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1[2026浙江杭州期末]如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）与x轴交于$A(-2,0)$和$B(4,0)$，则方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根是（
A.$x_1=-4,x_2=2$
B.$x_1=-2,x_2=4$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=1$
（第1题图）
（第2题图）
B
）A.$x_1=-4,x_2=2$
B.$x_1=-2,x_2=4$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=1$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.B 【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 与 x 轴交于$A(-2,0)$和$B(4,0)$,
∴ 当$x=-2$ 或 $x=4$ 时,$y=0$,即方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根为$x_1=-2,x_2=4$. 故选 B.
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 与 x 轴交于$A(-2,0)$和$B(4,0)$,
∴ 当$x=-2$ 或 $x=4$ 时,$y=0$,即方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根为$x_1=-2,x_2=4$. 故选 B.
2[2026浙江宁波期末]如图，一次函数$y=x$与二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象相交于$P,Q$两点，则关于一元二次方程$ax^2+(b-1)x+c=0$的根的说法正确的是（
A.有两个负根
B.有两个正根
C.有一正一负的两根
D.无实数根
B
）A.有两个负根
B.有两个正根
C.有一正一负的两根
D.无实数根
答案
2.B 【解析】由图象可知一次函数$y=x$与二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象相交于$P,Q$两点,且这两点均在第一象限,即$P,Q$两点的横坐标均大于0,
∴ 方程$ax^2+bx+c=x$有两个正根,
∴ 一元二次方程$ax^2+(b-1)x+c=0$有两个正根,故选 B.
∴ 方程$ax^2+bx+c=x$有两个正根,
∴ 一元二次方程$ax^2+(b-1)x+c=0$有两个正根,故选 B.
3[2026浙江温州质检]二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0,a,b,c$为常数）的图象如图所示，若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=m$有实数根，则$m$的取值范围是
（第3题图）
（第5题图）
$m ≤ 10$
。（第3题图）
（第5题图）
答案
3.$m ≤ 10$ 【解析】由题图可知,当$m ≤ 10$时,抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=m$有交点,所以若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=m$有实数根,则$m$的取值范围是$m ≤ 10$. 故答案为$m ≤ 10$.
4[2026 浙江嘉兴调研]二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中 $x$ 和 $y$ 的部分对应值如下表所示：
则方程 $ax^2+bx+3=0$ 的解为
则方程 $ax^2+bx+3=0$ 的解为
$x_1=\sqrt{2},x_2=4-\sqrt{2}$
.答案
4.$x_1=\sqrt{2},x_2=4-\sqrt{2}$ 【解析】
∵ $x=0$ 和 $x=4$ 时,$y=2$,
∴ 抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$.
∵ $x=0$ 时,$y=c=2$,
∴ $y=ax^2+bx+2$.
∵ 方程$ax^2+bx+3=0$可变形为$ax^2+bx+2=-1$,点$(\sqrt{2},-1)$关于直线$x=2$的对称点为$(4-\sqrt{2},-1)$,
∴ 当$x=\sqrt{2}$ 或 $4-\sqrt{2}$ 时,$y=-1$,
∴ 方程$ax^2+bx+3=0$的解为$x_1=\sqrt{2},x_2=4-\sqrt{2}$,故答案为$x_1=\sqrt{2},x_2=4-\sqrt{2}$.
∵ $x=0$ 和 $x=4$ 时,$y=2$,
∴ 抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$.
∵ $x=0$ 时,$y=c=2$,
∴ $y=ax^2+bx+2$.
∵ 方程$ax^2+bx+3=0$可变形为$ax^2+bx+2=-1$,点$(\sqrt{2},-1)$关于直线$x=2$的对称点为$(4-\sqrt{2},-1)$,
∴ 当$x=\sqrt{2}$ 或 $4-\sqrt{2}$ 时,$y=-1$,
∴ 方程$ax^2+bx+3=0$的解为$x_1=\sqrt{2},x_2=4-\sqrt{2}$,故答案为$x_1=\sqrt{2},x_2=4-\sqrt{2}$.
5[2025浙江宁波调研]某市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水流均呈相同的抛物线形，且恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水流离中心的水平距离为3 m时的高度为5 m，此时为最高点，如图所示建立直角坐标系. 王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水头意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O
7
m以内.答案
5.7 【解析】由题意得,第一象限内抛物线的最高点为$(3,5)$,且经过点$(8,0)$,
∴ 可设$y=a(x-3)^2+5$,将$(8,0)$代入,得$a(8-3)^2+5=0$,解得$a=-\frac{1}{5}$,
∴ $y=-\frac{1}{5}(x-3)^2+5$,当$y=1.8$时,得方程$-\frac{1}{5}(x-3)^2+5=1.8$,解得$x_1=7,x_2=-1$(舍去),当$x=0$时,$y=-\frac{1}{5}(0-3)^2+5=\frac{16}{5}＞1.8$.
∴ 他站立时必须在离水池中心$O$ 7 m以内. 故答案为7.
∴ 可设$y=a(x-3)^2+5$,将$(8,0)$代入,得$a(8-3)^2+5=0$,解得$a=-\frac{1}{5}$,
∴ $y=-\frac{1}{5}(x-3)^2+5$,当$y=1.8$时,得方程$-\frac{1}{5}(x-3)^2+5=1.8$,解得$x_1=7,x_2=-1$(舍去),当$x=0$时,$y=-\frac{1}{5}(0-3)^2+5=\frac{16}{5}＞1.8$.
∴ 他站立时必须在离水池中心$O$ 7 m以内. 故答案为7.
6[2026浙江绍兴调研]已知函数$y=(x+1)^2 -4$，请按要求填空或解答问题：
(1)函数图象的对称轴是直线
(2)在所给的直角坐标系中画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值$y＜0$。
(3)利用第(2)小题得到的图象，直接写出方程$(x+1)^2 -4=2$的近似解(精确到0.1)。
(1)函数图象的对称轴是直线
$x=-1$
，顶点坐标是$(-1,-4)$
。(2)在所给的直角坐标系中画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值$y＜0$。
(3)利用第(2)小题得到的图象，直接写出方程$(x+1)^2 -4=2$的近似解(精确到0.1)。
答案
6.【解】(1)
∵ $y=(x+1)^2-4$,
∴ 函数图象的对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标是$(-1,-4)$.
(2)列表:
| $x$ | $···$ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=(x+1)^2-4$ | $···$ | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 | $···$ |
描点、画出图象如图：
由图象可知,当$-3＜x＜1$时,函数值$y＜0$.
(3)由图象可知,方程$(x+1)^2-4=2$的近似解为$x_1 \approx -3.4,x_2 \approx 1.4$.
关键点拨
(3)利用图象找出函数值等于2时对应的$x$值,即可得到方程的近似解.
7[2026 浙江台州期末]抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$与$x$轴交于$(3,0),(-1,0)$两点,则不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为$\quad(\quad)$
A.$x＜-1$
B.$x＞3$
C.$-1＜x＜3$
D.$x＜-1$或$x＞3$
A.$x＜-1$
B.$x＞3$
C.$-1＜x＜3$
D.$x＜-1$或$x＞3$
答案
7.C 【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$与$x$轴交于$(3,0)$,$(-1,0)$两点,
∴ 画出草图如图所示
,∴ 当$-1＜x＜3$时,$y＜0$,
∴ 不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为$-1＜x＜3$,故选 C.
8 若二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，且$a≠0)$的图象如图所示，则关于$x$的不等式$a(x+2)^2+b(x+2)+c＜0$的解集为
$x＜-1或x＞1$
。答案
8.$x＜-1$ 或 $x＞1$ 【解析】由图象可得,当$x＜1$ 或 $x＞3$时,$ax^2+bx+c＜0$,
∴ 当$a(x+2)^2+b(x+2)+c＜0$时,$x+2＜1$ 或 $x+2＞3$,解得$x＜-1$ 或 $x＞1$,故答案为$x＜-1$ 或 $x＞1$.
∴ 当$a(x+2)^2+b(x+2)+c＜0$时,$x+2＜1$ 或 $x+2＞3$,解得$x＜-1$ 或 $x＞1$,故答案为$x＜-1$ 或 $x＞1$.
