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1.(2024·攀枝花)计算$(-a^2)^3$的结果是 (
A.$-a^6$
B.$a^6$
C.$-a^5$
D.$a^5$
A
)A.$-a^6$
B.$a^6$
C.$-a^5$
D.$a^5$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察式子$(-a^2)^3$，可将括号内的部分看作$-1$与$a^2$的乘积，先运用积的乘方法则将两个因式分别乘方，再运用幂的乘方法则计算含字母$a$的项，最后结合符号运算得到最终结果，计算时要注意负数的奇次幂符号为负，避免符号出错。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n· b^n$，可得：
$(-a^2)^3=(-1)^3· (a^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得：
$(-1)^3=-1$，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
将两部分结果相乘：$-1× a^6=-a^6$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握程度，解题的易错点是容易忽略负数的奇次幂的符号，计算时需注意先确定结果的符号再计算指数。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察式子$(-a^2)^3$，可将括号内的部分看作$-1$与$a^2$的乘积，先运用积的乘方法则将两个因式分别乘方，再运用幂的乘方法则计算含字母$a$的项，最后结合符号运算得到最终结果，计算时要注意负数的奇次幂符号为负，避免符号出错。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n· b^n$，可得：
$(-a^2)^3=(-1)^3· (a^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，计算得：
$(-1)^3=-1$，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
将两部分结果相乘：$-1× a^6=-a^6$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握程度，解题的易错点是容易忽略负数的奇次幂的符号，计算时需注意先确定结果的符号再计算指数。
【难度系数】
0.9
2.在下列各式的括号内,应填入$b^4$的是 (
A.$b^{12}=(\ )^8$
B.$b^{12}=(\ )^6$
C.$b^{12}=(\ )^3$
D.$b^{12}=(\ )^2$
C
)A.$b^{12}=(\ )^8$
B.$b^{12}=(\ )^6$
C.$b^{12}=(\ )^3$
D.$b^{12}=(\ )^2$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查幂的乘方法则的逆用，解题思路如下：首先回忆幂的乘方公式：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们可以逐个计算每个选项中括号内应填的代数式，判断是否为$b^4$；也可以直接推导若括号内为$b^4$时，括号外的指数应满足的关系，对应匹配选项。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$是正整数），逆用该法则可得$a^{mn}=(a^m)^n$。
设每个选项括号内应填的代数式为$b^k$，逐一分析选项：
选项A：$(b^k)^8=b^{8k}=b^{12}$，则$8k=12$，解得$k=\frac{3}{2}$，括号内应填$b^{\frac{3}{2}}$，不符合要求；
选项B：$(b^k)^6=b^{6k}=b^{12}$，则$6k=12$，解得$k=2$，括号内应填$b^2$，不符合要求；
选项C：$(b^k)^3=b^{3k}=b^{12}$，则$3k=12$，解得$k=4$，括号内应填$b^4$，符合要求；
选项D：$(b^k)^2=b^{2k}=b^{12}$，则$2k=12$，解得$k=6$，括号内应填$b^6$，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 幂的乘方法则
2. 逆用幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握幂的乘方运算中底数不变、指数相乘的规律，通过指数的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的乘方法则的逆用，解题思路如下：首先回忆幂的乘方公式：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。我们可以逐个计算每个选项中括号内应填的代数式，判断是否为$b^4$；也可以直接推导若括号内为$b^4$时，括号外的指数应满足的关系，对应匹配选项。
【解析】
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$是正整数），逆用该法则可得$a^{mn}=(a^m)^n$。
设每个选项括号内应填的代数式为$b^k$，逐一分析选项：
选项A：$(b^k)^8=b^{8k}=b^{12}$，则$8k=12$，解得$k=\frac{3}{2}$，括号内应填$b^{\frac{3}{2}}$，不符合要求；
选项B：$(b^k)^6=b^{6k}=b^{12}$，则$6k=12$，解得$k=2$，括号内应填$b^2$，不符合要求；
选项C：$(b^k)^3=b^{3k}=b^{12}$，则$3k=12$，解得$k=4$，括号内应填$b^4$，符合要求；
选项D：$(b^k)^2=b^{2k}=b^{12}$，则$2k=12$，解得$k=6$，括号内应填$b^6$，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 幂的乘方法则
2. 逆用幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握幂的乘方运算中底数不变、指数相乘的规律，通过指数的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(2024·河南)计算$(a · a · \dots · a)^3$的结果是（
a个
A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$
D
）a个
A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从括号内的运算入手，首先根据乘方的意义：n个相同因数a相乘的结果可记为$a^n$，先将括号里a个a相乘转化为幂的形式；再利用幂的乘方运算法则计算即可，幂的乘方运算时底数不变，指数相乘，最终对照选项选出答案。
【解析】
第一步：化简括号内的部分
根据乘方的意义，a个a相乘的结果为$a^a$，因此原式可转化为$(a^a)^3$。
第二步：运用幂的乘方法则计算
根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(a^a)^3 = a^{a×3}=a^{3a}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义；幂的乘方运算
【点评】
本题考查幂的相关基础运算，核心是掌握乘方的定义和幂的乘方的运算法则，计算时注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法的指数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解题时先从括号内的运算入手，首先根据乘方的意义：n个相同因数a相乘的结果可记为$a^n$，先将括号里a个a相乘转化为幂的形式；再利用幂的乘方运算法则计算即可，幂的乘方运算时底数不变，指数相乘，最终对照选项选出答案。
【解析】
第一步：化简括号内的部分
根据乘方的意义，a个a相乘的结果为$a^a$，因此原式可转化为$(a^a)^3$。
第二步：运用幂的乘方法则计算
根据幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(a^a)^3 = a^{a×3}=a^{3a}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘方的意义；幂的乘方运算
【点评】
本题考查幂的相关基础运算，核心是掌握乘方的定义和幂的乘方的运算法则，计算时注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法的指数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.9
4.(2024·烟台期末)给出下列算式:①$a^2 · a^m = a^{2m}$；②$(a^2)^m = a^{2m}$；③$(-a^m)^2 = a^{2m}$；④$(-a^2)^m = a^{2m}$.其中正确的是
②③
.答案
4.②③
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路是逐一根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，结合负数乘方的符号规律判断每个算式的正误。首先回忆各运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，需把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；负数的偶次幂为正，奇次幂为负，据此逐个验证四个算式即可。
【解析】
我们逐个判断四个算式：
① $a^2 · a^m$ 属于同底数幂相乘，根据法则得 $a^{2+m}$，不是 $a^{2m}$，故①错误；
② $(a^2)^m$ 属于幂的乘方，根据法则得 $a^{2× m}=a^{2m}$，故②正确；
③ $(-a^m)^2$ 属于积的乘方，展开得 $(-1)^2 · (a^m)^2 = 1× a^{2m}=a^{2m}$，故③正确；
④ $(-a^2)^m$ 展开得 $(-1)^m · (a^2)^m = (-1)^m a^{2m}$，当m为奇数时，$(-1)^m=-1$，结果为$-a^{2m}$，只有m为偶数时结果才是$a^{2m}$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础考查题，解题的核心是熟练掌握幂的各类运算法则，尤其要注意带负号的幂运算中，指数的奇偶性会影响最终结果的符号，不要混淆同底数幂乘法的指数相加和幂的乘方的指数相乘规则。
【难度系数】
0.75
本题考查幂的相关运算，解题思路是逐一根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，结合负数乘方的符号规律判断每个算式的正误。首先回忆各运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，需把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；负数的偶次幂为正，奇次幂为负，据此逐个验证四个算式即可。
【解析】
我们逐个判断四个算式：
① $a^2 · a^m$ 属于同底数幂相乘，根据法则得 $a^{2+m}$，不是 $a^{2m}$，故①错误；
② $(a^2)^m$ 属于幂的乘方，根据法则得 $a^{2× m}=a^{2m}$，故②正确；
③ $(-a^m)^2$ 属于积的乘方，展开得 $(-1)^2 · (a^m)^2 = 1× a^{2m}=a^{2m}$，故③正确；
④ $(-a^2)^m$ 展开得 $(-1)^m · (a^2)^m = (-1)^m a^{2m}$，当m为奇数时，$(-1)^m=-1$，结果为$-a^{2m}$，只有m为偶数时结果才是$a^{2m}$，故④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础考查题，解题的核心是熟练掌握幂的各类运算法则，尤其要注意带负号的幂运算中，指数的奇偶性会影响最终结果的符号，不要混淆同底数幂乘法的指数相加和幂的乘方的指数相乘规则。
【难度系数】
0.75
5.计算：
(1)$[(-a)^4]^3$；
(2)$[(a+b)^2]^3$；
(3)$3(x^n)^4 · x^{2n} - (x^{2n})^3$。
(1)$[(-a)^4]^3$；
(2)$[(a+b)^2]^3$；
(3)$3(x^n)^4 · x^{2n} - (x^{2n})^3$。
答案
5.(1)原式=$a^{12}$ (2)原式=$(a+b)^6$ (3)原式=$2x^{6n}$
解析
【分析】
这三道题均考查幂的相关运算，解题思路如下：①先回忆幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），即底数不变，指数相乘；②对于(1)，先按幂的乘方法则计算，再根据负数的偶次幂为正化简；③对于(2)，将$(a+b)$看作整体作为底数，直接套用幂的乘方法则计算即可；④对于(3)，先分别计算两个幂的乘方，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算乘法部分，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则计算：
原式$=(-a)^{4×3}=(-a)^{12}$，
因为12是偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-a)^{12}=a^{12}$。
(2) 将$(a+b)$看作整体，根据幂的乘方法则计算：
原式$=(a+b)^{2×3}=(a+b)^6$。
(3) 按照先乘方、再乘法、最后合并同类项的顺序计算：
第一步，计算幂的乘方：
$3(x^n)^4· x^{2n} - (x^{2n})^3 = 3x^{4n}· x^{2n} - x^{6n}$，
第二步，计算同底数幂的乘法：$3x^{4n}· x^{2n}=3x^{4n+2n}=3x^{6n}$，
第三步，合并同类项：$3x^{6n}-x^{6n}=2x^{6n}$。
【答案】
(1)$a^{12}$；(2)$(a+b)^6$；(3)$2x^{6n}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础练习题，解题时要准确记忆各运算法则的适用条件，注意整体思想在底数为多项式时的应用，混合运算要按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查幂的相关运算，解题思路如下：①先回忆幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），即底数不变，指数相乘；②对于(1)，先按幂的乘方法则计算，再根据负数的偶次幂为正化简；③对于(2)，将$(a+b)$看作整体作为底数，直接套用幂的乘方法则计算即可；④对于(3)，先分别计算两个幂的乘方，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算乘法部分，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则计算：
原式$=(-a)^{4×3}=(-a)^{12}$，
因为12是偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-a)^{12}=a^{12}$。
(2) 将$(a+b)$看作整体，根据幂的乘方法则计算：
原式$=(a+b)^{2×3}=(a+b)^6$。
(3) 按照先乘方、再乘法、最后合并同类项的顺序计算：
第一步，计算幂的乘方：
$3(x^n)^4· x^{2n} - (x^{2n})^3 = 3x^{4n}· x^{2n} - x^{6n}$，
第二步，计算同底数幂的乘法：$3x^{4n}· x^{2n}=3x^{4n+2n}=3x^{6n}$，
第三步，合并同类项：$3x^{6n}-x^{6n}=2x^{6n}$。
【答案】
(1)$a^{12}$；(2)$(a+b)^6$；(3)$2x^{6n}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础练习题，解题时要准确记忆各运算法则的适用条件，注意整体思想在底数为多项式时的应用，混合运算要按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算。
【难度系数】
0.8
6. $a^{16}=(a^2)$
8
$=(a^4)$4
$=(a^8)$2
答案
6.8 4 2
解析
【分析】
本题考查幂的乘方法则的应用，解题思路如下：首先回忆幂的乘方运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）。我们可以设每个空对应的指数为未知数，根据幂的乘方法则将等号左边的式子展开，再利用两个同底数幂相等时指数相等的性质，列等式求出未知数的值即可。
【解析】
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），底数不变，指数相乘，逐空计算如下：
1. 求第一个空：设该空数值为$x_1$，则$(a^2)^{x_1}=a^{2x_1}=a^{16}$，可得$2x_1=16$，解得$x_1=8$；
2. 求第二个空：设该空数值为$x_2$，则$(a^4)^{x_2}=a^{4x_2}=a^{16}$，可得$4x_2=16$，解得$x_2=4$；
3. 求第三个空：设该空数值为$x_3$，则$(a^8)^{x_3}=a^{8x_3}=a^{16}$，可得$8x_3=16$，解得$x_3=2$。
【答案】
8；4；2
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于幂的乘方的基础应用题型，核心是熟练掌握幂的乘方的运算法则，注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.85
本题考查幂的乘方法则的应用，解题思路如下：首先回忆幂的乘方运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）。我们可以设每个空对应的指数为未知数，根据幂的乘方法则将等号左边的式子展开，再利用两个同底数幂相等时指数相等的性质，列等式求出未知数的值即可。
【解析】
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），底数不变，指数相乘，逐空计算如下：
1. 求第一个空：设该空数值为$x_1$，则$(a^2)^{x_1}=a^{2x_1}=a^{16}$，可得$2x_1=16$，解得$x_1=8$；
2. 求第二个空：设该空数值为$x_2$，则$(a^4)^{x_2}=a^{4x_2}=a^{16}$，可得$4x_2=16$，解得$x_2=4$；
3. 求第三个空：设该空数值为$x_3$，则$(a^8)^{x_3}=a^{8x_3}=a^{16}$，可得$8x_3=16$，解得$x_3=2$。
【答案】
8；4；2
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于幂的乘方的基础应用题型，核心是熟练掌握幂的乘方的运算法则，注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的指数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.85
7.(教材P102习题T8变式)已知$10^a=3,10^b=2$，则$10^{3a+2b}=$
108
.答案
7.108
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的指数是两部分之和，且每部分指数带有系数，需结合幂的运算法则的逆用进行转化：第一步，逆用同底数幂的乘法法则，将$10^{3a+2b}$拆分为$10^{3a}$与$10^{2b}$的乘积；第二步，逆用幂的乘方法则，将$10^{3a}$转化为$(10^a)^3$，$10^{2b}$转化为$(10^b)^2$；最后代入已知的$10^a$、$10^b$的值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的运算法则逆用计算：
$\begin{aligned}10^{3a+2b}&=10^{3a} × 10^{2b} \quad \mathrm{（逆用同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$）}\\&=(10^a)^3 × (10^b)^2 \quad \mathrm{（逆用幂的乘方法则：$a^{mn}=(a^m)^n$）}\end{aligned}$
将$10^a=3$，$10^b=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^3 × 2^2\\&=27 × 4\\&=108\end{aligned}$
【答案】
108
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础变式题，核心考查对幂的运算法则的灵活运用能力，解题的关键是熟练掌握运算法则并能正确逆用法则，将所求代数式转化为已知条件的形式。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求式子的指数是两部分之和，且每部分指数带有系数，需结合幂的运算法则的逆用进行转化：第一步，逆用同底数幂的乘法法则，将$10^{3a+2b}$拆分为$10^{3a}$与$10^{2b}$的乘积；第二步，逆用幂的乘方法则，将$10^{3a}$转化为$(10^a)^3$，$10^{2b}$转化为$(10^b)^2$；最后代入已知的$10^a$、$10^b$的值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的运算法则逆用计算：
$\begin{aligned}10^{3a+2b}&=10^{3a} × 10^{2b} \quad \mathrm{（逆用同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$）}\\&=(10^a)^3 × (10^b)^2 \quad \mathrm{（逆用幂的乘方法则：$a^{mn}=(a^m)^n$）}\end{aligned}$
将$10^a=3$，$10^b=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^3 × 2^2\\&=27 × 4\\&=108\end{aligned}$
【答案】
108
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础变式题，核心考查对幂的运算法则的灵活运用能力，解题的关键是熟练掌握运算法则并能正确逆用法则，将所求代数式转化为已知条件的形式。
【难度系数】
0.8
【变式】已知$(a^m)^n=2$，$(a^n)^m=$
2
，$a^{4mn}=$16
，$(a^m)^{5n}=$32
。答案
【变式】2 16 32
解析
【分析】
解题首先要用到幂的乘方法则：$(a^p)^q=a^{pq}$（p、q为正整数），即底数不变，指数相乘。首先由已知$(a^m)^n=2$可推出$a^{mn}=2$，再将三个待求的式子都转化为含$a^{mn}$的形式，代入数值计算即可。第一步看$(a^n)^m$，根据幂的乘方法则展开后就是$a^{mn}$，直接得到结果；第二步$a^{4mn}$可逆用幂的乘方法则写成$(a^{mn})^4$，代入求值；第三步$(a^m)^{5n}$先按幂的乘方法则展开为$a^{5mn}$，再写成$(a^{mn})^5$代入计算。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^p)^q=a^{pq}$（p、q均为正整数），由已知$(a^m)^n=a^{m· n}=a^{mn}=2$。
1. 计算$(a^n)^m$：
$(a^n)^m=a^{n· m}=a^{mn}=2$
2. 计算$a^{4mn}$：
逆用幂的乘方法则，$a^{4mn}=a^{4× mn}=(a^{mn})^4$，将$a^{mn}=2$代入得：$2^4=16$
3. 计算$(a^m)^{5n}$：
先按幂的乘方法则展开：$(a^m)^{5n}=a^{m×5n}=a^{5mn}=(a^{mn})^5$，将$a^{mn}=2$代入得：$2^5=32$
【答案】
2；16；32
【知识点】
幂的乘方运算；指数运算性质；有理数乘方
【点评】
本题是幂的乘方运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的乘方法则的正用与逆用，通过已知条件得到$a^{mn}$的定值后，将待求式变形为含该定值的形式代入计算即可，需要注意指数运算时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要用到幂的乘方法则：$(a^p)^q=a^{pq}$（p、q为正整数），即底数不变，指数相乘。首先由已知$(a^m)^n=2$可推出$a^{mn}=2$，再将三个待求的式子都转化为含$a^{mn}$的形式，代入数值计算即可。第一步看$(a^n)^m$，根据幂的乘方法则展开后就是$a^{mn}$，直接得到结果；第二步$a^{4mn}$可逆用幂的乘方法则写成$(a^{mn})^4$，代入求值；第三步$(a^m)^{5n}$先按幂的乘方法则展开为$a^{5mn}$，再写成$(a^{mn})^5$代入计算。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^p)^q=a^{pq}$（p、q均为正整数），由已知$(a^m)^n=a^{m· n}=a^{mn}=2$。
1. 计算$(a^n)^m$：
$(a^n)^m=a^{n· m}=a^{mn}=2$
2. 计算$a^{4mn}$：
逆用幂的乘方法则，$a^{4mn}=a^{4× mn}=(a^{mn})^4$，将$a^{mn}=2$代入得：$2^4=16$
3. 计算$(a^m)^{5n}$：
先按幂的乘方法则展开：$(a^m)^{5n}=a^{m×5n}=a^{5mn}=(a^{mn})^5$，将$a^{mn}=2$代入得：$2^5=32$
【答案】
2；16；32
【知识点】
幂的乘方运算；指数运算性质；有理数乘方
【点评】
本题是幂的乘方运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的乘方法则的正用与逆用，通过已知条件得到$a^{mn}$的定值后，将待求式变形为含该定值的形式代入计算即可，需要注意指数运算时不要出现计算错误。
【难度系数】
0.8
8.(毕节中考)计算$(2x^2)^3$的结果，正确的是（
A.$8x^5$
B.$6x^5$
C.$6x^6$
D.$8x^6$
D
）A.$8x^5$
B.$6x^5$
C.$6x^6$
D.$8x^6$
答案
8.D
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方运算，解题思路如下：首先观察算式$(2x^2)^3$属于积的乘方形式，先依据积的乘方法则，将积的每一个因式分别乘方，即把系数2和因式$x^2$分别取3次方；再依据幂的乘方法则计算$x^2$的3次方，注意幂的乘方是底数不变、指数相乘，不要和同底数幂乘法的指数相加混淆，最后合并两部分的计算结果即可得到答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则$\boldsymbol{(ab)^n=a^n· b^n}$（$n$为正整数），可得：
$(2x^2)^3=2^3· (x^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则$\boldsymbol{(a^m)^n=a^{mn}}$（$m、n$为正整数），计算$(x^2)^3$：
$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$
又因为$2^3=8$，因此$(2x^2)^3=8x^6$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时需注意区分不同幂运算的指数运算规则，避免出现指数相加、系数乘方错误等低级失误。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的乘方与积的乘方运算，解题思路如下：首先观察算式$(2x^2)^3$属于积的乘方形式，先依据积的乘方法则，将积的每一个因式分别乘方，即把系数2和因式$x^2$分别取3次方；再依据幂的乘方法则计算$x^2$的3次方，注意幂的乘方是底数不变、指数相乘，不要和同底数幂乘法的指数相加混淆，最后合并两部分的计算结果即可得到答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则$\boldsymbol{(ab)^n=a^n· b^n}$（$n$为正整数），可得：
$(2x^2)^3=2^3· (x^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则$\boldsymbol{(a^m)^n=a^{mn}}$（$m、n$为正整数），计算$(x^2)^3$：
$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$
又因为$2^3=8$，因此$(2x^2)^3=8x^6$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时需注意区分不同幂运算的指数运算规则，避免出现指数相加、系数乘方错误等低级失误。
【难度系数】
0.9
9.(株洲中考)下列等式错误的是 (
A.$(2mn)^2=4m^2n^2$
B.$(-2mn)^2=4m^2n^2$
C.$(2m^2n^2)^3=8m^6n^6$
D.$(-2m^2n^2)^3=-8m^5n^5$
D
)A.$(2mn)^2=4m^2n^2$
B.$(-2mn)^2=4m^2n^2$
C.$(2m^2n^2)^3=8m^6n^6$
D.$(-2m^2n^2)^3=-8m^5n^5$
答案
9.D
解析
【分析】
本题要求选出错误的等式，核心考查积的乘方、幂的乘方的运算法则。解题思路为：首先回忆相关运算法则：1.积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数）；同时注意负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。接下来逐一计算每个选项的结果，和选项给出的式子对比，即可找到错误选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
A. 计算$(2mn)^2$：根据积的乘方法则，得$2^2· m^2· n^2=4m^2n^2$，与选项一致，A正确，不符合题意；
B. 计算$(-2mn)^2$：根据积的乘方法则，得$(-2)^2· m^2· n^2=4m^2n^2$，与选项一致，B正确，不符合题意；
C. 计算$(2m^2n^2)^3$：先应用积的乘方法则得$2^3· (m^2)^3· (n^2)^3$，再应用幂的乘方法则，得$8m^{2×3}n^{2×3}=8m^6n^6$，与选项一致，C正确，不符合题意；
D. 计算$(-2m^2n^2)^3$：先应用积的乘方法则得$(-2)^3· (m^2)^3· (n^2)^3$，再应用幂的乘方法则，得$-8m^{2×3}n^{2×3}=-8m^6n^6$，与选项给出的$-8m^5n^5$不一致，D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 积的乘方运算
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础考查题，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，尤其注意幂的乘方运算中指数是相乘而非相加，同时要准确判断负数乘方的符号。
【难度系数】
0.8
本题要求选出错误的等式，核心考查积的乘方、幂的乘方的运算法则。解题思路为：首先回忆相关运算法则：1.积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）；2.幂的乘方：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数）；同时注意负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。接下来逐一计算每个选项的结果，和选项给出的式子对比，即可找到错误选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
A. 计算$(2mn)^2$：根据积的乘方法则，得$2^2· m^2· n^2=4m^2n^2$，与选项一致，A正确，不符合题意；
B. 计算$(-2mn)^2$：根据积的乘方法则，得$(-2)^2· m^2· n^2=4m^2n^2$，与选项一致，B正确，不符合题意；
C. 计算$(2m^2n^2)^3$：先应用积的乘方法则得$2^3· (m^2)^3· (n^2)^3$，再应用幂的乘方法则，得$8m^{2×3}n^{2×3}=8m^6n^6$，与选项一致，C正确，不符合题意；
D. 计算$(-2m^2n^2)^3$：先应用积的乘方法则得$(-2)^3· (m^2)^3· (n^2)^3$，再应用幂的乘方法则，得$-8m^{2×3}n^{2×3}=-8m^6n^6$，与选项给出的$-8m^5n^5$不一致，D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 积的乘方运算
2. 幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础考查题，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，尤其注意幂的乘方运算中指数是相乘而非相加，同时要准确判断负数乘方的符号。
【难度系数】
0.8
10.下列各式中，正确的有 （
①$(2x^2)^3=6x^6$；②$(a^3y^3)^2=(ay)^6$；
③$(\dfrac{3}{2}m^2)^3=\dfrac{27}{2}m^6$；④$(-3a^2b^2)^4=81a^8b^8$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$(2x^2)^3=6x^6$；②$(a^3y^3)^2=(ay)^6$；
③$(\dfrac{3}{2}m^2)^3=\dfrac{27}{2}m^6$；④$(-3a^2b^2)^4=81a^8b^8$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.B
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，解题思路是逐个验证4个式子的运算是否正确：首先回忆运算法则，积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方是底数不变，指数相乘。按照法则分别计算每个式子的结果，再和原式对比，统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个式子的正误：
① 计算$(2x^2)^3$：根据积的乘方法则，$2^3 · (x^2)^3 = 8x^{2×3}=8x^6$，原式结果为$6x^6$，计算错误，故①错误；
② 计算$(a^3y^3)^2$：根据运算法则，$(a^3)^2 · (y^3)^2 = a^{6}y^{6}$，而$(ay)^6=a^6y^6$，二者相等，故②正确；
③ 计算$(\dfrac{3}{2}m^2)^3$：根据运算法则，$(\dfrac{3}{2})^3 · (m^2)^3 = \dfrac{27}{8}m^6$，原式结果为$\dfrac{27}{2}m^6$，计算错误，故③错误；
④ 计算$(-3a^2b^2)^4$：负数的偶次幂为正，再按运算法则计算得$(-3)^4 · (a^2)^4 · (b^2)^4 = 81a^8b^8$，和原式结果一致，故④正确。
综上，正确的式子有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时要特别注意系数的乘方运算、符号的判断以及指数的计算规则，避免因粗心漏算系数乘方或指数运算错误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，解题思路是逐个验证4个式子的运算是否正确：首先回忆运算法则，积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方是底数不变，指数相乘。按照法则分别计算每个式子的结果，再和原式对比，统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个式子的正误：
① 计算$(2x^2)^3$：根据积的乘方法则，$2^3 · (x^2)^3 = 8x^{2×3}=8x^6$，原式结果为$6x^6$，计算错误，故①错误；
② 计算$(a^3y^3)^2$：根据运算法则，$(a^3)^2 · (y^3)^2 = a^{6}y^{6}$，而$(ay)^6=a^6y^6$，二者相等，故②正确；
③ 计算$(\dfrac{3}{2}m^2)^3$：根据运算法则，$(\dfrac{3}{2})^3 · (m^2)^3 = \dfrac{27}{8}m^6$，原式结果为$\dfrac{27}{2}m^6$，计算错误，故③错误；
④ 计算$(-3a^2b^2)^4$：负数的偶次幂为正，再按运算法则计算得$(-3)^4 · (a^2)^4 · (b^2)^4 = 81a^8b^8$，和原式结果一致，故④正确。
综上，正确的式子有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题时要特别注意系数的乘方运算、符号的判断以及指数的计算规则，避免因粗心漏算系数乘方或指数运算错误失分。
【难度系数】
0.7
11.(教材P101练习变式)计算：
(1)$(2xy)^2 =$
(2)(上海中考)$(2a^2)^2 =$
(3)$(-2 × 10^2)^5 =$
(1)$(2xy)^2 =$
$4x^2y^2$
；(2)(上海中考)$(2a^2)^2 =$
$4a^4$
；(3)$(-2 × 10^2)^5 =$
$-3.2×10^{11}$
。答案
11.(1)$4x^2y^2$ (2)$4a^4$ (3)$-3.2×10^{11}$
解析
【分析】
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题思路如下：首先回忆运算法则：积的乘方，需把积的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘。对于含科学记数法的运算，最后结果要符合科学记数法“$1≤|a|＜10$”的规范要求。(1)将因式2、x、y分别平方后相乘即可；(2)先将2和$a^2$分别平方，再对$a^2$的平方用幂的乘方法则计算；(3)先确定符号（负数的奇数次方为负），再分别计算$(-2)$的5次方、$(10^2)$的5次方，最后整理为规范的科学记数法形式。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则：
$(2xy)^2=2^2· x^2· y^2=4x^2y^2$
(2) 结合积的乘方和幂的乘方法则：
$(2a^2)^2=2^2· (a^2)^2=4· a^{2×2}=4a^4$
(3) 先拆分因式计算，再规范科学记数法：
$(-2×10^2)^5=(-2)^5×(10^2)^5=-32×10^{10}=-3.2×10^{11}$
【答案】
(1)$4x^2y^2$；(2)$4a^4$；(3)$-3.2×10^{11}$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；科学记数法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查积的乘方、幂的乘方法则的应用，运算时需注意负数乘方的符号判断，以及科学记数法结果的格式规范。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的乘方与积的乘方的运算，解题思路如下：首先回忆运算法则：积的乘方，需把积的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘。对于含科学记数法的运算，最后结果要符合科学记数法“$1≤|a|＜10$”的规范要求。(1)将因式2、x、y分别平方后相乘即可；(2)先将2和$a^2$分别平方，再对$a^2$的平方用幂的乘方法则计算；(3)先确定符号（负数的奇数次方为负），再分别计算$(-2)$的5次方、$(10^2)$的5次方，最后整理为规范的科学记数法形式。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则：
$(2xy)^2=2^2· x^2· y^2=4x^2y^2$
(2) 结合积的乘方和幂的乘方法则：
$(2a^2)^2=2^2· (a^2)^2=4· a^{2×2}=4a^4$
(3) 先拆分因式计算，再规范科学记数法：
$(-2×10^2)^5=(-2)^5×(10^2)^5=-32×10^{10}=-3.2×10^{11}$
【答案】
(1)$4x^2y^2$；(2)$4a^4$；(3)$-3.2×10^{11}$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；科学记数法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查积的乘方、幂的乘方法则的应用，运算时需注意负数乘方的符号判断，以及科学记数法结果的格式规范。
【难度系数】
0.7
12.计算：
(1)$(x^2y)^3$；
(2)$(-2a^2b^3)^4$。
(1)$(x^2y)^3$；
(2)$(-2a^2b^3)^4$。
答案
12.(1)原式=$x^6y^3$ (2)原式=$16a^8b^{12}$
解析
【分析】
本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路如下：①首先回忆积的乘方法则：积的乘方需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②再结合幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，计算各字母部分的结果；③遇到带负号的系数时，要注意负数的偶次幂为正，系数也要参与乘方运算，不能遗漏。
【解析】
(1) 按照积的乘方法则拆分原式：
原式$=(x^2)^3 · y^3$
根据幂的乘方法则计算$(x^2)^3$，底数不变，指数相乘：
$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$
因此原式结果为$x^6y^3$。
(2) 按照积的乘方法则，将系数和各字母因式分别乘方：
原式$=(-2)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4$
先计算系数的乘方：$(-2)^4=16$
再分别计算幂的乘方：
$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8$，$(b^3)^4=b^{3×4}=b^{12}$
因此原式结果为$16a^8b^{12}$。
【答案】
(1)$x^6y^3$；(2)$16a^8b^{12}$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；有理数乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，重点考查积的乘方与幂的乘方运算法则的应用，解题时需注意不要遗漏系数的乘方，处理负数系数时要先判断乘方结果的符号，避免出现符号、指数计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，解题思路如下：①首先回忆积的乘方法则：积的乘方需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②再结合幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，计算各字母部分的结果；③遇到带负号的系数时，要注意负数的偶次幂为正，系数也要参与乘方运算，不能遗漏。
【解析】
(1) 按照积的乘方法则拆分原式：
原式$=(x^2)^3 · y^3$
根据幂的乘方法则计算$(x^2)^3$，底数不变，指数相乘：
$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$
因此原式结果为$x^6y^3$。
(2) 按照积的乘方法则，将系数和各字母因式分别乘方：
原式$=(-2)^4 · (a^2)^4 · (b^3)^4$
先计算系数的乘方：$(-2)^4=16$
再分别计算幂的乘方：
$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8$，$(b^3)^4=b^{3×4}=b^{12}$
因此原式结果为$16a^8b^{12}$。
【答案】
(1)$x^6y^3$；(2)$16a^8b^{12}$
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；有理数乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，重点考查积的乘方与幂的乘方运算法则的应用，解题时需注意不要遗漏系数的乘方，处理负数系数时要先判断乘方结果的符号，避免出现符号、指数计算错误。
【难度系数】
0.9
13. $4^{99}×0.25^{99}=(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)^{99}=\_\_\_\_\_\_$
【变式1】计算：$8^{2029}×(-0.125)^{2029}=\_\_\_\_\_\_$；
$(-\frac{2}{3})^{29}×9^{29}×(-\frac{1}{6})^{29}=\_\_\_\_\_\_$
【变式2】若$ab^2=-5$，则$a^3b^6=\_\_\_\_\_\_$
【变式1】计算：$8^{2029}×(-0.125)^{2029}=\_\_\_\_\_\_$；
$(-\frac{2}{3})^{29}×9^{29}×(-\frac{1}{6})^{29}=\_\_\_\_\_\_$
【变式2】若$ab^2=-5$，则$a^3b^6=\_\_\_\_\_\_$
答案
13.4 0.25 1 【变式1】-1 1 【变式2】-125
解析
【分析】
解题核心是逆用幂的相关运算法则简化计算：1. 当多个幂相乘且指数相同时，可逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$（多个因式时同理），先将底数相乘，再对乘积求相同指数的幂，大幅降低计算量；2. 对于指数为倍数关系的幂，可逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，将代数式转化为已知条件的形式，代入求值即可。
【解析】
1. 原题计算：
根据积的乘方逆运算$a^n b^n=(ab)^n$，可得：
$4^{99}×0.25^{99}=(4×0.25)^{99}=1^{99}=1$
2. 【变式1】计算：
(1) $8^{2029}×(-0.125)^{2029}=[8×(-0.125)]^{2029}=(-1)^{2029}=-1$
(2) 三个同指数幂相乘，逆用积的乘方推广公式$a^n b^n c^n=(abc)^n$：
$(-\frac{2}{3})^{29}×9^{29}×(-\frac{1}{6})^{29}=[(-\frac{2}{3})×9×(-\frac{1}{6})]^{29}=[(-6)×(-\frac{1}{6})]^{29}=1^{29}=1$
3. 【变式2】计算：
逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$a^3 b^6=a^3×(b^2)^3=(ab^2)^3$，将$ab^2=-5$代入得：
$(ab^2)^3=(-5)^3=-125$
【答案】
4 0.25 1；【变式1】-1 1；【变式2】-125
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算模块的基础典型题，重点考查幂的运算法则的灵活运用，解题的关键是准确识别指数特征，合理逆用公式简化计算，熟练掌握公式的正、逆变形是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
解题核心是逆用幂的相关运算法则简化计算：1. 当多个幂相乘且指数相同时，可逆用积的乘方公式$a^n b^n=(ab)^n$（多个因式时同理），先将底数相乘，再对乘积求相同指数的幂，大幅降低计算量；2. 对于指数为倍数关系的幂，可逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，将代数式转化为已知条件的形式，代入求值即可。
【解析】
1. 原题计算：
根据积的乘方逆运算$a^n b^n=(ab)^n$，可得：
$4^{99}×0.25^{99}=(4×0.25)^{99}=1^{99}=1$
2. 【变式1】计算：
(1) $8^{2029}×(-0.125)^{2029}=[8×(-0.125)]^{2029}=(-1)^{2029}=-1$
(2) 三个同指数幂相乘，逆用积的乘方推广公式$a^n b^n c^n=(abc)^n$：
$(-\frac{2}{3})^{29}×9^{29}×(-\frac{1}{6})^{29}=[(-\frac{2}{3})×9×(-\frac{1}{6})]^{29}=[(-6)×(-\frac{1}{6})]^{29}=1^{29}=1$
3. 【变式2】计算：
逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$a^3 b^6=a^3×(b^2)^3=(ab^2)^3$，将$ab^2=-5$代入得：
$(ab^2)^3=(-5)^3=-125$
【答案】
4 0.25 1；【变式1】-1 1；【变式2】-125
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算模块的基础典型题，重点考查幂的运算法则的灵活运用，解题的关键是准确识别指数特征，合理逆用公式简化计算，熟练掌握公式的正、逆变形是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
14.计算$(-x^5)^7 + (-x^7)^5$的结果是 （
A.$-x^{13}$
B.$-2x^{35}$
C.$-2x^{70}$
D.0
B
）A.$-x^{13}$
B.$-2x^{35}$
C.$-2x^{70}$
D.0
答案
14.B
解析
【分析】
本题考查幂的乘方运算及整式的加减，解题思路如下：第一步，回忆幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，同时明确负数的奇次幂符号为负；第二步，分别计算两个乘方项的结果；第三步，合并两个同类项得到最终结果，对应选项选择即可。
【解析】
根据幂的乘方运算法则及符号规则分步计算：
1. 计算$(-x^5)^7$：
负数的奇数次幂为负，结合幂的乘方底数不变、指数相乘的规则，可得：
$(-x^5)^7 = (-1)^7 · (x^5)^7 = -x^{5×7} = -x^{35}$
2. 计算$(-x^7)^5$：
同理可得：
$(-x^7)^5 = (-1)^5 · (x^7)^5 = -x^{7×5} = -x^{35}$
3. 合并同类项：
$(-x^5)^7 + (-x^7)^5 = -x^{35} + (-x^{35}) = -2x^{35}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；合并同类项；乘方符号判断
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的运算法则，同时要注意负数的奇次幂结果为负，避免因符号判断错误，或者混淆幂的乘方、同底数幂乘法的指数运算规则失分。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的乘方运算及整式的加减，解题思路如下：第一步，回忆幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，同时明确负数的奇次幂符号为负；第二步，分别计算两个乘方项的结果；第三步，合并两个同类项得到最终结果，对应选项选择即可。
【解析】
根据幂的乘方运算法则及符号规则分步计算：
1. 计算$(-x^5)^7$：
负数的奇数次幂为负，结合幂的乘方底数不变、指数相乘的规则，可得：
$(-x^5)^7 = (-1)^7 · (x^5)^7 = -x^{5×7} = -x^{35}$
2. 计算$(-x^7)^5$：
同理可得：
$(-x^7)^5 = (-1)^5 · (x^7)^5 = -x^{7×5} = -x^{35}$
3. 合并同类项：
$(-x^5)^7 + (-x^7)^5 = -x^{35} + (-x^{35}) = -2x^{35}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；合并同类项；乘方符号判断
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的运算法则，同时要注意负数的奇次幂结果为负，避免因符号判断错误，或者混淆幂的乘方、同底数幂乘法的指数运算规则失分。
【难度系数】
0.7
15.若$64^4 × 8^3 = 2^x$，则$x=$
33
答案
15.33
解析
【分析】
解题的核心思路是将等式左侧不同底数的幂统一转化为以2为底的幂，再利用幂的运算性质化简，最后根据同底数幂相等时指数相等求出x的值。第一步先把64和8分别表示为2的整数次幂，第二步利用幂的乘方法则分别化简两个乘方项，第三步利用同底数幂的乘法法则合并两项，最后对比等式右侧即可得到x的取值。
【解析】
首先将等式左侧的底数统一为2：
因为$64=2^6$，$8=2^3$，所以代入原式得：
$64^4 × 8^3 = (2^6)^4 × (2^3)^3$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），化简得：
$(2^6)^4=2^{6×4}=2^{24}$，$(2^3)^3=2^{3×3}=2^9$
再根据同底数幂的乘法法则：$a^m × a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），合并得：
$2^{24} × 2^9 = 2^{24+9}=2^{33}$
已知$64^4 × 8^3 = 2^x$，所以$2^{33}=2^x$，因此$x=33$。
【答案】
33
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题关键是熟练掌握幂的相关运算性质，将不同底数的幂转化为同底数幂后进行计算，考查学生对基础运算公式的应用能力。
【难度系数】
0.85
解题的核心思路是将等式左侧不同底数的幂统一转化为以2为底的幂，再利用幂的运算性质化简，最后根据同底数幂相等时指数相等求出x的值。第一步先把64和8分别表示为2的整数次幂，第二步利用幂的乘方法则分别化简两个乘方项，第三步利用同底数幂的乘法法则合并两项，最后对比等式右侧即可得到x的取值。
【解析】
首先将等式左侧的底数统一为2：
因为$64=2^6$，$8=2^3$，所以代入原式得：
$64^4 × 8^3 = (2^6)^4 × (2^3)^3$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），化简得：
$(2^6)^4=2^{6×4}=2^{24}$，$(2^3)^3=2^{3×3}=2^9$
再根据同底数幂的乘法法则：$a^m × a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），合并得：
$2^{24} × 2^9 = 2^{24+9}=2^{33}$
已知$64^4 × 8^3 = 2^x$，所以$2^{33}=2^x$，因此$x=33$。
【答案】
33
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题关键是熟练掌握幂的相关运算性质，将不同底数的幂转化为同底数幂后进行计算，考查学生对基础运算公式的应用能力。
【难度系数】
0.85
16.一个正方体的棱长为$4× 10^{3}$毫米，用科学记数法表示它的体积是
$6.4×10^{10}$
立方毫米。答案
16.$6.4×10^{10}$
解析
【分析】
要计算正方体的体积，首先回忆正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长），解题可按三步推进：第一步，将已知的科学记数法表示的棱长代入体积公式，得到体积的运算表达式；第二步，运用本学期所学的积的乘方、幂的乘方运算法则计算表达式；第三步，将运算结果调整为标准科学记数法形式（满足$1≤ a＜10$的要求）即可得到答案。
【解析】
解：正方体体积公式为$V=a^3$，$a$为正方体棱长。
已知棱长$a=4×10^3$毫米，代入公式得：
$V=(4×10^3)^3$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$展开：
$V=4^3×(10^3)^3$
分别计算两部分：
$4^3=64$；根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得$(10^3)^3=10^{3×3}=10^9$
因此$V=64×10^9$
调整为标准科学记数法：$64×10^9=6.4×10×10^9=6.4×10^{10}$
【答案】
$6.4×10^{10}$
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 幂的乘方与积的乘方运算
3. 科学记数法表示
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查幂的运算法则的应用和科学记数法的规范，易错点为幂的乘方时指数运算错误、最终结果未调整为标准科学记数法形式，计算时要注意核对这两处细节。
【难度系数】
0.7
要计算正方体的体积，首先回忆正方体体积公式为$V=a^3$（$a$为棱长），解题可按三步推进：第一步，将已知的科学记数法表示的棱长代入体积公式，得到体积的运算表达式；第二步，运用本学期所学的积的乘方、幂的乘方运算法则计算表达式；第三步，将运算结果调整为标准科学记数法形式（满足$1≤ a＜10$的要求）即可得到答案。
【解析】
解：正方体体积公式为$V=a^3$，$a$为正方体棱长。
已知棱长$a=4×10^3$毫米，代入公式得：
$V=(4×10^3)^3$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$展开：
$V=4^3×(10^3)^3$
分别计算两部分：
$4^3=64$；根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得$(10^3)^3=10^{3×3}=10^9$
因此$V=64×10^9$
调整为标准科学记数法：$64×10^9=6.4×10×10^9=6.4×10^{10}$
【答案】
$6.4×10^{10}$
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 幂的乘方与积的乘方运算
3. 科学记数法表示
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查幂的运算法则的应用和科学记数法的规范，易错点为幂的乘方时指数运算错误、最终结果未调整为标准科学记数法形式，计算时要注意核对这两处细节。
【难度系数】
0.7
17.若$3^{x+2} · 5^{x+2}=15^{3x-4}$，则$x=$
3
.答案
17.3
解析
【分析】
首先观察等式结构，左边两个幂的指数相同，底数3和5的乘积恰好等于右边幂的底数15，因此可先逆用积的乘方公式将左边转化为底数为15的幂；此时等式两侧为同底数的相等幂，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
解：逆用积的乘方运算法则，对等式左侧变形：
$3^{x+2} · 5^{x+2}=(3×5)^{x+2}=15^{x+2}$
因此原方程可化为：
$15^{x+2}=15^{3x-4}$
由于底数15≠0且15≠1，同底数幂相等则指数相等，可得：
$x+2=3x-4$
移项得：$x-3x=-4-2$
合并同类项得：$-2x=-6$
系数化为1得：$x=3$
【答案】
3
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的性质；一元一次方程解法
【点评】
本题属于幂运算的基础应用题型，解题关键是灵活逆用积的乘方公式将等式两侧转化为同底数幂，再通过指数相等建立方程求解，熟练掌握幂的运算法则是解此类题的核心。
【难度系数】
0.8
首先观察等式结构，左边两个幂的指数相同，底数3和5的乘积恰好等于右边幂的底数15，因此可先逆用积的乘方公式将左边转化为底数为15的幂；此时等式两侧为同底数的相等幂，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
解：逆用积的乘方运算法则，对等式左侧变形：
$3^{x+2} · 5^{x+2}=(3×5)^{x+2}=15^{x+2}$
因此原方程可化为：
$15^{x+2}=15^{3x-4}$
由于底数15≠0且15≠1，同底数幂相等则指数相等，可得：
$x+2=3x-4$
移项得：$x-3x=-4-2$
合并同类项得：$-2x=-6$
系数化为1得：$x=3$
【答案】
3
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的性质；一元一次方程解法
【点评】
本题属于幂运算的基础应用题型，解题关键是灵活逆用积的乘方公式将等式两侧转化为同底数幂，再通过指数相等建立方程求解，熟练掌握幂的运算法则是解此类题的核心。
【难度系数】
0.8
