1[2026浙江台州期末,中]如图,抛物线$y=x^2+ax+b$交x轴于A,B两点,交y轴于C点,$∠OBC=30°$,则下列各式成立的是 ()


A.$3b+\sqrt{3}a -1=0$
B.$3a+\sqrt{3}b -1=0$
C.$3b+\sqrt{3}a +1=0$
D.$3a+\sqrt{3}b +1=0$

1.C 【解析】由题意得$OC=b$. 令$x^2+ax+b=0$,则$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$,
∴ $OB=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}$.
∵ $∠OBC=30°$,
∴ 易得$OB=\sqrt{3}OC$,即$\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}=\sqrt{3}b$,
∴ $3b+\sqrt{3}a+1=0$,故选 C.

2[2026浙江金华期中,较难]关于$x$的二次函数$y=-x^2+2x-m(m≠0)$的图象与$x$轴有两个交点$(x_1,0),(x_2,0)(x_1＜x_2)$,关于$x$的方程$x^2-2x+m-1=0$有两个非零实数根$x_3,x_4(x_3＜x_4)$,则下列关系式不成立的是()

A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$\frac{x_1}{x_3}＞1$
C.$0＜\frac{x_2}{x_4}＜1$
D.$x_1 - x_3 = x_4 - x_2$

2.B 【解析】抛物线$y=-x^2+2x-m(m≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{2}{-2}=1$,开口向下.
∵ 抛物线$y=-x^2+2x-m(m≠0)$与$x$轴有两个交点$(x_1,0),(x_2,0)(x_1＜x_2)$,
∴ $x_1,x_2$是方程$-x^2+2x-m=0$的两个不相等的实数根,
∴ $b^2-4ac=4-4m＞0$,则$m＜1$,$x_1+x_2=2$,$x_1＜1＜x_2$. 当$y=-1$时,$-x^2+2x-m=-1$,整理得$x^2-2x+m-1=0$.
∵ 关于$x$的方程$x^2-2x+m-1=0$有两个非零实数根$x_3,x_4(x_3＜x_4)$,
∴ $x_3,x_4$是直线$y=-1$与抛物线的交点的横坐标,$x_3+x_4=2$. 抛物线$y=-x^2+2x-m(m≠0)$的大致图象有以下2种:
由函数图象可得,$x_3＜x_1＜1＜x_2＜x_4$,故选项A成立,不合题意;
∵ $x_1＞x_3$,且$x_1$可能是正数也可能是负数,
∴ $\frac{x_1}{x_3}$与1的大小关系不能确定,故选项B不成立,符合题意;
∵ $1＜x_2＜x_4$,
∴ $\frac{1}{x_4}＜\frac{x_2}{x_4}＜\frac{x_4}{x_4}$,
∴ $0＜\frac{x_2}{x_4}＜1$,故选项C成立,不合题意;
∵ $x_3+x_4=2$,$x_1+x_2=2$,
∴ $x_1+x_2=x_3+x_4$,
∴ $x_1-x_3=x_4-x_2$,故选项D成立,不合题意. 故选 B.

3[2026浙江杭州期末,中]已知$(a,0),(b,0)$是抛物线$y=x^2 -2x -m +1$($m$为常数)上的两点,若$|a|+|b|=6$,则$m$的值为.

3.9 【解析】由题意可知$a$和$b$是方程$x^2-2x-m+1=0$的两根,根据根与系数的关系,得$a+b=2$,$ab=1-m$.
∵ $|a|+|b|=6$,且$a+b=2＞0$,
∴ $a$和$b$异号,
∴ $|a|+|b|=|a-b|$.
∵ $|a-b|=\sqrt{(a+b)^2-4ab}=\sqrt{4-4(1-m)}=\sqrt{4m}=2\sqrt{m}$,
∴ $2\sqrt{m}=6$,解得$m=9$. 当$m=9$时,$ab=1-9=-8＜0$,符合题意,故答案为9.

4[较难]如图，抛物线$y=-2x^2+8x-6$与x轴交于点A,B，把抛物线在x轴及其上方的部分记为$C_1$，将$C_1$向右平移得$C_2$，$C_2$与x轴交于点B，D.若直线$y=x+n$与$C_1,C_2$共有3个不同的交点，则n的取值范围是.

4.$-3＜n＜-\frac{15}{8}$ 【解析】令$y=-2x^2+8x-6=0$,解得$x=1$或3,则点$A(1,0)$,$B(3,0)$.
∵ $3-1=2$,
∴ 将$C_1$向右平移2个单位长度得到$C_2$.
∵ $C_1$的表达式为$y=-2x^2+8x-6=-2(x-2)^2+2(1 ≤ x ≤ 3)$,
∴ $C_2$的表达式为$y=-2(x-4)^2+2(3 ≤ x ≤ 5)$. 如图,当直线$y=x+n$与$C_2$只有一个公共点时,令$x+n_1=-2(x-4)^2+2$,即方程$2x^2-15x+30+n_1=0$有两个相等的实数根,
∴ $(-15)^2-4×2×(30+n_1)=0$,解得$n_1=-\frac{15}{8}$. 当直线$y=x+n_2$过点$B(3,0)$时,$0=3+n_2$,解得$n_2=-3$,
∴ 当$-3＜n＜-\frac{15}{8}$时,直线$y=x+n$与$C_1,C_2$共有3个不同的交点.
关键点拨
首先求出点A和点B的坐标,然后求出$C_2$的表达式,分别求出直线与抛物线$C_2$只有一个公共点以及直线过点B时$n$的值,结合图象即可得到答案.

5[2026浙江嘉兴期末,中]如图(1),在平面直角坐标系中画出抛物线$y=x^2$和直线$y=x+2$,利用图象可以直接得到一元二次方程$x^2 -x -2=0$的解.
(1)根据图(1),直接写出一元二次方程$x^2 -x -2=0$的解;
(2)请参考上述方法,再给出两种作图方法求方程$x^2 -x -2=0$的解(分别画在图(2)和图(3)中).

5.【解】(1)由图象得一元二次方程$x^2-x-2=0$的解是$x_1=-1,x_2=2$.
(2)(答案不唯一)如图(1),方程$x^2-x-2=0$的解是抛物线$y=x^2-x$与直线$y=2$的交点的横坐标.
如图(2),方程$x^2-x-2=0$的解是抛物线$y=x^2-2$与直线$y=x$的交点的横坐标.
关键点拨
(1)一元二次方程$x^2-x-2=0$的解即为抛物线$y=x^2$与直线$y=x+2$的交点的横坐标.

6[2026 浙江台州期末,较难]在平面直角坐标系中,已知抛物线$y=kx^2+(3k+1)x+3$($k$为常数,$k≠0$).
(1)若抛物线与$x$轴只有一个交点,求抛物线的表达式;
(2)若抛物线与$x$轴有两个交点,设抛物线与$x$轴的两个交点分别为$A,B$,与$y$轴的交点为$C$,已知$△ ABC$的面积为3,求$k$的值;
(3)若当$0≤x≤1$时,$y＞0$始终成立,直接写出$k$的取值范围.

6.【解】(1)
∵ 抛物线$y=kx^2+(3k+1)x+3$($k$为常数,$k≠0$)与$x$轴只有一个交点,
∴ $(3k+1)^2-4× k× 3=0$,
∴ $k=\frac{1}{3}$,
∴ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{3}x^2+2x+3$.
(2)对于$y=kx^2+(3k+1)x+3$,当$y=0$时,$kx^2+(3k+1)x+3=0$,即$(kx+1)(x+3)=0$,解得$x=-\frac{1}{k}$或$x=-3$;当$x=0$时,$y=3$.
∵ 抛物线与$x$轴的两个交点分别为$A,B$,与$y$轴的交点为$C$,
∴ $AB=\left|-3-(-\frac{1}{k})\right|=\left|-3+\frac{1}{k}\right|$,$C(0,3)$,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{AB· OC}{2}=\frac{\left|-3+\frac{1}{k}\right|× 3}{2}=3$,
∴ $k=1$或$k=\frac{1}{5}$.
(3)$-1＜k＜0$ 或 $k＞0$. 由(2)可知,抛物线过点$(-\frac{1}{k},0)$,$(-3,0)$,$(0,3)$. 当$k＞0$时,抛物线开口向上,$x=-\frac{1}{k}＜0$,
∴ 当$0 ≤ x ≤ 1$时,$y$在$x=0$处取得最小值3,
∴ 当$k＞0$,$0 ≤ x ≤ 1$时,$y＞0$始终成立;
当$k＜0$时,抛物线开口向下,$x=-\frac{1}{k}＞0$,
∵ 当$0 ≤ x ≤ 1$时,$y＞0$始终成立,
∴ $-\frac{1}{k}＞1$,
∴ $-1＜k＜0$. 综上,$-1＜k＜0$ 或 $k＞0$.