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1.下列式子中是分式方程的是（
A.$-\dfrac{2}{x}$
B.$\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{2}=3$
C.$\dfrac{x}{2}+1=0$
D.$x^2+1=0$
B
）A.$-\dfrac{2}{x}$
B.$\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{2}=3$
C.$\dfrac{x}{2}+1=0$
D.$x^2+1=0$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪个是分式方程，首先要明确分式方程的判定标准：第一，必须是含有未知数的等式（即属于方程）；第二，分母中必须含有未知数。我们对照这两个标准逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，需同时满足两个条件：①是含未知数的等式；②分母含未知数。
对各选项逐一分析：
选项A：$-\dfrac{2}{x}$是代数式，不是等式，不属于方程，直接排除；
选项B：$\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{2}=3$是含有未知数x的等式，且分母中含有未知数x，符合分式方程的定义；
选项C：$\dfrac{x}{2}+1=0$的分母为常数2，不含未知数，属于整式方程，排除；
选项D：$x^2+1=0$无分母，是整式方程，排除。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确把握分式方程的两个判定条件，特别注意区分整式方程和分式方程的本质区别是分母中是否含有未知数，不要误把分母仅含常数的式子当成分式方程。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是分式方程，首先要明确分式方程的判定标准：第一，必须是含有未知数的等式（即属于方程）；第二，分母中必须含有未知数。我们对照这两个标准逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，需同时满足两个条件：①是含未知数的等式；②分母含未知数。
对各选项逐一分析：
选项A：$-\dfrac{2}{x}$是代数式，不是等式，不属于方程，直接排除；
选项B：$\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{2}=3$是含有未知数x的等式，且分母中含有未知数x，符合分式方程的定义；
选项C：$\dfrac{x}{2}+1=0$的分母为常数2，不含未知数，属于整式方程，排除；
选项D：$x^2+1=0$无分母，是整式方程，排除。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义；方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确把握分式方程的两个判定条件，特别注意区分整式方程和分式方程的本质区别是分母中是否含有未知数，不要误把分母仅含常数的式子当成分式方程。
【难度系数】
0.9
2.把分式方程$\frac{2}{x+4}=\frac{1}{x}$转化为一元一次方程时，
方程两边需同时乘以 （
A.$x$
B.$2x$
C.$x+4$
D.$x(x+4)$
方程两边需同时乘以 （
D
）A.$x$
B.$2x$
C.$x+4$
D.$x(x+4)$
答案
2.D
解析
【分析】
要将分式方程转化为一元一次方程，核心步骤是去分母，消去所有分式的分母。去分母时需要先找到方程中所有分母的最简公分母，再给方程两边同时乘这个最简公分母，就能把分式方程转化为整式方程。本题中分式的分母分别是$x$和$x+4$，二者没有公因式，因此最简公分母是两个分母的乘积，据此就能确定要乘的式子。
【解析】
首先确定方程$\frac{2}{x+4}=\frac{1}{x}$的两个分母分别为$x+4$和$x$，两个分母无公因式，因此最简公分母为$x(x+4)$。
给方程两边同时乘以$x(x+4)$，可得：
$\frac{2}{x+4}× x(x+4)=\frac{1}{x}× x(x+4)$，约分后得到一元一次方程$2x=x+4$，符合转化要求。
若仅乘$x$或$x+4$，无法消去所有分母，乘$2x$也无法消去分母$x+4$，因此只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母、最简公分母的确定
【点评】
本题是分式方程解法的基础题型，重点考查去分母的核心操作，只要熟练掌握最简公分母的找法，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要将分式方程转化为一元一次方程，核心步骤是去分母，消去所有分式的分母。去分母时需要先找到方程中所有分母的最简公分母，再给方程两边同时乘这个最简公分母，就能把分式方程转化为整式方程。本题中分式的分母分别是$x$和$x+4$，二者没有公因式，因此最简公分母是两个分母的乘积，据此就能确定要乘的式子。
【解析】
首先确定方程$\frac{2}{x+4}=\frac{1}{x}$的两个分母分别为$x+4$和$x$，两个分母无公因式，因此最简公分母为$x(x+4)$。
给方程两边同时乘以$x(x+4)$，可得：
$\frac{2}{x+4}× x(x+4)=\frac{1}{x}× x(x+4)$，约分后得到一元一次方程$2x=x+4$，符合转化要求。
若仅乘$x$或$x+4$，无法消去所有分母，乘$2x$也无法消去分母$x+4$，因此只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母、最简公分母的确定
【点评】
本题是分式方程解法的基础题型，重点考查去分母的核心操作，只要熟练掌握最简公分母的找法，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3.(2024·无锡)分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$的解是（
A.$x=1$
B.$x=-2$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x=2$
A
）A.$x=1$
B.$x=-2$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x=2$
答案
3.A
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，最后必须检验所得的解是否会让原分式的分母为0（即是否为增根）。本题首先找到两个分母$x$和$x+1$的最简公分母为$x(x+1)$，方程两边同乘最简公分母即可去掉分母得到整式方程，解出整式方程的根后检验即可得到正确结果。
【解析】
解：分式方程两边同时乘以最简公分母$x(x+1)$（隐含条件$x≠0$且$x≠-1$），得：
$1×(x+1)=2× x$
整理得：$x+1=2x$
移项计算得：$2x-x=1$，即$x=1$
检验：将$x=1$代入最简公分母$x(x+1)$，得$1×(1+1)=2≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程的基础考察题，重点考察“将分式方程转化为整式方程求解”的转化思想，要牢记解分式方程最后必须验根，排除会使分母为0的增根。
【难度系数】
0.9
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，最后必须检验所得的解是否会让原分式的分母为0（即是否为增根）。本题首先找到两个分母$x$和$x+1$的最简公分母为$x(x+1)$，方程两边同乘最简公分母即可去掉分母得到整式方程，解出整式方程的根后检验即可得到正确结果。
【解析】
解：分式方程两边同时乘以最简公分母$x(x+1)$（隐含条件$x≠0$且$x≠-1$），得：
$1×(x+1)=2× x$
整理得：$x+1=2x$
移项计算得：$2x-x=1$，即$x=1$
检验：将$x=1$代入最简公分母$x(x+1)$，得$1×(1+1)=2≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程的基础考察题，重点考察“将分式方程转化为整式方程求解”的转化思想，要牢记解分式方程最后必须验根，排除会使分母为0的增根。
【难度系数】
0.9
4.(逆向思维)已知关于$x$的方程$\frac{10}{x+k} - \frac{3}{x} = 1$的解为$x=3$，则$k=$
2
答案
4.2
解析
【分析】
本题已知分式方程的解求参数k的值，解题核心是运用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知解x=3代入原分式方程，就能将原方程转化为只含参数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解，最后检验分母不为0即可得到k的值。
【解析】
∵x=3是方程$\frac{10}{x+k} - \frac{3}{x} = 1$的解
∴将x=3代入原方程，得：
$\frac{10}{3+k} - \frac{3}{3} = 1$
化简得：$\frac{10}{3+k} - 1 = 1$
移项得：$\frac{10}{3+k} = 2$
两边同时乘以$(3+k)$（$3+k≠0$），得：
$10 = 2(3+k)$
去括号得：$10 = 6 + 2k$
移项、合并同类项得：$2k = 4$
系数化为1得：$k = 2$
检验：当$k=2$时，$3+k=5≠0$，符合分式有意义的条件，故$k=2$是正确结果。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的解的定义，解一元一次方程，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程中已知解求参数的基础题型，核心是逆向运用方程解的含义，将分式方程转化为关于未知参数的整式方程求解，解题时注意不要遗漏检验分母不为0的步骤，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
本题已知分式方程的解求参数k的值，解题核心是运用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知解x=3代入原分式方程，就能将原方程转化为只含参数k的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解，最后检验分母不为0即可得到k的值。
【解析】
∵x=3是方程$\frac{10}{x+k} - \frac{3}{x} = 1$的解
∴将x=3代入原方程，得：
$\frac{10}{3+k} - \frac{3}{3} = 1$
化简得：$\frac{10}{3+k} - 1 = 1$
移项得：$\frac{10}{3+k} = 2$
两边同时乘以$(3+k)$（$3+k≠0$），得：
$10 = 2(3+k)$
去括号得：$10 = 6 + 2k$
移项、合并同类项得：$2k = 4$
系数化为1得：$k = 2$
检验：当$k=2$时，$3+k=5≠0$，符合分式有意义的条件，故$k=2$是正确结果。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的解的定义，解一元一次方程，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程中已知解求参数的基础题型，核心是逆向运用方程解的含义，将分式方程转化为关于未知参数的整式方程求解，解题时注意不要遗漏检验分母不为0的步骤，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
5.(济南中考)代数式$\frac{3}{x+2}$与代数式$\frac{2}{x-1}$的值相等，则$x=$
7
答案
5.7
解析
【分析】
已知两个代数式的值相等，我们可先据此列出分式方程。解分式方程的核心思路是通过去分母，将陌生的分式方程转化为已经学过的一元一次方程求解，最后必须检验所求的根是否会使原分式的分母为0，排除增根。具体步骤为：先根据题意列等式，再找最简公分母去分母，接着解整式方程，最后检验得到最终解。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$\frac{3}{x+2}=\frac{2}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-1)$去分母得：
$3(x-1)=2(x+2)$
展开括号：
$3x-3=2x+4$
移项、合并同类项：
$3x-2x=4+3$
解得：$x=7$
检验：把$x=7$代入$(x+2)(x-1)$，得$(7+2)×(7-1)=54≠0$，因此$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
7
【知识点】
分式方程的解法；解分式方程的验根；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题型，重点考查分式方程的求解方法，解题的关键是掌握“分式方程转整式方程”的转化思想，要牢记解分式方程最后必须验根，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
已知两个代数式的值相等，我们可先据此列出分式方程。解分式方程的核心思路是通过去分母，将陌生的分式方程转化为已经学过的一元一次方程求解，最后必须检验所求的根是否会使原分式的分母为0，排除增根。具体步骤为：先根据题意列等式，再找最简公分母去分母，接着解整式方程，最后检验得到最终解。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$\frac{3}{x+2}=\frac{2}{x-1}$
方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-1)$去分母得：
$3(x-1)=2(x+2)$
展开括号：
$3x-3=2x+4$
移项、合并同类项：
$3x-2x=4+3$
解得：$x=7$
检验：把$x=7$代入$(x+2)(x-1)$，得$(7+2)×(7-1)=54≠0$，因此$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
7
【知识点】
分式方程的解法；解分式方程的验根；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题型，重点考查分式方程的求解方法，解题的关键是掌握“分式方程转整式方程”的转化思想，要牢记解分式方程最后必须验根，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
6.(教材P166例2变式)解下列分式方程：
(1)$\frac{1}{x}=\frac{4}{x+3}$；
(2)(西宁中考)$\frac{4}{x^2+x}-\frac{3}{x^2-x}=0$。
(1)$\frac{1}{x}=\frac{4}{x+3}$；
(2)(西宁中考)$\frac{4}{x^2+x}-\frac{3}{x^2-x}=0$。
答案
6.(1)方程两边乘$(x+3)x$,得 $x+3=4x$,解得 $x=1$.检验:当 $x=1$时,$x(x+3)≠0$,$\therefore$原分式方程的解为 $x=1$ (2)方程两边乘 $x(x+1)(x-1)$,得 $4(x-1)-3(x+1)=0$.解得 $x=7$.检验:当 $x=7$时,$x(x+1)(x-1)≠0$,$\therefore$原分式方程的解为 $x=7$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定各分母的最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④检验所得根是否使原分式方程的分母不为0，若分母为0则为增根需舍去，否则为原方程的解。
(1)题分母为$x$和$x+3$，最简公分母为$x(x+3)$，按上述步骤求解即可；(2)题先将分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，可得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，再按步骤求解。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$x(x+3)$，得：
$x+3=4x$
移项、合并同类项，得$3x=3$
系数化为1，得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x+3)=1×(1+3)=4≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$。
方程两边同乘$x(x+1)(x-1)$，得：
$4(x-1)-3(x+1)=0$
去括号，得$4x-4-3x-3=0$
合并同类项，得$x-7=0$
解得$x=7$
检验：当$x=7$时，$x(x+1)(x-1)=7×8×6=336≠0$，因此$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=7$
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的验根、因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是准确找到最简公分母完成去分母操作，需牢记解分式方程必须进行验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.85
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定各分母的最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④检验所得根是否使原分式方程的分母不为0，若分母为0则为增根需舍去，否则为原方程的解。
(1)题分母为$x$和$x+3$，最简公分母为$x(x+3)$，按上述步骤求解即可；(2)题先将分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，可得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，再按步骤求解。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$x(x+3)$，得：
$x+3=4x$
移项、合并同类项，得$3x=3$
系数化为1，得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x+3)=1×(1+3)=4≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$。
方程两边同乘$x(x+1)(x-1)$，得：
$4(x-1)-3(x+1)=0$
去括号，得$4x-4-3x-3=0$
合并同类项，得$x-7=0$
解得$x=7$
检验：当$x=7$时，$x(x+1)(x-1)=7×8×6=336≠0$，因此$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=7$
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的验根、因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是准确找到最简公分母完成去分母操作，需牢记解分式方程必须进行验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.85
7. 新考向 新定义 在正数范围内定义一种运算“※”，其规定为 $ a※b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $，如 $ 2※4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $，根据这个规则，则方程 $ 3※(x - 1) = 1 $ 的解为
$x=\dfrac{5}{2}$
。答案
7.$x=\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义的“※”运算规则：两个数进行※运算，结果等于两个数的倒数之和。第一步，根据运算规则将方程中的$3※(x-1)$转化为普通分式形式，得到分式方程；第二步，按照分式方程的求解步骤，先去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否符合正数范围的要求，同时满足原方程成立。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$，可得：
$3※(x - 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{x - 1}$
因此原方程可化为：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{x - 1} = 1$
因为运算在正数范围内，所以$x-1＞0$，即$x＞1$。
方程两边同时乘以最简公分母$3(x-1)$去分母，得：
$x - 1 + 3 = 3(x - 1)$
整理得：
$x + 2 = 3x - 3$
移项、合并同类项得：
$2x = 5$
解得：$x = \frac{5}{2}$
检验：当$x = \frac{5}{2}$时，$3(x-1)=3×(\frac{5}{2}-1)=\frac{9}{2}≠0$，且$x-1=\frac{3}{2}＞0$符合正数范围要求，代入原方程左边得$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$，等于右边，所以$x=\frac{5}{2}$是原方程的解。
【答案】
$x=\dfrac{5}{2}$
【知识点】
新定义运算，分式方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的求解，解题的核心是正确理解新运算规则，将陌生方程转化为常规的分式方程，求解后注意检验根既要满足原分式方程，也要符合题目给定的正数范围限制。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解新定义的“※”运算规则：两个数进行※运算，结果等于两个数的倒数之和。第一步，根据运算规则将方程中的$3※(x-1)$转化为普通分式形式，得到分式方程；第二步，按照分式方程的求解步骤，先去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否符合正数范围的要求，同时满足原方程成立。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$，可得：
$3※(x - 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{x - 1}$
因此原方程可化为：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{x - 1} = 1$
因为运算在正数范围内，所以$x-1＞0$，即$x＞1$。
方程两边同时乘以最简公分母$3(x-1)$去分母，得：
$x - 1 + 3 = 3(x - 1)$
整理得：
$x + 2 = 3x - 3$
移项、合并同类项得：
$2x = 5$
解得：$x = \frac{5}{2}$
检验：当$x = \frac{5}{2}$时，$3(x-1)=3×(\frac{5}{2}-1)=\frac{9}{2}≠0$，且$x-1=\frac{3}{2}＞0$符合正数范围要求，代入原方程左边得$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$，等于右边，所以$x=\frac{5}{2}$是原方程的解。
【答案】
$x=\dfrac{5}{2}$
【知识点】
新定义运算，分式方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的求解，解题的核心是正确理解新运算规则，将陌生方程转化为常规的分式方程，求解后注意检验根既要满足原分式方程，也要符合题目给定的正数范围限制。
【难度系数】
0.7
8.已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x-2}+1=\frac{x}{2-x}$的解是非负数.则$m$的取值范围是
$m≤ 2$且$m≠ -2$
.答案
8.$m≤ 2$且$m≠ -2$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解；再结合“解是非负数”的条件列不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，需排除增根的情况，综合两个限制条件就能得到m的取值范围。
【解析】
1. 去分母转化为整式方程：
原方程$\frac{m}{x-2}+1=\frac{x}{2-x}$可变形为$\frac{m}{x-2}+1=\frac{-x}{x-2}$，方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$（隐含条件$x≠2$），得：
$m + (x-2) = -x$
2. 求解整式方程：
移项得：$x+x=2-m$
合并同类项得：$2x=2-m$
系数化为1得：$x=\frac{2-m}{2}$
3. 根据条件列不等式求解：
① 因为方程的解是非负数，所以$x≥0$，即$\frac{2-m}{2}≥0$，解得$m≤2$；
② 因为原分式方程分母不能为0，所以$x≠2$，即$\frac{2-m}{2}≠2$，解得$m≠-2$。
综上，m的取值范围是$m≤2$且$m≠-2$。
【答案】
$m≤ 2$且$m≠ -2$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程解的取值范围类的典型题型，解题核心是先求整式方程的根，再结合限制条件列不等式，易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，导致漏掉$m≠-2$的限制。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值范围，首先需将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解；再结合“解是非负数”的条件列不等式，同时要注意分式方程的分母不能为0，需排除增根的情况，综合两个限制条件就能得到m的取值范围。
【解析】
1. 去分母转化为整式方程：
原方程$\frac{m}{x-2}+1=\frac{x}{2-x}$可变形为$\frac{m}{x-2}+1=\frac{-x}{x-2}$，方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$（隐含条件$x≠2$），得：
$m + (x-2) = -x$
2. 求解整式方程：
移项得：$x+x=2-m$
合并同类项得：$2x=2-m$
系数化为1得：$x=\frac{2-m}{2}$
3. 根据条件列不等式求解：
① 因为方程的解是非负数，所以$x≥0$，即$\frac{2-m}{2}≥0$，解得$m≤2$；
② 因为原分式方程分母不能为0，所以$x≠2$，即$\frac{2-m}{2}≠2$，解得$m≠-2$。
综上，m的取值范围是$m≤2$且$m≠-2$。
【答案】
$m≤ 2$且$m≠ -2$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程解的取值范围类的典型题型，解题核心是先求整式方程的根，再结合限制条件列不等式，易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，导致漏掉$m≠-2$的限制。
【难度系数】
0.6
9.若关于$x$的方程$\frac{x-6}{x-1}=\frac{m}{x-1}$无解，则常数$m$的值为
$-5$
。答案
9.$-5$
解析
【分析】
分式方程无解有两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解使原分式方程的分母为0，即该解为增根，导致原方程无意义。本题中观察到方程的分母均为$x-1$，可先确定增根为$x=1$（分母为0时$x$的取值），再将分式方程转化为整式方程，结合增根代入即可求出$m$的值。
【解析】
要使原分式方程有意义，需满足分母不为0，即$x-1≠0$，也就是$x≠1$，因此若原方程无解，说明去分母后整式方程的解为增根$x=1$。
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$x-1$，消去分母得：
$x-6=m$
2. 代入增根求解：把增根$x=1$代入上述整式方程，可得：
$m=1-6=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定
【点评】
本题是分式方程的典型基础题，解题关键是明确分式方程的解必须满足分母不为0的前提，易错点是忽略增根的情况直接求解整式方程，掌握增根的含义是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
分式方程无解有两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解使原分式方程的分母为0，即该解为增根，导致原方程无意义。本题中观察到方程的分母均为$x-1$，可先确定增根为$x=1$（分母为0时$x$的取值），再将分式方程转化为整式方程，结合增根代入即可求出$m$的值。
【解析】
要使原分式方程有意义，需满足分母不为0，即$x-1≠0$，也就是$x≠1$，因此若原方程无解，说明去分母后整式方程的解为增根$x=1$。
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$x-1$，消去分母得：
$x-6=m$
2. 代入增根求解：把增根$x=1$代入上述整式方程，可得：
$m=1-6=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定
【点评】
本题是分式方程的典型基础题，解题关键是明确分式方程的解必须满足分母不为0的前提，易错点是忽略增根的情况直接求解整式方程，掌握增根的含义是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
10.已知关于x的分式方程$\frac{m+3}{x-1}=1$的解为正数，
则m的取值范围是
则m的取值范围是
$m＞-4$且$m≠ -3$
。答案
10.$m＞-4$且$m≠ -3$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先需要解出分式方程的解（用含m的代数式表示），再根据“解为正数”列不等式求出m的初步范围，最后注意分式方程的分母不能为0，排除会产生增根的m的取值，合并两个条件即可得到最终范围。
【解析】
解分式方程$\frac{m+3}{x-1}=1$：
1. 方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（此时需满足$x-1≠0$即$x≠1$），得：
$m+3 = x - 1$
2. 移项求解x，得：
$x = m + 4$
3. 由题意，方程的解为正数，因此$x＞0$，代入得：
$m + 4 ＞ 0$，解得$m ＞ -4$
4. 结合分式有意义的条件$x≠1$，代入得：
$m + 4 ≠ 1$，解得$m ≠ -3$
综上，m的取值范围是$m＞-4$且$m≠ -3$。
【答案】
$m＞-4$且$m≠ -3$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式有意义的条件
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程解的取值范围类的基础题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，导致漏写$m≠-3$的情况，求解这类问题时要先保证分式有意义，再结合解的限制条件求解。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，首先需要解出分式方程的解（用含m的代数式表示），再根据“解为正数”列不等式求出m的初步范围，最后注意分式方程的分母不能为0，排除会产生增根的m的取值，合并两个条件即可得到最终范围。
【解析】
解分式方程$\frac{m+3}{x-1}=1$：
1. 方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（此时需满足$x-1≠0$即$x≠1$），得：
$m+3 = x - 1$
2. 移项求解x，得：
$x = m + 4$
3. 由题意，方程的解为正数，因此$x＞0$，代入得：
$m + 4 ＞ 0$，解得$m ＞ -4$
4. 结合分式有意义的条件$x≠1$，代入得：
$m + 4 ≠ 1$，解得$m ≠ -3$
综上，m的取值范围是$m＞-4$且$m≠ -3$。
【答案】
$m＞-4$且$m≠ -3$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式有意义的条件
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程解的取值范围类的基础题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，导致漏写$m≠-3$的情况，求解这类问题时要先保证分式有意义，再结合解的限制条件求解。
【难度系数】
0.7
11.(教材 P169 习题 T1 变式)解下列分式方程：
(1)(内蒙古中考)$\frac{3}{x-1}=5+\frac{3x}{1-x}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$。
(1)(内蒙古中考)$\frac{3}{x-1}=5+\frac{3x}{1-x}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$。
答案
11.(1)方程两边乘 $x-1$,得 $3=5(x-1)-3x$,解得 $x=4$,检验:当 $x=4$时,$x-1≠0$,$\therefore$原分式方程的解为 $x=4$ (2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$,得$(x+1)^2-4=(x+1)(x-1)$,解得 $x=1$,检验:当 $x=1$时,$(x+1)(x-1)=0$,因此 $x=1$ 不是原分式方程的解,所以原分式方程无解
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根，步骤如下：①先确定各分母的最简公分母，互为相反数的分母可统一形式（如$1-x=-(x-1)$），能因式分解的分母先分解（如$x^2-1=(x+1)(x-1)$）；②方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；③解整式方程；④将解得的根代入最简公分母检验，若公分母为0则为增根，原方程无解，否则为原方程的解。
(1)题中分母$x-1$和$1-x$互为相反数，最简公分母为$x-1$，乘公分母时注意对应分式项要变号；(2)题中$x^2-1$可分解为$(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，按步骤计算即可。
【解析】
(1) 原方程：$\frac{3}{x-1}=5+\frac{3x}{1-x}$
方程两边同时乘最简公分母$x-1$，得：
$3=5(x-1)-3x$
去括号得：$3=5x-5-3x$
合并同类项、移项计算得：$2x=8$，解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-1=4-1=3≠0$，满足分母不为0的要求。
(2) 原方程：$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$(x+1)^2 - 4 = (x+1)(x-1)$
展开得：$x^2+2x+1-4=x^2-1$
移项、合并同类项得：$2x=2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，不是原方程的解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) 无解
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
3. 平方差公式
【点评】
这两道题是分式方程解法的基础常规题，考查将分式方程转化为整式方程求解的核心思路，解题时要注意处理互为相反数的分母时的符号问题，务必牢记解分式方程最后必须验根，增根要舍去。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根，步骤如下：①先确定各分母的最简公分母，互为相反数的分母可统一形式（如$1-x=-(x-1)$），能因式分解的分母先分解（如$x^2-1=(x+1)(x-1)$）；②方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；③解整式方程；④将解得的根代入最简公分母检验，若公分母为0则为增根，原方程无解，否则为原方程的解。
(1)题中分母$x-1$和$1-x$互为相反数，最简公分母为$x-1$，乘公分母时注意对应分式项要变号；(2)题中$x^2-1$可分解为$(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，按步骤计算即可。
【解析】
(1) 原方程：$\frac{3}{x-1}=5+\frac{3x}{1-x}$
方程两边同时乘最简公分母$x-1$，得：
$3=5(x-1)-3x$
去括号得：$3=5x-5-3x$
合并同类项、移项计算得：$2x=8$，解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-1=4-1=3≠0$，满足分母不为0的要求。
(2) 原方程：$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$(x+1)^2 - 4 = (x+1)(x-1)$
展开得：$x^2+2x+1-4=x^2-1$
移项、合并同类项得：$2x=2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，不是原方程的解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) 无解
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
3. 平方差公式
【点评】
这两道题是分式方程解法的基础常规题，考查将分式方程转化为整式方程求解的核心思路，解题时要注意处理互为相反数的分母时的符号问题，务必牢记解分式方程最后必须验根，增根要舍去。
【难度系数】
0.8
