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一、选择题
1. 将不等式组$\begin{cases}x＞1, \\ x≤2\end{cases}$的解集表示在数轴上,下列正确的是 ( )
1. 将不等式组$\begin{cases}x＞1, \\ x≤2\end{cases}$的解集表示在数轴上,下列正确的是 ( )
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确不等式解集在数轴上的表示规则：1. 不含等号的“＞”“＜”对应空心圆圈，含等号的“≥”“≤”对应实心圆点；2. 大于号对应方向向右，小于号对应方向向左。我们先分别表示出两个不等式的解集，再找到二者的公共部分，和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
先分别分析两个不等式的数轴表示：
1. 对于$x＞1$：在数轴上1的位置画空心圆圈，向右延伸表示所有大于1的数；
2. 对于$x≤2$：在数轴上2的位置画实心圆点，向左延伸表示所有小于等于2的数。
二者的公共部分就是不等式组的解集$1＜x≤2$，逐一核对选项：
A选项中2的位置向右延伸，不符合$x≤2$的要求，错误；
B选项中1的位置向左延伸，不符合$x＞1$的要求，错误；
C选项1处空心向右、2处实心向左，公共部分符合$1＜x≤2$，正确；
D选项中1的位置向左延伸，不符合$x＞1$的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
不等式解集数轴表示，不等式组解集确定
【点评】
本题考查不等式组解集在数轴上的表示，核心是掌握空心和实心的区别、解集延伸方向的判断，属于基础题型，熟练掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确不等式解集在数轴上的表示规则：1. 不含等号的“＞”“＜”对应空心圆圈，含等号的“≥”“≤”对应实心圆点；2. 大于号对应方向向右，小于号对应方向向左。我们先分别表示出两个不等式的解集，再找到二者的公共部分，和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
先分别分析两个不等式的数轴表示：
1. 对于$x＞1$：在数轴上1的位置画空心圆圈，向右延伸表示所有大于1的数；
2. 对于$x≤2$：在数轴上2的位置画实心圆点，向左延伸表示所有小于等于2的数。
二者的公共部分就是不等式组的解集$1＜x≤2$，逐一核对选项：
A选项中2的位置向右延伸，不符合$x≤2$的要求，错误；
B选项中1的位置向左延伸，不符合$x＞1$的要求，错误；
C选项1处空心向右、2处实心向左，公共部分符合$1＜x≤2$，正确；
D选项中1的位置向左延伸，不符合$x＞1$的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
不等式解集数轴表示，不等式组解集确定
【点评】
本题考查不等式组解集在数轴上的表示，核心是掌握空心和实心的区别、解集延伸方向的判断，属于基础题型，熟练掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.为了解某校初二年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是(
A.样本容量是100
B.每名学生是个体
C.从中抽取的100名学生是样本
D.初二年级900名学生是总体
A
)A.样本容量是100
B.每名学生是个体
C.从中抽取的100名学生是样本
D.初二年级900名学生是总体
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查统计中总体、个体、样本、样本容量的概念辨析，解题思路如下：第一步先明确本次调查的考察对象是“初二年级学生每天花费在数学学习上的时间”，而非学生本身；第二步回忆四个统计概念的定义，逐一对应选项判断正误即可。
【解析】
首先明确统计相关概念的定义：
①总体：所要考察的全体对象；
②个体：组成总体的每一个考察对象；
③样本：从总体中抽取的一部分用于考察的个体；
④样本容量：样本中包含的个体的数目，无单位。
本次调查的考察对象是学生每天花费在数学学习上的时间，据此逐一分析选项：
A. 本次抽取的样本包含的个体数目为100，即样本容量是100，该选项正确；
B. 个体应为每名学生每天花费在数学学习上的时间，不是每名学生，该选项错误；
C. 样本应为抽取的100名学生每天花费在数学学习上的时间，不是100名学生，该选项错误；
D. 总体应为初二年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，不是900名学生，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 总体与个体
2. 样本与样本容量
【点评】
本题属于统计基础题型，易错点是容易混淆考察对象，误将“学生的数学学习时间”当成“学生”本身，解题时只要先找准考察对象，再结合概念逐一判断即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查统计中总体、个体、样本、样本容量的概念辨析，解题思路如下：第一步先明确本次调查的考察对象是“初二年级学生每天花费在数学学习上的时间”，而非学生本身；第二步回忆四个统计概念的定义，逐一对应选项判断正误即可。
【解析】
首先明确统计相关概念的定义：
①总体：所要考察的全体对象；
②个体：组成总体的每一个考察对象；
③样本：从总体中抽取的一部分用于考察的个体；
④样本容量：样本中包含的个体的数目，无单位。
本次调查的考察对象是学生每天花费在数学学习上的时间，据此逐一分析选项：
A. 本次抽取的样本包含的个体数目为100，即样本容量是100，该选项正确；
B. 个体应为每名学生每天花费在数学学习上的时间，不是每名学生，该选项错误；
C. 样本应为抽取的100名学生每天花费在数学学习上的时间，不是100名学生，该选项错误；
D. 总体应为初二年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，不是900名学生，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 总体与个体
2. 样本与样本容量
【点评】
本题属于统计基础题型，易错点是容易混淆考察对象，误将“学生的数学学习时间”当成“学生”本身，解题时只要先找准考察对象，再结合概念逐一判断即可得分。
【难度系数】
0.8
3.将一副直角三角板按如图所示摆放，$∠ EFG=45°$，$∠ MNP=60°$，$AB// CD$，则下列结论不正确的是 （
A.$GE// PN$
B.$∠ PNC=∠ AFG$
C.$∠ FMN=150°$
D.$∠ MND=∠ PNM$
D
）A.$GE// PN$
B.$∠ PNC=∠ AFG$
C.$∠ FMN=150°$
D.$∠ MND=∠ PNM$
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路：首先明确两块直角三角板的固定内角度数，等腰直角三角板EFG中∠EGF=90°，∠EFG=∠FEG=45°，含60°角的直角三角板MNP中∠P=90°，∠MNP=60°，∠PMN=30°。再结合AB//CD的平行线性质，逐一验证四个选项的结论是否成立，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
首先明确两块三角板的内角：
∵△EFG为等腰直角三角板，∠EFG=45°，
∴∠EGF=90°，∠FEG=45°；
∵△MNP为含60°角的直角三角板，∠MNP=60°，
∴∠P=90°，∠PMN=30°。
逐一分析选项：
选项A：∠EGF和∠P都为90°，根据同位角相等，两直线平行，可得GE//PN，结论正确；
选项B：∠AFG=180°-∠EFG=180°-45°=135°，结合AB//CD的平行线性质推导可得∠PNC=135°，因此∠PNC=∠AFG，结论正确；
选项C：∠FMN与∠PMN互为邻补角，因此∠FMN=180°-∠PMN=180°-30°=150°，结论正确；
选项D：结合AB//CD的性质推导可得∠MND≠60°，而∠PNM=60°，因此∠MND≠∠PNM，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角板角度特征；邻补角计算
【点评】
本题属于基础综合题，结合三角板的固定角度考查平行线的性质和角度计算，解题时注意结合图形理清角的位置关系，逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确两块直角三角板的固定内角度数，等腰直角三角板EFG中∠EGF=90°，∠EFG=∠FEG=45°，含60°角的直角三角板MNP中∠P=90°，∠MNP=60°，∠PMN=30°。再结合AB//CD的平行线性质，逐一验证四个选项的结论是否成立，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
首先明确两块三角板的内角：
∵△EFG为等腰直角三角板，∠EFG=45°，
∴∠EGF=90°，∠FEG=45°；
∵△MNP为含60°角的直角三角板，∠MNP=60°，
∴∠P=90°，∠PMN=30°。
逐一分析选项：
选项A：∠EGF和∠P都为90°，根据同位角相等，两直线平行，可得GE//PN，结论正确；
选项B：∠AFG=180°-∠EFG=180°-45°=135°，结合AB//CD的平行线性质推导可得∠PNC=135°，因此∠PNC=∠AFG，结论正确；
选项C：∠FMN与∠PMN互为邻补角，因此∠FMN=180°-∠PMN=180°-30°=150°，结论正确；
选项D：结合AB//CD的性质推导可得∠MND≠60°，而∠PNM=60°，因此∠MND≠∠PNM，结论错误。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角板角度特征；邻补角计算
【点评】
本题属于基础综合题，结合三角板的固定角度考查平行线的性质和角度计算，解题时注意结合图形理清角的位置关系，逐一验证选项即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
4. 在下列结论中，正确的是（
A.$\sqrt{(-\frac{5}{4})^2} = \pm \frac{5}{4}$
B.$x^2$是$x^4$的平方根
C.$-x^2$一定没有平方根
D.$\sqrt{9}$的算术平方根是$\pm \sqrt{3}$
B
）A.$\sqrt{(-\frac{5}{4})^2} = \pm \frac{5}{4}$
B.$x^2$是$x^4$的平方根
C.$-x^2$一定没有平方根
D.$\sqrt{9}$的算术平方根是$\pm \sqrt{3}$
答案
4.B
解析
【分析】
这道题考查平方根、算术平方根的基本概念，解题时需要紧扣两个定义逐一分析每个选项，特别注意算术平方根的结果为非负数，以及0的平方根是0这个特殊情况，逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，结果一定是非负的，因此$\sqrt{(-\frac{5}{4})^2}=\frac{5}{4}$，不是$\pm\frac{5}{4}$，A错误。
B选项：如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫做$a$的平方根。因为$(x^2)^2=x^4$，所以$x^2$是$x^4$的平方根，B正确。
C选项：当$x=0$时，$-x^2=0$，0的平方根是0，因此此时$-x^2$有平方根，C错误。
D选项：先计算$\sqrt{9}=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}$（算术平方根只有非负结果），不是$\pm\sqrt{3}$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题关键是区分平方根和算术平方根的不同，牢记算术平方根的非负性，同时不要忽略$x$为0的特殊情形，避免误判选项C。
【难度系数】
0.7
这道题考查平方根、算术平方根的基本概念，解题时需要紧扣两个定义逐一分析每个选项，特别注意算术平方根的结果为非负数，以及0的平方根是0这个特殊情况，逐个排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，结果一定是非负的，因此$\sqrt{(-\frac{5}{4})^2}=\frac{5}{4}$，不是$\pm\frac{5}{4}$，A错误。
B选项：如果一个数的平方等于$a$，那么这个数叫做$a$的平方根。因为$(x^2)^2=x^4$，所以$x^2$是$x^4$的平方根，B正确。
C选项：当$x=0$时，$-x^2=0$，0的平方根是0，因此此时$-x^2$有平方根，C错误。
D选项：先计算$\sqrt{9}=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}$（算术平方根只有非负结果），不是$\pm\sqrt{3}$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题关键是区分平方根和算术平方根的不同，牢记算术平方根的非负性，同时不要忽略$x$为0的特殊情形，避免误判选项C。
【难度系数】
0.7
5.下列说法不正确的是 （
A.若$x + y = 0$，则点$P(x,y)$一定在第二、四象限的角平分线上
B.已知点$P(2,3),Q(-5,3)$，则$PQ// x$轴
C.若$P(x,y)$满足$xy = 0$，则点$P$在$x$轴上
D.点$A(-a^2 -1,|b| +1)$一定在第二象限
C
）A.若$x + y = 0$，则点$P(x,y)$一定在第二、四象限的角平分线上
B.已知点$P(2,3),Q(-5,3)$，则$PQ// x$轴
C.若$P(x,y)$满足$xy = 0$，则点$P$在$x$轴上
D.点$A(-a^2 -1,|b| +1)$一定在第二象限
答案
5.C
解析
【分析】
这道题考查平面直角坐标系中点的坐标相关规律，解题时需要逐一分析每个选项，结合不同位置点的坐标特征判断说法是否正确，最终选出错误选项。首先回忆相关知识点：二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数；平行于x轴的点纵坐标相等；xy=0时x或y为0，对应点在坐标轴上；第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：第二、四象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即$y=-x$，也就是$x+y=0$，反过来若$x+y=0$，则$y=-x$，点$P(x,y)$一定在第二、四象限角平分线上，该说法正确。
B选项：点$P(2,3)$和$Q(-5,3)$的纵坐标均为3，纵坐标相等的两点连线平行于x轴，因此$PQ// x$轴，该说法正确。
C选项：若$xy=0$，则$x=0$或$y=0$或$x=y=0$：当$y=0$时，点$P$在x轴上；当$x=0$时，点$P$在y轴上；当$x=y=0$时是原点，既在x轴也在y轴上。因此满足$xy=0$的点$P$在坐标轴上，不只是x轴，该说法错误。
D选项：因为$a^2≥0$，所以$-a^2-1≤-1＜0$，即横坐标为负数；因为$|b|≥0$，所以$|b|+1≥1＞0$，即纵坐标为正数。横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限，该说法正确。
综上，说法不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.点的坐标与象限的关系 2.平行于坐标轴的点的坐标特征 3.坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查不同位置点的坐标规律，解题时要注意特殊情况（如原点同时属于x轴和y轴），同时要会结合平方、绝对值的非负性判断代数式的正负。
【难度系数】
0.7
这道题考查平面直角坐标系中点的坐标相关规律，解题时需要逐一分析每个选项，结合不同位置点的坐标特征判断说法是否正确，最终选出错误选项。首先回忆相关知识点：二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数；平行于x轴的点纵坐标相等；xy=0时x或y为0，对应点在坐标轴上；第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：第二、四象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即$y=-x$，也就是$x+y=0$，反过来若$x+y=0$，则$y=-x$，点$P(x,y)$一定在第二、四象限角平分线上，该说法正确。
B选项：点$P(2,3)$和$Q(-5,3)$的纵坐标均为3，纵坐标相等的两点连线平行于x轴，因此$PQ// x$轴，该说法正确。
C选项：若$xy=0$，则$x=0$或$y=0$或$x=y=0$：当$y=0$时，点$P$在x轴上；当$x=0$时，点$P$在y轴上；当$x=y=0$时是原点，既在x轴也在y轴上。因此满足$xy=0$的点$P$在坐标轴上，不只是x轴，该说法错误。
D选项：因为$a^2≥0$，所以$-a^2-1≤-1＜0$，即横坐标为负数；因为$|b|≥0$，所以$|b|+1≥1＞0$，即纵坐标为正数。横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限，该说法正确。
综上，说法不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.点的坐标与象限的关系 2.平行于坐标轴的点的坐标特征 3.坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查不同位置点的坐标规律，解题时要注意特殊情况（如原点同时属于x轴和y轴），同时要会结合平方、绝对值的非负性判断代数式的正负。
【难度系数】
0.7
6.如图,用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,设每个小长方形墙砖长和宽分别为x cm和y cm,则依题意可列方程组为 (
A.$\begin{cases} x+2y=22, \\ y=3x \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+2y=22, \\ x=3y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x+y=22, \\ y=3x \end{cases}$
D.$\begin{cases} 2x+y=22, \\ 5y=22 \end{cases}$
B
)A.$\begin{cases} x+2y=22, \\ y=3x \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+2y=22, \\ x=3y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 2x+y=22, \\ y=3x \end{cases}$
D.$\begin{cases} 2x+y=22, \\ 5y=22 \end{cases}$
答案
6.B
解析
【分析】
要列出符合题意的方程组，需要从图中找到两个等量关系：第一，分析小长方形自身长和宽的关系，观察图形中间部分，3个小长方形的宽度之和刚好等于1个小长方形的长度；第二，分析大长方形的边长关系，大长方形的长标注为22cm，它由1个小长方形的长加2个小长方形的宽拼接而成。结合两个等量关系即可列出对应的方程组。
【解析】
第一步：找小长方形长与宽的等量关系
观察图形可知，3个小长方形的宽拼接后长度等于1个小长方形的长，因此可得：$x=3y$。
第二步：找大长方形边长的等量关系
大长方形的长为22cm，其长度由1个小长方形的长、2个小长方形的宽共同组成，因此可得：$x+2y=22$。
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} x+2y=22 \\ x=3y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；图形等量关系分析
【点评】
本题是图形类方程应用的典型题，解题的核心是仔细观察图形结构，准确挖掘边长之间隐含的等量关系，避免对边的组成判断错误。
【难度系数】
0.7
要列出符合题意的方程组，需要从图中找到两个等量关系：第一，分析小长方形自身长和宽的关系，观察图形中间部分，3个小长方形的宽度之和刚好等于1个小长方形的长度；第二，分析大长方形的边长关系，大长方形的长标注为22cm，它由1个小长方形的长加2个小长方形的宽拼接而成。结合两个等量关系即可列出对应的方程组。
【解析】
第一步：找小长方形长与宽的等量关系
观察图形可知，3个小长方形的宽拼接后长度等于1个小长方形的长，因此可得：$x=3y$。
第二步：找大长方形边长的等量关系
大长方形的长为22cm，其长度由1个小长方形的长、2个小长方形的宽共同组成，因此可得：$x+2y=22$。
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} x+2y=22 \\ x=3y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；图形等量关系分析
【点评】
本题是图形类方程应用的典型题，解题的核心是仔细观察图形结构，准确挖掘边长之间隐含的等量关系，避免对边的组成判断错误。
【难度系数】
0.7
7.若$a,b$为实数，且$|a-1|+\sqrt{b+2}=0$，则$(a+b)^{2025}=$
-1
.答案
7.-1
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值和算术平方根的非负性：任意实数的绝对值大于等于0，非负数的算术平方根也大于等于0。两个非负数的和为0时，只有一种可能，就是这两个非负数各自等于0。据此我们可以分别列出关于a、b的方程，求出a、b的值后，代入代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|a-1|≥0$，$\sqrt{b+2}≥0$，且$|a-1|+\sqrt{b+2}=0$
∴ 只有当$|a-1|=0$且$\sqrt{b+2}=0$时，等式才成立，
即 $\begin{cases}a-1=0 \\ b+2=0\end{cases}$
解得：$a=1$，$b=-2$
将a、b代入得：$a+b=1+(-2)=-1$
∴ $(a+b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
绝对值的非负性；算术平方根的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查非负数的性质，解题关键是明确“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，计算乘方时注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正即可正确求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆绝对值和算术平方根的非负性：任意实数的绝对值大于等于0，非负数的算术平方根也大于等于0。两个非负数的和为0时，只有一种可能，就是这两个非负数各自等于0。据此我们可以分别列出关于a、b的方程，求出a、b的值后，代入代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|a-1|≥0$，$\sqrt{b+2}≥0$，且$|a-1|+\sqrt{b+2}=0$
∴ 只有当$|a-1|=0$且$\sqrt{b+2}=0$时，等式才成立，
即 $\begin{cases}a-1=0 \\ b+2=0\end{cases}$
解得：$a=1$，$b=-2$
将a、b代入得：$a+b=1+(-2)=-1$
∴ $(a+b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
-1
【知识点】
绝对值的非负性；算术平方根的非负性；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查非负数的性质，解题关键是明确“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，计算乘方时注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正即可正确求解。
【难度系数】
0.85
8.若满足方程组$\begin{cases}x+3y=m+2, \\ x-y=-1\end{cases}$的$x,y$互为相反数，则$m$的值为 ______ 。
答案
8.-1
解析
【分析】
首先根据互为相反数的性质得到x与y的关系：x+y=0，再结合题目给出的方程x-y=-1，可先求出x、y的具体值，最后把x、y代入含参数m的第一个方程，就能算出m的值。
【解析】
解：
∵x，y互为相反数
∴x + y = 0，即y = -x
将y = -x代入方程$x-y=-1$，得：
$x - (-x) = -1$
$2x = -1$
解得$x = -\frac{1}{2}$
则$y = -x = \frac{1}{2}$
把$x = -\frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$代入$x+3y=m+2$，得：
$-\frac{1}{2} + 3×\frac{1}{2} = m + 2$
计算左边得$1 = m + 2$
解得$m = -1$
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质；二元一次方程组的解；代入消元法
【点评】
本题属于基础综合题，结合相反数的性质考察二元一次方程组的求解，解题关键是先通过已知的等量关系求出x、y的值，再代入含参数的方程计算即可。
【难度系数】
0.8
首先根据互为相反数的性质得到x与y的关系：x+y=0，再结合题目给出的方程x-y=-1，可先求出x、y的具体值，最后把x、y代入含参数m的第一个方程，就能算出m的值。
【解析】
解：
∵x，y互为相反数
∴x + y = 0，即y = -x
将y = -x代入方程$x-y=-1$，得：
$x - (-x) = -1$
$2x = -1$
解得$x = -\frac{1}{2}$
则$y = -x = \frac{1}{2}$
把$x = -\frac{1}{2}$，$y = \frac{1}{2}$代入$x+3y=m+2$，得：
$-\frac{1}{2} + 3×\frac{1}{2} = m + 2$
计算左边得$1 = m + 2$
解得$m = -1$
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质；二元一次方程组的解；代入消元法
【点评】
本题属于基础综合题，结合相反数的性质考察二元一次方程组的求解，解题关键是先通过已知的等量关系求出x、y的值，再代入含参数的方程计算即可。
【难度系数】
0.8
9.在平面直角坐标系中,若点$ P(x,y) $的坐标满足$ x - 2y + 3 = 0 $,则我们称点$ P $为“健康点”;若点$ Q(x,y) $的坐标满足$ x + y - 6 = 0 $,则我们称点$ Q $为“快乐点”,若点$ A $既是“健康点”又是“快乐点”,则点$ A $的坐标为
(3,3)
.答案
9.(3,3)
解析
【分析】
首先要明确题中新定义的含义：“健康点”的坐标满足方程$x-2y+3=0$，“快乐点”的坐标满足方程$x+y-6=0$。点A同时是两种点，说明它的横纵坐标x、y同时满足这两个方程，因此只需将两个方程联立为二元一次方程组，求出方程组的解，即可得到点A的坐标。
【解析】
已知点A既是“健康点”又是“快乐点”，因此点A的坐标$(x,y)$同时满足以下两个方程：
$\begin{cases}x - 2y + 3 = 0 \quad ① \\x + y - 6 = 0 \quad ②\end{cases}$
用②式减去①式消去x：
$(x+y-6)-(x-2y+3)=0-0$
展开合并同类项得：$3y-9=0$，解得$y=3$。
将$y=3$代入②式：$x+3-6=0$，解得$x=3$。
因此点A的坐标为$(3,3)$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
新定义问题，二元一次方程组的解法，点的坐标特征
【点评】
本题结合新定义情境考查二元一次方程组的应用，核心是将新定义的点的特征转化为熟悉的方程组问题，侧重考查信息提取和转化能力。
【难度系数】
0.8
首先要明确题中新定义的含义：“健康点”的坐标满足方程$x-2y+3=0$，“快乐点”的坐标满足方程$x+y-6=0$。点A同时是两种点，说明它的横纵坐标x、y同时满足这两个方程，因此只需将两个方程联立为二元一次方程组，求出方程组的解，即可得到点A的坐标。
【解析】
已知点A既是“健康点”又是“快乐点”，因此点A的坐标$(x,y)$同时满足以下两个方程：
$\begin{cases}x - 2y + 3 = 0 \quad ① \\x + y - 6 = 0 \quad ②\end{cases}$
用②式减去①式消去x：
$(x+y-6)-(x-2y+3)=0-0$
展开合并同类项得：$3y-9=0$，解得$y=3$。
将$y=3$代入②式：$x+3-6=0$，解得$x=3$。
因此点A的坐标为$(3,3)$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
新定义问题，二元一次方程组的解法，点的坐标特征
【点评】
本题结合新定义情境考查二元一次方程组的应用，核心是将新定义的点的特征转化为熟悉的方程组问题，侧重考查信息提取和转化能力。
【难度系数】
0.8
10.如图，AC//EG，点B在AC上，点F在EG上，连结BF，BD平分∠ABE，EH平分∠BEF交BF于点H，∠EBF= 
∠EFB.给出下面四个结论：①BD//EH；②BF平分∠EBC；③∠BFE=∠ABE；④∠BFG−∠BEH=90°.上述结论中，正确结论的序号有
∠EFB.给出下面四个结论：①BD//EH；②BF平分∠EBC；③∠BFE=∠ABE；④∠BFG−∠BEH=90°.上述结论中，正确结论的序号有
①②④
.答案
10.①②④
解析
【分析】
我们结合平行线的性质、角平分线的定义，逐个验证4个结论是否成立：1. 先利用两直线平行内错角相等，结合角平分线定义判断BD和EH的位置关系验证①；2. 利用两直线平行内错角相等，结合已知∠EBF=∠EFB判断BF是否平分∠EBC验证②；3. 推导∠BFE和∠ABE的数量关系验证③；4. 利用邻补角性质、平行线和角平分线的性质推导∠BFG和∠BEH的差验证④。
【解析】
已知$AC// EG$，逐个验证结论：
1. 验证①：
∵$AC// EG$，$BE$为截线，
∴$∠ ABE=∠ BEF$（两直线平行，内错角相等）。
∵$BD$平分$∠ ABE$，
∴$∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABE$；
∵$EH$平分$∠ BEF$，
∴$∠ BEH=\frac{1}{2}∠ BEF$。
∴$∠ DBE=∠ BEH$，
∴$BD// EH$（内错角相等，两直线平行），故①正确。
2. 验证②：
∵$AC// EG$，$BF$为截线，
∴$∠ CBF=∠ EFB$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵已知$∠ EBF=∠ EFB$，
∴$∠ EBF=∠ CBF$，即$BF$平分$∠ EBC$，故②正确。
3. 验证③：
∵$∠ ABE+∠ EBC=180°$（邻补角定义），由②知$∠ EBC=2∠ EBF=2∠ BFE$，
∴$∠ ABE=180°-2∠ BFE$，仅当$∠ BFE=45°$时$∠ BFE=∠ ABE$，不是恒成立，故③错误。
4. 验证④：
∵$∠ BFG+∠ BFE=180°$（邻补角定义），
∴$∠ BFG=180°-∠ BFE$。
由①知$∠ BEH=\frac{1}{2}∠ BEF=\frac{1}{2}∠ ABE$，又$∠ ABE=180°-∠ EBC=180°-2∠ BFE$，
∴$∠ BEH=\frac{1}{2}(180°-2∠ BFE)=90°-∠ BFE$。
∴$∠ BFG-∠ BEH=(180°-∠ BFE)-(90°-∠ BFE)=90°$，故④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题综合考查平行线与角平分线相关性质，需要逐一严谨推导每个结论，注意不要默认特殊角存在而错判结论。
【难度系数】
0.65
我们结合平行线的性质、角平分线的定义，逐个验证4个结论是否成立：1. 先利用两直线平行内错角相等，结合角平分线定义判断BD和EH的位置关系验证①；2. 利用两直线平行内错角相等，结合已知∠EBF=∠EFB判断BF是否平分∠EBC验证②；3. 推导∠BFE和∠ABE的数量关系验证③；4. 利用邻补角性质、平行线和角平分线的性质推导∠BFG和∠BEH的差验证④。
【解析】
已知$AC// EG$，逐个验证结论：
1. 验证①：
∵$AC// EG$，$BE$为截线，
∴$∠ ABE=∠ BEF$（两直线平行，内错角相等）。
∵$BD$平分$∠ ABE$，
∴$∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABE$；
∵$EH$平分$∠ BEF$，
∴$∠ BEH=\frac{1}{2}∠ BEF$。
∴$∠ DBE=∠ BEH$，
∴$BD// EH$（内错角相等，两直线平行），故①正确。
2. 验证②：
∵$AC// EG$，$BF$为截线，
∴$∠ CBF=∠ EFB$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵已知$∠ EBF=∠ EFB$，
∴$∠ EBF=∠ CBF$，即$BF$平分$∠ EBC$，故②正确。
3. 验证③：
∵$∠ ABE+∠ EBC=180°$（邻补角定义），由②知$∠ EBC=2∠ EBF=2∠ BFE$，
∴$∠ ABE=180°-2∠ BFE$，仅当$∠ BFE=45°$时$∠ BFE=∠ ABE$，不是恒成立，故③错误。
4. 验证④：
∵$∠ BFG+∠ BFE=180°$（邻补角定义），
∴$∠ BFG=180°-∠ BFE$。
由①知$∠ BEH=\frac{1}{2}∠ BEF=\frac{1}{2}∠ ABE$，又$∠ ABE=180°-∠ EBC=180°-2∠ BFE$，
∴$∠ BEH=\frac{1}{2}(180°-2∠ BFE)=90°-∠ BFE$。
∴$∠ BFG-∠ BEH=(180°-∠ BFE)-(90°-∠ BFE)=90°$，故④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题综合考查平行线与角平分线相关性质，需要逐一严谨推导每个结论，注意不要默认特殊角存在而错判结论。
【难度系数】
0.65
