登录
1 [2025承德兴隆期末]若方程$-x+1=□$是关于$x$的一元二次方程，则“$□$”可以是（
A.$y^{2}$
B.$2^{2}$
C.$-x^{2}$
D.$-x$
C
）A.$y^{2}$
B.$2^{2}$
C.$-x^{2}$
D.$-x$
答案
1. C
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程。解题时将每个选项代入“”的位置，将方程整理为一般形式后，对照上述三个标准逐一排查，即可选出正确选项。
【解析】
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。我们将各选项依次代入验证：
A. 若“”为$y^2$，方程为$-x+1=y^2$，含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B. 若“”为$2^2$，方程为$-x+1=4$，整理得$-x-3=0$，未知数$x$的最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除；
C. 若“”为$-x^2$，方程为$-x+1=-x^2$，移项整理得$x^2 -x +1=0$，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义；
D. 若“”为$-x$，方程为$-x+1=-x$，整理后得$1=0$，无意义且未知数最高次数不为2，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元二次方程判定规则的掌握，只要牢记一元二次方程的三个判定要点，代入选项逐一验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元二次方程的判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程。解题时将每个选项代入“”的位置，将方程整理为一般形式后，对照上述三个标准逐一排查，即可选出正确选项。
【解析】
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。我们将各选项依次代入验证：
A. 若“”为$y^2$，方程为$-x+1=y^2$，含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B. 若“”为$2^2$，方程为$-x+1=4$，整理得$-x-3=0$，未知数$x$的最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除；
C. 若“”为$-x^2$，方程为$-x+1=-x^2$，移项整理得$x^2 -x +1=0$，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义；
D. 若“”为$-x$，方程为$-x+1=-x$，整理后得$1=0$，无意义且未知数最高次数不为2，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对一元二次方程判定规则的掌握，只要牢记一元二次方程的三个判定要点，代入选项逐一验证即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
2 若关于$x$的一元二次方程$(k-3)x^2 +6x +k^2 -k=0$有一个根为$-1$，则$k$的值为（
A.$-3$
B.$3$
C.$\pm3$
D.$9$
A
）A.$-3$
B.$3$
C.$\pm3$
D.$9$
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据方程根的定义，将已知根$x=-1$代入原方程，得到关于$k$的方程，求解得到$k$的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对求出的$k$值进行筛选，排除不符合条件的取值，最终得到正确结果。要注意不能忽略“一元二次方程”这个前提限定，否则很容易错选。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$(k-3)x^2 +6x +k^2 -k=0$有一个根为$-1$
∴ 将$x=-1$代入方程可得：
$(k-3)×(-1)^2 +6×(-1) +k^2 -k = 0$
化简计算：
$k-3 -6 +k^2 -k = 0$
合并同类项后得$k^2 -9 = 0$
解得$k=3$或$k=-3$
又
∵ 原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $k-3 ≠ 0$，即$k ≠ 3$
综上，$k$的值为$-3$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的性质
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接将求出的两个$k$值都当作正确结果，因此做题时要注意审题，抓住题目中的关键限定条件，得出结果后要及时检验是否符合要求。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，根据方程根的定义，将已知根$x=-1$代入原方程，得到关于$k$的方程，求解得到$k$的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对求出的$k$值进行筛选，排除不符合条件的取值，最终得到正确结果。要注意不能忽略“一元二次方程”这个前提限定，否则很容易错选。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$(k-3)x^2 +6x +k^2 -k=0$有一个根为$-1$
∴ 将$x=-1$代入方程可得：
$(k-3)×(-1)^2 +6×(-1) +k^2 -k = 0$
化简计算：
$k-3 -6 +k^2 -k = 0$
合并同类项后得$k^2 -9 = 0$
解得$k=3$或$k=-3$
又
∵ 原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $k-3 ≠ 0$，即$k ≠ 3$
综上，$k$的值为$-3$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的性质
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接将求出的两个$k$值都当作正确结果，因此做题时要注意审题，抓住题目中的关键限定条件，得出结果后要及时检验是否符合要求。
【难度系数】
0.7
3 一元二次方程$x^2 + 2 = 5x$根的判别式的值是（
A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.33
B.23
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
3. C
解析
【分析】
要计算一元二次方程根的判别式，首先需要明确判别式的计算公式适用前提是方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），此时判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题步骤如下：第一步先将给定的方程整理为一般形式，注意移项要变号；第二步准确找出对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带符号；第三步将$a、b、c$代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
首先将原方程$x^2 + 2 = 5x$移项，化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 5x + 2 = 0$
由此可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$
因此根的判别式的值为17，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的计算方法，易错点在于移项时容易出现符号错误，或提取系数时遗漏符号，只要熟练掌握判别式公式，按步骤整理方程即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程根的判别式，首先需要明确判别式的计算公式适用前提是方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），此时判别式$\Delta = b^2-4ac$。解题步骤如下：第一步先将给定的方程整理为一般形式，注意移项要变号；第二步准确找出对应的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带符号；第三步将$a、b、c$代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
首先将原方程$x^2 + 2 = 5x$移项，化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 5x + 2 = 0$
由此可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=2$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入数值计算：
$\Delta = (-5)^2 - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$
因此根的判别式的值为17，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的计算方法，易错点在于移项时容易出现符号错误，或提取系数时遗漏符号，只要熟练掌握判别式公式，按步骤整理方程即可得分。
【难度系数】
0.8
4 用公式法解一个一元二次方程的根为$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$，则此方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
A.6,5,1
B.3,5,-1
C.3,5,1
D.3,-5,1
C
）A.6,5,1
B.3,5,-1
C.3,5,1
D.3,-5,1
答案
4. C
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需将题目给出的根与求根公式逐项对应，先通过分母求出二次项系数$a$，再通过分子的一次项部分求出一次项系数$b$，最后代入判别式求出常数项$c$，即可得到三个系数的取值。
【解析】
解：设该一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，结合已知根$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$逐项对应：
1. 对应分母：$2a=6$，解得$a=3$；
2. 对应分子的一次项部分：$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 对应根号内的判别式：$b^2-4ac=13$，将$a=3$、$b=5$代入得：
$5^2-4×3× c=13$
$25-12c=13$
$12c=12$，解得$c=1$。
因此二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、5、1。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式
【点评】
本题核心考查对一元二次方程求根公式结构的掌握，解题时需注意公式中各部分的符号，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。我们只需将题目给出的根与求根公式逐项对应，先通过分母求出二次项系数$a$，再通过分子的一次项部分求出一次项系数$b$，最后代入判别式求出常数项$c$，即可得到三个系数的取值。
【解析】
解：设该一元二次方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，结合已知根$x=\frac{-5\pm\sqrt{13}}{6}$逐项对应：
1. 对应分母：$2a=6$，解得$a=3$；
2. 对应分子的一次项部分：$-b=-5$，解得$b=5$；
3. 对应根号内的判别式：$b^2-4ac=13$，将$a=3$、$b=5$代入得：
$5^2-4×3× c=13$
$25-12c=13$
$12c=12$，解得$c=1$。
因此二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、5、1。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式
【点评】
本题核心考查对一元二次方程求根公式结构的掌握，解题时需注意公式中各部分的符号，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
5 [2025 德阳]若关于x的一元二次方程$-2x^2 + 4x + k = 0$有两个相等的实数根，则k的值是（
A.2
B.0
C.$-2$
D.$-4$
C
）A.2
B.0
C.$-2$
D.$-4$
答案
5. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。接下来只需从给定方程中找出对应系数$a、b、c$，代入$\Delta=0$得到关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
已知一元二次方程$-2x^2 + 4x + k = 0$有两个相等的实数根，首先确定方程各项系数：$a=-2$，$b=4$，$c=k$。
根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等实数根时，$\Delta=b^2-4ac=0$，代入系数得：
$\begin{aligned}4^2 - 4×(-2)× k&=0\\16 + 8k&=0\\8k&=-16\\k&=-2\end{aligned}$
因此$k$的值为$-2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，计算时要注意二次项系数的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根。接下来只需从给定方程中找出对应系数$a、b、c$，代入$\Delta=0$得到关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
已知一元二次方程$-2x^2 + 4x + k = 0$有两个相等的实数根，首先确定方程各项系数：$a=-2$，$b=4$，$c=k$。
根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等实数根时，$\Delta=b^2-4ac=0$，代入系数得：
$\begin{aligned}4^2 - 4×(-2)× k&=0\\16 + 8k&=0\\8k&=-16\\k&=-2\end{aligned}$
因此$k$的值为$-2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，计算时要注意二次项系数的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
6 如果关于x的一元二次方程的根分别为－5，7，那么该方程可以为 （
A.$(x+5)(x-7)=0$
B.$(x-5)(x+7)=0$
C.$(x+5)(x+7)=0$
D.$(x-5)(x-7)=0$
A
）A.$(x+5)(x-7)=0$
B.$(x-5)(x+7)=0$
C.$(x+5)(x+7)=0$
D.$(x-5)(x-7)=0$
答案
6. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用因式分解法解一元二次方程的逆逻辑思考。我们知道如果一元二次方程因式分解后是$(x-a)(x-b)=0$的形式，那么方程的两个根就是$x=a$和$x=b$；反过来如果已知方程的两个根$x_1$、$x_2$，就可以把方程写成$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式，接下来把题目给出的两个根代入这个式子，得到对应方程后匹配选项即可。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的逆用：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则该方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$。
已知方程的两根分别为$-5$和$7$，即$x_1=-5$，$x_2=7$，代入上式可得：
$(x-(-5))(x-7)=0$，化简后为$(x+5)(x-7)=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要掌握因式分解法解方程的原理，能逆向利用根写出对应方程，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以利用因式分解法解一元二次方程的逆逻辑思考。我们知道如果一元二次方程因式分解后是$(x-a)(x-b)=0$的形式，那么方程的两个根就是$x=a$和$x=b$；反过来如果已知方程的两个根$x_1$、$x_2$，就可以把方程写成$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式，接下来把题目给出的两个根代入这个式子，得到对应方程后匹配选项即可。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的逆用：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则该方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$。
已知方程的两根分别为$-5$和$7$，即$x_1=-5$，$x_2=7$，代入上式可得：
$(x-(-5))(x-7)=0$，化简后为$(x+5)(x-7)=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要掌握因式分解法解方程的原理，能逆向利用根写出对应方程，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
7 如果关于$x$的一元二次方程$mx^2 + x + m = 0$有两个实数根，那么 （
A.两根之和为1
B.两根相等
C.两根互为倒数
D.两根互为相反数
C
）A.两根之和为1
B.两根相等
C.两根互为倒数
D.两根互为相反数
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目给出的是一元二次方程，第一步先确定二次项系数不为0；其次题目说明方程有两个实数根，我们可以结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积，再逐一验证每个选项是否正确，同时注意两根相等的条件是判别式等于0，要和“有两个实数根（判别式≥0）”的要求区分开。
【解析】
∵ 方程$mx^2 + x + m = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{m}$
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{m} = 1$
逐一分析选项：
A. 两根之和为$-\frac{1}{m}$，只有当$m=-1$时才等于1，不是恒成立，故A错误；
B. 两根相等需要判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · m · m = 1 - 4m^2 = 0$，仅当$m = \pm \frac{1}{2}$时成立，题目仅说明方程有两个实数根（即$\Delta ≥ 0$），不一定两根相等，故B错误；
C. 若两根互为倒数，则两根之积为1，由计算得$x_1x_2=1$恒成立，故C正确；
D. 若两根互为相反数，则两根之和为0，即$-\frac{1}{m}=0$，该等式不可能成立，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题需要先抓住“一元二次方程”的前提确定二次项系数不为0，再结合韦达定理和判别式的性质逐一判断选项，解题时不要遗漏隐含条件，同时要区分“有两个实数根”和“有两个相等实数根”的不同要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确题目给出的是一元二次方程，第一步先确定二次项系数不为0；其次题目说明方程有两个实数根，我们可以结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和、两根之积，再逐一验证每个选项是否正确，同时注意两根相等的条件是判别式等于0，要和“有两个实数根（判别式≥0）”的要求区分开。
【解析】
∵ 方程$mx^2 + x + m = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{m}$
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{m} = 1$
逐一分析选项：
A. 两根之和为$-\frac{1}{m}$，只有当$m=-1$时才等于1，不是恒成立，故A错误；
B. 两根相等需要判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · m · m = 1 - 4m^2 = 0$，仅当$m = \pm \frac{1}{2}$时成立，题目仅说明方程有两个实数根（即$\Delta ≥ 0$），不一定两根相等，故B错误；
C. 若两根互为倒数，则两根之积为1，由计算得$x_1x_2=1$恒成立，故C正确；
D. 若两根互为相反数，则两根之和为0，即$-\frac{1}{m}=0$，该等式不可能成立，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题需要先抓住“一元二次方程”的前提确定二次项系数不为0，再结合韦达定理和判别式的性质逐一判断选项，解题时不要遗漏隐含条件，同时要区分“有两个实数根”和“有两个相等实数根”的不同要求。
【难度系数】
0.7
8 定义:如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a+b+c=0$,那么我们称这个方程为“和谐方程”;如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$,那么我们称这个方程为“美好方程”.如果一个一元二次方程$2x^2+mx+n=0$既是“和谐方程”又是“美好方程”,那么$mn$的值为 (
A.2
B.0
C.$-2$
D.3
B
)A.2
B.0
C.$-2$
D.3
答案
8. B
解析
【分析】
首先需要准确理解题目给出的“和谐方程”和“美好方程”的定义，先确定给定一元二次方程$2x^2+mx+n=0$对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，再根据两个定义分别列等式，得到关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后计算mn即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2+mx+n=0$，对应系数为：$a=2$，$b=m$，$c=n$。
∵ 该方程是“和谐方程”，满足$a+b+c=0$，
∴ 代入得：$2 + m + n = 0$ ①；
又
∵ 该方程是“美好方程”，满足$a-b+c=0$，
∴ 代入得：$2 - m + n = 0$ ②；
联立①②组成方程组，用①+②可得：
$4 + 2n = 0$，解得$n=-2$；
将$n=-2$代入①式，得$2 + m -2 = 0$，解得$m=0$；
∴ $mn = 0×(-2) = 0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 新定义问题
2. 一元二次方程的系数
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是正确理解新定义的运算规则，将已知方程的系数对应代入定义式，转化为熟悉的方程组求解即可。
【难度系数】
0.8
首先需要准确理解题目给出的“和谐方程”和“美好方程”的定义，先确定给定一元二次方程$2x^2+mx+n=0$对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，再根据两个定义分别列等式，得到关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后计算mn即可。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2+mx+n=0$，对应系数为：$a=2$，$b=m$，$c=n$。
∵ 该方程是“和谐方程”，满足$a+b+c=0$，
∴ 代入得：$2 + m + n = 0$ ①；
又
∵ 该方程是“美好方程”，满足$a-b+c=0$，
∴ 代入得：$2 - m + n = 0$ ②；
联立①②组成方程组，用①+②可得：
$4 + 2n = 0$，解得$n=-2$；
将$n=-2$代入①式，得$2 + m -2 = 0$，解得$m=0$；
∴ $mn = 0×(-2) = 0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 新定义问题
2. 一元二次方程的系数
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是正确理解新定义的运算规则，将已知方程的系数对应代入定义式，转化为熟悉的方程组求解即可。
【难度系数】
0.8
9 若关于x的方程$(m+2)x^{m^2 -2}+(m-1)x+6=0$是一元二次方程，则该方程为
$4x^2+x+6=0$
。答案
9. $4x^2+x+6=0$
解析
【分析】
要确定该一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义思考：一元二次方程需要同时满足两个核心条件：① 未知数的最高次数为2；② 二次项的系数不为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的m值，最后将符合条件的m代入原式即可得到所求方程。
【解析】
根据一元二次方程的定义，可得：
1. 未知数最高次数为2：$m^2 - 2 = 2$，
解这个方程：$m^2 = 4$，得$m = 2$或$m = -2$；
2. 二次项系数不为0：$m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$。
结合上述两个条件，可得$m = 2$。
将$m=2$代入原方程：
$(2+2)x^{2^2 -2} + (2-1)x + 6 = 0$，
化简得：$4x^2 + x + 6 = 0$。
【答案】
$4x^2+x+6=0$
【知识点】
一元二次方程的定义；含参数方程求解；代数式代入求值
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型应用考题，解题的易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误将m=-2代入计算，掌握定义的全部限制条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定该一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义思考：一元二次方程需要同时满足两个核心条件：① 未知数的最高次数为2；② 二次项的系数不为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的m值，最后将符合条件的m代入原式即可得到所求方程。
【解析】
根据一元二次方程的定义，可得：
1. 未知数最高次数为2：$m^2 - 2 = 2$，
解这个方程：$m^2 = 4$，得$m = 2$或$m = -2$；
2. 二次项系数不为0：$m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$。
结合上述两个条件，可得$m = 2$。
将$m=2$代入原方程：
$(2+2)x^{2^2 -2} + (2-1)x + 6 = 0$，
化简得：$4x^2 + x + 6 = 0$。
【答案】
$4x^2+x+6=0$
【知识点】
一元二次方程的定义；含参数方程求解；代数式代入求值
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型应用考题，解题的易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误将m=-2代入计算，掌握定义的全部限制条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10 若关于$y$的一元二次方程$y^2 + 4y + 3 = 0$，通过配方法可以化成$(y + a)^2 = b$的形式，则$a + b =$
$3$
。答案
10. 3
解析
【分析】
本题需要用配方法将一元二次方程转化为完全平方式的形式，解题思路如下：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧凑成完全平方的形式，再对比题目给出的$(y+a)^2=b$的结构确定$a$和$b$的取值，最后计算$a+b$的结果即可。
【解析】
解：对一元二次方程$y^2 + 4y + 3 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$y^2 + 4y = -3$
2. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给等号两边同时加4：
$y^2 + 4y + 4 = -3 + 4$
3. 整理得：
$(y+2)^2 = 1$
对比$(y+a)^2=b$，可得$a=2$，$b=1$，因此$a+b=2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意配方时等号两侧要同时加同一个数，保证等式恒成立，熟练掌握完全平方公式的结构特征就能快速解题。
【难度系数】
0.85
本题需要用配方法将一元二次方程转化为完全平方式的形式，解题思路如下：首先把方程中的常数项移到等号右侧，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧凑成完全平方的形式，再对比题目给出的$(y+a)^2=b$的结构确定$a$和$b$的取值，最后计算$a+b$的结果即可。
【解析】
解：对一元二次方程$y^2 + 4y + 3 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$y^2 + 4y = -3$
2. 配方：一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给等号两边同时加4：
$y^2 + 4y + 4 = -3 + 4$
3. 整理得：
$(y+2)^2 = 1$
对比$(y+a)^2=b$，可得$a=2$，$b=1$，因此$a+b=2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需注意配方时等号两侧要同时加同一个数，保证等式恒成立，熟练掌握完全平方公式的结构特征就能快速解题。
【难度系数】
0.85
11 [2025 苏州]已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
$-3$
。答案
11. $-3$
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程一个根求另一个根的问题，有两种解题思路：一是利用方程的解的定义，将已知根代入方程求出参数m，再解完整的一元二次方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的关系计算未知根，第二种方法无需计算参数，解题更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程$x^2+2x-m=0$的$a=1$，$b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程，得$1^2+2×1 - m=0$，解得$m=3$。
则原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础类题目，考查一元二次方程根的相关运算，两种解题思路均符合知识要求，灵活运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
遇到已知一元二次方程一个根求另一个根的问题，有两种解题思路：一是利用方程的解的定义，将已知根代入方程求出参数m，再解完整的一元二次方程得到另一个根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的关系计算未知根，第二种方法无需计算参数，解题更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程$x^2+2x-m=0$的$a=1$，$b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=1$代入原方程，得$1^2+2×1 - m=0$，解得$m=3$。
则原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题属于基础类题目，考查一元二次方程根的相关运算，两种解题思路均符合知识要求，灵活运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
12 已知$a,b$是一元二次方程$x^2 + x - 8 = 0$的两个实数根，则代数式$a^2 + 2a + b - ab$的值为
$15$
。答案
12. 15
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义，将a代入方程得到a²+a的取值，实现降次；再观察所求代数式的结构，将2a拆分为a+a，把代数式变形为含有a²+a、a+b、ab的形式，最后结合韦达定理（根与系数的关系）得到a+b和ab的值，整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵a是一元二次方程$x^2 + x - 8 = 0$的实数根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 8 = 0$，即$a^2 + a = 8$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 8 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$a + b = -1$，$ab = -8$。
对所求代数式变形：
$a^2 + 2a + b - ab = (a^2 + a) + (a + b) - ab$
将上述所得值整体代入：
原式$= 8 + (-1) - (-8) = 8 - 1 + 8 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题侧重考查整体代换思想的应用，通过合理变形代数式，结合方程根的性质和韦达定理整体代入计算，避免了求解方程根的复杂运算，是一元二次方程章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根的定义，将a代入方程得到a²+a的取值，实现降次；再观察所求代数式的结构，将2a拆分为a+a，把代数式变形为含有a²+a、a+b、ab的形式，最后结合韦达定理（根与系数的关系）得到a+b和ab的值，整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵a是一元二次方程$x^2 + x - 8 = 0$的实数根，
∴将$x=a$代入方程得：$a^2 + a - 8 = 0$，即$a^2 + a = 8$。
又
∵a、b是方程$x^2 + x - 8 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$a + b = -1$，$ab = -8$。
对所求代数式变形：
$a^2 + 2a + b - ab = (a^2 + a) + (a + b) - ab$
将上述所得值整体代入：
原式$= 8 + (-1) - (-8) = 8 - 1 + 8 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题侧重考查整体代换思想的应用，通过合理变形代数式，结合方程根的性质和韦达定理整体代入计算，避免了求解方程根的复杂运算，是一元二次方程章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
13 已知k为实数，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程$kx^2 - (k+2)x + \frac{1}{4}k = 0$进行了讨论。甲说：“这一定是关于x的一元二次方程。”乙说：“这有可能是关于x的一元一次方程。”丙说：“当$k ≥ -1$时，该方程有实数根。”丁说：“只有当$k ≥ -1$且$k ≠ 0$时，该方程有实数根。”其中，正确的是
乙和丙
。答案
13. 乙和丙
解析
【分析】
解题时需先分情况讨论参数k的取值：第一步判断方程类型，根据二次项系数是否为0，确定方程是一元一次方程还是一元二次方程，以此判断甲、乙说法的正误；第二步分k=0和k≠0两种情况分析方程有实数根的条件，k=0时直接求解一元一次方程判断是否有实根，k≠0时利用一元二次方程根的判别式Δ≥0求解k的取值范围，最终综合两种情况的结果判断丙、丁说法的正误。
【解析】
1. 判断甲、乙的说法：
当$k=0$时，原方程化简为$-2x=0$，是关于x的一元一次方程；当$k≠0$时，原方程是关于x的一元二次方程。因此该方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，故甲说法错误，乙说法正确。
2. 判断丙、丁的说法：
分两种情况讨论方程有实数根的条件：
① 当$k=0$时，方程为$-2x=0$，解得$x=0$，存在实数根，此时$k=0$满足条件；
② 当$k≠0$时，方程为一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=k$，$b=-(k+2)$，$c=\frac{1}{4}k$，代入得：
$\Delta=(k+2)^2 - 4× k×\frac{1}{4}k = k^2 + 4k + 4 - k^2 = 4k + 4$
若方程有实数根，则$\Delta≥0$，即$4k+4≥0$，解得$k≥-1$，结合前提得此时$k≥-1$且$k≠0$。
综合①②可得，当$k≥-1$时，该方程有实数根，故丙说法正确，丁说法错误。
【答案】
乙和丙
【知识点】
方程的定义，根的判别式，分类讨论
【点评】
本题易忽略二次项系数为0的情况，直接默认方程为一元二次方程求解，导致误判丁的说法正确，解题时遇到含参数的整式方程，需先讨论最高次项系数是否为0，再分情况分析问题。
【难度系数】
0.65
解题时需先分情况讨论参数k的取值：第一步判断方程类型，根据二次项系数是否为0，确定方程是一元一次方程还是一元二次方程，以此判断甲、乙说法的正误；第二步分k=0和k≠0两种情况分析方程有实数根的条件，k=0时直接求解一元一次方程判断是否有实根，k≠0时利用一元二次方程根的判别式Δ≥0求解k的取值范围，最终综合两种情况的结果判断丙、丁说法的正误。
【解析】
1. 判断甲、乙的说法：
当$k=0$时，原方程化简为$-2x=0$，是关于x的一元一次方程；当$k≠0$时，原方程是关于x的一元二次方程。因此该方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，故甲说法错误，乙说法正确。
2. 判断丙、丁的说法：
分两种情况讨论方程有实数根的条件：
① 当$k=0$时，方程为$-2x=0$，解得$x=0$，存在实数根，此时$k=0$满足条件；
② 当$k≠0$时，方程为一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=k$，$b=-(k+2)$，$c=\frac{1}{4}k$，代入得：
$\Delta=(k+2)^2 - 4× k×\frac{1}{4}k = k^2 + 4k + 4 - k^2 = 4k + 4$
若方程有实数根，则$\Delta≥0$，即$4k+4≥0$，解得$k≥-1$，结合前提得此时$k≥-1$且$k≠0$。
综合①②可得，当$k≥-1$时，该方程有实数根，故丙说法正确，丁说法错误。
【答案】
乙和丙
【知识点】
方程的定义，根的判别式，分类讨论
【点评】
本题易忽略二次项系数为0的情况，直接默认方程为一元二次方程求解，导致误判丁的说法正确，解题时遇到含参数的整式方程，需先讨论最高次项系数是否为0，再分情况分析问题。
【难度系数】
0.65
14 把下面的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $(x-5)^2=36$；
(2) $4x(x+1)-x(x-2)=2.$
(1) $(x-5)^2=36$；
(2) $4x(x+1)-x(x-2)=2.$
答案
(1) 方程$(x-5)^2=36$的一般形式为$x^2-10x-11=0$，二次项系数是1，一次项系数是$-10$，常数项是$-11$
(2) 方程$4x(x+1)-x(x-2)=2$的一般形式为$3x^2+6x-2=0$，二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为$-2$
(2) 方程$4x(x+1)-x(x-2)=2$的一般形式为$3x^2+6x-2=0$，二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为$-2$
解析
【分析】
要将方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的标准一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路为：先对原方程左侧的整式展开运算，再通过移项将所有项移到等号左侧，最后合并同类项，把左侧整理为按$x$降幂排列的多项式、右侧为0的形式，即可对应得到各项系数，注意系数要包含本身的正负符号。
【解析】
(1) 处理方程$(x-5)^2=36$：
第一步，利用完全平方公式展开左侧：
$x^2 - 10x + 25 = 36$
第二步，移项，将常数项36移到等号左侧：
$x^2 - 10x + 25 - 36 = 0$
第三步，合并同类项得到一般形式：$x^2 - 10x - 11 = 0$
对照一般形式可得：二次项系数是1，一次项系数是$-10$，常数项是$-11$。
(2) 处理方程$4x(x+1)-x(x-2)=2$：
第一步，利用单项式乘多项式法则去括号：
$4x^2 + 4x - x^2 + 2x = 2$
第二步，合并左侧同类项：
$3x^2 + 6x = 2$
第三步，移项得到一般形式：$3x^2 + 6x - 2 = 0$
对照一般形式可得：二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为$-2$。
【答案】
(1) 方程$(x-5)^2=36$的一般形式为$x^2-10x-11=0$，二次项系数是1，一次项系数是$-10$，常数项是$-11$
(2) 方程$4x(x+1)-x(x-2)=2$的一般形式为$3x^2+6x-2=0$，二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的转化，解题时需熟练掌握整式运算规则，注意去括号、移项时的符号变化，各项系数要保留对应正负符号，熟练掌握该内容是后续求解一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.85
要将方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的标准一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路为：先对原方程左侧的整式展开运算，再通过移项将所有项移到等号左侧，最后合并同类项，把左侧整理为按$x$降幂排列的多项式、右侧为0的形式，即可对应得到各项系数，注意系数要包含本身的正负符号。
【解析】
(1) 处理方程$(x-5)^2=36$：
第一步，利用完全平方公式展开左侧：
$x^2 - 10x + 25 = 36$
第二步，移项，将常数项36移到等号左侧：
$x^2 - 10x + 25 - 36 = 0$
第三步，合并同类项得到一般形式：$x^2 - 10x - 11 = 0$
对照一般形式可得：二次项系数是1，一次项系数是$-10$，常数项是$-11$。
(2) 处理方程$4x(x+1)-x(x-2)=2$：
第一步，利用单项式乘多项式法则去括号：
$4x^2 + 4x - x^2 + 2x = 2$
第二步，合并左侧同类项：
$3x^2 + 6x = 2$
第三步，移项得到一般形式：$3x^2 + 6x - 2 = 0$
对照一般形式可得：二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为$-2$。
【答案】
(1) 方程$(x-5)^2=36$的一般形式为$x^2-10x-11=0$，二次项系数是1，一次项系数是$-10$，常数项是$-11$
(2) 方程$4x(x+1)-x(x-2)=2$的一般形式为$3x^2+6x-2=0$，二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式乘法运算
3. 合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的转化，解题时需熟练掌握整式运算规则，注意去括号、移项时的符号变化，各项系数要保留对应正负符号，熟练掌握该内容是后续求解一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.85
