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1[2026江苏南通期中]已知某二次函数的图象如图所示，则该二次函数的表达式可能是（
A.$y=(x+1)(x+4)$
B.$y=(x+1)(x-4)$
C.$y=(x-1)(x+4)$
D.$y=(x-1)(x-4)$
D
）A.$y=(x+1)(x+4)$
B.$y=(x+1)(x-4)$
C.$y=(x-1)(x+4)$
D.$y=(x-1)(x-4)$
答案
【解析】由函数图象知,抛物线与x轴的交点在正半轴上,
∴ 抛物线与x轴的交点的横坐标为正数. 对于选项A,当y=0时,(x+1)(x+4)=0,解得x=-1或x=-4,不符合题意;对于选项B,当y=0时,(x+1)(x-4)=0,解得x=-1或x=4,不符合题意;对于选项C,当y=0时,(x-1)(x+4)=0,解得x=1或x=-4,不符合题意;对于选项D,当y=0时,(x-1)(x-4)=0,解得x=1或x=4,符合题意,故选D.
∴ 抛物线与x轴的交点的横坐标为正数. 对于选项A,当y=0时,(x+1)(x+4)=0,解得x=-1或x=-4,不符合题意;对于选项B,当y=0时,(x+1)(x-4)=0,解得x=-1或x=4,不符合题意;对于选项C,当y=0时,(x-1)(x+4)=0,解得x=1或x=-4,不符合题意;对于选项D,当y=0时,(x-1)(x-4)=0,解得x=1或x=4,符合题意,故选D.
2[2026福建泉州期末]已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A(a,0)$和点$B(a+3,0)$，其中$a$为常数，则该二次函数的最大值为（
A.$1$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{27}{4}$
C
）A.$1$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{9}{4}$
D.$\dfrac{27}{4}$
答案
【解析】根据题意得$y=-(x-a)(x-a-3)=-x^2+(2a+3)x-a^2-3a=-(x-\dfrac{2a+3}{2})^2+\dfrac{9}{4}.\because -1＜0,\therefore$ 当$x=\dfrac{2a+3}{2}$时,$y$有最大值,为$\dfrac{9}{4}$. 故选C.
3[2026浙江杭州调研]已知二次函数$y_1=a(x-x_1)(x-x_2)$的最小值是$m$，二次函数$y_2=a(x-x_2)(x-x_3)$的最小值是$4m$，当$x_1＜x_2＜x_3$时，$x_1$，$x_2$，$x_3$满足的关系是 （
A.$x_1=\dfrac{x_2+x_3}{2}$
B.$x_1=\dfrac{2x_3 - x_2}{2}$
C.$x_1=\dfrac{x_2 - 2x_3}{2}$
D.$x_1=\dfrac{3x_2 - x_3}{2}$
D
）A.$x_1=\dfrac{x_2+x_3}{2}$
B.$x_1=\dfrac{2x_3 - x_2}{2}$
C.$x_1=\dfrac{x_2 - 2x_3}{2}$
D.$x_1=\dfrac{3x_2 - x_3}{2}$
答案
【解析】
∵ 二次函数$y_1=a(x-x_1)(x-x_2)$的最小值是$m$,
∴ 当$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$时,$y=m$,
∴ $m=a(\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_1)(\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_2).\because$ 二次函数$y_2=a(x-x_2)(x-x_3)$的最小值是$4m$,
∴ 当$x=\dfrac{x_2+x_3}{2}$时,$y=4m$,
∴ $4m = a (\dfrac{x_2+x_3}{2}-x_2)(\dfrac{x_2+x_3}{2}-x_3)$,
$\therefore (\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_1)(\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_2)=\dfrac{1}{4}(\dfrac{x_2+x_3}{2}-x_2)(\dfrac{x_2+x_3}{2}-x_3)$,
$\therefore \dfrac{1}{4}(x_2-x_1)(x_1-x_2)=\dfrac{1}{16}(x_3-x_2)(x_2-x_3),\therefore (x_2-x_1)^2=\dfrac{1}{4}(x_3-x_2)^2.\because x_1＜x_2＜x_3,\therefore x_2-x_1=\dfrac{1}{2}(x_3-x_2),\therefore x_1=x_2-\dfrac{1}{2}(x_3-x_2)=\dfrac{3}{2}x_2-\dfrac{1}{2}x_3=\dfrac{3x_2-x_3}{2}$,即$x_1=\dfrac{3x_2-x_3}{2}$. 故选D.
关键点拨
根据已知条件
得到当 $x = \dfrac{x_1+x_2}{2}$时,$y = m$
和当 $x=\dfrac{x_2+x_3}{2}$时,$y = 4m$ 是解题的关键.
∵ 二次函数$y_1=a(x-x_1)(x-x_2)$的最小值是$m$,
∴ 当$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$时,$y=m$,
∴ $m=a(\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_1)(\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_2).\because$ 二次函数$y_2=a(x-x_2)(x-x_3)$的最小值是$4m$,
∴ 当$x=\dfrac{x_2+x_3}{2}$时,$y=4m$,
∴ $4m = a (\dfrac{x_2+x_3}{2}-x_2)(\dfrac{x_2+x_3}{2}-x_3)$,
$\therefore (\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_1)(\dfrac{x_1+x_2}{2}-x_2)=\dfrac{1}{4}(\dfrac{x_2+x_3}{2}-x_2)(\dfrac{x_2+x_3}{2}-x_3)$,
$\therefore \dfrac{1}{4}(x_2-x_1)(x_1-x_2)=\dfrac{1}{16}(x_3-x_2)(x_2-x_3),\therefore (x_2-x_1)^2=\dfrac{1}{4}(x_3-x_2)^2.\because x_1＜x_2＜x_3,\therefore x_2-x_1=\dfrac{1}{2}(x_3-x_2),\therefore x_1=x_2-\dfrac{1}{2}(x_3-x_2)=\dfrac{3}{2}x_2-\dfrac{1}{2}x_3=\dfrac{3x_2-x_3}{2}$,即$x_1=\dfrac{3x_2-x_3}{2}$. 故选D.
关键点拨
根据已知条件
得到当 $x = \dfrac{x_1+x_2}{2}$时,$y = m$
和当 $x=\dfrac{x_2+x_3}{2}$时,$y = 4m$ 是解题的关键.
4[2026浙江温州调研]已知一抛物线过点(2,0),(5,0),且与抛物线$y=2x^2$的开口方向、形状大小一致,那么该抛物线的表达式为（
A.$y=x^2+14x+10$
B.$y=2x^2-14x+20$
C.$y=2x^2+14x+14$
D.$y=x^2-14x+10$
B
）A.$y=x^2+14x+10$
B.$y=2x^2-14x+20$
C.$y=2x^2+14x+14$
D.$y=x^2-14x+10$
答案
【解析】由题意得$y=2(x-2)(x-5)=2x^2-14x+20$,
∴ 该抛物线的表达式为$y=2x^2-14x+20$. 故选B.
∴ 该抛物线的表达式为$y=2x^2-14x+20$. 故选B.
5[2026云南昆明调研]若抛物线的顶点坐标是(-2,1)，且经过点(1,-8)，则该抛物线的表达式为（
A.$y=-(x+2)^2+1$
B.$y=-\frac{7}{9}(x+2)^2-1$
C.$y=-9(x-2)^2+1$
D.$y=-7(x-2)^2-1$
A
）A.$y=-(x+2)^2+1$
B.$y=-\frac{7}{9}(x+2)^2-1$
C.$y=-9(x-2)^2+1$
D.$y=-7(x-2)^2-1$
答案
【解析】设抛物线表达式为$y=a(x+2)^2+1$,将$(1,-8)$代入,得$-8=a(1+2)^2+1$,解得$a=-1$,
∴ 该抛物线的表达式为$y=-(x+2)^2+1$,故选A.
∴ 该抛物线的表达式为$y=-(x+2)^2+1$,故选A.
6 [2026浙江嘉兴质检]如图,抛物线$y_1$截得坐标轴上的线段长$AB=OD=6$,$D$为抛物线$y_1$的顶点,抛物线$y_2$由$y_1$平移得到,$y_2$截得$x$轴上的线段长$BC=9$.若过原点的直线被抛物线$y_1$,$y_2$所截得的线段长相等,则这条直线的表达式为
$y=x$
.答案
【解析】
∵ 抛物线$y_1$截得坐标轴上的线段长$AB=OD=6$,$D$为抛物线$y_1$的顶点,
∴ $A(-3,0)$,$B(3,0)$,$D(0,6)$. 设$y_1$的表达式为$y=ax^2+6$,将$(3,0)$代入,得$9a+6=0$,解得$a=-\dfrac{2}{3}$,
∴ $y_1=-\dfrac{2}{3}x^2+6$.
∵ 抛物线$y_2$由$y_1$平移得到,$y_2$截得$x$轴上的线段长$BC=9$,
∴ $C(12,0)$,
∴ $y_2$的表达式为$y=-\dfrac{2}{3}(x-3)(x-12)$,即$y_2=-\dfrac{2}{3}x^2+10x-24$. 设过原点的直线的表达式为$y=kx$,令直线$y=kx$与$y_1$,$y_2$分别交于点$F,G,H,K$,如图所示. 设点$F,G,H,K$的横坐标分别为$x_1,x_2,x_3,x_4$.
令$kx=-\dfrac{2}{3}x^2+6$,即$-\dfrac{2}{3}x^2-kx+6=0$,
∴ $x_1+x_2=-\dfrac{3k}{2}$,$x_1x_2=-9$,
∴ $F,G$两点横坐标之差为$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}k^2+36}$. 令$kx=-\dfrac{2}{3}x^2+10x-24$,即$-\dfrac{2}{3}x^2+(10-k)x-24=0$,
∴ $x_3+x_4=-\dfrac{3k-30}{2}$,$x_3x_4=36$,
∴ $H,K$两点横坐标之差为$|x_3-x_4|=\sqrt{(x_3+x_4)^2-4x_3x_4}=\sqrt{(-\dfrac{3k-30}{2})^2-144}$.
∵ $FG=HK$,
∴ $\sqrt{\dfrac{9}{4}k^2+36}=\sqrt{(-\dfrac{3k-30}{2})^2-144}$,解得$k=1$,故直线的表达式为$y=x$. 故答案为$y=x$.
7[2026江苏苏州调研]根据题意,求二次函数的表达式.
(1)求过点$A(1,0),B(2,3),C(3,1)$的抛物线的表达式.
(2)已知二次函数图象的顶点坐标为$(3,-2)$,并且函数图象与$x$轴两交点间的距离为4,求二次函数的表达式.
(1)求过点$A(1,0),B(2,3),C(3,1)$的抛物线的表达式.
(2)已知二次函数图象的顶点坐标为$(3,-2)$,并且函数图象与$x$轴两交点间的距离为4,求二次函数的表达式.
答案
7.【解】(1)设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$.
∵ 抛物线过点$A(1,0),B(2,3),C(3,1)$,
∴ $\begin{cases}a+b+c=0,\\4a+2b+c=3,\\9a+3b+c=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{5}{2},\\b=\dfrac{21}{2},\\c=-8,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{21}{2}x-8$.
(2)由题可设二次函数的表达式为$y=a(x-3)^2-2$,二次函数图象与$x$轴的对称轴为直线$x=3$.
∵ 图象与$x$轴两交点间的距离为4,
∴ 两交点到对称轴的距离均为2,
∴ 二次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$,$(5,0)$. 将$(1,0)$代入$y=a(x-3)^2-2$,得$0=a(1-3)^2-2$,解得$a=\dfrac{1}{2}$,
∴ 二次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2-2$.
∵ 抛物线过点$A(1,0),B(2,3),C(3,1)$,
∴ $\begin{cases}a+b+c=0,\\4a+2b+c=3,\\9a+3b+c=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{5}{2},\\b=\dfrac{21}{2},\\c=-8,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{21}{2}x-8$.
(2)由题可设二次函数的表达式为$y=a(x-3)^2-2$,二次函数图象与$x$轴的对称轴为直线$x=3$.
∵ 图象与$x$轴两交点间的距离为4,
∴ 两交点到对称轴的距离均为2,
∴ 二次函数图象与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$,$(5,0)$. 将$(1,0)$代入$y=a(x-3)^2-2$,得$0=a(1-3)^2-2$,解得$a=\dfrac{1}{2}$,
∴ 二次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2-2$.
8[2026 山东泰安期中]对于二次函数$y=x^2 -2ax+2a+3$，分别满足下列条件，求相应的函数表达式.
(1)当$x＞5$时，$y$随$x$增大而增大，当$x＜5$时，$y$随$x$增大而减小；
(2)图象在$x$轴上截得的线段长是3，且与$y$轴交于正半轴.
(1)当$x＞5$时，$y$随$x$增大而增大，当$x＜5$时，$y$随$x$增大而减小；
(2)图象在$x$轴上截得的线段长是3，且与$y$轴交于正半轴.
答案
8.【解】(1)由题意得抛物线的对称轴为直线$x=5$,
∴ $-\dfrac{-2a}{2}=5$,解得$a=5$,
∴ $y=x^2-10x+13$.
(2)设二次函数图象与$x$轴的交点的横坐标分别为$x_1,x_2$. 令$y=0$,得$x^2-2ax+2a+3=0$,
∴ $x_1+x_2=2a$,$x_1x_2=2a+3$.
∵ 二次函数图象在$x$轴上截得的线段长是3,
∴ $|x_1-x_2|=3$,
∴ $(x_1-x_2)^2=9$,
∴ $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9$,
∴ $4a^2-4(2a+3)=9$,解得$a=-\dfrac{3}{2}$或$a=\dfrac{7}{2}$.
∵ 二次函数图象与$y$轴交于正半轴,
∴ 当$x=0$时,$y=2a+3＞0$,解得$a＞-\dfrac{3}{2}$,
∴ $a=-\dfrac{3}{2}$不符合题意,应舍去,
∴ $a=\dfrac{7}{2}$,
∴ $y=x^2-7x+10$.
关键点拨
(1)根据二次函数的增减性确定抛物线的对称轴为直线$x=5$是解题的关键.
∴ $-\dfrac{-2a}{2}=5$,解得$a=5$,
∴ $y=x^2-10x+13$.
(2)设二次函数图象与$x$轴的交点的横坐标分别为$x_1,x_2$. 令$y=0$,得$x^2-2ax+2a+3=0$,
∴ $x_1+x_2=2a$,$x_1x_2=2a+3$.
∵ 二次函数图象在$x$轴上截得的线段长是3,
∴ $|x_1-x_2|=3$,
∴ $(x_1-x_2)^2=9$,
∴ $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9$,
∴ $4a^2-4(2a+3)=9$,解得$a=-\dfrac{3}{2}$或$a=\dfrac{7}{2}$.
∵ 二次函数图象与$y$轴交于正半轴,
∴ 当$x=0$时,$y=2a+3＞0$,解得$a＞-\dfrac{3}{2}$,
∴ $a=-\dfrac{3}{2}$不符合题意,应舍去,
∴ $a=\dfrac{7}{2}$,
∴ $y=x^2-7x+10$.
关键点拨
(1)根据二次函数的增减性确定抛物线的对称轴为直线$x=5$是解题的关键.
