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10 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=2$，将$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转得到$△ EDC$，连接$AE$，取$AE$的中点$F$，连接$BF$，则$BF$长的最大值为
（第10题）
$\sqrt{7}+\sqrt{3}$
。（第10题）答案
10. $\sqrt{7}+\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先根据直角三角形的边角关系求出△ABC各边的长度；再结合旋转的性质得到CE=AC，可知点E的轨迹是以C为圆心、AC长为半径的圆；接着利用F是AE中点的条件，构造△ACE的中位线，取AC中点M，可得MF长度为定值，进而确定点F的轨迹是以M为圆心、MF为半径的圆；最后根据圆外一点到圆上点的距离最大值为两点间距离加半径，计算B到M的距离后加半径即可得到BF的最大值。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=2$，可得$∠ BAC=30°$，因此$AB=2BC=4$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 取$AC$的中点$M$，连接$BM$、$MF$。
因为$M$是$AC$中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，在$\mathrm{Rt}△BCM$中，$∠ BCM=90°$，由勾股定理得$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}$。
3. 由旋转的性质可知$CE=AC=2\sqrt{3}$，因为$F$是$AE$中点，$M$是$AC$中点，所以$MF$是$△ACE$的中位线，因此$MF=\frac{1}{2}CE=\sqrt{3}$。
4. 由此可知点$F$的轨迹是以$M$为圆心、$\sqrt{3}$为半径的圆，根据圆的性质，点$B$到圆上点的最大距离为$BM+MF$，即$BF$的最大值为$\sqrt{7}+\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{7}+\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质，三角形中位线定理，圆的最值问题
【点评】
本题是几何综合题，解题核心是通过构造中位线确定动点的轨迹，将线段最值问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题，对学生的转化思想和几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先根据直角三角形的边角关系求出△ABC各边的长度；再结合旋转的性质得到CE=AC，可知点E的轨迹是以C为圆心、AC长为半径的圆；接着利用F是AE中点的条件，构造△ACE的中位线，取AC中点M，可得MF长度为定值，进而确定点F的轨迹是以M为圆心、MF为半径的圆；最后根据圆外一点到圆上点的距离最大值为两点间距离加半径，计算B到M的距离后加半径即可得到BF的最大值。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$BC=2$，可得$∠ BAC=30°$，因此$AB=2BC=4$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 取$AC$的中点$M$，连接$BM$、$MF$。
因为$M$是$AC$中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$，在$\mathrm{Rt}△BCM$中，$∠ BCM=90°$，由勾股定理得$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{7}$。
3. 由旋转的性质可知$CE=AC=2\sqrt{3}$，因为$F$是$AE$中点，$M$是$AC$中点，所以$MF$是$△ACE$的中位线，因此$MF=\frac{1}{2}CE=\sqrt{3}$。
4. 由此可知点$F$的轨迹是以$M$为圆心、$\sqrt{3}$为半径的圆，根据圆的性质，点$B$到圆上点的最大距离为$BM+MF$，即$BF$的最大值为$\sqrt{7}+\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{7}+\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质，三角形中位线定理，圆的最值问题
【点评】
本题是几何综合题，解题核心是通过构造中位线确定动点的轨迹，将线段最值问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题，对学生的转化思想和几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
11 在正方形ABCD中，F为正方形ABCD内的点，△BFC绕点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，连接AC，EF.
（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=$\sqrt{3}$，求证：AE//BF；
（2）如图②，若F为正方形ABCD对角线AC上的点（不与点A，C重合），试探究AE，AF，BF之间的数量关系，并加以证明.
（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=$\sqrt{3}$，求证：AE//BF；
（2）如图②，若F为正方形ABCD对角线AC上的点（不与点A，C重合），试探究AE，AF，BF之间的数量关系，并加以证明.
答案
11. (1) $\because △ BFC$绕点$B$按逆时针方向旋转$90°$后与$△ BEA$重合,$\therefore BE = BF = 1$,$∠ EBF = ∠ ABC = 90°$,$∠ AEB = ∠ CFB$.
$\because BF^2 + FC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$,$BC^2 = 2^2 = 4$,$\therefore BF^2 + FC^2 = BC^2$.$\therefore ∠ CFB = 90° = ∠ AEB$. $\therefore ∠ AEB + ∠ EBF = 180°$.
$\therefore AE// BF$
(2) $AE^2 + AF^2 = 2BF^2$ $\because △ BFC$绕点$B$按逆时针方向旋转$90°$后与$△ BEA$重合,$\therefore BE = BF$,$∠ EAB = ∠ FCB$,$∠ EBF = 90°$.$\therefore 2BF^2 = EF^2$.$\because AC$是正方形$ABCD$的对角线,$\therefore ∠ BCA = ∠ BAC = 45°$. $\therefore ∠ EAF = ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ FCB + ∠ BAC = 45° + 45° = 90°$.$\therefore AE^2 + AF^2 = EF^2$.$\therefore AE^2 + AF^2 = 2BF^2$
$\because BF^2 + FC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$,$BC^2 = 2^2 = 4$,$\therefore BF^2 + FC^2 = BC^2$.$\therefore ∠ CFB = 90° = ∠ AEB$. $\therefore ∠ AEB + ∠ EBF = 180°$.
$\therefore AE// BF$
(2) $AE^2 + AF^2 = 2BF^2$ $\because △ BFC$绕点$B$按逆时针方向旋转$90°$后与$△ BEA$重合,$\therefore BE = BF$,$∠ EAB = ∠ FCB$,$∠ EBF = 90°$.$\therefore 2BF^2 = EF^2$.$\because AC$是正方形$ABCD$的对角线,$\therefore ∠ BCA = ∠ BAC = 45°$. $\therefore ∠ EAF = ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ FCB + ∠ BAC = 45° + 45° = 90°$.$\therefore AE^2 + AF^2 = EF^2$.$\therefore AE^2 + AF^2 = 2BF^2$
解析
【分析】
（1）要证明AE//BF，可通过证明两直线的同旁内角互补实现。首先由旋转的性质可得对应边相等、对应角相等，即BE=BF，∠EBF=90°，∠AEB=∠CFB；再结合已知的线段长度，利用勾股定理逆定理判断△BFC为直角三角形，得到∠CFB=90°，进而推出∠AEB=90°，此时∠AEB与∠EBF互补，即可证得平行。
（2）探究AE、AF、BF的数量关系，优先考虑勾股定理。首先由旋转性质得BE=BF，∠EBF=90°，可推出EF²=2BF²；再结合正方形对角线平分内角的性质，推导得出∠EAF=90°，在Rt△EAF中根据勾股定理得AE²+AF²=EF²，等量代换即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
（1）证明：
∵△BFC绕点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，
∴BE = BF = 1，∠EBF = ∠ABC = 90°，∠AEB = ∠CFB。
∵$BF^2 + FC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$，$BC^2 = 2^2 = 4$，
∴$BF^2 + FC^2 = BC^2$，
∴△BFC是直角三角形，且∠CFB = 90°，
∴∠AEB = ∠CFB = 90°，
∴∠AEB + ∠EBF = 90° + 90° = 180°，
∴AE//BF。
（2）数量关系为$AE^2 + AF^2 = 2BF^2$，证明如下：
∵△BFC绕点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，
∴BE = BF，∠EAB = ∠FCB，∠EBF = 90°，
在Rt△EBF中，由勾股定理得$EF^2 = BE^2 + BF^2 = 2BF^2$。
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BCA = ∠BAC = 45°，
∴∠EAF = ∠EAB + ∠BAC = ∠FCB + ∠BAC = 45° + 45° = 90°，
在Rt△EAF中，由勾股定理得$AE^2 + AF^2 = EF^2$，
∴$AE^2 + AF^2 = 2BF^2$。
【答案】
（1）AE//BF，证明成立；
（2）$\boxed{AE^2 + AF^2 = 2BF^2}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是利用旋转的性质实现边和角的等量转化，将零散的条件整合到直角三角形中，结合勾股定理和平行线的判定解决问题，有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65
（1）要证明AE//BF，可通过证明两直线的同旁内角互补实现。首先由旋转的性质可得对应边相等、对应角相等，即BE=BF，∠EBF=90°，∠AEB=∠CFB；再结合已知的线段长度，利用勾股定理逆定理判断△BFC为直角三角形，得到∠CFB=90°，进而推出∠AEB=90°，此时∠AEB与∠EBF互补，即可证得平行。
（2）探究AE、AF、BF的数量关系，优先考虑勾股定理。首先由旋转性质得BE=BF，∠EBF=90°，可推出EF²=2BF²；再结合正方形对角线平分内角的性质，推导得出∠EAF=90°，在Rt△EAF中根据勾股定理得AE²+AF²=EF²，等量代换即可得到三条线段的数量关系。
【解析】
（1）证明：
∵△BFC绕点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，
∴BE = BF = 1，∠EBF = ∠ABC = 90°，∠AEB = ∠CFB。
∵$BF^2 + FC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$，$BC^2 = 2^2 = 4$，
∴$BF^2 + FC^2 = BC^2$，
∴△BFC是直角三角形，且∠CFB = 90°，
∴∠AEB = ∠CFB = 90°，
∴∠AEB + ∠EBF = 90° + 90° = 180°，
∴AE//BF。
（2）数量关系为$AE^2 + AF^2 = 2BF^2$，证明如下：
∵△BFC绕点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，
∴BE = BF，∠EAB = ∠FCB，∠EBF = 90°，
在Rt△EBF中，由勾股定理得$EF^2 = BE^2 + BF^2 = 2BF^2$。
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BCA = ∠BAC = 45°，
∴∠EAF = ∠EAB + ∠BAC = ∠FCB + ∠BAC = 45° + 45° = 90°，
在Rt△EAF中，由勾股定理得$AE^2 + AF^2 = EF^2$，
∴$AE^2 + AF^2 = 2BF^2$。
【答案】
（1）AE//BF，证明成立；
（2）$\boxed{AE^2 + AF^2 = 2BF^2}$
【知识点】
旋转的性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，核心是利用旋转的性质实现边和角的等量转化，将零散的条件整合到直角三角形中，结合勾股定理和平行线的判定解决问题，有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65
12 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=α$.
（1）如图①，若$α=60°$，$D$为边$BC$上一点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转角度$α$至$AE$位置，连接$DE$，$CE$.
① $△ ADE$的形状为________；
② $BD$与$CE$的数量关系为________，$∠ BCE=\_\_\_\_\_\_$.
（2）如图②，若$α=90°$，$D$为边$BC$的延长线上一点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转角度$α$至$AE$位置，连接$DE$，$CE$.
① 判断$BD$和$CE$的数量关系，并说明理由；
② 求$∠ BCE$的度数.
（3）若$α=90°$，$BC=3$，将（2）中“$D$为边$BC$的延长线上一点”改为“$D$为直线$BC$上一点”，其余条件不变，当$CD=1$时，直接写出$DE$的长.
（1）如图①，若$α=60°$，$D$为边$BC$上一点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转角度$α$至$AE$位置，连接$DE$，$CE$.
① $△ ADE$的形状为________；
② $BD$与$CE$的数量关系为________，$∠ BCE=\_\_\_\_\_\_$.
（2）如图②，若$α=90°$，$D$为边$BC$的延长线上一点，连接$AD$，将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转角度$α$至$AE$位置，连接$DE$，$CE$.
① 判断$BD$和$CE$的数量关系，并说明理由；
② 求$∠ BCE$的度数.
（3）若$α=90°$，$BC=3$，将（2）中“$D$为边$BC$的延长线上一点”改为“$D$为直线$BC$上一点”，其余条件不变，当$CD=1$时，直接写出$DE$的长.
答案
12. (1) ① 等边三角形 ② $BD=CE$ $120°$
(2) ① $BD=CE$ 理由: 由题意,知$∠ BAC = α = 90° = ∠ DAE$,$\therefore ∠ BAD = ∠ CAE$.由旋转的性质,知$AD = AE$.在$△ BAD$和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases}AB = AC, \\∠ BAD = ∠ CAE, \\AD = AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE$. $\therefore BD = CE$.
② $\because ∠ BAC = 90°$,$AB = AC$,$\therefore ∠ B = ∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = 45°$. $\because △ BAD≌△ CAE$,$\therefore ∠ ACE = ∠ B = 45°$.$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 90°$
(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
(2) ① $BD=CE$ 理由: 由题意,知$∠ BAC = α = 90° = ∠ DAE$,$\therefore ∠ BAD = ∠ CAE$.由旋转的性质,知$AD = AE$.在$△ BAD$和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases}AB = AC, \\∠ BAD = ∠ CAE, \\AD = AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE$. $\therefore BD = CE$.
② $\because ∠ BAC = 90°$,$AB = AC$,$\therefore ∠ B = ∠ ACB = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = 45°$. $\because △ BAD≌△ CAE$,$\therefore ∠ ACE = ∠ B = 45°$.$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 90°$
(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
解析
【分析】
本题围绕旋转性质与全等三角形的判定、性质展开解题：
1. 解决（1）问：①由旋转性质得AD=AE，旋转角等于α=60°，结合等边三角形判定即可得△ADE的形状；②先推导∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE，用SAS证明△BAD≌△CAE，即可得BD与CE的数量关系，再结合等边△ABC的内角为60°，即可求出∠BCE的度数。
2. 解决（2）问：①和（1）的全等思路一致，先由∠BAC=∠DAE=90°推导∠BAD=∠CAE，再用SAS证△BAD≌△CAE，即可得BD=CE；②先求等腰直角△ABC的底角为45°，再由全等得∠ACE=∠B=45°，相加即可得∠BCE的度数。
3. 解决（3）问：D在直线BC上需分两种情况讨论：D在线段BC上、D在BC的延长线上，先分别求出对应CE的长度，再结合∠BCE=90°，用勾股定理计算DE的长即可。
【解析】
(1) ① 由旋转性质可知AD=AE，∠DAE=α=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故△ADE是等边三角形。
② 因为∠BAC=∠DAE=60°，所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\begin{cases}AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE\end{cases}$
所以△BAD≌△CAE（SAS），故BD=CE。
因为△ABC中AB=AC，∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，∠ACB=∠B=60°，由全等得∠ACE=∠B=60°，所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°。
(2) ① BD=CE，理由如下：
由题意得∠BAC=α=90°=∠DAE，所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
由旋转性质得AD=AE，在△BAD和△CAE中：
$\begin{cases}AB = AC, \\∠ BAD = ∠ CAE, \\AD = AE,\end{cases}$
所以△BAD ≌ △CAE（SAS），故BD = CE。
② 因为∠BAC=90°，AB=AC，所以∠B=∠ACB=$\frac{180° - ∠ BAC}{2}$=45°。
由△BAD≌△CAE得∠ACE=∠B=45°，所以∠BCE=∠ACB + ∠ACE=45°+45°=90°。
(3) 分两种情况讨论：
情况1：D在线段BC上时，BC=3，CD=1，所以BD=BC-CD=3-1=2，由（2）知CE=BD=2，∠BCE=90°，在Rt△CDE中，由勾股定理得$DE=\sqrt{CE^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
情况2：D在BC的延长线上时，BD=BC+CD=3+1=4，所以CE=BD=4，∠BCE=90°，在Rt△CDE中，$DE=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
故DE的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$。
【答案】
(1) ① 等边三角形 ② $BD=CE$；$120°$
(2) ① $BD=CE$，理由见解析；② $90°$
(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转性质与全等三角形、等腰三角形性质结合考查，解题的关键是掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等，同时注意“点在直线上”的条件需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题围绕旋转性质与全等三角形的判定、性质展开解题：
1. 解决（1）问：①由旋转性质得AD=AE，旋转角等于α=60°，结合等边三角形判定即可得△ADE的形状；②先推导∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE，用SAS证明△BAD≌△CAE，即可得BD与CE的数量关系，再结合等边△ABC的内角为60°，即可求出∠BCE的度数。
2. 解决（2）问：①和（1）的全等思路一致，先由∠BAC=∠DAE=90°推导∠BAD=∠CAE，再用SAS证△BAD≌△CAE，即可得BD=CE；②先求等腰直角△ABC的底角为45°，再由全等得∠ACE=∠B=45°，相加即可得∠BCE的度数。
3. 解决（3）问：D在直线BC上需分两种情况讨论：D在线段BC上、D在BC的延长线上，先分别求出对应CE的长度，再结合∠BCE=90°，用勾股定理计算DE的长即可。
【解析】
(1) ① 由旋转性质可知AD=AE，∠DAE=α=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故△ADE是等边三角形。
② 因为∠BAC=∠DAE=60°，所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\begin{cases}AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE\end{cases}$
所以△BAD≌△CAE（SAS），故BD=CE。
因为△ABC中AB=AC，∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，∠ACB=∠B=60°，由全等得∠ACE=∠B=60°，所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°。
(2) ① BD=CE，理由如下：
由题意得∠BAC=α=90°=∠DAE，所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
由旋转性质得AD=AE，在△BAD和△CAE中：
$\begin{cases}AB = AC, \\∠ BAD = ∠ CAE, \\AD = AE,\end{cases}$
所以△BAD ≌ △CAE（SAS），故BD = CE。
② 因为∠BAC=90°，AB=AC，所以∠B=∠ACB=$\frac{180° - ∠ BAC}{2}$=45°。
由△BAD≌△CAE得∠ACE=∠B=45°，所以∠BCE=∠ACB + ∠ACE=45°+45°=90°。
(3) 分两种情况讨论：
情况1：D在线段BC上时，BC=3，CD=1，所以BD=BC-CD=3-1=2，由（2）知CE=BD=2，∠BCE=90°，在Rt△CDE中，由勾股定理得$DE=\sqrt{CE^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
情况2：D在BC的延长线上时，BD=BC+CD=3+1=4，所以CE=BD=4，∠BCE=90°，在Rt△CDE中，$DE=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
故DE的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$。
【答案】
(1) ① 等边三角形 ② $BD=CE$；$120°$
(2) ① $BD=CE$，理由见解析；② $90°$
(3) $\sqrt{5}$或$\sqrt{17}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转性质与全等三角形、等腰三角形性质结合考查，解题的关键是掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等，同时注意“点在直线上”的条件需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
