1 代数法 [2025 浙江杭州期中，中]已知三点$(2,a),(-1,b),(3,c)$在抛物线$y=x^2+x+2$上，则$a,b,c$的大小关系是（）

A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.无法比较大小

∵抛物线y=x²+x+2,点(2,a),(-1,b),(3,c)都在该抛物线上,
∴a=2²+2+2=8,b=(-1)²-1+2=2,c=3²+3+2=14,
∴c＞a＞b. 故选A.

2 对称法 [2025吉林长春校级期中,中]已知点$P_1(-3,y_1),P_2(1,y_2),P_3(3,y_3)$均在二次函数$y=-x^2+4x-c$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 ()

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_1＜y_3=y_2$

∵二次函数y=-x²+4x-c,
∴其图象的对称轴为直线x=-4/(2×(-1))=2.
∵-1＜0,
∴当x＜2时,y随x的增大而增大.
∵点P₃(3,y₃)关于直线x=2的对称点为(1,y₃),-3＜1=1,
∴y₁＜y₃=y₂. 故选D.

3 距离法 [2025福建漳州期末,中]已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$都在二次函数$y=ax^2-2ax-3a(a≠0)$的图象上,若$-1＜x_1＜0,1＜x_2＜2,x_3＞3$,则下列关于$y_1,y_2,y_3$三者的大小关系判断一定正确的是 ()

A.$y_1$可能最大,不可能最小
B.$y_3$可能最大,也可能最小
C.$y_3$可能最大,不可能最小
D.$y_2$不可能最大,可能最小

抛物线y=ax²-2ax-3a(a≠0)的对称轴为直线x=-(-2a)/(2a)=1. 令ax²-2ax-3a=0,解得x₁=-1,x₂=3,
∴函数图象与x轴交于点(-1,0),(3,0).
∵-1＜x₁＜0,1＜x₂＜2,x₃＞3,
∴点(x₃,y₃)离对称轴最远,点(x₂,y₂)离对称轴最近. 当a＞0时,抛物线开口向上,此时y₃＞y₁＞y₂;当a＜0时,抛物线开口向下,此时y₃＜y₁＜y₂,
∴y₂和y₃可能最大,也可能最小. 故选B.

4 中点法 [2025北京东城区调研,中]在平面直角坐标系$xOy$中，$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$上任意两点，设抛物线的对称轴为直线$x=t$。
(1)若对于$x_1=3$，$x_2=4$有$y_1=y_2$，求$t$的值；
(2)若对于$2＜x_1＜3$，$3＜x_2＜4$，都有$y_1＜y_2$，求$t$的取值范围。

(1)
∵对于x₁=3,x₂=4有y₁=y₂,
∴抛物线的对称轴为直线x=(x₁+x₂)/2=7/2.
∵抛物线的对称轴为直线x=t,
∴t=7/2.
(2)
∵2＜x₁＜3,3＜x₂＜4,
∴5/2 ＜ (x₁+x₂)/2 ＜7/2,x₁＜x₂.
∵y₁＜y₂,a＞0,
∴点(x₁,y₁)离对称轴更近,则以点(x₁,y₁)与点(x₂,y₂)为端点的线段的中点在对称轴的右侧,
∴(x₁+x₂)/2 ＞t,
∴t≤5/2.

1 定轴定区间 [2025 陕西西安质检,中]在下列范围内求二次函数 $y=x^2+2x-3$ 的最值.
(1)全体实数;(2)$-4≤ x≤ -2$;(3)$-3≤ x≤ 0$;
(4)$1≤ x≤ 3$.

∵y=x²+2x-3=(x+1)²-4,
∴该二次函数图象的对称轴为直线x=-1.
∵1＞0,
∴该函数图象的开口向上.
(1)当x=-1时,函数y有最小值-4;函数y无最大值.
(2)当x=-2时,函数y有最小值-3;当x=-4时,函数y有最大值5.
(3)当x=-1时,函数y有最小值-4;当x=-3时,函数y有最大值0.
(4)当x=1时,函数y有最小值0;当x=3时,函数y有最大值12.

2 定轴动区间 (1)[2025 浙江台州期末,中]当$\frac{m}{2}≤x≤m+1$时,二次函数$y=x^2 -2x +m -1$的最小值是-1,则$m=$.
(2)[2025 河南郑州期中,中]已知二次函数$y=ax^2 +2ax +1(a＞0)$,当$m≤x≤0$时,$y$有最小值$1 -a$和最大值1,则$m$的取值范围是.

(1)1或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(2)$-2≤m≤-1$
解析：(1)二次函数y=x²-2x+m-1图象的对称轴为直线x=1,开口向上. ①若$\frac{m}{2}≥1$,即m≥2,则当x=$\frac{m}{2}$时,y=-1,
∴$(\frac{m}{2})^2 -2·\frac{m}{2} +m -1=-1$,
∴m=0,不符合题意,舍去;②若$\frac{m}{2}＜1＜m+1$,即0＜m＜2,则当x=1时,y=-1,
∴1-2+m-1=-1,解得m=1;③若m+1≤1,即m≤0,则当x=m+1时,y=-1,
∴(m+1)²-2(m+1)+m-1=-1,整理得m²+m-1=0,解得$m_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,$m_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$(舍去). 综上所述,m=1或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
(2)
∵二次函数y=ax²+2ax+1=a(x+1)² -a +1(a＞0),
∴该函数图象开口向上,对称轴是直线x=-1,
∴当x=-1时,该函数取得最小值-a+1.
∵当m≤x≤0时,y有最小值1-a和最大值1,当x=0时,y=1,
∴根据抛物线的对称性可知当x=-2时,y=1,
∴-2≤m≤-1.

3 动轴定区间 [2025 江苏苏州期末, 较难]当$0 ≤ x ≤ 3$时,二次函数$y=x^2+2ax$的最大值是$M$,最小值是$m$,若$M-m=4$,则$a$的值是________.

-1或-2
解析：
∵二次函数y=x²+2ax=(x+a)² -a²,
∴该函数图象的对称轴为直线x=-a,开口向上.
①若-a≤0,即a≥0,则当x=0时,m=0;当x=3时,M=9+6a.
∵M-m=4,
∴9+6a-0=4,解得a=-5/6(舍去). ②若0＜-a＜1.5,即-1.5＜a＜0,则当x=-a时,m=-a²;当x=3时,M=9+6a.
∵M-m=4,
∴9+6a+a²=4,解得a=-1或a=-5(舍去). ③若-a=1.5,即a=-1.5,则当x=-a=1.5时,m=-2.25;当x=3时,M=0,此时M-m=0+2.25=2.25,不合题意. ④若1.5＜-a＜3,即-3＜a＜-1.5,则当x=-a时,m=-a²;当x=0时,M=0.
∵M-m=4,
∴0 -(-a²)=4,解得a=-2或a=2(舍去). ⑤若-a≥3,即a≤-3,当x=3时,m=9+6a;当x=0时,M=0.
∵M-m=4,
∴0-(9+6a)=4,解得a=-13/6(舍去).
综上可知,a的值是-1或-2.

4 动轴动区间 [2025 安徽芜湖期中,难]已知二次函数 $y=x^2+2mx+4m^2$（$m$ 为常数），当 $2m ≤ x ≤ 2m+3$ 时，与其对应的函数值 $y$ 的最小值为9，求二次函数的表达式。

∵二次函数y=x²+2mx+4m²=(x+m)²+3m²,
∴其图象的对称轴是直线x=-m,开口向上.
①当2m≥-m,即m≥0时,
∵2m≤x≤2m+3,与其对应的函数值y的最小值为9,
∴当x=2m时,y=9,
∴4m²+4m²+4m²=9,解得m=√3/2(负值已舍去),
∴此时的二次函数表达式为y=x²+√3 x +3;
②当2m＜-m＜2m+3,即-1＜m＜0时,
∵2m≤x≤2m+3,与其对应的函数值y的最小值为9,
∴当x=-m时,y=9,
∴m²-2m²+4m²=9,解得m=±√3(舍去);
③当2m+3≤-m,即m≤-1时,
∵2m≤x≤2m+3,与其对应的函数值y的最小值为9,
∴当x=2m+3时,y=9,
∴(2m+3)²+2m(2m+3)+4m²=9,解得m₁=0(舍去),m₂=-1.5,
∴此时的二次函数表达式为y=x²-3x+9. 综上,二次函数表达式为y=x²+√3 x +3 或y=x²-3x+9.