，x₂=m+k，
∴二次函数y=a(x-m)(x-m-k)(a＞0,m,k是实数)的图象与x轴的交点坐标是(m,0),(m+k,0)，
∴二次函数的图象的对称轴是直线x=(m+m+k)/2=(2m+k)/2。
∵a＞0，
∴y有最小值，当x=(2m+k)/2时，y最小，即y=a((2m+k)/2 -m)·((2m+k)/2 -m -k)= -k²/4 a，当k=2时，函数y的最小值为-2²/4 a=-a；当k=4时，函数y的最小值为-4²/4 a=-4a，故选A。
5 二次函数$y=2x^2 -4x +5$，当$-3≤ x≤4$时，y的最大值是
35
，最小值是3
。答案
∵抛物线的对称轴为直线x=-b/(2a)= -(-4)/(2×2)=1，a=2＞0，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴在-3≤x≤4内，当x=1时，y有最小值，y最小=2-4+5=3；当x=-3时，y有最大值，y最大=2×9 -4×(-3)+5=35。
6 已知二次函数 $y=-x^2+bx+c$.
(1)当 $b=4,c=3$ 时,
①求该函数图象的顶点坐标;
②当 $-1 ≤ x ≤ 3$ 时,求 $y$ 的取值范围.
(2)当 $x ≤ 0$ 时,$y$ 的最大值为 2;当 $x＞0$ 时,$y$ 的最大值为 3,求二次函数的表达式.
(1)当 $b=4,c=3$ 时,
①求该函数图象的顶点坐标;
②当 $-1 ≤ x ≤ 3$ 时,求 $y$ 的取值范围.
(2)当 $x ≤ 0$ 时,$y$ 的最大值为 2;当 $x＞0$ 时,$y$ 的最大值为 3,求二次函数的表达式.
答案
(1)①
∵b=4,c=3,
∴y=-x²+4x+3=-(x-2)²+7,
∴该函数图象的顶点坐标为(2,7).
②
∵-1≤x≤3,
∴当x=2时,y有最大值,为7.
∵2-(-1)＞3-2,
∴当x=-1时,y有最小值,为-2,
∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
(2)
∵x≤0时,y的最大值为2;x＞0时,y的最大值为3,
∴抛物线的对称轴x=b/2在y轴的右侧,
∴b＞0.
∵抛物线开口向下,x≤0时,y的最大值为2,
∴c=2. 又
∵(4×(-1)×2 -b²)/(4×(-1))=3,
∴b=±2.
∵b＞0,
∴b=2,
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+2.
∵b=4,c=3,
∴y=-x²+4x+3=-(x-2)²+7,
∴该函数图象的顶点坐标为(2,7).
②
∵-1≤x≤3,
∴当x=2时,y有最大值,为7.
∵2-(-1)＞3-2,
∴当x=-1时,y有最小值,为-2,
∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
(2)
∵x≤0时,y的最大值为2;x＞0时,y的最大值为3,
∴抛物线的对称轴x=b/2在y轴的右侧,
∴b＞0.
∵抛物线开口向下,x≤0时,y的最大值为2,
∴c=2. 又
∵(4×(-1)×2 -b²)/(4×(-1))=3,
∴b=±2.
∵b＞0,
∴b=2,
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+2.
7 [2026 浙江金华期末]抛物线 $y=x^2 -2x -3$ 与x轴两交点间的距离是（
A.4
B.3
C.2
D.1
A
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴抛物线y=x²-2x-3与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0)，
∴抛物线与x轴两交点间的距离为3-(-1)=4。故选A。
∴抛物线y=x²-2x-3与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0)，
∴抛物线与x轴两交点间的距离为3-(-1)=4。故选A。
8 [2025 浙江嘉兴期中]若抛物线 $y=x^2+(2a+1)x+2a+\dfrac{5}{4}$ 与 $x$ 轴仅有一个交点，则 $a^4 - a^3 - a + 100$ 的值为________。
答案
101
解析：
∵抛物线y=x²+(2a+1)x+2a+5/4与x轴仅有一个交点，令y=0，即x²+(2a+1)x+2a+5/4=0，
∴(2a+1)²-4×1×(2a+5/4)=4(a²-a-1)=0，
∴a²-a=1，
∴a⁴ -a³ -a +100 =a²(a²-a)-a+100 =a² -a +100=1+100=101。
解析：
∵抛物线y=x²+(2a+1)x+2a+5/4与x轴仅有一个交点，令y=0，即x²+(2a+1)x+2a+5/4=0，
∴(2a+1)²-4×1×(2a+5/4)=4(a²-a-1)=0，
∴a²-a=1，
∴a⁴ -a³ -a +100 =a²(a²-a)-a+100 =a² -a +100=1+100=101。
9 当x取任意实数时，二次函数$y=x^2-(2m+1)x+m^2$的值始终为正数，则m的取值范围是
刷易错 ▶…………小心有坑~
m＜-1/4
。刷易错 ▶…………小心有坑~
答案
由题意得二次函数图象始终在x轴的上方，与x轴无交点，即b²-4ac=[-(2m+1)]²-4m²＜0，解得m＜-1/4。
10 已知二次函数$y=2x^2 -x +1$，当$-1≤ x≤1$时，求函数$y$的最小值和最大值。
彤彤的解答如下：
解:当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -(-1)+1=4$；
当$x=1$时，$y=2×1^2 -1 +1=2$，
所以函数$y$的最小值为2，最大值为4。
彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答。
彤彤的解答如下：
解:当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -(-1)+1=4$；
当$x=1$时，$y=2×1^2 -1 +1=2$，
所以函数$y$的最小值为2，最大值为4。
彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答。
答案
彤彤的解答不正确. 正确的解答如下:
∵y=2x² -x +1,
∴二次函数图象的对称轴为直线x=-b/(2a)= -(-1)/4=1/4.
∵-1＜1/4＜1,且2＞0,
∴当-1≤x≤1/4时,y随x的增大而减小;当1/4≤x≤1时,y随x的增大而增大,
∴当x=1/4时,y有最小值,y最小=2×(1/4)² -1/4 +1=7/8.
∵|-1 -1/4|=5/4 ＞ |1 -1/4|=3/4,
∴当x=-1时,y有最大值,y最大=2×(-1)² -(-1)+1=4,
∴函数y的最大值为4,最小值为7/8.
∵y=2x² -x +1,
∴二次函数图象的对称轴为直线x=-b/(2a)= -(-1)/4=1/4.
∵-1＜1/4＜1,且2＞0,
∴当-1≤x≤1/4时,y随x的增大而减小;当1/4≤x≤1时,y随x的增大而增大,
∴当x=1/4时,y有最小值,y最小=2×(1/4)² -1/4 +1=7/8.
∵|-1 -1/4|=5/4 ＞ |1 -1/4|=3/4,
∴当x=-1时,y有最大值,y最大=2×(-1)² -(-1)+1=4,
∴函数y的最大值为4,最小值为7/8.
