1 [2026河南商丘调研,中]如图,平行四边形ABCD位于平面直角坐标系中,以点D为顶点的抛物线$y=-3x^2+bx-9$经过$B(1,0),C$两点,设直线$BD$的表达式为$y=mx+n$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出不等式$-3x^2+bx-9＞mx+n$的解集;
(3)在抛物线的对称轴上取点$P$,使得$PA-PB$的值最大,求此时点$P$的坐标及$PA-PB$的最大值.

1.【解】(1)
∵ 抛物线 $y=-3x^2+bx-9$ 过点 $B(1,0)$,
∴ $0=-3×1^2+b×1-9$,解得 $b=12$,
∴ 抛物线的表达式为 $y=-3x^2+12x-9$.
(2)$1＜x＜2$.
∵ $y=-3x^2+12x-9=-3(x-2)^2+3$,
∴ 抛物线顶点 D 的坐标为 $(2,3)$.
由图象可知, 当 $-3x^2 + bx -9＞mx+n$ 时, $1＜x＜2$.
(3)由(2)可知,抛物线的对称轴为直线 $x=2$.
∵ $PA-PB ≤ AB$,
∴ 当 $P$ 为直线 $AB$ 与对称轴的交点时, $PA-PB$ 的值最大, 为 $AB$ 的长. 延长 $AB$ 交抛物线的对称轴于点 $P$,如图.
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AD// BC$,
∴ $AD ⊥ y$ 轴.
∵ 点 $D$ 的坐标为 $(2,3)$,
∴ 点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$,
∴ $OA=3$.
∵ $B(1,0)$,
∴ $OB=1$,
∴ $AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. 设直线 $AB$ 的表达式为 $y=k'x+b'$. 将 $A(0,3)$,$B(1,0)$ 代入,得 $\begin{cases}b'=3,\\k'+b'=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k'=-3,\\b'=3,\end{cases}$
∴ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-3x+3$,将 $x=2$ 代入,得 $y=-3×2+3=-3$,即 $P(2,-3)$. 故当点 $P$ 的坐标为 $(2,-3)$ 时, $PA-PB$ 有最大值, 为 $\sqrt{10}$.
关键点拨(2) 不等式 $-3x^2+ bx -9＞mx+n$ 的解集为抛物线 $y=-3x^2+bx-9$ 在直线 $y=mx+n$ 上方时对应的 $x$ 的取值范围, 通过观察图象即可得出答案.

2[中]如图,抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,$OA=2,OC=8$,连结AC和BC.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点D在抛物线的对称轴上,当$△ ACD$的周长最小时,求点D的坐标.

2.【解】(1)
∵ $OA=2,OC=8$,
∴ $A(-2,0),C(0,-8)$.
将 $A(-2,0),C(0,-8)$ 代入 $y=x^2+bx+c$, 得 $\begin{cases}4-2b+c=0,\\c=-8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-2,\\c=-8,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=x^2-2x-8$.
(2)由 $y=x^2-2x-8$ 可知,抛物线对称轴为直线 $x=1$. 由抛物线的对称性可知,点 $A$ 与点 $B$ 关于抛物线对称轴对称. 如图,设 $BC$ 交对称轴于点 $D$,连结 $AD$, 则 $AD=BD$.
由两点之间线段最短可知,此时 $AD+CD$ 最小, 而 $AC$ 的长度是定值, 故此时 $△ ACD$ 的周长取得最小值. 由 $y=x^2-2x-8$ 可知,点 $B$ 的坐标为 $(4,0)$. 设直线 $BC$ 的表达式为 $y=kx-8$, 将点 $B(4,0)$ 代入, 得 $k=2$,
∴ 直线 $BC$ 的表达式为 $y=2x-8$, 当 $x=1$ 时, $y=-6$,
∴ 点 $D$ 的坐标为 $(1,-6)$.
思路分析(2) 设 $BC$ 交对称轴于点 $D$, 由抛物线的对称性可知 $AD=BD$, 由两点之间线段最短可知, 此时 $AD+CD$ 有最小值, 而 $AC$ 的长度是定值, 故此时 $△ ACD$ 的周长取得最小值, 求出直线 $BC$ 的表达式, 即可得到答案.

3[中]如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = -x^2 -4x +c$与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且点C的坐标为$(0,5)$.
(1)求点A的坐标;
(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值.

3.【解】(1)
∵ 点 $C(0,5)$ 在抛物线 $y=-x^2-4x+c$ 上,
∴ $c=5$,
∴ $y=-x^2-4x+5$, 令 $y=0$, 得 $0=-x^2-4x+5$,
解得 $x=1$ 或 $-5$,
∴ 点 $A$ 的坐标为 $(-5,0)$.
(2)由(1)知,$B(1,0)$. 过 $P$ 作 $PE ⊥ AC$ 于点 $E$, 过点 $P$ 作 $PF ⊥ x$ 轴于点 $F$, 交 $AC$ 于点 $H$, 如图.
∵ $A(-5,0)$,$C(0,5)$,
∴ $OA=OC$,
∴ $△ AOC$ 是等腰直角三角形,
∴ $∠ CAO=45°$.
∵ $PF ⊥ x$ 轴,
∴ $∠ AHF=45° = ∠ PHE$,
∴ $△ PHE$ 是等腰直角三角形,
∴ 易知 $PE=\frac{PH}{\sqrt{2}}$,
∴ 当 $PH$ 最大时, $PE$ 最大. 设直线 $AC$ 的表达式为 $y=kx+5$, 将 $A(-5,0)$ 代入得 $0=-5k+5$,
∴ $k=1$,
∴ 直线 $AC$ 的表达式为 $y=x+5$. 设 $P(m,-m^2-4m+5)(-5＜m＜0)$, 则 $H(m,m+5)$,
∴ $PH=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$.
∵ $-1＜0$,
∴ 当 $m=-\frac{5}{2}$ 时, $PH$ 取得最大值, 为 $\frac{25}{4}$,
∴ $PE=\frac{25}{4\sqrt{2}}=\frac{25\sqrt{2}}{8}$,
∴ 点 $P$ 到直线 $AC$ 距离的最大值为 $\frac{25\sqrt{2}}{8}$.
关键点拨(2) 作出辅助线, 由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出 $PE=\frac{PH}{\sqrt{2}}$, 将求点 $P$ 到直线 $AC$ 距离的最大值转化成求线段 $PH$ 的最大值, 利用二次函数的性质求解即可.