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10 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=2$，将$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转得到$△ EDC$，连接$AE$，取$AE$的中点$F$，连接$BF$，则$BF$长的最大值为
（第10题）
$\sqrt{7}+\sqrt{3}$
。（第10题）答案
10. $\sqrt{7}+\sqrt{3}$
11 在正方形ABCD中，F为正方形ABCD内的点，△BFC绕点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，连接AC，EF.
（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=$\sqrt{3}$，求证：AE//BF；
（2）如图②，若F为正方形ABCD对角线AC上的点（不与点A，C重合），试探究AE，AF，BF之间的数量关系，并加以证明.
（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=$\sqrt{3}$，求证：AE//BF；
（2）如图②，若F为正方形ABCD对角线AC上的点（不与点A，C重合），试探究AE，AF，BF之间的数量关系，并加以证明.
答案
11. (1) $\because △ BFC$绕点$B$按逆时针方向旋转$90°$后与$△ BEA$重合,$\therefore BE = BF = 1$,$∠ EBF = ∠ ABC = 90°$,$∠ AEB = ∠ CFB$.
$\because BF^2 + FC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$,$BC^2 = 2^2 = 4$,$\therefore BF^2 + FC^2 = BC^2$.$\therefore ∠ CFB = 90° = ∠ AEB$. $\therefore ∠ AEB + ∠ EBF = 180°$.
$\therefore AE// BF$
(2) $AE^2 + AF^2 = 2BF^2$ $\because △ BFC$绕点$B$按逆时针方向旋转$90°$后与$△ BEA$重合,$\therefore BE = BF$,$∠ EAB = ∠ FCB$,$∠ EBF = 90°$.$\therefore 2BF^2 = EF^2$.$\because AC$是正方形$ABCD$的对角线,$\therefore ∠ BCA = ∠ BAC = 45°$. $\therefore ∠ EAF = ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ FCB + ∠ BAC = 45° + 45° = 90°$.$\therefore AE^2 + AF^2 = EF^2$.$\therefore AE^2 + AF^2 = 2BF^2$
$\because BF^2 + FC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$,$BC^2 = 2^2 = 4$,$\therefore BF^2 + FC^2 = BC^2$.$\therefore ∠ CFB = 90° = ∠ AEB$. $\therefore ∠ AEB + ∠ EBF = 180°$.
$\therefore AE// BF$
(2) $AE^2 + AF^2 = 2BF^2$ $\because △ BFC$绕点$B$按逆时针方向旋转$90°$后与$△ BEA$重合,$\therefore BE = BF$,$∠ EAB = ∠ FCB$,$∠ EBF = 90°$.$\therefore 2BF^2 = EF^2$.$\because AC$是正方形$ABCD$的对角线,$\therefore ∠ BCA = ∠ BAC = 45°$. $\therefore ∠ EAF = ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ FCB + ∠ BAC = 45° + 45° = 90°$.$\therefore AE^2 + AF^2 = EF^2$.$\therefore AE^2 + AF^2 = 2BF^2$
12 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=α$.
（1）如图①，若$α=60°$，$D$为边$BC$上一点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转角度$α$至$AE$位置，连接$DE$，$CE$.
① $△ ADE$的形状为________；
② $BD$与$CE$的数量关系为________，$∠ BCE=\_\_\_\_\_\_$.
（2）如图②，若$α=90°$，$D$为边$BC$的延长线上一点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转角度$α$至$AE$位置，连接$DE$，$CE$.
① 判断$BD$和$CE$的数量关系，并说明理由；
② 求$∠ BCE$的度数.
（3）若$α=90°$，$BC=3$，将（2）中“$D$为边$BC$的延长线上一点”改为“$D$为直线$BC$上一点”，其余条件不变，当$CD=1$时，直接写出$DE$的长.
（1）如图①，若$α=60°$，$D$为边$BC$上一点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转角度$α$至$AE$位置，连接$DE$，$CE$.
① $△ ADE$的形状为________；
② $BD$与$CE$的数量关系为________，$∠ BCE=\_\_\_\_\_\_$.
（2）如图②，若$α=90°$，$D$为边$BC$的延长线上一点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转角度$α$至$AE$位置，连接$DE$，$CE$.
① 判断$BD$和$CE$的数量关系，并说明理由；
② 求$∠ BCE$的度数.
（3）若$α=90°$，$BC=3$，将（2）中“$D$为边$BC$的延长线上一点”改为“$D$为直线$BC$上一点”，其余条件不变，当$CD=1$时，直接写出$DE$的长.
答案
12. (1) ① 等边三角形 ② $BD=CE$ $120°$
(2) ① $BD=CE$ 理由: 由题意,知$∠ BAC = α = 90° = ∠ DAE$,$\therefore ∠ BAD = ∠ CAE$.由旋转的性质,知$AD = AE$.在$△ BAD$和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases}AB = AC, \\∠ BAD = ∠ CAE, \\AD = AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE$. $\therefore BD = CE$.
② $\because ∠ BAC = 90°$,$AB = AC$,$\therefore ∠ B = ∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = 45°$. $\because △ BAD≌△ CAE$,$\therefore ∠ ACE = ∠ B = 45°$.$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 90°$
(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
(2) ① $BD=CE$ 理由: 由题意,知$∠ BAC = α = 90° = ∠ DAE$,$\therefore ∠ BAD = ∠ CAE$.由旋转的性质,知$AD = AE$.在$△ BAD$和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases}AB = AC, \\∠ BAD = ∠ CAE, \\AD = AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE$. $\therefore BD = CE$.
② $\because ∠ BAC = 90°$,$AB = AC$,$\therefore ∠ B = ∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = 45°$. $\because △ BAD≌△ CAE$,$\therefore ∠ ACE = ∠ B = 45°$.$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 90°$
(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
