4[2025浙江温州期中,较难]在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线$y=ax^2+bx-3$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,与y轴交于点C,连结BC.
(1)求a,b的值.
(2)点M为线段BC上一动点(不与B,C重合),过点M作$MP⊥x$轴于点P,交抛物线于点N.
(ⅰ)如图(1),当$\frac{PA}{PB}=3$时,求线段MN的长;
(ⅱ)如图(2),在抛物线上找一点Q,连结AM,QN,QP,使得$△ PQN$与$△ APM$的面积相等,当线段NQ的长度最小时,求这个最小值及此时点M的横坐标.

4.【解】(1)由题意得 $\begin{cases}a-b-3=0,\\9a+3b-3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=-2.\end{cases}$
(2)(ⅰ) 当 $x=0$ 时,$y=-3$,
∴ $C(0,-3)$.
设直线 $BC$ 的表达式为 $y=kx-3$.
∵ 点 $B(3,0)$,
∴ $3k-3=0$, 解得 $k=1$,
∴ 直线 $BC$ 的表达式为 $y=x-3$,
∴ 可设 $M(m,m-3)(0＜m＜3)$, 则 $PM=PB=3-m$, $PA=m+1$.
∵ $\frac{PA}{PB}=3$,
∴ $\frac{m+1}{3-m}=3$, 解得 $m=2$.
经检验,$m=2$ 符合题意. 由(1)可得,抛物线表达式为 $y=x^2-2x-3$.
将 $x=2$ 代入 $y=x^2-2x-3$, 得 $y=2^2-2×2-3=-3$,
∴ $PN=3$. 又
∵ $PM=3-m=1$,
∴ $MN=2$.
(ⅱ)作 $QR ⊥ PN$ 于点 $R$. 由(ⅰ)可得 $M(m,m-3)$, $PA=m+1$, $PB=PM=3-m$, 则 $PN=-m^2+2m+3$,
∴ $△ PQN$ 的面积为 $\frac{1}{2}(-m^2+2m+3) · QR$, $△ APM$ 的面积为 $\frac{1}{2}(3-m)(m+1)$,
∴ $\frac{1}{2}(-m^2+2m+3) · QR = \frac{1}{2}(3-m)(m+1)$, 解得 $QR=1$.
当点 $Q$ 在 $PN$ 的左侧时, 如图, 则 $Q$ 点的横坐标为 $m-QR=m-1$, 纵坐标为 $(m-1)^2-2×(m-1)-3=m^2-4m$,
∴ $R$ 点的坐标为 $(m,m^2-4m)$.
∵ $N$ 点坐标为 $(m,m^2-2m-3)$,
∴ $RN=|3-2m|$,
∴ $NQ^2=(3-2m)^2+1^2=4(m-\frac{3}{2})^2+1$,
∴ 当 $m=\frac{3}{2}$ 时,$NQ$ 的长度最小, 最小值为 $1$, 此时点 $M$ 的横坐标为 $\frac{3}{2}$.
当点 $Q$ 在 $PN$ 的右侧时, 如图, 则 $Q$ 点的横坐标为 $m+QR=m+1$, 纵坐标为 $(m+1)^2-2×(m+1)-3=m^2-4$,
∴ $R$ 点的坐标为 $(m,m^2-4)$.
∵ $N$ 点的坐标为 $(m,m^2-2m-3)$,
∴ $RN=|2m-1|$,
∴ $NQ^2=(2m-1)^2+1^2=4(m-\frac{1}{2})^2+1$,
∴ 当 $m=\frac{1}{2}$ 时,$NQ$ 的长度最小, 最小值为 $1$, 此时点 $M$ 的横坐标为 $\frac{1}{2}$.
综上,$NQ$ 的长度的最小值为 $1$, 此时点 $M$ 的横坐标为 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$.
易错警示(2)(ⅱ) 注意分点 $Q$ 在 $PN$ 的左侧及点 $Q$ 在 $PN$ 的右侧讨论, 防止漏解.

5[中]如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）经过点$A(-1,0)$，$B(5,-6)$，$C(6,0)$。
（1）求抛物线的表达式。
（2）连结$AB$，点$P$在直线$AB$下方的抛物线上，求出$△ ABP$的面积最大时点$P$的坐标。

5.【解】(1)设 $y=a(x+1)(x-6)(a≠0)$. 把 $B(5,-6)$ 代入, 得 $a(5+1)(5-6)=-6$, 解得 $a=1$,
∴ $y=(x+1)(x-6)=x^2-5x-6$.
(2)如图,过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$, 交 $AB$ 于点 $E$.
由 $A(-1,0)$,$B(5,-6)$, 易得直线 $AB$ 的表达式为 $y=-x-1$.
设$P(m,m^2-5m-6)(-1＜m＜5)$, 则 $E(m, - m - 1)$,
∴ $PE=(-m-1)-(m^2-5m-6)=-m^2+4m+5$,
∴ $S_{△ ABP}=\frac{1}{2} PE · (x_B-x_A)=\frac{1}{2}(-m^2+4m+5)×6=-3(m-2)^2+27$,
∴ 当 $m=2$ 时,$S_{△ ABP}$ 最大,此时 $P(2,-12)$.
大招解读 铅垂法巧求面积最值
铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法,主要解决的是斜三角形面积问题. 具体公式为三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半. 三角形的水平宽指的是两个顶点之间的水平距离,而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度.
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} l · h$

6[2025 吉林长春期中,中]如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,$D(0,-2)$,抛物线$y=-x^2+2x+8$与 y 轴交于点 C,交 x 轴于 A,B 两点(A 在 B 的左边),点 E 为抛物线第一象限内一动点.
(1)求出 A,B 两点坐标.
(2)连结 BD,过点 E 作$EF ⊥ x$轴交 BD 于点 F.
①当$DF // CE$时,求点 E 的坐标;
②连结 ED,BE,得到$△ DBE$,求$△ DBE$的面积的最大值.

6.【解】(1) 令 $y=0$, 则 $0=-x^2+2x+8$, 解得 $x_1=-2$,$x_2=4$,
∴ $A(-2,0)$,$B(4,0)$.
(2)如图.
①设直线 $BD$ 的函数表达式为 $y=kx+b$, 将 $B(4,0)$,$D(0,-2)$ 代入,得 $\begin{cases}4k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=-2,\end{cases}$
∴ 直线 $BD$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x-2$. 令 $y=-x^2+2x+8$ 中 $x=0$, 则 $y=8$, 则 $C(0,8)$.
∵ $DF// CE$,
∴ 设直线 $CE$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+t$. 将 $C(0,8)$ 代入,得 $t=8$,
∴ 直线 $CE$ 的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+8$. 联立得 $\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+8,\\y=-x^2+2x+8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\frac{3}{2},\\y=\frac{35}{4}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=0,\\y=8,\end{cases}$ 故点 $E$ 的坐标为 $(\frac{3}{2},\frac{35}{4})$.
②设 $E(m,-m^2+2m+8)$, 则 $F(m,\frac{1}{2}m-2)$,$0＜m＜4$,
∴ $EF=-m^2+2m+8-(\frac{1}{2}m-2)=-m^2+\frac{3}{2}m+10$,
∴ $S_{△ DBE}=\frac{1}{2}×(-m^2+\frac{3}{2}m+10)×4=-2m^2+3m+20=-2(m-\frac{3}{4})^2+\frac{169}{8}$.
∵ $-2＜0$,$0＜m＜4$,
∴ 当 $m=\frac{3}{4}$ 时, $△ DBE$ 的面积最大, 最大值为 $\frac{169}{8}$.