登录
15 用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) $x^2 + 4x - 2 = 0$；
(2) $x(2x - 5) = 6x - 15$；
(3) $3x^2 - 5x - 2 = 0$。
(1) $x^2 + 4x - 2 = 0$；
(2) $x(2x - 5) = 6x - 15$；
(3) $3x^2 - 5x - 2 = 0$。
答案
(1) $x_1=\sqrt{6}-2,x_2=-\sqrt{6}-2$
(2) $x_1=\frac{5}{2},x_2=3$
(3) $x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
(2) $x_1=\frac{5}{2},x_2=3$
(3) $x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：
(1) 该方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方完成配方，最后开方计算即可；
(2) 观察方程右侧可变形为$3(2x-5)$，移项后左右两侧有公共因式$(2x-5)$，适合用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次方程求解；
(3) 该方程对应的二次三项式可通过十字相乘法分解因式，优先选用因式分解法，分解后转化为一次方程求解即可。
【解析】
(1) 解：移项得 $x^2 + 4x = 2$，
配方，给等式两边同时加$4$（一次项系数一半的平方），得：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$，即$(x+2)^2 = 6$，
开平方得 $x + 2 = \pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1 = \sqrt{6} - 2$，$x_2 = -\sqrt{6} - 2$。
(2) 解：整理原方程得 $x(2x-5) = 3(2x-5)$，
移项得 $x(2x-5) - 3(2x-5) = 0$，
提取公因式$(2x-5)$得 $(2x-5)(x - 3) = 0$，
$\therefore 2x - 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = 3$。
(3) 解：对二次三项式十字相乘分解因式，得：
$(3x + 1)(x - 2) = 0$，
$\therefore 3x + 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{6}-2,x_2=-\sqrt{6}-2$
(2) $x_1=\frac{5}{2},x_2=3$
(3) $x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，十字相乘法因式分解
【点评】
本题主要考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时优先选择计算量小的方法可降低出错概率，其中因式分解法计算效率最高，配方法和公式法为通用解法，适用于所有一元二次方程。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法：
(1) 该方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方完成配方，最后开方计算即可；
(2) 观察方程右侧可变形为$3(2x-5)$，移项后左右两侧有公共因式$(2x-5)$，适合用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次方程求解；
(3) 该方程对应的二次三项式可通过十字相乘法分解因式，优先选用因式分解法，分解后转化为一次方程求解即可。
【解析】
(1) 解：移项得 $x^2 + 4x = 2$，
配方，给等式两边同时加$4$（一次项系数一半的平方），得：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$，即$(x+2)^2 = 6$，
开平方得 $x + 2 = \pm\sqrt{6}$，
解得 $x_1 = \sqrt{6} - 2$，$x_2 = -\sqrt{6} - 2$。
(2) 解：整理原方程得 $x(2x-5) = 3(2x-5)$，
移项得 $x(2x-5) - 3(2x-5) = 0$，
提取公因式$(2x-5)$得 $(2x-5)(x - 3) = 0$，
$\therefore 2x - 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = 3$。
(3) 解：对二次三项式十字相乘分解因式，得：
$(3x + 1)(x - 2) = 0$，
$\therefore 3x + 1 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{6}-2,x_2=-\sqrt{6}-2$
(2) $x_1=\frac{5}{2},x_2=3$
(3) $x_1=2,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，十字相乘法因式分解
【点评】
本题主要考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时优先选择计算量小的方法可降低出错概率，其中因式分解法计算效率最高，配方法和公式法为通用解法，适用于所有一元二次方程。
【难度系数】
0.7
16 已知$m,n$是一元二次方程$x^2 -11x -9=0$的两个实数根.求下面各式的值.
(1) $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$;
(2) $m^2 -9m +2n +17$.
(1) $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$;
(2) $m^2 -9m +2n +17$.
答案
(1) 根据根与系数的关系，得$m+n=11,mn=-9,\therefore \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=-\frac{11}{9}$
(2) $\because m$是一元二次方程$x^2-11x-9=0$的一个根，$\therefore m^2-11m-9=0.\therefore m^2=11m+9.\because m+n=11$，$\therefore m^2-9m+2n+17=2m+9+2n+17=2(m+n)+26=2×11+26=48$
(2) $\because m$是一元二次方程$x^2-11x-9=0$的一个根，$\therefore m^2-11m-9=0.\therefore m^2=11m+9.\because m+n=11$，$\therefore m^2-9m+2n+17=2m+9+2n+17=2(m+n)+26=2×11+26=48$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的相关计算，解题思路如下：
（1）求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值时，先将代数式通分变形为$\frac{m+n}{mn}$的形式，无需计算m、n的具体值，直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$m+n$、两根之积$mn$，代入变形后的式子即可计算。
（2）对于含$m^2$的代数式求值，若直接求解m的数值计算复杂，首先利用方程根的定义：m是方程的根则满足原方程，可得$m^2=11m+9$，将原式中的$m^2$替换后化简，整理为含有$m+n$的形式，再代入根与系数的关系的结果整体计算即可。
【解析】
（1）
∵$m,n$是一元二次方程$x^2 -11x -9=0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$m+n=11$，$mn=-9$
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{11}{-9}=-\frac{11}{9}$
（2）
∵m是一元二次方程$x^2 -11x -9=0$的根，将$x=m$代入方程得：
$m^2 -11m -9=0$，即$m^2=11m+9$
将$m^2=11m+9$代入$m^2 -9m +2n +17$得：
$\begin{aligned}原式&=11m+9 -9m +2n +17\\&=2m +2n +26\\&=2(m+n) +26\end{aligned}$
又
∵$m+n=11$，代入得：
原式$=2×11 +26=22+26=48$
【答案】
(1) $-\frac{11}{9}$；(2) $48$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程根的定义，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，无需计算方程根的具体数值，通过韦达定理和根的定义整体代入即可简化运算，是一元二次方程相关综合题的基础，需熟练掌握变形技巧。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根的相关计算，解题思路如下：
（1）求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值时，先将代数式通分变形为$\frac{m+n}{mn}$的形式，无需计算m、n的具体值，直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$m+n$、两根之积$mn$，代入变形后的式子即可计算。
（2）对于含$m^2$的代数式求值，若直接求解m的数值计算复杂，首先利用方程根的定义：m是方程的根则满足原方程，可得$m^2=11m+9$，将原式中的$m^2$替换后化简，整理为含有$m+n$的形式，再代入根与系数的关系的结果整体计算即可。
【解析】
（1）
∵$m,n$是一元二次方程$x^2 -11x -9=0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$m+n=11$，$mn=-9$
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{11}{-9}=-\frac{11}{9}$
（2）
∵m是一元二次方程$x^2 -11x -9=0$的根，将$x=m$代入方程得：
$m^2 -11m -9=0$，即$m^2=11m+9$
将$m^2=11m+9$代入$m^2 -9m +2n +17$得：
$\begin{aligned}原式&=11m+9 -9m +2n +17\\&=2m +2n +26\\&=2(m+n) +26\end{aligned}$
又
∵$m+n=11$，代入得：
原式$=2×11 +26=22+26=48$
【答案】
(1) $-\frac{11}{9}$；(2) $48$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程根的定义，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，无需计算方程根的具体数值，通过韦达定理和根的定义整体代入即可简化运算，是一元二次方程相关综合题的基础，需熟练掌握变形技巧。
【难度系数】
0.7
17 某文具店打算购进一批矩形便签纸，其长和宽(单位：cm)是关于$x$的一元二次方程$x^2 -10x +k=0$($k$为常数)的两个实数根，且长与宽均为正整数.
(1) 若该便签纸的形状刚好是正方形. 求$k$的值及此时便签纸的边长；
(2) 若该便签纸的长与宽的差为2 cm，求$k$的值及此时便签纸的长与宽.
(1) 若该便签纸的形状刚好是正方形. 求$k$的值及此时便签纸的边长；
(2) 若该便签纸的长与宽的差为2 cm，求$k$的值及此时便签纸的长与宽.
答案
(1) $\because$ 便签纸的形状刚好是正方形，$\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-10x+k=0$有两个相等的实数根，则$\Delta=(-10)^2-4k=0$，解得$k=25$. 此时方程为$x^2-10x+25=0$，解得$x_1=x_2=5.\therefore$ 便签纸的边长为5 cm
(2) 令方程的两个根为$a$和$b$（$a＞b$）.$\because$ 便签纸的长与宽的差为2 cm，$\therefore a-b=2.\because a+b=10,ab=k$，且$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab,\therefore 10^2-4k=2^2$，解得$k=24$. 此时方程为$x^2-10x+24=0$，解得$x_1=6,x_2=4.\therefore$ 便签纸的长为6 cm，宽为4 cm
(2) 令方程的两个根为$a$和$b$（$a＞b$）.$\because$ 便签纸的长与宽的差为2 cm，$\therefore a-b=2.\because a+b=10,ab=k$，且$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab,\therefore 10^2-4k=2^2$，解得$k=24$. 此时方程为$x^2-10x+24=0$，解得$x_1=6,x_2=4.\therefore$ 便签纸的长为6 cm，宽为4 cm
解析
【分析】
(1) 便签纸为正方形说明长和宽相等，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根，先利用根的判别式Δ=0求出k的值，再代入方程求解即可得到边长，同时验证边长为正整数符合题意。
(2) 长和宽是方程的两个实数根，先根据根与系数的关系得到两根之和，再结合长与宽的差为2cm的条件，利用完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$代入数值求出k的值，最后代入方程求解得到长和宽，验证结果为正整数即可。
【解析】
(1) $\because$ 便签纸的形状刚好是正方形，$\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-10x+k=0$有两个相等的实数根，
则$\Delta=(-10)^2-4k=0$，解得$k=25$。
此时方程为$x^2-10x+25=0$，解得$x_1=x_2=5$。
$\therefore$ 便签纸的边长为5 cm。
(2) 令方程的两个根为$a$和$b$（$a＞b$，$a$为长，$b$为宽）。
$\because$ 便签纸的长与宽的差为2 cm，$\therefore a-b=2$。
$\because a+b=10,ab=k$，且$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，
$\therefore 10^2-4k=2^2$，解得$k=24$。
此时方程为$x^2-10x+24=0$，解得$x_1=6,x_2=4$。
$\therefore$ 便签纸的长为6 cm，宽为4 cm。
【答案】
(1) $k=25$，边长为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$；
(2) $k=24$，长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$，宽为$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程
【点评】
本题结合实际生活场景考察一元二次方程相关知识，既检验了基础知识点的掌握程度，也锻炼了利用公式变形解决实际问题的能力，解题时可结合实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 便签纸为正方形说明长和宽相等，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根，先利用根的判别式Δ=0求出k的值，再代入方程求解即可得到边长，同时验证边长为正整数符合题意。
(2) 长和宽是方程的两个实数根，先根据根与系数的关系得到两根之和，再结合长与宽的差为2cm的条件，利用完全平方公式的变形$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$代入数值求出k的值，最后代入方程求解得到长和宽，验证结果为正整数即可。
【解析】
(1) $\because$ 便签纸的形状刚好是正方形，$\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$x^2-10x+k=0$有两个相等的实数根，
则$\Delta=(-10)^2-4k=0$，解得$k=25$。
此时方程为$x^2-10x+25=0$，解得$x_1=x_2=5$。
$\therefore$ 便签纸的边长为5 cm。
(2) 令方程的两个根为$a$和$b$（$a＞b$，$a$为长，$b$为宽）。
$\because$ 便签纸的长与宽的差为2 cm，$\therefore a-b=2$。
$\because a+b=10,ab=k$，且$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，
$\therefore 10^2-4k=2^2$，解得$k=24$。
此时方程为$x^2-10x+24=0$，解得$x_1=6,x_2=4$。
$\therefore$ 便签纸的长为6 cm，宽为4 cm。
【答案】
(1) $k=25$，边长为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$；
(2) $k=24$，长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{cm}}$，宽为$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程
【点评】
本题结合实际生活场景考察一元二次方程相关知识，既检验了基础知识点的掌握程度，也锻炼了利用公式变形解决实际问题的能力，解题时可结合实际意义验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
18 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + a = 0$.
（1）若$b=5,a=4$，求方程的两根；
（2）当$b=a+3$时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（3）若方程的两个实数根满足$x_1=2x_2$，写出一组满足条件的$a$，$b$的值.
（1）若$b=5,a=4$，求方程的两根；
（2）当$b=a+3$时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（3）若方程的两个实数根满足$x_1=2x_2$，写出一组满足条件的$a$，$b$的值.
答案
(1) 若$b=5,a=4$，则方程为$x^2+5x+4=0.\therefore (x+1)·(x+4)=0$，解得$x_1=-1,x_2=-4$
(2) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+a=0$中，$b=a+3$，$\therefore \Delta=b^2-4a=(a+3)^2-4a=a^2+6a+9-4a=(a+1)^2+8＞0.\therefore$ 方程有两个不相等的实数根
(3) 由一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=-b,x_1x_2=a$. 又$\because x_1=2x_2,\therefore 2x_2+x_2=-b,2x_2^2=a.\therefore b^2=\frac{9}{2}a.\therefore$ 可以取$a=2,b=3$（$a,b$的取值不唯一）
(2) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+a=0$中，$b=a+3$，$\therefore \Delta=b^2-4a=(a+3)^2-4a=a^2+6a+9-4a=(a+1)^2+8＞0.\therefore$ 方程有两个不相等的实数根
(3) 由一元二次方程根与系数的关系，得$x_1+x_2=-b,x_1x_2=a$. 又$\because x_1=2x_2,\therefore 2x_2+x_2=-b,2x_2^2=a.\therefore b^2=\frac{9}{2}a.\therefore$ 可以取$a=2,b=3$（$a,b$的取值不唯一）
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先将给定的b=5、a=4代入原方程，得到具体的一元二次方程，再通过因式分解法即可求出方程的两根；
（2）第二问判断方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4a，将b=a+3代入判别式后，通过配方整理表达式，结合完全平方式的非负性判断Δ的正负，即可确定根的情况；
（3）第三问为开放题，根据一元二次方程根与系数的关系，结合x₁=2x₂的条件，消去x₂得到a、b满足的数量关系，任取一组满足该关系的a、b值即可。
【解析】
（1）将b=5，a=4代入方程，得$x^2+5x+4=0$，因式分解得$(x+1)(x+4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-4$；
（2）当$b=a+3$时，根的判别式$\Delta=b^2-4a=(a+3)^2-4a=a^2+6a+9-4a=a^2+2a+9=(a+1)^2+8$，
∵$(a+1)^2≥0$，
∴$(a+1)^2+8＞0$，即$\Delta＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根；
（3）由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=a$，
∵$x_1=2x_2$，代入得$2x_2+x_2=-b$，$2x_2· x_2=a$，
即$3x_2=-b$，$2x_2^2=a$，消去$x_2$可得$b^2=\frac{9}{2}a$，
取$a=2$，代入得$b^2=9$，取$b=3$，即$a=2$，$b=3$为一组满足条件的值（取值不唯一）。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=-4$；
(2) 方程有两个不相等的实数根；
(3) 示例：$a=2$，$b=3$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心基础知识点设计，难度逐层递进，前两问侧重基础公式的直接应用，第三问为开放题型，需要结合根与系数的关系推导参数的约束条件，能有效考查对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，先将给定的b=5、a=4代入原方程，得到具体的一元二次方程，再通过因式分解法即可求出方程的两根；
（2）第二问判断方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4a，将b=a+3代入判别式后，通过配方整理表达式，结合完全平方式的非负性判断Δ的正负，即可确定根的情况；
（3）第三问为开放题，根据一元二次方程根与系数的关系，结合x₁=2x₂的条件，消去x₂得到a、b满足的数量关系，任取一组满足该关系的a、b值即可。
【解析】
（1）将b=5，a=4代入方程，得$x^2+5x+4=0$，因式分解得$(x+1)(x+4)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-4$；
（2）当$b=a+3$时，根的判别式$\Delta=b^2-4a=(a+3)^2-4a=a^2+6a+9-4a=a^2+2a+9=(a+1)^2+8$，
∵$(a+1)^2≥0$，
∴$(a+1)^2+8＞0$，即$\Delta＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根；
（3）由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=a$，
∵$x_1=2x_2$，代入得$2x_2+x_2=-b$，$2x_2· x_2=a$，
即$3x_2=-b$，$2x_2^2=a$，消去$x_2$可得$b^2=\frac{9}{2}a$，
取$a=2$，代入得$b^2=9$，取$b=3$，即$a=2$，$b=3$为一组满足条件的值（取值不唯一）。
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=-4$；
(2) 方程有两个不相等的实数根；
(3) 示例：$a=2$，$b=3$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心基础知识点设计，难度逐层递进，前两问侧重基础公式的直接应用，第三问为开放题型，需要结合根与系数的关系推导参数的约束条件，能有效考查对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
