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1 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ BAC=70°$,将$△ ABC$绕点A按顺时针方向旋转$70°$,点$B,C$旋转后的对应点分别是$B',C'$,连接$BB'$,则$∠ B'BC'$的度数是 (
A.$35°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$55°$
D
)A.$35°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
1. D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等，对应角相等，旋转角相等。第一步先找到旋转后的对应边和旋转角：△ABC绕点A顺时针旋转70°，可得AB=AB'，旋转角∠BAB'=70°，由此可判断△ABB'是顶角为70°的等腰三角形，可算出其底角度数。再结合已知∠BAC=70°，可判断点C'落在AB边上，因此要求的∠B'BC'就是等腰△ABB'的底角，直接代入计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°得到△AB'C'，
∴AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'=70°，
又
∵∠BAC=70°，
∴AC'与AB重合，即点C'在线段AB上，
∴△ABB'为等腰三角形，顶角∠BAB'=70°，
根据等腰三角形内角和性质：
$∠ ABB'=\frac{180°-∠ BAB'}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
即$∠ B'BC'=∠ ABB'=55°$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题核心是准确识别旋转后的对应边、旋转角，结合等腰三角形的角度计算规律即可快速求解，需要注意判断点C'的位置，避免混淆所求角的组成。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等，对应角相等，旋转角相等。第一步先找到旋转后的对应边和旋转角：△ABC绕点A顺时针旋转70°，可得AB=AB'，旋转角∠BAB'=70°，由此可判断△ABB'是顶角为70°的等腰三角形，可算出其底角度数。再结合已知∠BAC=70°，可判断点C'落在AB边上，因此要求的∠B'BC'就是等腰△ABB'的底角，直接代入计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°得到△AB'C'，
∴AB=AB'，∠BAB'=∠CAC'=70°，
又
∵∠BAC=70°，
∴AC'与AB重合，即点C'在线段AB上，
∴△ABB'为等腰三角形，顶角∠BAB'=70°，
根据等腰三角形内角和性质：
$∠ ABB'=\frac{180°-∠ BAB'}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
即$∠ B'BC'=∠ ABB'=55°$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题核心是准确识别旋转后的对应边、旋转角，结合等腰三角形的角度计算规律即可快速求解，需要注意判断点C'的位置，避免混淆所求角的组成。
【难度系数】
0.7
2 如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,连接BE,∠EBC=15°,将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC,连接EF,则∠EFD的度数为 (
A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
C
)A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
2. C
解析
【分析】
遇到旋转相关的角度计算问题，首先联想旋转的核心性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，旋转角相等。本题解题思路如下：第一步，由旋转性质得出边和角的等量关系，判定△ECF的形状；第二步，在直角△BEC中求出∠BEC的度数，得到对应角∠DFC的度数；第三步，结合等腰直角三角形的底角度数，作差求出∠EFD的度数。
【解析】
解：
∵将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC，
∴△EBC≌△FDC，
∴CE=CF，∠ECF=∠BCD=90°，∠DFC=∠BEC，∠EBC=∠CDF=15°。
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°。
在Rt△BEC中，∠EBC=15°，
∴∠BEC=90°-15°=75°，
∴∠DFC=75°，
∴∠EFD=∠DFC - ∠EFC=75°-45°=30°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是旋转性质应用的基础题型，解题关键是抓住旋转前后边和角的等量关系，结合特殊三角形的角度特征计算，需要注意区分所求角是哪两个角的差，避免角度对应错误。
【难度系数】
0.7
遇到旋转相关的角度计算问题，首先联想旋转的核心性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，旋转角相等。本题解题思路如下：第一步，由旋转性质得出边和角的等量关系，判定△ECF的形状；第二步，在直角△BEC中求出∠BEC的度数，得到对应角∠DFC的度数；第三步，结合等腰直角三角形的底角度数，作差求出∠EFD的度数。
【解析】
解：
∵将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC，
∴△EBC≌△FDC，
∴CE=CF，∠ECF=∠BCD=90°，∠DFC=∠BEC，∠EBC=∠CDF=15°。
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°。
在Rt△BEC中，∠EBC=15°，
∴∠BEC=90°-15°=75°，
∴∠DFC=75°，
∴∠EFD=∠DFC - ∠EFC=75°-45°=30°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是旋转性质应用的基础题型，解题关键是抓住旋转前后边和角的等量关系，结合特殊三角形的角度特征计算，需要注意区分所求角是哪两个角的差，避免角度对应错误。
【难度系数】
0.7
3 如图，将$△ ABC$绕点A顺时针旋转一定角度，得到$△ ADE$，点B的对应点D恰好在线段BC上，且$AB // DE$。若$∠ C = 35°$，则$∠ DAC$的度数为________。
答案
3. $25°$
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质得到对应边、对应角的等量关系，再利用平行线的内错角相等推导角的关系，判定△ABD的形状，最后结合三角形内角和公式计算所求角度。步骤如下：①由旋转性质得AB=AD，∠B=∠ADE；②根据AB//DE推出∠BAD=∠ADE，进而得到∠B=∠BAD=∠ADB，判定△ABD为等边三角形，得到∠B和∠BAD的度数；③利用△ABC内角和求出∠BAC的度数，用∠BAC减去∠BAD即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AB=AD，∠B=∠ADE。
∵AB//DE，
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAD=∠B。
又
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∴∠B=∠ADB=∠BAD，即△ABD为等边三角形，
∴∠B=∠BAD=60°。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，已知∠C=35°，
∴∠BAC=180° - 60° - 35° = 85°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=85° - 60°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，综合考查了图形旋转、平行线、等边三角形及三角形内角和的相关知识，解题的关键是通过角的等量关系推出△ABD为等边三角形，进而计算角度。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合旋转的性质得到对应边、对应角的等量关系，再利用平行线的内错角相等推导角的关系，判定△ABD的形状，最后结合三角形内角和公式计算所求角度。步骤如下：①由旋转性质得AB=AD，∠B=∠ADE；②根据AB//DE推出∠BAD=∠ADE，进而得到∠B=∠BAD=∠ADB，判定△ABD为等边三角形，得到∠B和∠BAD的度数；③利用△ABC内角和求出∠BAC的度数，用∠BAC减去∠BAD即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AB=AD，∠B=∠ADE。
∵AB//DE，
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAD=∠B。
又
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∴∠B=∠ADB=∠BAD，即△ABD为等边三角形，
∴∠B=∠BAD=60°。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，已知∠C=35°，
∴∠BAC=180° - 60° - 35° = 85°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=85° - 60°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，综合考查了图形旋转、平行线、等边三角形及三角形内角和的相关知识，解题的关键是通过角的等量关系推出△ABD为等边三角形，进而计算角度。
【难度系数】
0.6
4 如图，P为等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=
$150°$
。答案
4. $150°$ 【解析】将$△ APB$绕点$B$顺时针旋转$60°$,使点$A$与点$C$重合,点$P$旋转到点$P'$的位置,连接$PP'$.根据旋转的性质,知$△ APB ≌ △ CP'B$,$PB = P'B = 4$,$AP = CP' = 3$,$∠ PBP' = 60°$.$\therefore ∠ APB = ∠ CP'B$,$△ PBP'$是等边三角形.$\therefore PP' = PB = 4$,$∠ PP'B = 60°$.在$△ PP'C$中,$P'C = 3$,$PP' = 4$,$PC = 5$,$\therefore P'C^2 + PP'^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$,$PC^2 = 5^2 = 25$.$\therefore P'C^2 + PP'^2 = PC^2$.$\therefore △ PP'C$是直角三角形,且$∠ PP'C = 90°$.$\therefore ∠ APB = ∠ CP'B = 60° + 90° = 150°$.
解析
【分析】
本题中等边三角形内一点到三顶点的长度3、4、5为常见勾股数，因此可通过旋转将分散的三条线段转化到同一个三角形中求解。因为△ABC是等边三角形，边长相等且内角为60°，将△APB绕点B顺时针旋转60°使AB与BC重合，即可同时构造出等边三角形和直角三角形，进而求出对应角的度数。
【解析】
将$△ APB$绕点$B$顺时针旋转$60°$，使点$A$与点$C$重合，点$P$旋转到点$P'$的位置，连接$PP'$。
由旋转的性质可得：$△ APB ≌ △ CP'B$，
$\therefore PB = P'B = 4$，$AP = CP' = 3$，$∠ PBP' = 60°$，$∠ APB = ∠ CP'B$。
$\because PB = P'B$，$∠ PBP' = 60°$，
$\therefore △ PBP'$是等边三角形，
$\therefore PP' = PB = 4$，$∠ PP'B = 60°$。
在$△ PP'C$中，$P'C = 3$，$PP' = 4$，$PC = 5$，
$\because P'C^2 + PP'^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$PC^2 = 5^2 = 25$，
$\therefore P'C^2 + PP'^2 = PC^2$，
$\therefore △ PP'C$是直角三角形，且$∠ PP'C = 90°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ CP'B = ∠ PP'B + ∠ PP'C = 60° + 90° = 150°$。
【答案】
$150°$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转在几何角度计算中的典型应用，解题核心是通过旋转将分散的已知线段集中到同一个三角形中，结合等边三角形和直角三角形的性质推导角度，这种旋转构造的方法在等边三角形、正方形相关的几何计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.4
本题中等边三角形内一点到三顶点的长度3、4、5为常见勾股数，因此可通过旋转将分散的三条线段转化到同一个三角形中求解。因为△ABC是等边三角形，边长相等且内角为60°，将△APB绕点B顺时针旋转60°使AB与BC重合，即可同时构造出等边三角形和直角三角形，进而求出对应角的度数。
【解析】
将$△ APB$绕点$B$顺时针旋转$60°$，使点$A$与点$C$重合，点$P$旋转到点$P'$的位置，连接$PP'$。
由旋转的性质可得：$△ APB ≌ △ CP'B$，
$\therefore PB = P'B = 4$，$AP = CP' = 3$，$∠ PBP' = 60°$，$∠ APB = ∠ CP'B$。
$\because PB = P'B$，$∠ PBP' = 60°$，
$\therefore △ PBP'$是等边三角形，
$\therefore PP' = PB = 4$，$∠ PP'B = 60°$。
在$△ PP'C$中，$P'C = 3$，$PP' = 4$，$PC = 5$，
$\because P'C^2 + PP'^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$PC^2 = 5^2 = 25$，
$\therefore P'C^2 + PP'^2 = PC^2$，
$\therefore △ PP'C$是直角三角形，且$∠ PP'C = 90°$，
$\therefore ∠ APB = ∠ CP'B = ∠ PP'B + ∠ PP'C = 60° + 90° = 150°$。
【答案】
$150°$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转在几何角度计算中的典型应用，解题核心是通过旋转将分散的已知线段集中到同一个三角形中，结合等边三角形和直角三角形的性质推导角度，这种旋转构造的方法在等边三角形、正方形相关的几何计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.4
5 如图，E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置.若四边形AECF 的面积为144，AE=13，则DE 的长为 （
A.4
B.5
C.6
D.7
（第5题）（第6题）
B
）A.4
B.5
C.6
D.7
（第5题）（第6题）
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质分析：旋转前后的图形全等，对应面积相等，因此可将不规则四边形AECF的面积转化为正方形ABCD的面积，先求出正方形的边长；再利用正方形的直角性质，在Rt△ADE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴△ADE≌△ABF，
∴$S_{△ ADE}=S_{△ ABF}$，
∴$S_{四边形AECF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ABF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ADE}=S_{正方形ABCD}$，
∵$S_{四边形AECF}=144$，
∴$S_{正方形ABCD}=144$，
∴正方形边长$AD=\sqrt{144}=12$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ D=90°$，
在$Rt△ ADE$中，$AE=13$，$AD=12$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是旋转性质应用的典型题，解题关键是通过旋转将不规则图形的面积转化为规则正方形的面积，再结合勾股定理求解线段长度，整体逻辑清晰，考查学生对图形变换的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质分析：旋转前后的图形全等，对应面积相等，因此可将不规则四边形AECF的面积转化为正方形ABCD的面积，先求出正方形的边长；再利用正方形的直角性质，在Rt△ADE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
解：
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴△ADE≌△ABF，
∴$S_{△ ADE}=S_{△ ABF}$，
∴$S_{四边形AECF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ABF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ADE}=S_{正方形ABCD}$，
∵$S_{四边形AECF}=144$，
∴$S_{正方形ABCD}=144$，
∴正方形边长$AD=\sqrt{144}=12$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ D=90°$，
在$Rt△ ADE$中，$AE=13$，$AD=12$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是旋转性质应用的典型题，解题关键是通过旋转将不规则图形的面积转化为规则正方形的面积，再结合勾股定理求解线段长度，整体逻辑清晰，考查学生对图形变换的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
6 如图，$△ ABC$是等边三角形，点$P$在$△ ABC$内，$PA=2$，将$△ PAB$绕点$A$按逆时针方向旋转得到$△ QAC$，则$PQ$的长为（
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.1
A
）A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.1
答案
6. A
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后图形的对应边相等、对应角相等，旋转角大小相等。本题中已知△PAB绕点A旋转得到△QAC，首先可得对应边AP=AQ，再结合△ABC是等边三角形得到∠BAC=60°，进而推出旋转角∠PAQ=∠BAC=60°，此时可判定△PAQ为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质即可求出PQ的长度。
【解析】
解：
∵△PAB绕点A按逆时针方向旋转得到△QAC，
∴AP=AQ，∠PAQ=∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAQ=60°，
∴△PAQ是含有60°内角的等腰三角形，即△PAQ为等边三角形，
∴PQ=PA，
又
∵PA=2，
∴PQ=2。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用旋转的性质得到边和角的等量关系，结合等边三角形的判定定理得出△PAQ为等边三角形，进而求出线段长度，熟练掌握旋转性质和等边三角形的相关定理是解决此类题目的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后图形的对应边相等、对应角相等，旋转角大小相等。本题中已知△PAB绕点A旋转得到△QAC，首先可得对应边AP=AQ，再结合△ABC是等边三角形得到∠BAC=60°，进而推出旋转角∠PAQ=∠BAC=60°，此时可判定△PAQ为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质即可求出PQ的长度。
【解析】
解：
∵△PAB绕点A按逆时针方向旋转得到△QAC，
∴AP=AQ，∠PAQ=∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAQ=60°，
∴△PAQ是含有60°内角的等腰三角形，即△PAQ为等边三角形，
∴PQ=PA，
又
∵PA=2，
∴PQ=2。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用旋转的性质得到边和角的等量关系，结合等边三角形的判定定理得出△PAQ为等边三角形，进而求出线段长度，熟练掌握旋转性质和等边三角形的相关定理是解决此类题目的关键。
【难度系数】
0.8
7 如图，P 是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，∠APB=135°，则PC=
3
。答案
7. 3
解析
【分析】
要求PC的长度，已知PA、PB和∠APB的度数，三个条件较为分散，可利用正方形四边相等、内角为90°的特点，通过旋转将分散的条件集中到三角形中求解：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，此时可得到等腰直角三角形和含已知边长的直角三角形，再借助勾股定理即可求出PC的长度。
【解析】
将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△CBP'，连接PP'。
由旋转的性质可得：$BP=BP'=2$，$P'C=PA=1$，$∠ PBP'=90°$，$∠ BP'C=∠ APB=135°$。
∵$△ PBP'$是等腰直角三角形，
∴$∠ BP'P=45°$，$PP'=\sqrt{BP^2 + BP'^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
∴$∠ PP'C=∠ BP'C - ∠ BP'P=135°-45°=90°$，即$△ PP'C$是直角三角形。
由勾股定理得：$PC=\sqrt{PP'^2 + P'C^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2}=\sqrt{8+1}=3$。
【答案】
3
【知识点】
旋转的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题解题的关键是通过旋转将分散的已知线段和角度转化到可计算的三角形中，这种利用旋转转化条件的思路是解决正方形内线段求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
要求PC的长度，已知PA、PB和∠APB的度数，三个条件较为分散，可利用正方形四边相等、内角为90°的特点，通过旋转将分散的条件集中到三角形中求解：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，此时可得到等腰直角三角形和含已知边长的直角三角形，再借助勾股定理即可求出PC的长度。
【解析】
将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△CBP'，连接PP'。
由旋转的性质可得：$BP=BP'=2$，$P'C=PA=1$，$∠ PBP'=90°$，$∠ BP'C=∠ APB=135°$。
∵$△ PBP'$是等腰直角三角形，
∴$∠ BP'P=45°$，$PP'=\sqrt{BP^2 + BP'^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
∴$∠ PP'C=∠ BP'C - ∠ BP'P=135°-45°=90°$，即$△ PP'C$是直角三角形。
由勾股定理得：$PC=\sqrt{PP'^2 + P'C^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2}=\sqrt{8+1}=3$。
【答案】
3
【知识点】
旋转的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题解题的关键是通过旋转将分散的已知线段和角度转化到可计算的三角形中，这种利用旋转转化条件的思路是解决正方形内线段求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
8 如图,在$△ ABC$中,$AB=2,BC=3.6,∠ B=60°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ ADE$,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,CD的长为
1.6
.答案
8. 1.6
解析
【分析】
解题时先根据旋转的性质得到对应边AB=AD，结合已知∠B=60°，可判定△ABD是等边三角形，由此求出BD的长度，最后根据CD=BC-BD即可计算出CD的长。
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点为D
∴由旋转的性质可得：AB=AD
又
∵∠B=60°
∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BD=AB=2
∵BC=3.6
∴CD=BC - BD=3.6 - 2=1.6
【答案】
1.6
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的性质得到相等的边，再结合等边三角形的判定求出BD的长度，解题思路清晰，注重对基础性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先根据旋转的性质得到对应边AB=AD，结合已知∠B=60°，可判定△ABD是等边三角形，由此求出BD的长度，最后根据CD=BC-BD即可计算出CD的长。
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点为D
∴由旋转的性质可得：AB=AD
又
∵∠B=60°
∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BD=AB=2
∵BC=3.6
∴CD=BC - BD=3.6 - 2=1.6
【答案】
1.6
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是利用旋转的性质得到相等的边，再结合等边三角形的判定求出BD的长度，解题思路清晰，注重对基础性质的应用。
【难度系数】
0.7
9 如图,在正方形$ABCD$中,$AB=4$,$E$为$AB$上一点,点$F$在$BC$上,且$BF=1$.连接$EF$,将$EF$绕着点$F$按顺时针方向旋转$90°$得到$GF$,连接$DG$,则$DG$长的最小值为（
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$\sqrt{10}$
C
）A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$\sqrt{10}$
答案
9. C
解析
【分析】
本题可通过构造全等三角形确定动点G的运动轨迹，再结合点到线段的距离规律求最小值。首先根据旋转的性质可得EF=FG、∠EFG=90°，过G作BC的垂线，可证△EBF与△FHG全等，由此推出G点到BC的距离为定值，即G点在固定直线上运动，最后计算D点到该直线的最短距离即可。
【解析】
设点B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系：
∵正方形ABCD边长$AB=4$，
∴$A(0,4)$，$B(0,0)$，$C(4,0)$，$D(4,4)$，
又$BF=1$，
∴$F(1,0)$。
过G作$GH⊥BC$于H，则$∠GHF=∠B=90°$，
由旋转性质得：$EF=FG$，$∠EFG=90°$，
∴$∠BFE+∠HFG=90°$，
又$Rt△EBF$中$∠BFE+∠BEF=90°$，
∴$∠BEF=∠HFG$。
在$△ EBF$和$△ FHG$中：
$\begin{cases}∠B=∠FHG \\∠BEF=∠HFG \\EF=FG\end{cases}$
∴$△ EBF≌△ FHG(AAS)$，
∴$GH=BF=1$，$FH=BE$。
设$BE=t$（$0≤t≤4$），则$FH=t$，
∴G点坐标为$(1+t,1)$，即G点在直线$y=1$上运动，横坐标取值范围为$1≤x≤5$。
D点坐标为$(4,4)$，则$DG=\sqrt{(x-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(x-4)^2+9}$，
当$x=4$时，$(x-4)^2$取最小值0，此时$DG_{min}=\sqrt{9}=3$，且$x=4$在G点横坐标取值范围内，符合要求。
【答案】C
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；动点最值
【点评】
本题是旋转性质与动点最值结合的典型题，核心是通过全等确定动点的运动轨迹，将线段最小值转化为点到直线的距离问题求解，对几何轨迹思维的培养有较好的作用。
【难度系数】
0.6
本题可通过构造全等三角形确定动点G的运动轨迹，再结合点到线段的距离规律求最小值。首先根据旋转的性质可得EF=FG、∠EFG=90°，过G作BC的垂线，可证△EBF与△FHG全等，由此推出G点到BC的距离为定值，即G点在固定直线上运动，最后计算D点到该直线的最短距离即可。
【解析】
设点B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系：
∵正方形ABCD边长$AB=4$，
∴$A(0,4)$，$B(0,0)$，$C(4,0)$，$D(4,4)$，
又$BF=1$，
∴$F(1,0)$。
过G作$GH⊥BC$于H，则$∠GHF=∠B=90°$，
由旋转性质得：$EF=FG$，$∠EFG=90°$，
∴$∠BFE+∠HFG=90°$，
又$Rt△EBF$中$∠BFE+∠BEF=90°$，
∴$∠BEF=∠HFG$。
在$△ EBF$和$△ FHG$中：
$\begin{cases}∠B=∠FHG \\∠BEF=∠HFG \\EF=FG\end{cases}$
∴$△ EBF≌△ FHG(AAS)$，
∴$GH=BF=1$，$FH=BE$。
设$BE=t$（$0≤t≤4$），则$FH=t$，
∴G点坐标为$(1+t,1)$，即G点在直线$y=1$上运动，横坐标取值范围为$1≤x≤5$。
D点坐标为$(4,4)$，则$DG=\sqrt{(x-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(x-4)^2+9}$，
当$x=4$时，$(x-4)^2$取最小值0，此时$DG_{min}=\sqrt{9}=3$，且$x=4$在G点横坐标取值范围内，符合要求。
【答案】C
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；动点最值
【点评】
本题是旋转性质与动点最值结合的典型题，核心是通过全等确定动点的运动轨迹，将线段最小值转化为点到直线的距离问题求解，对几何轨迹思维的培养有较好的作用。
【难度系数】
0.6
