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6 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=12\ \mathrm{mm}$，$BC=24\ \mathrm{mm}$，动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{mm/s}$的速度移动，动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4\ \mathrm{mm/s}$的速度移动，如果$P$，$Q$两点分别从$A$，$B$两点同时出发，设移动时间为$t\ \mathrm{s}$. 有下列结论：① 当$t=2$时，$PQ=8\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$；② $△ PBQ$的面积可以为$35\ \mathrm{mm}^2$；③ $t=1$时的四边形$APQC$的面积大于$t=5$时的四边形$APQC$的面积. 其中，正确的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先根据动点的速度和运动时间t，用含t的代数式表示出PB、BQ的长度，确定t的取值范围为0≤t≤6；再逐个验证三个结论：①将t=2代入PB、BQ的表达式，结合勾股定理计算PQ的长度即可判断；②先写出△PBQ的面积关于t的二次函数表达式，求出面积最大值，对比35即可判断；③四边形APQC的面积等于△ABC的面积减去△PBQ的面积，分别计算t=1和t=5时的四边形面积，对比大小即可判断。
【解析】
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{mm}$，$BQ=4t\ \mathrm{mm}$，
∴$PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{mm}$，其中$0\le t\le6$。
①当$t=2$时，$PB=12-2×2=8\ \mathrm{mm}$，$BQ=4×2=8\ \mathrm{mm}$，
∵$∠ B=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$，故①正确；
②设$△ PBQ$的面积为$S$，
则$S=\frac{1}{2}· PB· BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$，
这是开口向下的二次函数，对称轴为$t=-\frac{24}{2×(-4)}=3$，
当$t=3$时，$S$取得最大值，最大值为$-4×3^2+24×3=36\ \mathrm{mm^2}$，
∵$35＜36$，
∴$△ PBQ$的面积可以为$35\ \mathrm{mm^2}$，故②正确；
③$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×12×24=144\ \mathrm{mm^2}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}APQC}=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=144-(-4t^2+24t)=4t^2-24t+144$，
当$t=1$时，$S_{\mathrm{四边形}APQC}=4×1^2-24×1+144=124\ \mathrm{mm^2}$，
当$t=5$时，$S_{\mathrm{四边形}APQC}=4×5^2-24×5+144=124\ \mathrm{mm^2}$，
两者面积相等，故③错误。
综上，正确的结论有①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
动点问题求解，二次函数的应用，勾股定理
【点评】
本题结合动点运动背景，综合考查了直角三角形的性质、二次函数的最值以及面积计算，解题的关键是用含参数t的代数式表示出相关线段的长度，再结合对应知识点逐一验证结论。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据动点的速度和运动时间t，用含t的代数式表示出PB、BQ的长度，确定t的取值范围为0≤t≤6；再逐个验证三个结论：①将t=2代入PB、BQ的表达式，结合勾股定理计算PQ的长度即可判断；②先写出△PBQ的面积关于t的二次函数表达式，求出面积最大值，对比35即可判断；③四边形APQC的面积等于△ABC的面积减去△PBQ的面积，分别计算t=1和t=5时的四边形面积，对比大小即可判断。
【解析】
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{mm}$，$BQ=4t\ \mathrm{mm}$，
∴$PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{mm}$，其中$0\le t\le6$。
①当$t=2$时，$PB=12-2×2=8\ \mathrm{mm}$，$BQ=4×2=8\ \mathrm{mm}$，
∵$∠ B=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{mm}$，故①正确；
②设$△ PBQ$的面积为$S$，
则$S=\frac{1}{2}· PB· BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$，
这是开口向下的二次函数，对称轴为$t=-\frac{24}{2×(-4)}=3$，
当$t=3$时，$S$取得最大值，最大值为$-4×3^2+24×3=36\ \mathrm{mm^2}$，
∵$35＜36$，
∴$△ PBQ$的面积可以为$35\ \mathrm{mm^2}$，故②正确；
③$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×12×24=144\ \mathrm{mm^2}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}APQC}=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=144-(-4t^2+24t)=4t^2-24t+144$，
当$t=1$时，$S_{\mathrm{四边形}APQC}=4×1^2-24×1+144=124\ \mathrm{mm^2}$，
当$t=5$时，$S_{\mathrm{四边形}APQC}=4×5^2-24×5+144=124\ \mathrm{mm^2}$，
两者面积相等，故③错误。
综上，正确的结论有①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
动点问题求解，二次函数的应用，勾股定理
【点评】
本题结合动点运动背景，综合考查了直角三角形的性质、二次函数的最值以及面积计算，解题的关键是用含参数t的代数式表示出相关线段的长度，再结合对应知识点逐一验证结论。
【难度系数】
0.6
7 新情境 学科融合 小明同学是古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》。根据如图所示的信息，可知周瑜去世时的年龄是
36
岁。答案
7. 36
解析
【分析】
首先从题目提取关键信息：周瑜去世年龄是大于30岁的两位数，十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方等于这个年龄。我们可以设个位数字为未知数，根据两位数的表示方法列出一元二次方程求解，最后结合年龄大于30的条件对解进行取舍即可得到结果。
【解析】
设周瑜去世年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，这个两位数可表示为$10(x-3)+x$。
根据“个位平方与寿符”列方程：
$x^2 = 10(x-3) + x$
整理方程得：
$x^2 -11x +30 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
当$x=5$时，年龄为$5^2=25$岁，小于30岁，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，年龄为$6^2=36$岁，大于30岁，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程应用；数字问题；解的检验
【点评】
本题以古诗文为载体融合数学知识，既考查了一元二次方程的列法和解法，也要求结合实际情况对解进行取舍，趣味性较强，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
首先从题目提取关键信息：周瑜去世年龄是大于30岁的两位数，十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方等于这个年龄。我们可以设个位数字为未知数，根据两位数的表示方法列出一元二次方程求解，最后结合年龄大于30的条件对解进行取舍即可得到结果。
【解析】
设周瑜去世年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x-3$，这个两位数可表示为$10(x-3)+x$。
根据“个位平方与寿符”列方程：
$x^2 = 10(x-3) + x$
整理方程得：
$x^2 -11x +30 = 0$
因式分解得：
$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
当$x=5$时，年龄为$5^2=25$岁，小于30岁，不符合“而立之年督东吴”的条件，舍去；
当$x=6$时，年龄为$6^2=36$岁，大于30岁，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
一元二次方程应用；数字问题；解的检验
【点评】
本题以古诗文为载体融合数学知识，既考查了一元二次方程的列法和解法，也要求结合实际情况对解进行取舍，趣味性较强，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
8 教材变式题 如图,一艘轮船以40 km/h的速度由西向东航行,在途中点C处接到台风警报,台风中心点B正以20 km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得$BC=500\ \mathrm{km}$,$AB=300\ \mathrm{km}$(假定轮船不改变航向).
(1) 经过11 h后轮船与台风中心相距多远?此时轮船是否受到台风的影响?
(2) 如果这艘轮船受到台风的影响,求轮船受到台风影响的时间.
(1) 经过11 h后轮船与台风中心相距多远?此时轮船是否受到台风的影响?
(2) 如果这艘轮船受到台风的影响,求轮船受到台风影响的时间.
答案
8. (1)
∵ BC=500 km,AB=300 km,
∴ $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=400\ \mathrm{km}$.
∵ $\sqrt{(11×40-400)^2+(300-11×20)^2}=40\sqrt{5}\ (\mathrm{km})$,$40\sqrt{5}＜200$,
∴ 经过11 h后轮船与台风中心相距$40\sqrt{5}\ \mathrm{km}$,此时轮船受到台风的影响 (2) 设这艘轮船航行的时间为t h. 由题意,得$(400-40t)^2+(300-20t)^2=200^2$,解得$t_1=7$,$t_2=15$.
∴ 轮船受到台风影响的时间为15-7=8(h)
∵ BC=500 km,AB=300 km,
∴ $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=400\ \mathrm{km}$.
∵ $\sqrt{(11×40-400)^2+(300-11×20)^2}=40\sqrt{5}\ (\mathrm{km})$,$40\sqrt{5}＜200$,
∴ 经过11 h后轮船与台风中心相距$40\sqrt{5}\ \mathrm{km}$,此时轮船受到台风的影响 (2) 设这艘轮船航行的时间为t h. 由题意,得$(400-40t)^2+(300-20t)^2=200^2$,解得$t_1=7$,$t_2=15$.
∴ 轮船受到台风影响的时间为15-7=8(h)
解析
【分析】
首先根据题意判定△ABC为直角三角形，先用勾股定理算出初始状态下AC的长度。针对动态运动问题，先明确t小时后轮船和台风中心的位置：轮船从C点向东航行，t小时行驶距离为40t km，台风从B点向北移动，t小时行驶距离为20t km，再结合勾股定理列出两者的距离表达式。(1)将t=11代入距离表达式算出结果，和200km比较即可判断是否受台风影响；(2)令距离等于200km，列一元二次方程求解，两个解的差就是轮船受台风影响的时长。
【解析】
(1) 由题意得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵ BC=500 km，AB=300 km，
根据勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{500^2-300^2}=400\ \mathrm{km}$。
设航行时间为t h，t小时后轮船与初始点A的水平距离为$|40t-400|$ km，台风中心与初始点A的竖直距离为$|300-20t|$ km，
则t小时后轮船与台风中心的距离为$\sqrt{(40t-400)^2+(300-20t)^2}$。
当t=11时，代入得：
$\sqrt{(11×40-400)^2+(300-11×20)^2}=\sqrt{40^2+80^2}=40\sqrt{5}\ \mathrm{km}$，
∵ $40\sqrt{5}＜200$，
∴ 经过11 h后轮船与台风中心相距$40\sqrt{5}\ \mathrm{km}$，此时轮船受到台风的影响。
(2) 当轮船刚好受到台风影响时，两者距离为200 km，据此列方程：
$(400-40t)^2+(300-20t)^2=200^2$，
化简得$t^2-22t+105=0$，
因式分解得$(t-7)(t-15)=0$，解得$t_1=7$，$t_2=15$，
即轮船7h时开始受影响，15h时结束受影响，
∴ 受影响的时长为$15-7=8(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 经过11h后轮船与台风中心相距$40\sqrt{5}\ \mathrm{km}$，此时轮船受到台风影响；
(2) 轮船受到台风影响的时间为8 h。
【知识点】
勾股定理、一元二次方程的应用、动点距离计算
【点评】
本题结合实际航行场景，将动态运动问题转化为几何与方程问题求解，解题核心是找准不同时间两个运动对象的位置关系，正确列出距离表达式，同时要注意一元二次方程求解过程的准确性。
【难度系数】
0.65
首先根据题意判定△ABC为直角三角形，先用勾股定理算出初始状态下AC的长度。针对动态运动问题，先明确t小时后轮船和台风中心的位置：轮船从C点向东航行，t小时行驶距离为40t km，台风从B点向北移动，t小时行驶距离为20t km，再结合勾股定理列出两者的距离表达式。(1)将t=11代入距离表达式算出结果，和200km比较即可判断是否受台风影响；(2)令距离等于200km，列一元二次方程求解，两个解的差就是轮船受台风影响的时长。
【解析】
(1) 由题意得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵ BC=500 km，AB=300 km，
根据勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{500^2-300^2}=400\ \mathrm{km}$。
设航行时间为t h，t小时后轮船与初始点A的水平距离为$|40t-400|$ km，台风中心与初始点A的竖直距离为$|300-20t|$ km，
则t小时后轮船与台风中心的距离为$\sqrt{(40t-400)^2+(300-20t)^2}$。
当t=11时，代入得：
$\sqrt{(11×40-400)^2+(300-11×20)^2}=\sqrt{40^2+80^2}=40\sqrt{5}\ \mathrm{km}$，
∵ $40\sqrt{5}＜200$，
∴ 经过11 h后轮船与台风中心相距$40\sqrt{5}\ \mathrm{km}$，此时轮船受到台风的影响。
(2) 当轮船刚好受到台风影响时，两者距离为200 km，据此列方程：
$(400-40t)^2+(300-20t)^2=200^2$，
化简得$t^2-22t+105=0$，
因式分解得$(t-7)(t-15)=0$，解得$t_1=7$，$t_2=15$，
即轮船7h时开始受影响，15h时结束受影响，
∴ 受影响的时长为$15-7=8(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 经过11h后轮船与台风中心相距$40\sqrt{5}\ \mathrm{km}$，此时轮船受到台风影响；
(2) 轮船受到台风影响的时间为8 h。
【知识点】
勾股定理、一元二次方程的应用、动点距离计算
【点评】
本题结合实际航行场景，将动态运动问题转化为几何与方程问题求解，解题核心是找准不同时间两个运动对象的位置关系，正确列出距离表达式，同时要注意一元二次方程求解过程的准确性。
【难度系数】
0.65
9 如图,正方形ABCD的边长为4 cm,点P从点B出发,以2 cm/s的速度沿B→C→D向点D运动,点Q从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→B向点B运动.若P,Q两点同时出发,运动时间为t s,连接PD,PQ,DQ.
(1)当t为何值时,△PQD的面积为7 cm²?
(2)当点P在边BC上运动时,是否存在t的值使得△PQD是以PD为腰的等腰三角形?若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
(1)当t为何值时,△PQD的面积为7 cm²?
(2)当点P在边BC上运动时,是否存在t的值使得△PQD是以PD为腰的等腰三角形?若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
答案
9. (1) 当点P在边BC上时,如图①,此时0＜t≤2.根据题意,得AB=BC=CD=AD=4 cm,AQ=t cm,QB=(4-t)cm,BP=2t cm,PC=(4-2t)cm.
∵ $S_{△PQD}=S_{正方形ABCD}-S_{△ADQ}-S_{△BPQ}-S_{△DPC}$,
∴ $4×4-\frac{1}{2}×4t-\frac{1}{2}×2t(4-t)-\frac{1}{2}×4(4-2t)=7$.整理,得$t^2-2t+1=0$,解得$t_1=t_2=1$.当点P在边CD上时,如图②,此时2＜t＜4,DP=4-(2t-4)=(8-2t)cm.
∵ $S_{△PQD}=7\ \mathrm{cm}^2$,
∴ $\frac{1}{2}(8-2t)×4=7$,解得$t=\frac{9}{4}$.综上所述,当t的值为1或$\frac{9}{4}$时,$△PQD$的面积为$7\ \mathrm{cm}^2$ (2) 存在 ① 当PD=DQ时,根据勾股定理,易得$4^2+(4-2t)^2=4^2+t^2$,解得$t_1=\frac{4}{3}$,$t_2=4$(不符合题意,舍去). ② 当PD=PQ时,根据勾股定理,易得$4^2+(4-2t)^2=(4-t)^2+(2t)^2$. 整理,得$t^2+8t-16=0$,解得$t_1=4\sqrt{2}-4$,$t_2=-4\sqrt{2}-4$(不符合题意,舍去).综上所述,当t的值为$\frac{4}{3}$或$4\sqrt{2}-4$时,$△PQD$是以PD为腰的等腰三角形
解析
【分析】
(1) 本题是动点几何的面积求解问题，需根据点P的运动路径分两段讨论：①点P在BC边上运动时（0＜t≤2），采用割补法，用正方形面积减去周边三个三角形的面积表示△PQD的面积，列方程求解；②点P在CD边上运动时（2＜t＜4），直接以DP为底、正方形边长为高，用三角形面积公式列方程求解，最后验证解是否符合对应区间的t的取值范围。
(2) 要判断是否存在t使△PQD是以PD为腰的等腰三角形，分两类情况讨论：①PD=DQ；②PD=PQ。分别用勾股定理表示出对应边的平方，列方程求解，舍去不符合t取值范围的根即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当点P在边BC上时，0＜t≤2：
由正方形ABCD边长为4cm可得，AB=BC=CD=AD=4 cm，AQ=t cm，QB=(4-t)cm，BP=2t cm，PC=(4-2t)cm。
根据面积关系$S_{△PQD}=S_{正方形ABCD}-S_{△ADQ}-S_{△BPQ}-S_{△DPC}$，代入面积为7cm²得：
$4×4-\frac{1}{2}×4t-\frac{1}{2}×2t(4-t)-\frac{1}{2}×4(4-2t)=7$
整理得$t^2-2t+1=0$，解得$t_1=t_2=1$，符合0＜t≤2的范围。
② 当点P在边CD上时，2＜t＜4：
此时DP的长度为$4-(2t-4)=(8-2t)$cm，△PQD的高等于正方形边长4cm，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}(8-2t)×4=7$
解得$t=\frac{9}{4}$，符合2＜t＜4的范围。
综上，t的值为1或$\frac{9}{4}$时，△PQD的面积为7 cm²。
(2) 当点P在BC上运动时，0＜t≤2，存在符合条件的t，分两种情况讨论：
① 当PD=DQ时，由勾股定理得：$PD^2=CD^2+PC^2=4^2+(4-2t)^2$，$DQ^2=AD^2+AQ^2=4^2+t^2$，列等式：
$4^2+(4-2t)^2=4^2+t^2$
解得$t_1=\frac{4}{3}$，$t_2=4$（不符合0＜t≤2，舍去）。
② 当PD=PQ时，由勾股定理得：$PQ^2=QB^2+BP^2=(4-t)^2+(2t)^2$，结合PD²的表达式列等式：
$4^2+(4-2t)^2=(4-t)^2+(2t)^2$
整理得$t^2+8t-16=0$，解得$t_1=4\sqrt{2}-4$，$t_2=-4\sqrt{2}-4$（负数，不符合题意，舍去）。
综上，存在t的值为$\frac{4}{3}$或$4\sqrt{2}-4$，使得△PQD是以PD为腰的等腰三角形。
【答案】
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题是典型的动点几何综合题，解题核心是结合动点的运动位置分类讨论，利用面积公式和勾股定理建立方程求解，求解后要注意结合实际运动场景舍去不符合要求的根，能有效考查逻辑分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 本题是动点几何的面积求解问题，需根据点P的运动路径分两段讨论：①点P在BC边上运动时（0＜t≤2），采用割补法，用正方形面积减去周边三个三角形的面积表示△PQD的面积，列方程求解；②点P在CD边上运动时（2＜t＜4），直接以DP为底、正方形边长为高，用三角形面积公式列方程求解，最后验证解是否符合对应区间的t的取值范围。
(2) 要判断是否存在t使△PQD是以PD为腰的等腰三角形，分两类情况讨论：①PD=DQ；②PD=PQ。分别用勾股定理表示出对应边的平方，列方程求解，舍去不符合t取值范围的根即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当点P在边BC上时，0＜t≤2：
由正方形ABCD边长为4cm可得，AB=BC=CD=AD=4 cm，AQ=t cm，QB=(4-t)cm，BP=2t cm，PC=(4-2t)cm。
根据面积关系$S_{△PQD}=S_{正方形ABCD}-S_{△ADQ}-S_{△BPQ}-S_{△DPC}$，代入面积为7cm²得：
$4×4-\frac{1}{2}×4t-\frac{1}{2}×2t(4-t)-\frac{1}{2}×4(4-2t)=7$
整理得$t^2-2t+1=0$，解得$t_1=t_2=1$，符合0＜t≤2的范围。
② 当点P在边CD上时，2＜t＜4：
此时DP的长度为$4-(2t-4)=(8-2t)$cm，△PQD的高等于正方形边长4cm，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}(8-2t)×4=7$
解得$t=\frac{9}{4}$，符合2＜t＜4的范围。
综上，t的值为1或$\frac{9}{4}$时，△PQD的面积为7 cm²。
(2) 当点P在BC上运动时，0＜t≤2，存在符合条件的t，分两种情况讨论：
① 当PD=DQ时，由勾股定理得：$PD^2=CD^2+PC^2=4^2+(4-2t)^2$，$DQ^2=AD^2+AQ^2=4^2+t^2$，列等式：
$4^2+(4-2t)^2=4^2+t^2$
解得$t_1=\frac{4}{3}$，$t_2=4$（不符合0＜t≤2，舍去）。
② 当PD=PQ时，由勾股定理得：$PQ^2=QB^2+BP^2=(4-t)^2+(2t)^2$，结合PD²的表达式列等式：
$4^2+(4-2t)^2=(4-t)^2+(2t)^2$
整理得$t^2+8t-16=0$，解得$t_1=4\sqrt{2}-4$，$t_2=-4\sqrt{2}-4$（负数，不符合题意，舍去）。
综上，存在t的值为$\frac{4}{3}$或$4\sqrt{2}-4$，使得△PQD是以PD为腰的等腰三角形。
【答案】
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题是典型的动点几何综合题，解题核心是结合动点的运动位置分类讨论，利用面积公式和勾股定理建立方程求解，求解后要注意结合实际运动场景舍去不符合要求的根，能有效考查逻辑分析能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
