1[中]已知二次函数$y=ax^2 - bx(a≠0)$的图象经过点$P(m,2)$。当$y≥-1$时，$x$的取值范围为$x≤t-1$或$x≥-3-t$，则如下四个值中有可能为$m$的是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

当y≥-1，即ax² -bx ≥-1时，x的取值范围为x≤t-1或x≥-3-t，
∴a＞0，(t-1,-1),(-3-t,-1)为抛物线上的点，
∴抛物线对称轴为直线x=(t-1-3-t)/2=-2，
∴-b/(2a)=-2，
∴b=-4a，
∴y=ax² -bx =ax²+4ax=a(x+2)²-4a. 当a＞0时，-4a≤-1，解得a≥1/4. 将(m,2)代入表达式得am²+4am=2，
∴a=2/(m²+4m)≥1/4，
∴0＜m²+4m≤8，
∴4＜(m+2)²≤12，
∴-2-2√3 ≤m＜-4 或0＜m≤-2+2√3，故选A.

2[2026浙江杭州质检,中]已知点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$均在函数$y=(m^2 - 3m + 4)x^2 + n$的图象上,若$x_1 ＜ 0$且满足$y_1 ＜ y_2$,则$x_1^2$ $x_2^2$.（填“＞”“＜”或“=”）

∵m²-3m+4=(m-3/2)²+7/4＞0，
∴函数y=(m²-3m+4)x² +n的图象开口向上，对称轴为y轴.
∵x₁＜0且满足y₁＜y₂，
∴|x₁|＜|x₂|，
∴x₁²＜x₂².

3[中]已知二次函数$y=-(x-h)^2$（$h$为常数），当自变量$x$的值满足$2≤ x≤5$时，与其对应的函数值$y$的最大值为$-1$，则$h$的值为。

二次函数y=-(x-h)²，当x=h时，有最大值0，而当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，故h＜2或h＞5. 若h＜2，当2≤x≤5时，y随x的增大而减小，故当x=2时，y有最大值，此时-(2-h)²=-1，解得h₁=1，h₂=3(舍去)，此时h=1；若h＞5，当2≤x≤5时，y随x的增大而增大，故当x=5时，y有最大值，此时-(5-h)²=-1，解得h₁=6，h₂=4(舍去)，此时h=6. 综上可知，h=1或6.

4[2026北京昌平区调研,中]已知二次函数$y=(n+2)x^2 -x -(n+1)$的图象与$x$轴交于$A(a_n,0)$，$B(b_n,0)$两点($n$为正整数)，则$a_1 · a_2 · a_3 · \dots · a_{2003} · b_1 · b_2 · b_3 · \dots · b_{2003}$的值是。

∵二次函数y=(n+2)x² -x -(n+1)的图象与x轴交于A(aₙ,0),B(bₙ,0)两点(n为正整数),
∴二次函数为y=(n+2)(x-aₙ)(x-bₙ).
∵y=(n+2)(x-aₙ)(x-bₙ)=(n+2)x² -(n+2)(aₙ+bₙ)+aₙbₙ(n+2),
∴aₙbₙ(n+2)=-(n+1),
∴aₙbₙ=-(n+1)/(n+2),
∴a₁·a₂·a₃·…·a₂₀₀₃·b₁·b₂·b₃·…·b₂₀₀₃=(a₁b₁)(a₂b₂)…(a₂₀₀₃b₂₀₀₃)= -(1+1)/(1+2) × -(2+1)/(2+2) × -(3+1)/(3+2) ×…× -(2003+1)/(2003+2) = -2/3 × 3/4 ×4/5 ×…×2004/2005 = -2/2005.

5[2025浙江湖州期中,较难]已知抛物线$y=ax^2-2ax+c$经过点$(-1,0)$和$(0,3)$.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求这条抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3)当$-2≤ x≤ t$时,函数的最大值为$m$,最小值为$n$,若$m-n=9$,求$t$的取值范围.

刷素养 走向重高

(1)
∵抛物线y=ax²-2ax+c经过点(-1,0),(0,3),
∴a+2a+c=0,且c=3,
∴a=-1,
∴这条抛物线的表达式为y=-x²+2x+3.
(2)
∵y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,
∴这条抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).
(3)分以下两种情况:①当t≤1时,
∵当-2≤x≤t≤1时,y随x的增大而增大,
∴当x=t时,y取最大值,为-t²+2t+3=m;当x=-2时,y取最小值,为-4-4+3=-5=n. 又
∵m-n=9,
∴-t²+2t+3 -(-5)=9,
∴t²-2t+1=0,
∴t=1.
②当t＞1时,
∵-2≤x≤t,
∴当x=1时,y取最大值,为-1²+2+3=4=m. 当直线x=-2到对称轴的距离大于(或等于)直线x=t到对称轴的距离,即t-1 ≤1-(-2)时,1＜t≤4,当x=-2时,y取最小值,为-4-4+3=-5=n,此时m-n=9,符合题意. 当直线x=-2到对称轴的距离小于直线x=t到对称轴的距离,即t-1＞1-(-2)时,t＞4,当x=t时,y取最小值,为-t²+2t+3=n. 又
∵m-n=9,
∴n=-5,
∴-t²+2t+3=-5,
∴t=-2或t=4,不合题意,舍去.
综上,1≤t≤4.

6 核心素养 几何直观[较难]小东根据学习函数的经验，对函数$y=\dfrac{4}{(x-1)^2+1}$的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
(1)函数$y=\dfrac{4}{(x-1)^2+1}$的自变量x的取值范围是.
(2)如表是y与x的几组对应值.

表中m的值为.
(3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数$y=\dfrac{4}{(x-1)^2+1}$的大致图象.

(4)结合函数图象，请写出函数$y=\dfrac{4}{(x-1)^2+1}$的一条性质：.
(5)解决问题：如果函数$y=\dfrac{4}{(x-1)^2+1}$的图象与直线y=a的交点有2个，求a的取值范围.

(1)函数y=4/((x-1)²+1)的自变量x的取值范围是全体实数.
(2)把x=4代入y=4/((x-1)²+1),得y=4/((4-1)²+1)=2/5,
∴m=2/5.
(3)
(4)①图象位于第一、二象限;②当x=1时,函数有最大值4;③当x＜1时,y随x的增大而增大;④当x＞1时,y随x的增大而减小;⑤图象与x轴没有交点.(答案不唯一,写出一条即可)
(5)由图象得0＜a＜4.