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8（易错题）如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以点C为旋转中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D'的坐标是
$(2,10)$或$(-2,0)$
.答案
8. $(2,10)$或$(-2,0)$
易错分析
8. 易忽略讨论旋转方向而致错。
易错分析
8. 易忽略讨论旋转方向而致错。
解析
【分析】
首先根据点D的坐标确定正方形OABC的边长，计算出BD的长度；由于题目未明确旋转方向，需分绕点C顺时针旋转90°和逆时针旋转90°两种情况讨论，结合旋转前后对应边相等、对应角为90°的性质，分别推导旋转后点D'的坐标。
【解析】
解：
∵正方形OABC中，点D(5,3)在边AB上，
∴OA=AB=BC=OC=5，点B坐标为(5,5)，点C坐标为(0,5)，
∴BD=AB - AD = 5 - 3 = 2。
分两种情况讨论旋转：
① 若将△CDB绕点C逆时针旋转90°：
旋转后CB边转到竖直向上的位置，BD由竖直向下变为水平向右，
则点D'的横坐标为$0+2=2$，纵坐标为$5+5=10$，即$D'(2,10)$；
② 若将△CDB绕点C顺时针旋转90°：
旋转后CB边转到竖直向下的位置（与CO重合），BD由竖直向下变为水平向左，
则点D'的横坐标为$0-2=-2$，纵坐标为$5-5=0$，即$D'(-2,0)$。
综上，旋转后点D的对应点D'的坐标为$(2,10)$或$(-2,0)$。
【答案】
$(2,10)$或$(-2,0)$
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略旋转方向的分类讨论导致漏解，需注意旋转没有明确方向时，要考虑顺时针、逆时针两种可能。
【难度系数】
0.6
首先根据点D的坐标确定正方形OABC的边长，计算出BD的长度；由于题目未明确旋转方向，需分绕点C顺时针旋转90°和逆时针旋转90°两种情况讨论，结合旋转前后对应边相等、对应角为90°的性质，分别推导旋转后点D'的坐标。
【解析】
解：
∵正方形OABC中，点D(5,3)在边AB上，
∴OA=AB=BC=OC=5，点B坐标为(5,5)，点C坐标为(0,5)，
∴BD=AB - AD = 5 - 3 = 2。
分两种情况讨论旋转：
① 若将△CDB绕点C逆时针旋转90°：
旋转后CB边转到竖直向上的位置，BD由竖直向下变为水平向右，
则点D'的横坐标为$0+2=2$，纵坐标为$5+5=10$，即$D'(2,10)$；
② 若将△CDB绕点C顺时针旋转90°：
旋转后CB边转到竖直向下的位置（与CO重合），BD由竖直向下变为水平向左，
则点D'的横坐标为$0-2=-2$，纵坐标为$5-5=0$，即$D'(-2,0)$。
综上，旋转后点D的对应点D'的坐标为$(2,10)$或$(-2,0)$。
【答案】
$(2,10)$或$(-2,0)$
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略旋转方向的分类讨论导致漏解，需注意旋转没有明确方向时，要考虑顺时针、逆时针两种可能。
【难度系数】
0.6
9 如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向的夹角为$45°$，且$OA=2$。若将线段OA绕点O按逆时针方向旋转$105°$得到线段$OA'$，则点$A'$的坐标为 （
A.$(-\sqrt{3}, -1)$
B.$(-1, \sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3}, 1)$
D.$(1, -\sqrt{3})$
C
）A.$(-\sqrt{3}, -1)$
B.$(-1, \sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3}, 1)$
D.$(1, -\sqrt{3})$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时先从旋转的性质入手，首先明确旋转前后对应线段长度相等，可得OA'=OA=2；接下来计算旋转后OA'与x轴正方向的总夹角：原夹角45°加上逆时针旋转的105°得150°，可知A'在第二象限，坐标横负纵正；随后过A'向x轴作垂线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质和勾股定理计算横纵坐标的绝对值，结合象限符号即可得到点A'的坐标。
【解析】
根据旋转的性质可得：$OA'=OA=2$，$∠ AOA'=105°$。
已知原线段OA与x轴正方向夹角为$45°$，因此旋转后OA'与x轴正方向的夹角为$45°+105°=150°$，点$A'$位于第二象限。
过点$A'$作$A'B ⊥ x$轴于点B，则$∠ A'OB=180°-150°=30°$。
在$Rt△ A'OB$中，$OA'=2$，$∠ A'OB=30°$，由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：$A'B=\frac{1}{2}OA'=1$。
由勾股定理计算OB的长度：$OB=\sqrt{OA'^2 - A'B^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
结合第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），可得点$A'$的坐标为$(-\sqrt{3},1)$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是旋转性质的典型应用题型，核心考查学生结合几何性质求解平面直角坐标系内点坐标的能力，解题时需注意构造直角三角形计算线段长度，同时不要忽略根据点所在象限判断坐标的正负。
【难度系数】
0.7
解题时先从旋转的性质入手，首先明确旋转前后对应线段长度相等，可得OA'=OA=2；接下来计算旋转后OA'与x轴正方向的总夹角：原夹角45°加上逆时针旋转的105°得150°，可知A'在第二象限，坐标横负纵正；随后过A'向x轴作垂线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质和勾股定理计算横纵坐标的绝对值，结合象限符号即可得到点A'的坐标。
【解析】
根据旋转的性质可得：$OA'=OA=2$，$∠ AOA'=105°$。
已知原线段OA与x轴正方向夹角为$45°$，因此旋转后OA'与x轴正方向的夹角为$45°+105°=150°$，点$A'$位于第二象限。
过点$A'$作$A'B ⊥ x$轴于点B，则$∠ A'OB=180°-150°=30°$。
在$Rt△ A'OB$中，$OA'=2$，$∠ A'OB=30°$，由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：$A'B=\frac{1}{2}OA'=1$。
由勾股定理计算OB的长度：$OB=\sqrt{OA'^2 - A'B^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
结合第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），可得点$A'$的坐标为$(-\sqrt{3},1)$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；含30°角的直角三角形性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是旋转性质的典型应用题型，核心考查学生结合几何性质求解平面直角坐标系内点坐标的能力，解题时需注意构造直角三角形计算线段长度，同时不要忽略根据点所在象限判断坐标的正负。
【难度系数】
0.7
10 如图，在$△ OAB$中，$∠ AOB = 60°$，$OA = 4$，点B的坐标为$(6,0)$，将$△ OAB$绕点A逆时针旋转得到$△ CAD$，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为________。
答案
10. $(7,3\sqrt{3})$
解析
【分析】
解题时先依据旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，结合已知∠AOB=60°、AO=AC可判定△OAC为等边三角形，先求出点A、点C的坐标；再根据旋转的全等性质得到CD=OB，∠ACD=∠AOB=60°，进而推出CD与x轴正方向的夹角为60°，最后过D作x轴的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出D点的横纵坐标即可。
【解析】
1. 求点A坐标：过点A作$AF⊥ x$轴于点F，
已知$OA=4$，$∠ AOB=60°$，在$Rt△ AOF$中：
$OF=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，$AF=OA·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
即$A(2,2\sqrt{3})$。
2. 求点C坐标：由旋转性质得$AO=AC$，又$∠ AOC=60°$，
因此$△ OAC$是等边三角形，故$OC=OA=4$，即$C(4,0)$。
3. 求线段相关参数：由旋转得$△ OAB≌△ CAD$，因此$CD=OB=6$，$∠ ACD=∠ AOB=60°$，
结合等边三角形$△ OAC$中$∠ ACO=60°$，可得$∠ DCE=180°-60°-60°=60°$。
4. 求D点坐标：过点D作$DE⊥ x$轴于点E，在$Rt△ CDE$中：
$CE=CD·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$，$DE=CD·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
因此D点横坐标为$4+3=7$，纵坐标为$3\sqrt{3}$。
【答案】
$(7,3\sqrt{3})$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题是旋转性质的典型应用题型，解题核心是利用旋转的全等性质挖掘边角关系，结合等边三角形、解直角三角形的知识求点坐标，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先依据旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，结合已知∠AOB=60°、AO=AC可判定△OAC为等边三角形，先求出点A、点C的坐标；再根据旋转的全等性质得到CD=OB，∠ACD=∠AOB=60°，进而推出CD与x轴正方向的夹角为60°，最后过D作x轴的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出D点的横纵坐标即可。
【解析】
1. 求点A坐标：过点A作$AF⊥ x$轴于点F，
已知$OA=4$，$∠ AOB=60°$，在$Rt△ AOF$中：
$OF=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，$AF=OA·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
即$A(2,2\sqrt{3})$。
2. 求点C坐标：由旋转性质得$AO=AC$，又$∠ AOC=60°$，
因此$△ OAC$是等边三角形，故$OC=OA=4$，即$C(4,0)$。
3. 求线段相关参数：由旋转得$△ OAB≌△ CAD$，因此$CD=OB=6$，$∠ ACD=∠ AOB=60°$，
结合等边三角形$△ OAC$中$∠ ACO=60°$，可得$∠ DCE=180°-60°-60°=60°$。
4. 求D点坐标：过点D作$DE⊥ x$轴于点E，在$Rt△ CDE$中：
$CE=CD·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$，$DE=CD·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
因此D点横坐标为$4+3=7$，纵坐标为$3\sqrt{3}$。
【答案】
$(7,3\sqrt{3})$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题是旋转性质的典型应用题型，解题核心是利用旋转的全等性质挖掘边角关系，结合等边三角形、解直角三角形的知识求点坐标，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.65
11 一题多解 如图,在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)将△ABC向右平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)将(1)中的△A₁B₁C₁绕点C₁按逆时针方向旋转90°得到△A₂B₂C₁,画出△A₂B₂C₁.
(1)将△ABC向右平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)将(1)中的△A₁B₁C₁绕点C₁按逆时针方向旋转90°得到△A₂B₂C₁,画出△A₂B₂C₁.
答案
11. （1）如图,△A₁B₁C₁即为所求作 （2）如图,△A₂B₂C₁即为所求作
解法一(按平移、旋转步骤画图):平移:将△ABC的三个顶点分别向右平移5个单位长度得到点A₁,B₁,C₁,连接得△A₁B₁C₁.
旋转:将△A₁B₁C₁的顶点A₁,B₁分别绕点C₁逆时针旋转90°得到点A₂,B₂,连接得△A₂B₂C₁
解法二(利用网格特征画图):根据网格的边长和角度特征,直接确定平移和旋转后各顶点的位置,再连接成三角形
解析
【分析】
本题考查网格中的平移和旋转作图，解题思路如下：
1. 解决平移作图问题：根据平移的性质，平移过程中图形的每个点都沿相同方向移动相同距离，只需先找到△ABC的三个顶点A、B、C向右平移5个单位的对应点，再依次连接对应点即可得到平移后的图形。
2. 解决旋转作图问题：首先明确旋转三要素：旋转中心为C₁、旋转方向为逆时针、旋转角度为90°，再根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，借助网格的直角和边长特征找到A₁、B₁旋转后的对应点，最后连接各点即可得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 平移作图步骤：
① 定位△ABC的三个顶点A、B、C的格点位置；
② 分别将点A、B、C沿水平向右方向移动5个单位长度，得到对应点A₁、B₁、C₁；
③ 按照原图形的连接顺序，依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 旋转作图步骤：
① 明确旋转三要素：旋转中心为点C₁，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；
② 将点A₁绕点C₁逆时针旋转90°，利用网格特征保证C₁A₂=C₁A₁且∠A₁C₁A₂=90°，得到对应点A₂；
③ 同理将点B₁绕点C₁逆时针旋转90°，保证C₁B₂=C₁B₁且∠B₁C₁B₂=90°，得到对应点B₂；
④ 依次连接A₂B₂、B₂C₁、C₁A₂，得到△A₂B₂C₁。
【答案】
（1）如图,△A₁B₁C₁即为所求作 （2）如图,△A₂B₂C₁即为所求作
解法一(按平移、旋转步骤画图):平移:将△ABC的三个顶点分别向右平移5个单位长度得到点A₁,B₁,C₁,连接得△A₁B₁C₁.
旋转:将△A₁B₁C₁的顶点A₁,B₁分别绕点C₁逆时针旋转90°得到点A₂,B₂,连接得△A₂B₂C₁
解法二(利用网格特征画图):根据网格的边长和角度特征,直接确定平移和旋转后各顶点的位置,再连接成三角形
【知识点】
平移作图，旋转作图，网格操作
【点评】
本题是基础的几何变换类作图题，核心考查对平移、旋转性质的理解和应用，作图时需注意平移的方向和距离、旋转三要素的准确性，借助网格的边长和直角特征可以大幅提升作图的速度和准确率，是图形变换模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查网格中的平移和旋转作图，解题思路如下：
1. 解决平移作图问题：根据平移的性质，平移过程中图形的每个点都沿相同方向移动相同距离，只需先找到△ABC的三个顶点A、B、C向右平移5个单位的对应点，再依次连接对应点即可得到平移后的图形。
2. 解决旋转作图问题：首先明确旋转三要素：旋转中心为C₁、旋转方向为逆时针、旋转角度为90°，再根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，借助网格的直角和边长特征找到A₁、B₁旋转后的对应点，最后连接各点即可得到旋转后的图形。
【解析】
(1) 平移作图步骤：
① 定位△ABC的三个顶点A、B、C的格点位置；
② 分别将点A、B、C沿水平向右方向移动5个单位长度，得到对应点A₁、B₁、C₁；
③ 按照原图形的连接顺序，依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 旋转作图步骤：
① 明确旋转三要素：旋转中心为点C₁，旋转方向为逆时针，旋转角度为90°；
② 将点A₁绕点C₁逆时针旋转90°，利用网格特征保证C₁A₂=C₁A₁且∠A₁C₁A₂=90°，得到对应点A₂；
③ 同理将点B₁绕点C₁逆时针旋转90°，保证C₁B₂=C₁B₁且∠B₁C₁B₂=90°，得到对应点B₂；
④ 依次连接A₂B₂、B₂C₁、C₁A₂，得到△A₂B₂C₁。
【答案】
（1）如图,△A₁B₁C₁即为所求作 （2）如图,△A₂B₂C₁即为所求作
解法一(按平移、旋转步骤画图):平移:将△ABC的三个顶点分别向右平移5个单位长度得到点A₁,B₁,C₁,连接得△A₁B₁C₁.
旋转:将△A₁B₁C₁的顶点A₁,B₁分别绕点C₁逆时针旋转90°得到点A₂,B₂,连接得△A₂B₂C₁
解法二(利用网格特征画图):根据网格的边长和角度特征,直接确定平移和旋转后各顶点的位置,再连接成三角形
【知识点】
平移作图，旋转作图，网格操作
【点评】
本题是基础的几何变换类作图题，核心考查对平移、旋转性质的理解和应用，作图时需注意平移的方向和距离、旋转三要素的准确性，借助网格的边长和直角特征可以大幅提升作图的速度和准确率，是图形变换模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
微专题
确定旋转中心的方法
【方法归纳】确定旋转中心的方法:先找到原图形和旋转后的图形的两组对应点,然后分别连接每组对应点,作对应点所连线段的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即为旋转中心,如图所示.
A C B A₁ B₁ C₁ n m O 图1
如图,在4×4的正方形网格中,其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度,得到三角形②,则其旋转中心是点
A C D 图2 ① ②
确定旋转中心的方法
【方法归纳】确定旋转中心的方法:先找到原图形和旋转后的图形的两组对应点,然后分别连接每组对应点,作对应点所连线段的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即为旋转中心,如图所示.
A C B A₁ B₁ C₁ n m O 图1
如图,在4×4的正方形网格中,其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度,得到三角形②,则其旋转中心是点
B
.A C D 图2 ① ②
答案
B
解析
【分析】要确定旋转中心，需依据旋转的性质：旋转中心到任意一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。解题时首先找到两个三角形的两组对应顶点，再分别作对应顶点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的旋转中心。
【解析】
步骤1：在三角形①和三角形②中选取两组对应顶点，分别连接每组对应顶点得到两条线段；
步骤2：根据旋转的性质可知，旋转中心在这两条线段的垂直平分线上，结合网格特征分别作出两条线段的垂直平分线；
步骤3：观察可得两条垂直平分线的交点为点B，因此旋转中心是点B。
【答案】B
【知识点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】本题是旋转性质的基础应用考题，解题的核心是掌握旋转中心的确定方法，结合网格的特性可以快速定位垂直平分线的交点，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.8
【解析】
步骤1：在三角形①和三角形②中选取两组对应顶点，分别连接每组对应顶点得到两条线段；
步骤2：根据旋转的性质可知，旋转中心在这两条线段的垂直平分线上，结合网格特征分别作出两条线段的垂直平分线；
步骤3：观察可得两条垂直平分线的交点为点B，因此旋转中心是点B。
【答案】B
【知识点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】本题是旋转性质的基础应用考题，解题的核心是掌握旋转中心的确定方法，结合网格的特性可以快速定位垂直平分线的交点，掌握方法后解题难度较低。
【难度系数】
0.8
