1[2025浙江杭州质检,中]如图,直线$y=cx+c$与抛物线$y=ax^2+bx+c$交于$A,B$两点,则抛物线$y=-ax^2+(c-b)x$可能是 ()


A
B
C
D

1. C 【解析】由题图可得,$a＞0,c＞0$,抛物线的对称轴在$y$轴左侧,$\therefore x=-\frac{b}{2a}＜0$,$\therefore b＞0.$ $\because$ 易知直线$y=cx+c$与$x$轴交于点$(-1,0)$,$\therefore$ 当$x=-1$时,$y=ax^2+bx+c=a-b+c＜0$,$\therefore a＜b-c.$ 又$\because a＞0$,$\therefore -a＜0$,$b-c＞0$,即$c-b＜0$,$\therefore$ 抛物线$y=-ax^2+(c-b)x$的开口向下,对称轴是直线$x=-\frac{c-b}{2×(-a)}＜0.$ 故选 C.

2[2026浙江嘉兴调研,中]如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+2x+3(a＜0)$交x轴正半轴于点A,交y轴于点B,将抛物线向下平移3个单位长度,若抛物线上A,B两点间的部分在平移过程中扫过的面积为9,则a的值为.

2. -1 【解析】如图,抛物线上A,B两点间的部分在平移过程中扫过的面积等于$□ ABOC$的面积.
$\because$ 平移过程中扫过的面积为9,$S_{□ ABOC}=3OA$,$\therefore 3OA=9$,解得$OA=3$,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(3,0)$,代入$y=ax^2+2x+3$,得$a×3^2+2×3+3=0$,解得$a=-1.$ 故答案为-1.

3[中]定义:在平面直角坐标系中,若点A满足横、纵坐标都为整数,则把点A叫作“整点”.如$B(3,0),C(-1,3)$都是“整点”.当抛物线$y=ax^2 -4ax +1$与其关于x轴对称的抛物线围成的封闭区域内(包括边界)共有9个整点时,a的取值范围是.

3. $\frac{2}{3}≤ a＜\frac{3}{4}$ 【解析】由$y=ax^2-4ax+1$可得其图象对称轴为直线$x=2$,且其图象必过点$(0,1).$ 当$a＜0$时,此时整点有$(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),···$,显然超过9个,$\therefore a＜0$不符合题意,舍去; 当$a＞0$时,若过点$(1,-1)$,则$-1=a-4a+1$,解得$a=\frac{2}{3}$,此时刚好有9个整点; 若过点$(2,-2)$,则$-2=4a-8a+1$,解得$a=\frac{3}{4}$,此时有11个整点,$\therefore \frac{2}{3}≤ a＜\frac{3}{4}.$ 故答案为$\frac{2}{3}≤ a＜\frac{3}{4}.$

4[较难]将二次函数$y=x^2-2mx+m^2+m+1$配成顶点式后，发现其图象的顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形ABCD中，点$A(-1,1)$，点$D(2,1)$，则二次函数$y=x^2-2mx+m^2+m+1$的图象与矩形ABCD有交点时，$m$的取值范围是。

4. $\frac{-3-\sqrt{5}}{2}≤ m≤0$ 【解析】将$y=x^2-2mx+m^2+m+1$配成顶点式得$y=(x-m)^2+m+1$,此二次函数图象的顶点坐标是$(m,m+1)$,$\therefore$ 此二次函数图象的顶点在直线$y=x+1$上. $\because a=1$,$\therefore$ 图象开口向上,开口大小一定. 将抛物线沿直线$y=x+1$从左至右移动,如图(1),当二次函数图象与矩形第一次相交时,二次函数图象经过点$A(-1,1)$,此时$m$取最小值. 将$A(-1,1)$代入$y=x^2-2mx+m^2+m+1$得$1+2m+m^2+m+1=1$,解得$m_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$,$m_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$(舍去),则$m$的最小值是$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}.$

如图(2),当二次函数图象与矩形最后一次相交时,二次函数图象的顶点在$AD$边与$y$轴的交点$(0,1)$处,此时$m$取最大值. 将$(0,1)$代入$y=x^2-2mx+m^2+m+1$得$m^2+m+1=1$,解得$m_1=0$,$m_2=-1$(舍去),$\therefore \frac{-3-\sqrt{5}}{2}≤ m≤0$,故答案为$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}≤ m≤0.$

5 新考法 [2026 浙江温州调研,较难]已知抛物线$C:y=x^2 - 2ax + a(a + 2)$（$a$为常数）.
(1)证明:无论$a$取何值,抛物线的顶点始终在一条定直线上；
(2)若直线$y=kx+1$与抛物线$C$交于$A,B$两点,且线段$AB$的长度与$a$的值无关,求$k$的值.
刷素养 走向重高

5. (1)【证明】$\because y=x^2-2ax+a(a+2)=(x-a)^2+2a$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(a,2a)$,$\therefore$ 抛物线的顶点始终在直线$y=2x$上.
(2)【解】联立$y=kx+1$与$y=x^2-2ax+a(a+2)$,得$kx+1=x^2-2ax+a(a+2)$,整理得$x^2-(2a+k)x+a^2+2a-1=0.$ 设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,则$x_1+x_2=2a+k$,$x_1x_2=a^2+2a-1$, $\therefore AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+k^2(x_2-x_1)^2}=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{k^2+(4k-8)a+4}.$
$\because$ 线段$AB$的长度与$a$的值无关,$\therefore 4k-8=0$,$\therefore k=2.$

6 核心素养模型观念[难]如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+5$与x轴交于$A(-1,0),B(5,0)$两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作$DF⊥x$轴于点F,交直线BC于点E,连结BD,直线BC能否把$△BDF$分成面积之比为$2:3$的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由.
(3)若M为抛物线对称轴上一动点,使得$△MBC$为直角三角形,请直接写出点M的坐标.

6. 【解】(1)将$A(-1,0),B(5,0)$代入$y=ax^2+bx+5$,得$\begin{cases}a-b+5=0,\\25a+5b+5=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=4,\end{cases}$ 则抛物线表达式为$y=-x^2+4x+5.$
(2)能. 设直线$BC$的表达式为$y=kx+m(k≠0).$ 把$C(0,5),B(5,0)$代入得$\begin{cases}m=5,\\5k+m=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\m=5,\end{cases}$ $\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=-x+5.$
设$D(x,-x^2+4x+5)(0＜x＜5)$,则$E(x,-x+5),F(x,0)$,$\therefore DE=-x^2+4x+5-(-x+5)=-x^2+5x$,$EF=-x+5.$
当$DE:EF=2:3$时,$S_{△ BDE}:S_{△ BEF}=2:3$,即$(-x^2+5x):(-x+5)=2:3$,整理得$3x^2-17x+10=0$,解得$x_1=\frac{2}{3}$,$x_2=5$(舍去),此时$D$点坐标为$(\frac{2}{3},\frac{65}{9})$;
当$DE:EF=3:2$时,$S_{△ BDE}:S_{△ BEF}=3:2$,即$(-x^2+5x):(-x+5)=3:2$,整理得$2x^2-13x+15=0$,解得$x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=5$(舍去),此时$D$点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{35}{4}).$
综上所述,当点$D$的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{65}{9})$或$(\frac{3}{2},\frac{35}{4})$时,直线$BC$把$△ BDF$分成面积之比为$2:3$的两部分.
(3)点$M$的坐标为$(2,7),(2,-3),(2,6),(2,-1).$
易知抛物线的对称轴为直线$x=2$,如图,设$M(2,t).$
$\because B(5,0),C(0,5),\therefore BC^2=5^2+5^2=50$,$MC^2=2^2+(t-5)^2=t^2-10t+29$,$MB^2=(2-5)^2+t^2=t^2+9.$
当$BC^2+MC^2=MB^2$时,$△ BCM$为直角三角形,$∠ BCM=90°$,即$50+t^2-10t+29=t^2+9$,解得$t=7$,此时$M$点的坐标为$(2,7)$;
当$BC^2+MB^2=MC^2$时,$△ BCM$为直角三角形,$∠ CBM=90°$,即$50+t^2+9=t^2-10t+29$,解得$t=-3$,此时$M$点的坐标为$(2,-3)$;
当$MC^2+MB^2=BC^2$时,$△ BCM$为直角三角形,$∠ CMB=90°$,即$t^2-10t+29+t^2+9=50$,解得$t_1=6$,$t_2=-1$,此时$M$点的坐标为$(2,6)$或$(2,-1).$
综上所述,满足条件的$M$点的坐标为$(2,7),(2,-3),(2,6),(2,-1).$