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三、解答题
11. 如图，已知$∠ ADB + ∠ EGC = 180°$，AD平分$∠ BAC$，$HF // BC$.
（1）$∠ AFE$与$∠ E$相等吗？判断并说明理由；
（2）若$∠ ADB = 78°$，求$∠ HFG$的度数.
11. 如图，已知$∠ ADB + ∠ EGC = 180°$，AD平分$∠ BAC$，$HF // BC$.
（1）$∠ AFE$与$∠ E$相等吗？判断并说明理由；
（2）若$∠ ADB = 78°$，求$∠ HFG$的度数.
答案
11.解:(1)$∠ AFE=∠ E$,理由:
$\because ∠ ADB+∠ EGC=180°$,
$\therefore AD// EG$,
$\therefore ∠ CAD=∠ E,∠ DAB=∠ AFE$,
$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ DAB$,
$\therefore ∠ AFE=∠ E$;
(2)$\because AD// EG$,
$\therefore ∠ ADB=∠ EGB$,
$\because HF// BC$,
$\therefore ∠ HFG=∠ EGB$,
$\therefore ∠ ADB=∠ HFG$,
$\because ∠ ADB=78°$,
$\therefore ∠ HFG=78°$.
$\because ∠ ADB+∠ EGC=180°$,
$\therefore AD// EG$,
$\therefore ∠ CAD=∠ E,∠ DAB=∠ AFE$,
$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ DAB$,
$\therefore ∠ AFE=∠ E$;
(2)$\because AD// EG$,
$\therefore ∠ ADB=∠ EGB$,
$\because HF// BC$,
$\therefore ∠ HFG=∠ EGB$,
$\therefore ∠ ADB=∠ HFG$,
$\because ∠ ADB=78°$,
$\therefore ∠ HFG=78°$.
解析
【分析】
（1）判断两角是否相等，首先从已知$∠ ADB+∠ EGC=180°$入手，先推导$AD$与$EG$的平行关系，利用平行线的性质得到对应角相等，再结合$AD$平分$∠ BAC$的条件，通过等量代换即可验证两角的关系。
（2）求$∠ HFG$的度数，可先利用$AD// EG$的性质得到$∠ ADB$与$∠ EGB$的等量关系，再结合$HF// BC$的性质，得到$∠ HFG$与$∠ EGB$相等，通过等量代换将$∠ HFG$与已知的$∠ ADB$建立联系，代入数值即可求出结果。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ AFE=∠ E}$，理由如下：
$\because ∠ ADB + ∠ EGC = 180°$，
$\therefore AD// EG$，
$\therefore ∠ CAD=∠ E$，$∠ DAB=∠ AFE$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ CAD=∠ DAB$，
$\therefore ∠ AFE=∠ E$。
(2) 解：
$\because AD// EG$，
$\therefore ∠ ADB=∠ EGB$，
$\because HF// BC$，
$\therefore ∠ HFG=∠ EGB$，
$\therefore ∠ ADB=∠ HFG$，
$\because ∠ ADB=78°$，
$\therefore ∠ HFG=78°$。
【答案】
(1) $∠ AFE=∠ E$；(2) $78°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何推理题，核心是利用角的数量关系判定直线平行，再结合平行线、角平分线的性质进行角的等量代换，需要熟练掌握平行相关的判定和性质定理，理清角之间的转换逻辑。
【难度系数】
0.7
（1）判断两角是否相等，首先从已知$∠ ADB+∠ EGC=180°$入手，先推导$AD$与$EG$的平行关系，利用平行线的性质得到对应角相等，再结合$AD$平分$∠ BAC$的条件，通过等量代换即可验证两角的关系。
（2）求$∠ HFG$的度数，可先利用$AD// EG$的性质得到$∠ ADB$与$∠ EGB$的等量关系，再结合$HF// BC$的性质，得到$∠ HFG$与$∠ EGB$相等，通过等量代换将$∠ HFG$与已知的$∠ ADB$建立联系，代入数值即可求出结果。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ AFE=∠ E}$，理由如下：
$\because ∠ ADB + ∠ EGC = 180°$，
$\therefore AD// EG$，
$\therefore ∠ CAD=∠ E$，$∠ DAB=∠ AFE$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ CAD=∠ DAB$，
$\therefore ∠ AFE=∠ E$。
(2) 解：
$\because AD// EG$，
$\therefore ∠ ADB=∠ EGB$，
$\because HF// BC$，
$\therefore ∠ HFG=∠ EGB$，
$\therefore ∠ ADB=∠ HFG$，
$\because ∠ ADB=78°$，
$\therefore ∠ HFG=78°$。
【答案】
(1) $∠ AFE=∠ E$；(2) $78°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何推理题，核心是利用角的数量关系判定直线平行，再结合平行线、角平分线的性质进行角的等量代换，需要熟练掌握平行相关的判定和性质定理，理清角之间的转换逻辑。
【难度系数】
0.7
12.某校随机抽取八年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，从八年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，整理数据后，将减压方式分为五类：A交流谈心；B体育活动；C享受美食；D听音乐；E其他，并绘制了如图所示两个不完整的统计图。
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)计算扇形统计图中表示“D听音乐”的扇形圆心角的度数。
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有
50
人；(2)请将条形统计图补充完整；
(3)计算扇形统计图中表示“D听音乐”的扇形圆心角的度数。
答案
12.解:(1)50;
(2)参加“体育活动”的人数为:$50-4-15-18-3=10$(人),
补全统计图略;
(3)$360°×\frac{18}{50}=129.6°$.
(2)参加“体育活动”的人数为:$50-4-15-18-3=10$(人),
补全统计图略;
(3)$360°×\frac{18}{50}=129.6°$.
解析
【分析】
解决这类双统计图结合的问题，首先要找到两类统计图中信息均完整的类别作为突破口：本题中C类“享受美食”在条形图中人数为15人，在扇形图中占总人数的30%，根据“总人数=部分量÷对应占比”即可求出被调查总人数；第二问用总人数减去已知的A、C、D、E四类的人数，就能得到B类的人数，再补全条形图即可；第三问扇形圆心角的度数=360°×该类别人数占总人数的比例，代入D类的人数计算即可。
【解析】
(1) 由统计图可知，选择C类“享受美食”的有15人，占被调查总人数的30%，因此被调查总人数为：$15 ÷ 30\% = 50$（人）
(2) 选择B类“体育活动”的人数为总人数减去其余四类人数：$50 - 4 - 15 - 18 - 3 = 10$（人），在条形图中B对应位置画高度为10的直条即可，补图略。
(3) 选择D类“听音乐”的人数为18人，占总人数的比例为$\frac{18}{50}$，因此对应的扇形圆心角为：$360° × \frac{18}{50} = 129.6°$
【答案】
(1) 50；
(2) B类人数为10人，补全条形统计图略；
(3) $129.6°$
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，扇形圆心角计算
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，核心是掌握部分量、总数量、对应占比三者之间的换算关系，解题关键是先结合两类统计图的共有信息求出调查总人数，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解决这类双统计图结合的问题，首先要找到两类统计图中信息均完整的类别作为突破口：本题中C类“享受美食”在条形图中人数为15人，在扇形图中占总人数的30%，根据“总人数=部分量÷对应占比”即可求出被调查总人数；第二问用总人数减去已知的A、C、D、E四类的人数，就能得到B类的人数，再补全条形图即可；第三问扇形圆心角的度数=360°×该类别人数占总人数的比例，代入D类的人数计算即可。
【解析】
(1) 由统计图可知，选择C类“享受美食”的有15人，占被调查总人数的30%，因此被调查总人数为：$15 ÷ 30\% = 50$（人）
(2) 选择B类“体育活动”的人数为总人数减去其余四类人数：$50 - 4 - 15 - 18 - 3 = 10$（人），在条形图中B对应位置画高度为10的直条即可，补图略。
(3) 选择D类“听音乐”的人数为18人，占总人数的比例为$\frac{18}{50}$，因此对应的扇形圆心角为：$360° × \frac{18}{50} = 129.6°$
【答案】
(1) 50；
(2) B类人数为10人，补全条形统计图略；
(3) $129.6°$
【知识点】
条形统计图，扇形统计图，扇形圆心角计算
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，核心是掌握部分量、总数量、对应占比三者之间的换算关系，解题关键是先结合两类统计图的共有信息求出调查总人数，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
13.阅读下列材料:定义:如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如:方程$2x - 7 = 1$的解为$x = 4$，不等式组$\begin{cases}x - 5 ＜ 0, \\3x ＞ 6\end{cases}$的解集为$2 ＜ x ＜ 5$，因为$2 ＜ 4 ＜ 5$，所以称方程$2x - 7 = 1$是不等式组$\begin{cases}x - 5 ＜ 0, \\3x ＞ 6\end{cases}$的相伴方程.
(1)方程$2(x - 1) + 9 = 1$是不是不等式组$\begin{cases}x - 3 ＜ 1, \\x + 2 ≤ 0\end{cases}$的相伴方程?请说明理由;
(2)若关于$x$的方程$2x - a = 1$是不等式组$\begin{cases}3x + 2 ＞ 3 + x, \\x - 3 ≥ 2x - 6\end{cases}$的相伴方程，求$a$的取值范围.
(1)方程$2(x - 1) + 9 = 1$是不是不等式组$\begin{cases}x - 3 ＜ 1, \\x + 2 ≤ 0\end{cases}$的相伴方程?请说明理由;
(2)若关于$x$的方程$2x - a = 1$是不等式组$\begin{cases}3x + 2 ＞ 3 + x, \\x - 3 ≥ 2x - 6\end{cases}$的相伴方程，求$a$的取值范围.
答案
13.解:(1)方程$2(x-1)+9=1$是不等式组$\begin{cases}x-3＜1,\\x+2≤0\end{cases}$的“相伴方程”,理由如下:
解方程$2(x-1)+9=1$,得$x=-3$.
解不等式组得$x≤-2$,
$\because -3＜-2$.
$\therefore$方程$2(x-1)+9=1$是不等式组$\begin{cases}x-3＜1,\\x+2≤0\end{cases}$的“相伴方程”;
(2)解方程$2x-a=1$,得$x=\frac{1+a}{2}$,
令$\begin{cases}3x+2＞3+x,①\\x-3≥2x-6.②\end{cases}$
由①得:$x＞\frac{1}{2}$,
由②得:$x≤3$,
$\therefore$不等式组的解集为$\frac{1}{2}＜x≤3$.
$\therefore \frac{1}{2}＜\frac{1+a}{2}≤3$,
$\therefore 0＜a≤5$.
解方程$2(x-1)+9=1$,得$x=-3$.
解不等式组得$x≤-2$,
$\because -3＜-2$.
$\therefore$方程$2(x-1)+9=1$是不等式组$\begin{cases}x-3＜1,\\x+2≤0\end{cases}$的“相伴方程”;
(2)解方程$2x-a=1$,得$x=\frac{1+a}{2}$,
令$\begin{cases}3x+2＞3+x,①\\x-3≥2x-6.②\end{cases}$
由①得:$x＞\frac{1}{2}$,
由②得:$x≤3$,
$\therefore$不等式组的解集为$\frac{1}{2}＜x≤3$.
$\therefore \frac{1}{2}＜\frac{1+a}{2}≤3$,
$\therefore 0＜a≤5$.
解析
【分析】
（1）判断是否为相伴方程需紧扣定义分步分析：第一步先求解给定一元一次方程得到方程的解；第二步求解一元一次不等式组得到解集；第三步验证方程的解是否在不等式组的解集内，若在则为相伴方程，反之则不是。
（2）求a的取值范围同样结合定义推导：第一步先解方程，用含a的代数式表示x；第二步解不等式组得到解集；第三步根据相伴方程的定义，可知方程的解属于不等式组的解集，据此列关于a的不等式组，求解即可得到a的范围。
【解析】
(1) 方程$2(x-1)+9=1$是该不等式组的相伴方程，理由如下：
解方程$2(x-1)+9=1$：
去括号得$2x-2+9=1$，
移项合并同类项得$2x=-6$，
解得$x=-3$。
解不等式组$\begin{cases}x - 3 ＜ 1, \\x + 2 ≤ 0\end{cases}$：
解$x-3＜1$得$x＜4$，
解$x+2≤0$得$x≤-2$，
取公共部分得不等式组解集为$x≤-2$。
$\because -3≤-2$，即方程的解在不等式组解集内，
$\therefore$方程$2(x - 1) + 9 = 1$是该不等式组的相伴方程。
(2) 解方程$2x - a = 1$：
移项得$2x=1+a$，解得$x=\frac{1+a}{2}$。
解不等式组$\begin{cases}3x + 2 ＞ 3 + x,①\\x - 3 ≥ 2x - 6,②\end{cases}$：
解①：移项合并同类项得$2x＞1$，解得$x＞\frac{1}{2}$，
解②：移项合并同类项得$-x≥-3$，系数化为1得$x≤3$，
$\therefore$不等式组解集为$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$。
$\because$方程是不等式组的相伴方程，
$\therefore \frac{1}{2} ＜ \frac{1+a}{2} ≤ 3$，
不等式两边同乘2得$1 ＜ 1+a ≤6$，
两边同减1得$0 ＜ a ≤5$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) $0 ＜ a ≤ 5$
【知识点】
一元一次方程求解、一元一次不等式组求解、新定义应用
【点评】
本题以新定义为载体，融合方程与不等式组的知识点，解题核心是准确理解新定义的内涵，将陌生的新定义问题转化为已学的解方程、解不等式组的常规问题，考查知识迁移和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断是否为相伴方程需紧扣定义分步分析：第一步先求解给定一元一次方程得到方程的解；第二步求解一元一次不等式组得到解集；第三步验证方程的解是否在不等式组的解集内，若在则为相伴方程，反之则不是。
（2）求a的取值范围同样结合定义推导：第一步先解方程，用含a的代数式表示x；第二步解不等式组得到解集；第三步根据相伴方程的定义，可知方程的解属于不等式组的解集，据此列关于a的不等式组，求解即可得到a的范围。
【解析】
(1) 方程$2(x-1)+9=1$是该不等式组的相伴方程，理由如下：
解方程$2(x-1)+9=1$：
去括号得$2x-2+9=1$，
移项合并同类项得$2x=-6$，
解得$x=-3$。
解不等式组$\begin{cases}x - 3 ＜ 1, \\x + 2 ≤ 0\end{cases}$：
解$x-3＜1$得$x＜4$，
解$x+2≤0$得$x≤-2$，
取公共部分得不等式组解集为$x≤-2$。
$\because -3≤-2$，即方程的解在不等式组解集内，
$\therefore$方程$2(x - 1) + 9 = 1$是该不等式组的相伴方程。
(2) 解方程$2x - a = 1$：
移项得$2x=1+a$，解得$x=\frac{1+a}{2}$。
解不等式组$\begin{cases}3x + 2 ＞ 3 + x,①\\x - 3 ≥ 2x - 6,②\end{cases}$：
解①：移项合并同类项得$2x＞1$，解得$x＞\frac{1}{2}$，
解②：移项合并同类项得$-x≥-3$，系数化为1得$x≤3$，
$\therefore$不等式组解集为$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$。
$\because$方程是不等式组的相伴方程，
$\therefore \frac{1}{2} ＜ \frac{1+a}{2} ≤ 3$，
不等式两边同乘2得$1 ＜ 1+a ≤6$，
两边同减1得$0 ＜ a ≤5$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) $0 ＜ a ≤ 5$
【知识点】
一元一次方程求解、一元一次不等式组求解、新定义应用
【点评】
本题以新定义为载体，融合方程与不等式组的知识点，解题核心是准确理解新定义的内涵，将陌生的新定义问题转化为已学的解方程、解不等式组的常规问题，考查知识迁移和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
