12.(数形结合)如图,点A,B在数轴上,点A在点B的左侧,它们所对应的数分别是$\frac{2}{x-2}$和$\frac{1-x}{2-x}$,且点A到原点的距离比点B到原点的距离多3,求x的值.

12.根据题意,得$\frac{1-x}{2-x}-\frac{2}{x-2}=3$,方程两边乘$(x-2)$,得 $x-1-2=3(x-2)$,解得 $x=1.5$,检验:当 $x=1.5$时,$x-2≠0$,$\therefore$分式方程的解为 $x=1.5$,$\therefore x$ 的值为 1.5

【分析】
首先明确数轴的性质：数轴上右侧的数大于左侧的数，点到原点的距离是该点对应数的绝对值。本题中A、B都在原点左侧，对应数均为负数，且A到原点的距离比B多3，可推导出B对应的数减去A对应的数等于3。再观察两个分式的分母互为相反数，可统一分母后列出分式方程，解分式方程时先去分母转化为整式方程求解，最后要检验分母不为0，排除增根。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{1-x}{2-x}-\frac{2}{x-2}=3$
方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得：
$x-1-2=3(x-2)$
整理得：$x-3=3x-6$
移项合并同类项得：$-2x=-3$
解得：$x=1.5$
检验：当$x=1.5$时，$x-2=1.5-2=-0.5≠0$，因此$x=1.5$是原分式方程的解。
【答案】
$x=1.5$
【知识点】
数轴的性质，分式方程的解法，绝对值的几何意义
【点评】
本题为数形结合类题型，结合数轴特征考查分式方程的实际应用，解题核心是根据点的位置和距离关系准确列出方程，需牢记解分式方程最后要进行验根，避免增根错误。
【难度系数】
0.7

13.(规律探究)阅读下列过程，回答问题：
解方程：
①$\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+1}-1$的解为$x=$；
②$\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x+1}-1$的解为$x=$；
③$\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x+1}-1$的解为$x=$；
……
(1)根据你发现的规律直接写出第4个方程及它的解；
(2)请你用一个含正整数$n$的式子表示上述规律，并求出它的解.(写出解答过程)

13.①方程$\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+1}-1$两边乘$(x+1)$,得 $1=2-(x+1)$,解得 $x=0$,经检验 $x=0$ 是原方程的解,故答案为:0 ②方程$\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x+1}-1$两边乘$(x+1)$,得 $2=4-(x+1)$,解得 $x=1$,经检验 $x=1$ 是原方程的解,故答案为:1 ③方程$\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x+1}-1$两边乘$(x+1)$,得 $3=6-(x+1)$,解得 $x=2$,经检验 $x=2$ 是原方程的解,故答案为:2 (1)第④个方程为$\frac{4}{x+1}=\frac{8}{x+1}-1$,其解为 $x=3$ (2)第 $n$ 个方程为$\frac{n}{x+1}=\frac{2n}{x+1}-1$,方程两边乘$(x+1)$,得 $n=2n-(x+1)$,解得 $x=n-1$,经检验 $x=n-1$ 是原方程的解,$\therefore$原方程的解为 $x=n-1$

【分析】
这是一道结合规律探究的分式方程求解问题，解题思路如下：首先按照分式方程的标准求解步骤（去分母→解整式方程→检验）计算前3个方程的解，观察方程中数字与解的对应规律；再根据前3个方程的数字变化特征，写出第4个方程并对应得到它的解；最后将规律推广到正整数n的一般情况，写出通用方程后按分式方程解法求解并检验即可。要注意分式方程求解后必须检验根是否使原方程分母不为0，避免出现增根。
【解析】
求解前3个方程：
① 解方程$\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+1}-1$：
方程两边同乘$(x+1)$去分母，得$1=2-(x+1)$，
解得$x=0$，
检验：当$x=0$时，$x+1=1≠0$，故$x=0$是原方程的解。
② 解方程$\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x+1}-1$：
方程两边同乘$(x+1)$去分母，得$2=4-(x+1)$，
解得$x=1$，
检验：当$x=1$时，$x+1=2≠0$，故$x=1$是原方程的解。
③ 解方程$\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x+1}-1$：
方程两边同乘$(x+1)$去分母，得$3=6-(x+1)$，
解得$x=2$，
检验：当$x=2$时，$x+1=3≠0$，故$x=2$是原方程的解。
(1)求第4个方程及解
观察规律：方程左边分子依次为1、2、3，右边分数分子是左边分子的2倍，解为左边分子减1，因此第4个方程为$\frac{4}{x+1}=\frac{8}{x+1}-1$，解为$x=3$。
(2)用含n的式子表示规律并求解
第n个方程为$\frac{n}{x+1}=\frac{2n}{x+1}-1$，
求解过程：
方程两边同乘$(x+1)$去分母，得$n=2n-(x+1)$，
解得$x=n-1$，
检验：当$x=n-1$时，$x+1=n≠0$（n为正整数），故$x=n-1$是原方程的解。
【答案】
①0；②1；③2
(1)第4个方程为$\frac{4}{x+1}=\frac{8}{x+1}-1$，解为$x=3$
(2)规律为$\frac{n}{x+1}=\frac{2n}{x+1}-1$，解为$x=n-1$
【知识点】
分式方程的解法，规律探究，分式方程验根
【点评】
本题将规律探究与分式方程的解法结合，既考查了学生对分式方程求解步骤的掌握，又锻炼了学生观察归纳数字规律的能力，解题时需注意分式方程必须验根，排除增根。
【难度系数】
0.8