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18.(教材 P100 例 2 变式)计算：
(1) $(-\dfrac{4}{3}ab^2c^3)^2$；
(2) $[(-3a^2b^3)^3]^2$；
(3) $(-3a^2)^3 · a^3 + (-4a)^2 · a^7 - (5a^3)^3$。
(1) $(-\dfrac{4}{3}ab^2c^3)^2$；
(2) $[(-3a^2b^3)^3]^2$；
(3) $(-3a^2)^3 · a^3 + (-4a)^2 · a^7 - (5a^3)^3$。
答案
18.(1)原式=$\frac{16}{9}a^2b^4c^6$ (2)原式=$729a^{12}b^{18}$ (3)原式=$-136a^9$
解析
【分析】
这三道题均属于幂的运算类整式计算题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：
1. 遇到积的乘方，需把积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，注意负号的乘方符号判断；
2. 遇到幂的乘方，遵循“底数不变，指数相乘”的法则计算；
3. 遇到同底数幂相乘，遵循“底数不变，指数相加”的法则计算；
4. 最后若有同类项，需合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先根据积的乘方法则展开，再计算幂的乘方：
原式=$(-\dfrac{4}{3})^2 · a^2 · (b^2)^2 · (c^3)^2$
=$\dfrac{16}{9}a^2b^4c^6$
(2) 可先利用幂的乘方法则简化外层运算，再计算积的乘方：
原式=$(-3a^2b^3)^{3×2}=(-3a^2b^3)^6$
=$(-3)^6 · (a^2)^6 · (b^3)^6$
=$729a^{12}b^{18}$
(3) 先分别计算每一项的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项：
① 计算第一项：$(-3a^2)^3 · a^3=(-3)^3 · (a^2)^3 · a^3=-27a^6 · a^3=-27a^9$
② 计算第二项：$(-4a)^2 · a^7=(-4)^2 · a^2 · a^7=16a^2 · a^7=16a^9$
③ 计算第三项：$(5a^3)^3=5^3 · (a^3)^3=125a^9$
将三项合并得：原式=$-27a^9 + 16a^9 - 125a^9=(-27+16-125)a^9=-136a^9$
【答案】
(1) $\dfrac{16}{9}a^2b^4c^6$；(2) $729a^{12}b^{18}$；(3) $-136a^9$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂的运算的基础巩固题，解题核心是熟练掌握各幂运算法则，尤其要注意负号参与乘方时的符号判断，运算时遵循运算顺序，合并同类项时系数计算要准确，避免出现指数运算混淆、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于幂的运算类整式计算题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：
1. 遇到积的乘方，需把积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，注意负号的乘方符号判断；
2. 遇到幂的乘方，遵循“底数不变，指数相乘”的法则计算；
3. 遇到同底数幂相乘，遵循“底数不变，指数相加”的法则计算；
4. 最后若有同类项，需合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 先根据积的乘方法则展开，再计算幂的乘方：
原式=$(-\dfrac{4}{3})^2 · a^2 · (b^2)^2 · (c^3)^2$
=$\dfrac{16}{9}a^2b^4c^6$
(2) 可先利用幂的乘方法则简化外层运算，再计算积的乘方：
原式=$(-3a^2b^3)^{3×2}=(-3a^2b^3)^6$
=$(-3)^6 · (a^2)^6 · (b^3)^6$
=$729a^{12}b^{18}$
(3) 先分别计算每一项的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项：
① 计算第一项：$(-3a^2)^3 · a^3=(-3)^3 · (a^2)^3 · a^3=-27a^6 · a^3=-27a^9$
② 计算第二项：$(-4a)^2 · a^7=(-4)^2 · a^2 · a^7=16a^2 · a^7=16a^9$
③ 计算第三项：$(5a^3)^3=5^3 · (a^3)^3=125a^9$
将三项合并得：原式=$-27a^9 + 16a^9 - 125a^9=(-27+16-125)a^9=-136a^9$
【答案】
(1) $\dfrac{16}{9}a^2b^4c^6$；(2) $729a^{12}b^{18}$；(3) $-136a^9$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂的运算的基础巩固题，解题核心是熟练掌握各幂运算法则，尤其要注意负号参与乘方时的符号判断，运算时遵循运算顺序，合并同类项时系数计算要准确，避免出现指数运算混淆、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
19.(教材P102习题T9变式)(1)已知$2^m = 3$，$2^n = 5$，求$2^{3m+2n}$的值；
(2)已知$2×8^x×16=2^{23}$，求$x$的值。
(2)已知$2×8^x×16=2^{23}$，求$x$的值。
答案
19.(1)$\because 2^m = 3,2^n = 5$，$\therefore 2^{3m+2n}=2^{3m} · 2^{2n}=(2^m)^3 · (2^n)^2=3^3×5^2=27×25=675$ (2)$\because 2×8^x×16=2^{23},\therefore 2×2^{3x}×2^4=2^{23},\therefore 2^{1+3x+4}=2^{23},\therefore 1+3x+4=23,$解得$x=6,$即$x$的值为6
解析
【分析】
(1) 求解$2^{3m+2n}$时，先观察待求式的指数为和的形式，可逆用同底数幂的乘法法则将其拆分为$2^{3m} · 2^{2n}$，再逆用幂的乘方法则，将两个因式转化为含$2^m$、$2^n$的形式，最后代入已知数值计算即可。
(2) 等式左侧包含底数为2、8、16的幂，先将8和16统一转化为以2为底的幂，再用同底数幂的乘法法则化简左侧，根据同底数幂相等时指数相等的性质，列一元一次方程求解x即可。
【解析】
(1) 已知$2^m = 3$，$2^n = 5$，
根据幂的运算法则逆用可得：
$2^{3m+2n}=2^{3m} · 2^{2n}=(2^m)^3 · (2^n)^2$
代入已知条件计算：
原式$=3^3 × 5^2 = 27 × 25 = 675$
(2) 已知$2×8^x×16=2^{23}$，
先统一底数：$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$，$16=2^4$，代入原式得：
$2×2^{3x}×2^4=2^{23}$
根据同底数幂乘法法则，底数不变指数相加，化简得：
$2^{1+3x+4}=2^{23}$
由同底数幂相等则指数相等，可列方程：
$1+3x+4=23$
解得：$3x=18$，即$x=6$
【答案】
(1) $\boxed{675}$；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的正用与逆用，解题核心是熟练掌握幂的运算性质，灵活将式子转化为同底数幂的形式，通过代入求值或列方程求解，是幂运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解$2^{3m+2n}$时，先观察待求式的指数为和的形式，可逆用同底数幂的乘法法则将其拆分为$2^{3m} · 2^{2n}$，再逆用幂的乘方法则，将两个因式转化为含$2^m$、$2^n$的形式，最后代入已知数值计算即可。
(2) 等式左侧包含底数为2、8、16的幂，先将8和16统一转化为以2为底的幂，再用同底数幂的乘法法则化简左侧，根据同底数幂相等时指数相等的性质，列一元一次方程求解x即可。
【解析】
(1) 已知$2^m = 3$，$2^n = 5$，
根据幂的运算法则逆用可得：
$2^{3m+2n}=2^{3m} · 2^{2n}=(2^m)^3 · (2^n)^2$
代入已知条件计算：
原式$=3^3 × 5^2 = 27 × 25 = 675$
(2) 已知$2×8^x×16=2^{23}$，
先统一底数：$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$，$16=2^4$，代入原式得：
$2×2^{3x}×2^4=2^{23}$
根据同底数幂乘法法则，底数不变指数相加，化简得：
$2^{1+3x+4}=2^{23}$
由同底数幂相等则指数相等，可列方程：
$1+3x+4=23$
解得：$3x=18$，即$x=6$
【答案】
(1) $\boxed{675}$；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的正用与逆用，解题核心是熟练掌握幂的运算性质，灵活将式子转化为同底数幂的形式，通过代入求值或列方程求解，是幂运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
20.(教材P102习题T8变式)(1)已知$2x+5y-3=0$,试求$4^x×32^y$的值；(2)已知$2^m=3,2^n=5$,求$2^{4m+2n}$的值.
答案
20.(1)$4^x × 32^y = (2^2)^x × (2^5)^y = 2^{2x} × 2^{5y} = 2^{2x+5y} ,\because 2x+5y-3=0,\therefore 2x+5y=3,\therefore 2^{2x+5y}=2^3=8,\therefore 4^x × 32^y$的值为8 (2)$2^{4m+2n}=(2^m)^4 × (2^n)^2 ,\because 2^m=3,2^n=5,\therefore (2^m)^4 × (2^n)^2=3^4 × 5^2=2\ 025,\therefore 2^{4m+2n}$的值为2 025
解析
【分析】
本题两小问均考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：
(1) 首先观察所求式子的底数4、32均可转化为以2为底的幂，因此先统一底数为2，利用幂的乘方法则将原式变形为同底数幂相乘的形式，合并指数后发现指数正好对应已知等式中的$2x+5y$，再通过已知等式求出$2x+5y$的值，整体代入即可求出结果。
(2) 所求式子的指数为$4m+2n$，是已知条件中$m、n$的倍数和，因此逆用同底数幂的乘法、幂的乘方法则，将原式拆分为含$2^m、2^n$的形式，再代入已知的$2^m、2^n$的值计算即可。
【解析】
(1) 先对所求式子变形：
$4^x × 32^y = (2^2)^x × (2^5)^y = 2^{2x} × 2^{5y} = 2^{2x+5y}$
由$2x+5y-3=0$，移项可得$2x+5y=3$，将其代入上式：
$2^{2x+5y}=2^3=8$
(2) 逆用幂的运算性质对所求式子变形：
$2^{4m+2n}=2^{4m}×2^{2n}=(2^m)^4 × (2^n)^2$
已知$2^m=3$，$2^n=5$，代入上式：
$(2^m)^4 × (2^n)^2=3^4 × 5^2=81×25=2025$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{2025}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算公式的正用与逆用，解题的关键是将所求式子转化为与已知条件相关的形式，通过整体代入计算求解，熟练掌握各类幂的运算公式是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.8
本题两小问均考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：
(1) 首先观察所求式子的底数4、32均可转化为以2为底的幂，因此先统一底数为2，利用幂的乘方法则将原式变形为同底数幂相乘的形式，合并指数后发现指数正好对应已知等式中的$2x+5y$，再通过已知等式求出$2x+5y$的值，整体代入即可求出结果。
(2) 所求式子的指数为$4m+2n$，是已知条件中$m、n$的倍数和，因此逆用同底数幂的乘法、幂的乘方法则，将原式拆分为含$2^m、2^n$的形式，再代入已知的$2^m、2^n$的值计算即可。
【解析】
(1) 先对所求式子变形：
$4^x × 32^y = (2^2)^x × (2^5)^y = 2^{2x} × 2^{5y} = 2^{2x+5y}$
由$2x+5y-3=0$，移项可得$2x+5y=3$，将其代入上式：
$2^{2x+5y}=2^3=8$
(2) 逆用幂的运算性质对所求式子变形：
$2^{4m+2n}=2^{4m}×2^{2n}=(2^m)^4 × (2^n)^2$
已知$2^m=3$，$2^n=5$，代入上式：
$(2^m)^4 × (2^n)^2=3^4 × 5^2=81×25=2025$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{2025}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算公式的正用与逆用，解题的关键是将所求式子转化为与已知条件相关的形式，通过整体代入计算求解，熟练掌握各类幂的运算公式是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.8
21.(整体思想)已知$n$是正整数，且$x^{3n}=2$，求$(3x^{3n})^3 + (-2x^{2n})^3$的值。
答案
21.$(3x^{3n})^3 + (-2x^{2n})^3 = 3^3 × (x^{3n})^3 + (-2)^3 × (x^{3n})^2 = 27 × 2^3 + (-8) × 2^2 = 184$
解析
【分析】
本题已知$x^{3n}=2$，无法直接求出$x$和$n$的具体值，因此采用整体代入思想求解。首先利用积的乘方运算法则展开待求式的两个乘方项，再结合幂的乘方运算法则，将含$x$的幂的项转化为以$x^{3n}$为整体的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算：
$\begin{aligned}(3x^{3n})^3 + (-2x^{2n})^3&=3^3 × (x^{3n})^3 + (-2)^3 × (x^{2n})^3\\&=27 × (x^{3n})^3 + (-8) × x^{6n}\\&=27× (x^{3n})^3 -8× (x^{3n})^2\end{aligned}$
将$x^{3n}=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=27× 2^3 -8× 2^2\\&=27×8 -8×4\\&=216-32\\&=184\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{184}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，解题核心是通过幂的乘方的逆变形，将待求式转化为含已知条件的形式，再用整体代入法计算，熟练掌握幂的运算法则是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
本题已知$x^{3n}=2$，无法直接求出$x$和$n$的具体值，因此采用整体代入思想求解。首先利用积的乘方运算法则展开待求式的两个乘方项，再结合幂的乘方运算法则，将含$x$的幂的项转化为以$x^{3n}$为整体的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算：
$\begin{aligned}(3x^{3n})^3 + (-2x^{2n})^3&=3^3 × (x^{3n})^3 + (-2)^3 × (x^{2n})^3\\&=27 × (x^{3n})^3 + (-8) × x^{6n}\\&=27× (x^{3n})^3 -8× (x^{3n})^2\end{aligned}$
将$x^{3n}=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=27× 2^3 -8× 2^2\\&=27×8 -8×4\\&=216-32\\&=184\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{184}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，整体代入求值
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用，解题核心是通过幂的乘方的逆变形，将待求式转化为含已知条件的形式，再用整体代入法计算，熟练掌握幂的运算法则是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
22.(逆向思维)已知$xy=-1$，$n$为正整数，则$x^{6n} · y^{6n} · x^4 · y^4 = \_\_\_\_\_\_$
答案
22.1
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的结构，发现是x、y的幂相乘的形式，结合已知给出了xy的值，应优先利用积的乘方的逆运算$a^n b^n=(ab)^n$，把相同指数的x、y的幂合并成$(xy)$的幂的形式，再代入$xy=-1$计算即可。可以分组合并$x^{6n}$与$y^{6n}$、$x^4$与$y^4$，也可以先合并x、y各自的同底数幂，再合并为$(xy)$的幂，最后结合负数的偶次幂为正的性质得出结果。
【解析】
解：利用积的乘方逆运算求解：
$\begin{aligned}x^{6n}·y^{6n}·x^4·y^4&=(x^{6n}·y^{6n})·(x^4·y^4)\\&=(xy)^{6n}·(xy)^4\end{aligned}$
把$xy=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{6n}×(-1)^4\end{aligned}$
因为n为正整数，所以$6n$是正偶数，$4$也是正偶数，负数的偶次幂为正数，因此$(-1)^{6n}=1$，$(-1)^4=1$。
所以原式$=1×1=1$。
也可先合并同底数幂再计算：
$\begin{aligned}x^{6n}·y^{6n}·x^4·y^4&=x^{6n+4}·y^{6n+4}\\&=(xy)^{6n+4}=(-1)^{6n+4}=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂的乘法、有理数乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是熟练运用积的乘方的逆运算，将待求式转化为含$xy$的整体形式，再结合负数偶次幂的性质计算，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式子的结构，发现是x、y的幂相乘的形式，结合已知给出了xy的值，应优先利用积的乘方的逆运算$a^n b^n=(ab)^n$，把相同指数的x、y的幂合并成$(xy)$的幂的形式，再代入$xy=-1$计算即可。可以分组合并$x^{6n}$与$y^{6n}$、$x^4$与$y^4$，也可以先合并x、y各自的同底数幂，再合并为$(xy)$的幂，最后结合负数的偶次幂为正的性质得出结果。
【解析】
解：利用积的乘方逆运算求解：
$\begin{aligned}x^{6n}·y^{6n}·x^4·y^4&=(x^{6n}·y^{6n})·(x^4·y^4)\\&=(xy)^{6n}·(xy)^4\end{aligned}$
把$xy=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{6n}×(-1)^4\end{aligned}$
因为n为正整数，所以$6n$是正偶数，$4$也是正偶数，负数的偶次幂为正数，因此$(-1)^{6n}=1$，$(-1)^4=1$。
所以原式$=1×1=1$。
也可先合并同底数幂再计算：
$\begin{aligned}x^{6n}·y^{6n}·x^4·y^4&=x^{6n+4}·y^{6n+4}\\&=(xy)^{6n+4}=(-1)^{6n+4}=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂的乘法、有理数乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是熟练运用积的乘方的逆运算，将待求式转化为含$xy$的整体形式，再结合负数偶次幂的性质计算，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
例1 比较 $2^{31},8^{11},16^{8}$ 的大小.
答案
例1 $2^{31}=2^{31},8^{11}=2^{33},16^8=2^{32},$因为$2^{33}＞2^{32}＞2^{31},$所以$8^{11}＞16^8＞2^{31}$
解析
【分析】要比较这三个幂的大小，直接计算数值运算量过大，观察发现三个幂的底数8、16都可以转化为以2为底的幂，因此可以利用幂的乘方法则，将三个幂统一为底数为2的形式，再根据“底数大于1时，指数越大，幂越大”的规律比较指数大小，即可得到结果。
【解析】根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$均为正整数），对三个幂分别变形：
1. $8^{11}=(2^3)^{11}=2^{3×11}=2^{33}$
2. $16^8=(2^4)^8=2^{4×8}=2^{32}$
3. $2^{31}$保持原式不变。
由于底数$2＞1$，底数相同时指数越大，对应的幂越大，已知$33＞32＞31$，因此$2^{33}＞2^{32}＞2^{31}$，对应还原原式即可得到大小关系。
【答案】$\boxed{8^{11}＞16^{8}＞2^{31}}$
【知识点】1.幂的乘方运算 2.同底数幂大小比较
【点评】本题是幂的大小比较类基础题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，通过比较指数大小得出结果，熟练掌握幂的乘方运算法则是解此类题的前提。
【难度系数】0.8
【解析】根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$均为正整数），对三个幂分别变形：
1. $8^{11}=(2^3)^{11}=2^{3×11}=2^{33}$
2. $16^8=(2^4)^8=2^{4×8}=2^{32}$
3. $2^{31}$保持原式不变。
由于底数$2＞1$，底数相同时指数越大，对应的幂越大，已知$33＞32＞31$，因此$2^{33}＞2^{32}＞2^{31}$，对应还原原式即可得到大小关系。
【答案】$\boxed{8^{11}＞16^{8}＞2^{31}}$
【知识点】1.幂的乘方运算 2.同底数幂大小比较
【点评】本题是幂的大小比较类基础题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，通过比较指数大小得出结果，熟练掌握幂的乘方运算法则是解此类题的前提。
【难度系数】0.8
1.(2025·乐东期末)已知$a=3^{13},b=9^{6},c=27^{5}$，则$a,b,c$的大小关系为（
A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.$a＞c＞b$
A
）A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.$a＞c＞b$
答案
1.A
解析
【分析】
要比较$a,b,c$的大小，观察到三个式子的底数3、9、27都是3的整数次幂，因此可以利用幂的乘方法则，将三个数都转化为底数为3的幂，再根据底数大于1时，同底数幂的指数越大，值越大的规律，比较指数即可得出大小关系。
【解析】
利用幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），将$b$和$c$转化为以3为底的幂：
$b=9^6=(3^2)^6=3^{2×6}=3^{12}$
$c=27^5=(3^3)^5=3^{3×5}=3^{15}$
已知$a=3^{13}$，因为底数$3＞1$，指数越大对应的幂越大，所以$3^{15}＞3^{13}＞3^{12}$，即$c＞a＞b$。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂大小比较
【点评】
本题解题核心是通过幂的乘方逆运算将不同底数的幂转化为同底数幂，再比较指数大小，是幂的运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要比较$a,b,c$的大小，观察到三个式子的底数3、9、27都是3的整数次幂，因此可以利用幂的乘方法则，将三个数都转化为底数为3的幂，再根据底数大于1时，同底数幂的指数越大，值越大的规律，比较指数即可得出大小关系。
【解析】
利用幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数），将$b$和$c$转化为以3为底的幂：
$b=9^6=(3^2)^6=3^{2×6}=3^{12}$
$c=27^5=(3^3)^5=3^{3×5}=3^{15}$
已知$a=3^{13}$，因为底数$3＞1$，指数越大对应的幂越大，所以$3^{15}＞3^{13}＞3^{12}$，即$c＞a＞b$。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂大小比较
【点评】
本题解题核心是通过幂的乘方逆运算将不同底数的幂转化为同底数幂，再比较指数大小，是幂的运算章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2.用“＜”连接$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{63}$为
方法2:转化为同指数的幂比较大小
$27^{41} ＜ 81^{31} ＜ 9^{63}$
。方法2:转化为同指数的幂比较大小
答案
2.$27^{41} ＜ 81^{31} ＜ 9^{63}$
解析
【分析】
要比较$81^{31}$、$27^{41}$、$9^{63}$的大小，观察到三个幂的底数81、27、9都可以表示为以3为底的幂，因此可以利用幂的乘方运算法则，将三个幂都转化为底数为3的同底数幂，再根据“底数大于1时，指数越大，幂越大”的规律比较大小即可。
【解析】
第一步，利用幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，分别将三个幂转化为底数为3的幂：
1. $81^{31}=(3^4)^{31}=3^{4×31}=3^{124}$
2. $27^{41}=(3^3)^{41}=3^{3×41}=3^{123}$
3. $9^{63}=(3^2)^{63}=3^{2×63}=3^{126}$
第二步，比较同底数幂的大小：
因为底数$3＞1$，指数越大，对应的幂越大，所以$3^{123}＜3^{124}＜3^{126}$，即$27^{41}＜81^{31}＜9^{63}$。
【答案】
$27^{41} ＜ 81^{31} ＜ 9^{63}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题，解题核心是通过幂的乘方的逆运算，将不同底数的幂统一为同底数的幂，再结合指数大小判断结果，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要比较$81^{31}$、$27^{41}$、$9^{63}$的大小，观察到三个幂的底数81、27、9都可以表示为以3为底的幂，因此可以利用幂的乘方运算法则，将三个幂都转化为底数为3的同底数幂，再根据“底数大于1时，指数越大，幂越大”的规律比较大小即可。
【解析】
第一步，利用幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，分别将三个幂转化为底数为3的幂：
1. $81^{31}=(3^4)^{31}=3^{4×31}=3^{124}$
2. $27^{41}=(3^3)^{41}=3^{3×41}=3^{123}$
3. $9^{63}=(3^2)^{63}=3^{2×63}=3^{126}$
第二步，比较同底数幂的大小：
因为底数$3＞1$，指数越大，对应的幂越大，所以$3^{123}＜3^{124}＜3^{126}$，即$27^{41}＜81^{31}＜9^{63}$。
【答案】
$27^{41} ＜ 81^{31} ＜ 9^{63}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题，解题核心是通过幂的乘方的逆运算，将不同底数的幂统一为同底数的幂，再结合指数大小判断结果，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
例2 比较$3^{555},4^{444},5^{333}$的大小.
答案
例2 $3^{555}=(3^5)^{111}=243^{111},4^{444}=(4^4)^{111}=256^{111},5^{333}=(5^3)^{111}=125^{111},$因为$256^{111}＞243^{111}＞125^{111},$所以$4^{444}＞3^{555}＞5^{333}$
解析
【分析】
观察三个幂的指数555、444、333，可发现它们的最大公因数是111，因此可以利用幂的乘方的逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，将三个幂都转化为指数为111的形式。当指数相同时，仅需要比较底数的大小，底数越大对应的幂就越大，即可得出三个数的大小关系。
【解析】
对三个幂分别变形：
$3^{555}=3^{5×111}=(3^5)^{111}=243^{111}$
$4^{444}=4^{4×111}=(4^4)^{111}=256^{111}$
$5^{333}=5^{3×111}=(5^3)^{111}=125^{111}$
已知正整数指数的同指数幂，底数越大值越大，且$256＞243＞125$，因此$256^{111}＞243^{111}＞125^{111}$。
【答案】
$4^{444}＞3^{555}＞5^{333}$
【知识点】
1. 幂的乘方逆运用
2. 同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的大小比较的经典题型，核心解题技巧是将指数不同的幂通过幂的运算性质转化为同指数幂，再比较底数大小，该方法可广泛应用于指数存在公共因数的幂的大小比较问题。
【难度系数】
0.7
观察三个幂的指数555、444、333，可发现它们的最大公因数是111，因此可以利用幂的乘方的逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，将三个幂都转化为指数为111的形式。当指数相同时，仅需要比较底数的大小，底数越大对应的幂就越大，即可得出三个数的大小关系。
【解析】
对三个幂分别变形：
$3^{555}=3^{5×111}=(3^5)^{111}=243^{111}$
$4^{444}=4^{4×111}=(4^4)^{111}=256^{111}$
$5^{333}=5^{3×111}=(5^3)^{111}=125^{111}$
已知正整数指数的同指数幂，底数越大值越大，且$256＞243＞125$，因此$256^{111}＞243^{111}＞125^{111}$。
【答案】
$4^{444}＞3^{555}＞5^{333}$
【知识点】
1. 幂的乘方逆运用
2. 同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的大小比较的经典题型，核心解题技巧是将指数不同的幂通过幂的运算性质转化为同指数幂，再比较底数大小，该方法可广泛应用于指数存在公共因数的幂的大小比较问题。
【难度系数】
0.7
3.(2025·临沂期末)已知$a=2^{55}$，$b=3^{44}$，$c=5^{33}$，那么$a$，$b$，$c$的大小顺序是（
A.$a＜c＜b$
B.$c＜b＜a$
C.$b＜c＜a$
D.$a＜b＜c$
D
）A.$a＜c＜b$
B.$c＜b＜a$
C.$b＜c＜a$
D.$a＜b＜c$
答案
3.D
解析
【分析】
观察三个数的指数55、44、33，均为11的整数倍，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将三个数转化为指数均为11的幂的形式，当指数相同时，底数越大，对应的正整数指数幂越大，只需比较转化后三个幂的底数大小，即可得到a、b、c的大小关系。
【解析】
根据幂的乘方运算法则的逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$，对三个数变形如下：
$a=2^{55}=2^{5×11}=(2^5)^{11}=32^{11}$
$b=3^{44}=3^{4×11}=(3^4)^{11}=81^{11}$
$c=5^{33}=5^{3×11}=(5^3)^{11}=125^{11}$
因为指数11相同，且$32＜81＜125$，所以$32^{11}＜81^{11}＜125^{11}$，即$a＜b＜c$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算类的典型题型，解题核心是利用幂的乘方逆运算将不同指数的幂转化为同指数幂，通过比较底数大小判断幂的大小，熟练掌握幂的运算变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
观察三个数的指数55、44、33，均为11的整数倍，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将三个数转化为指数均为11的幂的形式，当指数相同时，底数越大，对应的正整数指数幂越大，只需比较转化后三个幂的底数大小，即可得到a、b、c的大小关系。
【解析】
根据幂的乘方运算法则的逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$，对三个数变形如下：
$a=2^{55}=2^{5×11}=(2^5)^{11}=32^{11}$
$b=3^{44}=3^{4×11}=(3^4)^{11}=81^{11}$
$c=5^{33}=5^{3×11}=(5^3)^{11}=125^{11}$
因为指数11相同，且$32＜81＜125$，所以$32^{11}＜81^{11}＜125^{11}$，即$a＜b＜c$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算类的典型题型，解题核心是利用幂的乘方逆运算将不同指数的幂转化为同指数幂，通过比较底数大小判断幂的大小，熟练掌握幂的运算变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.用“＜”连接$2^{100}$，$3^{75}$为
$2^{100} ＜ 3^{75}$
。答案
4.$2^{100} ＜ 3^{75}$
解析
【分析】
要比较底数和指数都不同的两个幂的大小，直接计算结果数值过大不可行，因此考虑利用幂的运算性质转化为同指数或者同底数的幂再比较。观察两个幂的指数100和75，它们的最大公因数是25，因此可以逆用幂的乘方法则，把两个幂的指数都转化为25，此时只需比较底数大小即可：指数相同时，底数越大，对应的幂值越大。
【解析】
解：根据幂的乘方逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$：
$2^{100}=2^{4×25}=(2^4)^{25}=16^{25}$
$3^{75}=3^{3×25}=(3^3)^{25}=27^{25}$
因为两个幂的指数均为25，且$16＜27$，所以$16^{25}＜27^{25}$，即$2^{100}＜3^{75}$。
【答案】
$2^{100}＜3^{75}$
【知识点】
幂的乘方逆运算、同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算章节的基础常考题，解题核心是灵活运用幂的乘方的逆运算完成指数的统一，通过转化思想降低幂的大小比较的难度，熟练掌握该方法可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8
要比较底数和指数都不同的两个幂的大小，直接计算结果数值过大不可行，因此考虑利用幂的运算性质转化为同指数或者同底数的幂再比较。观察两个幂的指数100和75，它们的最大公因数是25，因此可以逆用幂的乘方法则，把两个幂的指数都转化为25，此时只需比较底数大小即可：指数相同时，底数越大，对应的幂值越大。
【解析】
解：根据幂的乘方逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$：
$2^{100}=2^{4×25}=(2^4)^{25}=16^{25}$
$3^{75}=3^{3×25}=(3^3)^{25}=27^{25}$
因为两个幂的指数均为25，且$16＜27$，所以$16^{25}＜27^{25}$，即$2^{100}＜3^{75}$。
【答案】
$2^{100}＜3^{75}$
【知识点】
幂的乘方逆运算、同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算章节的基础常考题，解题核心是灵活运用幂的乘方的逆运算完成指数的统一，通过转化思想降低幂的大小比较的难度，熟练掌握该方法可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8
