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1 教材变式题 如图，某人计划用26 m的围栏靠墙围成80 m²的矩形小花园（墙长15 m），则与墙垂直的边长为 （
A.5 m
B.8 m
C.10 m
D.10 m或5 m
B
）A.5 m
B.8 m
C.10 m
D.10 m或5 m
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这个围栏围矩形的问题，首先明确靠墙一侧不需要围栏，因此围栏总长度对应2个与墙垂直的边长加1个与墙平行的边长。我们可以先设与墙垂直的边长为未知数，用总围栏长度表示出与墙平行的边长，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后注意墙长的限制条件，检验得到的根是否符合实际，舍去不符合的解即可。
【解析】
设与墙垂直的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的边长为$ (26-2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$x(26-2x)=80$
整理方程：
$x^2 -13x +40 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-8)=0$
解得$ x_1=5 $，$ x_2=8 $。
接下来检验根的合理性：
当$ x=5 $时，与墙平行的边长为$ 26-2×5=16 \, \mathrm{m} $，已知墙长仅为15 m，$ 16＞15 $，不符合实际，舍去该解；
当$ x=8 $时，与墙平行的边长为$ 26-2×8=10 \, \mathrm{m} $，$ 10＜15 $，符合题意。
因此与墙垂直的边长为8 m。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题属于典型的几何类一元二次方程应用题，易错点是求解后忽略墙长的限制条件，未舍去不符合实际的根，从而错选D。解题时要注意结合题目给出的实际限制条件，对方程的解进行合理性检验。
【难度系数】
0.7
要解决这个围栏围矩形的问题，首先明确靠墙一侧不需要围栏，因此围栏总长度对应2个与墙垂直的边长加1个与墙平行的边长。我们可以先设与墙垂直的边长为未知数，用总围栏长度表示出与墙平行的边长，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后注意墙长的限制条件，检验得到的根是否符合实际，舍去不符合的解即可。
【解析】
设与墙垂直的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则与墙平行的边长为$ (26-2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$x(26-2x)=80$
整理方程：
$x^2 -13x +40 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-8)=0$
解得$ x_1=5 $，$ x_2=8 $。
接下来检验根的合理性：
当$ x=5 $时，与墙平行的边长为$ 26-2×5=16 \, \mathrm{m} $，已知墙长仅为15 m，$ 16＞15 $，不符合实际，舍去该解；
当$ x=8 $时，与墙平行的边长为$ 26-2×8=10 \, \mathrm{m} $，$ 10＜15 $，符合题意。
因此与墙垂直的边长为8 m。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题根的检验
【点评】
本题属于典型的几何类一元二次方程应用题，易错点是求解后忽略墙长的限制条件，未舍去不符合实际的根，从而错选D。解题时要注意结合题目给出的实际限制条件，对方程的解进行合理性检验。
【难度系数】
0.7
2 [2025 汕头金平期末]如图，在一块正方形铁皮的四角各截去一边长为5 cm 的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是2 000 cm³，求这块正方形铁皮的边长。
答案
2. 设这块正方形铁皮的边长为x cm,则折成的无盖长方体盒子的底面是边长为(x-5×2)cm的正方形. 根据题意,得5(x-5×2)²=2 000,解得x₁=-10(不符合题意,舍去),x₂=30.
∴ 这块正方形铁皮的边长为30 cm
∴ 这块正方形铁皮的边长为30 cm
解析
【分析】
要解决该问题，首先设原正方形铁皮的边长为未知数，结合折叠性质确定无盖长方体的参数：截去的小正方形边长就是长方体的高，原正方形边长减去2倍的小正方形边长，就是长方体底面正方形的边长；再根据长方体容积=底面积×高的公式列出一元二次方程，求解后舍去边长为负的不符合实际意义的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设这块正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
由题意可知，折成的无盖长方体盒子的高为5 cm，底面是边长为$ (x-5×2) $ cm的正方形。
根据长方体容积公式列方程：
$ 5(x-5×2)^2=2000 $
化简得：$ (x-10)^2=400 $
开平方得：$ x-10=\pm20 $
解得：$ x_1=30 $，$ x_2=-10 $
因为铁皮边长不能为负数，故$ x_2=-10 $不符合题意，舍去。
【答案】
30 cm
【知识点】
一元二次方程的应用、长方体容积计算、图形折叠的性质
【点评】
本题是结合几何图形的方程应用题，解题核心是根据折叠前后的边长关系，准确表示出长方体的长宽高，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先设原正方形铁皮的边长为未知数，结合折叠性质确定无盖长方体的参数：截去的小正方形边长就是长方体的高，原正方形边长减去2倍的小正方形边长，就是长方体底面正方形的边长；再根据长方体容积=底面积×高的公式列出一元二次方程，求解后舍去边长为负的不符合实际意义的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设这块正方形铁皮的边长为$ x $ cm。
由题意可知，折成的无盖长方体盒子的高为5 cm，底面是边长为$ (x-5×2) $ cm的正方形。
根据长方体容积公式列方程：
$ 5(x-5×2)^2=2000 $
化简得：$ (x-10)^2=400 $
开平方得：$ x-10=\pm20 $
解得：$ x_1=30 $，$ x_2=-10 $
因为铁皮边长不能为负数，故$ x_2=-10 $不符合题意，舍去。
【答案】
30 cm
【知识点】
一元二次方程的应用、长方体容积计算、图形折叠的性质
【点评】
本题是结合几何图形的方程应用题，解题核心是根据折叠前后的边长关系，准确表示出长方体的长宽高，求解方程后要注意结合实际情况对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
3 新情境 数学文化 我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意如下：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，则它的长比宽多
12
步。答案
3. 12
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确已知条件：矩形面积为864平方步，长与宽的和为60步，目标是求长比宽多的步数。我们可以通过设未知数列一元二次方程的方法求解：首先设长为x步，根据长宽和即可表示出宽，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”列出方程，解方程得到长和宽的数值后，作差即可得到结果。
【解析】
设矩形田地的长为$ x $步，则宽为$ (60 - x) $步。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(60 - x) = 864 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2 - 60x + 864 = 0 $
计算判别式：$ \Delta = (-60)^2 - 4 × 1 × 864 = 3600 - 3456 = 144 $
解方程得：
$ x = \frac{60 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{60 \pm 12}{2} $
即$ x_1 = 36 $，$ x_2 = 24 $
因为长大于宽，所以长为36步，宽为$ 60 - 36 = 24 $步
则长比宽多的步数为：$ 36 - 24 = 12 $
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景，考查了一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题核心是准确提取题干中的等量关系列方程求解，同时需要注意长和宽的大小关系，避免混淆数值。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先明确已知条件：矩形面积为864平方步，长与宽的和为60步，目标是求长比宽多的步数。我们可以通过设未知数列一元二次方程的方法求解：首先设长为x步，根据长宽和即可表示出宽，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”列出方程，解方程得到长和宽的数值后，作差即可得到结果。
【解析】
设矩形田地的长为$ x $步，则宽为$ (60 - x) $步。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(60 - x) = 864 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2 - 60x + 864 = 0 $
计算判别式：$ \Delta = (-60)^2 - 4 × 1 × 864 = 3600 - 3456 = 144 $
解方程得：
$ x = \frac{60 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{60 \pm 12}{2} $
即$ x_1 = 36 $，$ x_2 = 24 $
因为长大于宽，所以长为36步，宽为$ 60 - 36 = 24 $步
则长比宽多的步数为：$ 36 - 24 = 12 $
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景，考查了一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题核心是准确提取题干中的等量关系列方程求解，同时需要注意长和宽的大小关系，避免混淆数值。
【难度系数】
0.75
4 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.其大意如下:请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.求这批椽的数量.
答案
4. 设这批椽的数量为x株,则每株椽的价钱为3(x-1)文.依题意,得3(x-1)x=6 210.整理,得x²-x-2 070=0,解得x₁=46,x₂=-45(不符合题意,舍去).
∴ 这批椽的数量为46株
∴ 这批椽的数量为46株
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的等量关系：第一步设未知数，设这批椽的数量为x株；第二步推导单株椽的价格，已知每株运费3文，少拿1株即（x-1）株的运费恰好等于1株椽的价钱，因此单株椽的价格为3(x-1)文；第三步根据“总售价=单株价格×数量”的核心等量关系列方程，总售价为6210文，代入即可得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x为椽的数量（正整数），舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
解：设这批椽的数量为x株，则每株椽的价钱为3(x-1)文。
依题意列方程得：$3(x-1)x=6210$
整理得：$x^2-x-2070=0$
解得：$x_1=46$，$x_2=-45$
因为椽的数量不能为负数，因此$x_2=-45$不符合题意，舍去。
【答案】
46株
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程，实际问题根的检验
【点评】
本题以古代数学典籍问题为背景，考查从实际场景中提取等量关系、列方程求解的能力，解题时需注意方程的解要符合实际意义，避免错留不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目中的等量关系：第一步设未知数，设这批椽的数量为x株；第二步推导单株椽的价格，已知每株运费3文，少拿1株即（x-1）株的运费恰好等于1株椽的价钱，因此单株椽的价格为3(x-1)文；第三步根据“总售价=单株价格×数量”的核心等量关系列方程，总售价为6210文，代入即可得到关于x的一元二次方程，解方程后结合x为椽的数量（正整数），舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
解：设这批椽的数量为x株，则每株椽的价钱为3(x-1)文。
依题意列方程得：$3(x-1)x=6210$
整理得：$x^2-x-2070=0$
解得：$x_1=46$，$x_2=-45$
因为椽的数量不能为负数，因此$x_2=-45$不符合题意，舍去。
【答案】
46株
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程，实际问题根的检验
【点评】
本题以古代数学典籍问题为背景，考查从实际场景中提取等量关系、列方程求解的能力，解题时需注意方程的解要符合实际意义，避免错留不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
5 教材变式题 如图,在矩形ABCD中,AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上沿A→B方向以每秒2 cm的速度匀速运动,点Q在边BC上沿B→C方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为x s,当一个点停止运动时,另一个点同时也停止运动.
（1）当x为多少时,$△ PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$?
（2）当x为多少时,PQ的长度为$3\sqrt{17}\ \mathrm{cm}$?
（1）当x为多少时,$△ PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$?
（2）当x为多少时,PQ的长度为$3\sqrt{17}\ \mathrm{cm}$?
答案
5. (1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ BC=AD=4 cm.由题意可知,AP=2x cm,BQ=x cm,
∴ PB=AB-AP=(18-2x)cm.
由题意,得$\frac{1}{2}(18-2x)·x=8$,整理,得$x^2-9x+8=0$,解得$x_1=1$,$x_2=8$(不符合题意,舍去).
∴ 当x为1时,$△PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$ (2) 由题意及(1),得$(18-2x)^2+x^2=(3\sqrt{17})^2$,整理,得$5x^2-72x+171=0$,解得$x_1=3$,$x_2=11.4$(不符合题意,舍去).
∴ 当x为3时,PQ的长度为$3\sqrt{17}\ \mathrm{cm}$
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ BC=AD=4 cm.由题意可知,AP=2x cm,BQ=x cm,
∴ PB=AB-AP=(18-2x)cm.
由题意,得$\frac{1}{2}(18-2x)·x=8$,整理,得$x^2-9x+8=0$,解得$x_1=1$,$x_2=8$(不符合题意,舍去).
∴ 当x为1时,$△PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$ (2) 由题意及(1),得$(18-2x)^2+x^2=(3\sqrt{17})^2$,整理,得$5x^2-72x+171=0$,解得$x_1=3$,$x_2=11.4$(不符合题意,舍去).
∴ 当x为3时,PQ的长度为$3\sqrt{17}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题首先利用矩形对边相等的性质确定边BC的长度，再结合动点的运动速度，用含运动时间x的代数式表示出PB、BQ的长度，同时明确x的取值范围：点Q在BC上运动，BC长4cm，Q的速度为1cm/s，故x的取值范围是0≤x≤4。
（1）求△PBQ面积为8cm²的x值：△PBQ是直角三角形，直角边为PB和BQ，根据三角形面积公式列一元二次方程，求解后舍去超出x取值范围的解即可。
（2）求PQ长度为$3\sqrt{17}$cm的x值：在Rt△PBQ中，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边PQ的平方，据此列一元二次方程，求解后同样舍去不符合取值范围的解。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ BC=AD=4 cm。
由题意可知：AP=2x cm，BQ=x cm，
∴ PB=AB-AP=(18-2x)cm。
根据△PBQ的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$\frac{1}{2}(18-2x)·x=8$
整理得$x^2-9x+8=0$，解得$x_1=1$，$x_2=8$。
∵ $x≤4$，$x=8$不符合题意，故舍去。
∴ $x=1$。
(2) 在Rt△PBQ中，由勾股定理得$PB^2+BQ^2=PQ^2$，代入对应线段长度得：
$(18-2x)^2+x^2=(3\sqrt{17})^2$
整理得$5x^2-72x+171=0$，解得$x_1=3$，$x_2=11.4$。
∵ $x≤4$，$x=11.4$不符合题意，故舍去。
∴ $x=3$。
【答案】
(1) 当x为1时，$△ PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 当x为3时，PQ的长度为$3\sqrt{17}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
矩形的性质；一元二次方程的应用；勾股定理
【点评】
本题属于几何动点与方程结合的基础题型，解题核心是将动态的线段长度用含时间的代数式表示，再结合几何等量关系列方程求解，需特别注意动点的运动边界，对求出的方程解进行验证，舍去不符合实际的增解。
【难度系数】
0.7
解题首先利用矩形对边相等的性质确定边BC的长度，再结合动点的运动速度，用含运动时间x的代数式表示出PB、BQ的长度，同时明确x的取值范围：点Q在BC上运动，BC长4cm，Q的速度为1cm/s，故x的取值范围是0≤x≤4。
（1）求△PBQ面积为8cm²的x值：△PBQ是直角三角形，直角边为PB和BQ，根据三角形面积公式列一元二次方程，求解后舍去超出x取值范围的解即可。
（2）求PQ长度为$3\sqrt{17}$cm的x值：在Rt△PBQ中，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边PQ的平方，据此列一元二次方程，求解后同样舍去不符合取值范围的解。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ BC=AD=4 cm。
由题意可知：AP=2x cm，BQ=x cm，
∴ PB=AB-AP=(18-2x)cm。
根据△PBQ的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$\frac{1}{2}(18-2x)·x=8$
整理得$x^2-9x+8=0$，解得$x_1=1$，$x_2=8$。
∵ $x≤4$，$x=8$不符合题意，故舍去。
∴ $x=1$。
(2) 在Rt△PBQ中，由勾股定理得$PB^2+BQ^2=PQ^2$，代入对应线段长度得：
$(18-2x)^2+x^2=(3\sqrt{17})^2$
整理得$5x^2-72x+171=0$，解得$x_1=3$，$x_2=11.4$。
∵ $x≤4$，$x=11.4$不符合题意，故舍去。
∴ $x=3$。
【答案】
(1) 当x为1时，$△ PBQ$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 当x为3时，PQ的长度为$3\sqrt{17}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
矩形的性质；一元二次方程的应用；勾股定理
【点评】
本题属于几何动点与方程结合的基础题型，解题核心是将动态的线段长度用含时间的代数式表示，再结合几何等量关系列方程求解，需特别注意动点的运动边界，对求出的方程解进行验证，舍去不符合实际的增解。
【难度系数】
0.7
