1[较难]如图,已知抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$,与$y$轴的交点为$D(0,3)$.
(1)请直接写出$c_1$的表达式;
(2)若直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,求$m$的值;
(3)若将抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记为$c_2$,平行于$x$轴的直线$y=n$记为$l_2$.试结合图形回答:当$n$为何值时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有:①两个交点?②三个交点?③四个交点?

(1)$c_1$的表达式为$y=-x^2-2x+3$.
∵ 抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$,
∴ 设抛物线$c_1$的表达式为$y=a(x+1)^2+4$.
把$D(0,3)$代入$y=a(x+1)^2+4$得$3=a+4$,
∴ $a=-1$,
∴ 抛物线$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$,即$y=-x^2-2x+3$.
(2)由$\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\y=x+m,\end{cases}$得$x^2+3x+m-3=0$.
∵ 直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,
∴ $9-4m+12=0$,
∴ $m=\frac{21}{4}$.
(3)
∵ 将抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记为$c_2$,
∴ 抛物线$c_2$的顶点坐标为$(1,4)$,与$y$轴的交点为$D(0,3)$,
∴ 抛物线$c_2$的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
①当直线$l_2$过抛物线$c_1$的顶点$(-1,4)$和抛物线$c_2$的顶点$(1,4)$,即$n=4$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有两个交点.
②当直线$l_2$过$D(0,3)$,即$n=3$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有三个交点.
③当$n＜3$或$3＜n＜4$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有四个交点.

2[2026 浙江温州龙湾区期中,中]已知直线$y=b$与函数$y=x^2 -4|x| +3$的图象至少有3个交点，则$b$的取值范围是。

-1＜b≤3 【解析】画出$y=x^2-4|x|+3$的大致图象所示.
∵ 直线$y=b$与函数$y=x^2-4|x|+3$的图象至少有3个交点,
∴$-1＜b≤3$,故答案为$-1＜b≤3$.

3[较难]在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$C_1: y=x^2 -1$，将$C_1$向右平移4个单位长度，得到抛物线$C_2$，过点$P(p,0)$作$x$轴的垂线，交$C_1$于点$M$，交$C_2$于点$N$，$q$为$M$与$N$的纵坐标中的较小值(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点$(p,q)$组成的图形记为图形$T$. 若直线$y=x+n$与图形$T$恰好有4个交点，则$n$的取值范围是 ()

A.$-\dfrac{5}{4}＜n＜1$
B.$-1＜n＜1$
C.$-1＜n≤1$
D.$-5＜n＜1$

A 【解析】
∵ 抛物线$C_1:y=x^2-1$,将$C_1$向右平移4个单位长度,得到抛物线$C_2$,
∴ 抛物线$C_2$的表达式为$y=(x-4)^2-1$. 联立得$\begin{cases}y=x^2-1,\\y=(x-4)^2-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$
∴ 两抛物线的交点坐标为$(2,3)$. 由题意得图形$T$如图所示.
把$(2,3)$代入$y=x+n$,得$3=2+n$,解得$n=1$. 当直线$y=x+n$与$C_1$只有一个交点时,$x+n=x^2-1$,即$x^2-x-1-n=0$有两个相等的实数根,
∴ $1-4×1×(-n-1)=0$,解得$n=-\frac{5}{4}$.
∵ 直线$y=x+n$与图形$T$恰好有4个交点,
∴ 结合图形可知,$-\frac{5}{4}＜n＜1$. 故选A.

4[中]二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$.直线$AB$上有一点$C(m,5)$，将点$C$向右平移4个单位长度，得到点$D$，若抛物线与线段$CD$只有一个公共点，求$a$的取值范围.

【解】设直线$AB$的表达式为$y=kx+n(k≠0)$. 把点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$代入得$\begin{cases}n=-4,\\-2k+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\n=-4,\end{cases}$
∴ 直线$AB$的表达式为$y=-3x-4$. 把$C(m,5)$代入,得$m=-3$,
∴ $C(-3,5)$,由平移得$D(1,5)$.
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$,
∴ $\begin{cases}c=-4,\\4a-2b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-4,\\b=2a-3,\end{cases}$
∴ $y=ax^2+(2a-3)x-4$. ①当$a＞0$时,若抛物线与线段$CD$只有一个公共点,如图,则抛物线上的点$(1,a+2a-3-4)$在$D$点的下方,
∴ $a+2a-3-4＜5$,解得$a＜4$,
∴ $0＜a＜4$.
②当$a＜0$时,若抛物线的顶点在线段$CD$上,则抛物线与线段$CD$只有一个公共点,如图,则$\frac{4ac-b^2}{4a}=5$,即$\frac{4a×(-4)-(2a-3)^2}{4a}=5$,解得$a=-3+\frac{3}{2}\sqrt{3}$(舍去)或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$.
综上,$a$的取值范围是$0＜a＜4$或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$.

5[中]在平面直角坐标系中，已知二次函数$y=mx^2 -x +1(m≠0)$，点$A(-1,0),B(1,1)$。若二次函数$y=mx^2 -x +1$的图象与线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围为。

$m≤-2$或$1≤m＜\dfrac{9}{8}$ 【解析】①如图,当$m＜0$时,抛物线对称轴为直线$x=\frac{1}{2m}＜0$,
∴ $x=-1$时,$y=mx^2-x+1=m+1+1≤0$,解得$m≤-2$,
∴ $m≤-2$.
②如图(2),当$m＞0$时,
∵ 点$A(-1,0),B(1,1)$,设直线$AB$的表达式为$y=kx+b$,
∴ $\begin{cases}-k+b=0,\\k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=\frac{1}{2},\end{cases}$
∴ 直线$AB$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$. 令$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=mx^2-x+1$,整理得$mx^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=0$.
∵ 二次函数$y=mx^2-x+1$的图象与线段$AB$有两个不同的交点,
∴ $(-\frac{3}{2})^2-4m×\frac{1}{2}＞0$,且$x=1$时,$y=mx^2-x+1=m-1+1≥1$,
∴ $1≤m＜\frac{9}{8}$.
综上,$m$的取值范围为$m≤-2$或$1≤m＜\frac{9}{8}$.