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1 [2024广州]下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O成中心对称的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
解题时先明确中心对称的判定规则：若两个图形关于某点成中心对称，将其中一个图形绕该点旋转180°后能与另一个图形完全重合，且两图形的对应点连线都经过对称中心、被对称中心平分。接下来我们结合正方形中心O的位置，逐一验证各选项的两个阴影三角形是否满足上述要求即可。
【解析】
根据中心对称的定义逐一分析选项：
选项A：两个阴影三角形的公共顶点在正方形底边中点，将其中一个三角形绕点O旋转180°后无法与另一个三角形重合，不符合中心对称要求，排除；
选项B：两个阴影三角形的对应边、对应角的位置不满足旋转180°后重合的特点，旋转后无法重合，排除；
选项C：将左下角的阴影三角形绕点O旋转180°后，可与右上角的阴影三角形完全重合，符合中心对称的定义，满足要求；
选项D：两个阴影三角形关于正方形的竖直对称轴成轴对称，绕点O旋转180°后无法重合，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的判定；正方形的性质
【点评】
本题侧重考查中心对称的基本概念，解题的核心是抓住“旋转180°后重合”这一中心对称的本质特征，结合图形特征逐一判断即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确中心对称的判定规则：若两个图形关于某点成中心对称，将其中一个图形绕该点旋转180°后能与另一个图形完全重合，且两图形的对应点连线都经过对称中心、被对称中心平分。接下来我们结合正方形中心O的位置，逐一验证各选项的两个阴影三角形是否满足上述要求即可。
【解析】
根据中心对称的定义逐一分析选项：
选项A：两个阴影三角形的公共顶点在正方形底边中点，将其中一个三角形绕点O旋转180°后无法与另一个三角形重合，不符合中心对称要求，排除；
选项B：两个阴影三角形的对应边、对应角的位置不满足旋转180°后重合的特点，旋转后无法重合，排除；
选项C：将左下角的阴影三角形绕点O旋转180°后，可与右上角的阴影三角形完全重合，符合中心对称的定义，满足要求；
选项D：两个阴影三角形关于正方形的竖直对称轴成轴对称，绕点O旋转180°后无法重合，不符合要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的判定；正方形的性质
【点评】
本题侧重考查中心对称的基本概念，解题的核心是抓住“旋转180°后重合”这一中心对称的本质特征，结合图形特征逐一判断即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
2 下列两个电子数字成中心对称的是 （
A
）答案
2.A
解析
【分析】
要判断两个图形成中心对称，需依据中心对称的定义：把其中一个图形绕某一点旋转180°，若能与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称。解题时可将每个选项的右侧图形旋转180°，对比是否与左侧图形重合，即可逐一排除错误选项。
【解析】
根据中心对称的定义逐一分析选项：
选项A：将右侧的数字“9”绕两图形的中点旋转180°后，得到的图形与左侧的数字“6”完全重合，符合中心对称的特征；
选项B：将右侧的数字“9”旋转180°后得到“6”，与左侧的“9”不重合，不符合要求；
选项C：将右侧的数字“3”旋转180°后，与左侧的“3”无法重合，不符合要求；
选项D：将右侧的数字“5”旋转180°后，与左侧的“2”无法重合，不符合要求。
综上，只有A选项的两个电子数字成中心对称。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的定义；成中心对称的判定
【点评】
本题属于中心对称相关的基础题型，核心考查对中心对称本质特征的理解，只要掌握“旋转180°后重合”这一判定要点，就能快速完成解题。
【难度系数】
0.8
要判断两个图形成中心对称，需依据中心对称的定义：把其中一个图形绕某一点旋转180°，若能与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称。解题时可将每个选项的右侧图形旋转180°，对比是否与左侧图形重合，即可逐一排除错误选项。
【解析】
根据中心对称的定义逐一分析选项：
选项A：将右侧的数字“9”绕两图形的中点旋转180°后，得到的图形与左侧的数字“6”完全重合，符合中心对称的特征；
选项B：将右侧的数字“9”旋转180°后得到“6”，与左侧的“9”不重合，不符合要求；
选项C：将右侧的数字“3”旋转180°后，与左侧的“3”无法重合，不符合要求；
选项D：将右侧的数字“5”旋转180°后，与左侧的“2”无法重合，不符合要求。
综上，只有A选项的两个电子数字成中心对称。
【答案】
A
【知识点】
中心对称的定义；成中心对称的判定
【点评】
本题属于中心对称相关的基础题型，核心考查对中心对称本质特征的理解，只要掌握“旋转180°后重合”这一判定要点，就能快速完成解题。
【难度系数】
0.8
3 如图，点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称。若$BC=3$，$OD=4$，则AB的长可能是（
A.3
B.4
C.7
D.11
C
）A.3
B.4
C.7
D.11
答案
3.C
解析
【分析】
首先利用中心对称的性质得到对应线段的等量关系，再根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，得到AD与BC相等，接着求出BD的长度，最后利用三角形三边关系确定AB的取值范围，匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称
∴OA=OC，OB=OD=4，可得BD=OB+OD=8
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC=3
在△ABD中，由三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，可得：
$BD-AD ＜ AB ＜ BD+AD$
代入数值计算得$8-3 ＜ AB ＜ 8+3$，即$5 ＜ AB ＜ 11$
结合选项，只有7满足该取值范围，故选C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题将中心对称性质与三角形三边关系结合考查，解题的关键是先通过中心对称得到已知线段和所求线段所在三角形的边长，再利用三边关系锁定未知线段的取值范围。
【难度系数】
0.7
首先利用中心对称的性质得到对应线段的等量关系，再根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，得到AD与BC相等，接着求出BD的长度，最后利用三角形三边关系确定AB的取值范围，匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵点A与点C关于点O对称，点B与点D关于点O对称
∴OA=OC，OB=OD=4，可得BD=OB+OD=8
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC=3
在△ABD中，由三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，可得：
$BD-AD ＜ AB ＜ BD+AD$
代入数值计算得$8-3 ＜ AB ＜ 8+3$，即$5 ＜ AB ＜ 11$
结合选项，只有7满足该取值范围，故选C。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题将中心对称性质与三角形三边关系结合考查，解题的关键是先通过中心对称得到已知线段和所求线段所在三角形的边长，再利用三边关系锁定未知线段的取值范围。
【难度系数】
0.7
4 在$□ ABCD$中，O是AC的中点，$EF ⊥ AC$于点O，交AD所在直线于点E，交BC所在直线于点F，则线段DE关于点O成中心对称的线段为
BF
。答案
4.BF
解析
【分析】
解题时先回忆中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段由两组对应端点连接得到。首先确定本题的对称中心是点O，先找线段DE的两个端点D、E关于点O的对称点：1. 平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，已知O是AC中点，因此O是平行四边形的对称中心，直接可得点D的对称点是点B；2. 再通过证明△AOE和△COF全等，得到OE=OF，即可确定点E的对称点是点F，最后连接两个对称点就能得到DE的中心对称线段。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，且平行四边形为中心对称图形，对角线的交点为对称中心。
∵O是AC的中点，
∴O是ABCD的对称中心，因此点D关于点O的对称点为点B。
∵EF⊥AC于点O，
∴∠AOE=∠COF=90°，
又
∵AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，即点E关于点O的对称点为点F。
根据中心对称的性质，线段DE关于点O成中心对称的线段为点B、F的连线，即BF。
【答案】
BF
【知识点】
1. 中心对称的性质
2. 平行四边形的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
这道题是中心对称部分的基础典型题，解题的核心是找到已知线段两个端点关于对称中心的对应点，结合平行四边形性质和全等三角形判定即可快速求解，需要熟练掌握中心对称对应点的特征。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段由两组对应端点连接得到。首先确定本题的对称中心是点O，先找线段DE的两个端点D、E关于点O的对称点：1. 平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，已知O是AC中点，因此O是平行四边形的对称中心，直接可得点D的对称点是点B；2. 再通过证明△AOE和△COF全等，得到OE=OF，即可确定点E的对称点是点F，最后连接两个对称点就能得到DE的中心对称线段。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，且平行四边形为中心对称图形，对角线的交点为对称中心。
∵O是AC的中点，
∴O是ABCD的对称中心，因此点D关于点O的对称点为点B。
∵EF⊥AC于点O，
∴∠AOE=∠COF=90°，
又
∵AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO \\AO=CO \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，即点E关于点O的对称点为点F。
根据中心对称的性质，线段DE关于点O成中心对称的线段为点B、F的连线，即BF。
【答案】
BF
【知识点】
1. 中心对称的性质
2. 平行四边形的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
这道题是中心对称部分的基础典型题，解题的核心是找到已知线段两个端点关于对称中心的对应点，结合平行四边形性质和全等三角形判定即可快速求解，需要熟练掌握中心对称对应点的特征。
【难度系数】
0.7
5 如图,两个半圆分别以$O$,$O_1$为圆心,它们关于某点成中心对称,点$A$,$B$,$A_1$,$B_1$在同一直线上,则对称中心为（
A.点$O$
B.点$B$
C.线段$AO_1$的中点
D.线段$AA_1$的中点
D
）A.点$O$
B.点$B$
C.线段$AO_1$的中点
D.线段$AA_1$的中点
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先回忆中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，且对称中心是所有对应点连线的公共中点。首先确定两个半圆的对应点，左侧半圆的端点A的对应点是右侧半圆的端点A₁，根据性质，A和A₁连线的中点就是对称中心，再结合选项验证即可得到答案。
【解析】
根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。
已知两个半圆成中心对称，可得点A的对应点为点A₁，因此对称中心是线段AA₁的中点。
逐一分析选项：
A. 点O不是AA₁的中点，不符合要求；
B. 点B不是AA₁的中点，不符合要求；
C. 线段AO₁的中点与AA₁的中点不重合，不符合要求；
D. 线段AA₁的中点为对称中心，符合要求。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1.中心对称的性质；2.线段中点的定义
【点评】
本题重点考查中心对称性质的实际应用，解题关键是明确成中心对称的两个图形的对称中心是任意一组对应点连线的中点，掌握该性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，且对称中心是所有对应点连线的公共中点。首先确定两个半圆的对应点，左侧半圆的端点A的对应点是右侧半圆的端点A₁，根据性质，A和A₁连线的中点就是对称中心，再结合选项验证即可得到答案。
【解析】
根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。
已知两个半圆成中心对称，可得点A的对应点为点A₁，因此对称中心是线段AA₁的中点。
逐一分析选项：
A. 点O不是AA₁的中点，不符合要求；
B. 点B不是AA₁的中点，不符合要求；
C. 线段AO₁的中点与AA₁的中点不重合，不符合要求；
D. 线段AA₁的中点为对称中心，符合要求。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1.中心对称的性质；2.线段中点的定义
【点评】
本题重点考查中心对称性质的实际应用，解题关键是明确成中心对称的两个图形的对称中心是任意一组对应点连线的中点，掌握该性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6 如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上.请仅用无刻度直尺作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'(保留作图痕迹).
答案
6. 如图，△A'B'C'即为所求作
解析
【分析】
要作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。解题思路为：首先分别确定△ABC三个顶点A、B、C关于点O的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求三角形。借助网格可以直接通过延长线段、保证对应点到O的距离相等确定对称点的位置，无需使用刻度尺。
【解析】
1. 连接AO并延长，在AO的延长线上找到点A'，使OA' = OA，得到点A的对称点A'；
2. 按照相同的方法，分别连接BO、CO并延长，依次作出点B的对称点B'、点C的对称点C'；
3. 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得△A'B'C'即为所求作的三角形。
【答案】
如图，△A'B'C'即为所求作
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是对中心对称性质的理解与运用，作图时需注意找准对称点，连线后要保证所作三角形与原三角形关于点O中心对称。
【难度系数】
0.8
要作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。解题思路为：首先分别确定△ABC三个顶点A、B、C关于点O的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求三角形。借助网格可以直接通过延长线段、保证对应点到O的距离相等确定对称点的位置，无需使用刻度尺。
【解析】
1. 连接AO并延长，在AO的延长线上找到点A'，使OA' = OA，得到点A的对称点A'；
2. 按照相同的方法，分别连接BO、CO并延长，依次作出点B的对称点B'、点C的对称点C'；
3. 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得△A'B'C'即为所求作的三角形。
【答案】
如图，△A'B'C'即为所求作
【知识点】
中心对称的性质；中心对称作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是对中心对称性质的理解与运用，作图时需注意找准对称点，连线后要保证所作三角形与原三角形关于点O中心对称。
【难度系数】
0.8
7（易错题）如图，将$△ ABC$绕点$C(0,-1)$旋转$180°$得到$△ A'B'C$. 若点$A$的坐标为$(-4,-3)$, 则点$A'$的坐标为________.
答案
7.(4,1)
7. 易因纵坐标计算错误而得(4,3).
7. 易因纵坐标计算错误而得(4,3).
解析
【分析】
将△ABC绕点C旋转180°得到△A'B'C，说明点C是点A与点A'的对称中心，即点C是线段AA'的中点。我们可以利用中点坐标公式，设出点A'的坐标，代入公式列方程求解即可得到A'的坐标。
【解析】
解：设点A'的坐标为$(x,y)$。
由旋转180°的性质可知，点$C(0,-1)$是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
已知点$A(-4,-3)$，代入得：
$\begin{cases}\frac{-4+x}{2}=0 \\\frac{-3+y}{2}=-1\end{cases}$
解第一个方程：$-4+x=0$，得$x=4$；
解第二个方程：$-3+y=-2$，得$y=1$。
因此点$A'$的坐标为$(4,1)$。
【答案】
$(4,1)$
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式
【点评】
本题解题核心是理解旋转180°的本质是中心对称，对称中心是对应点连线的中点，计算纵坐标时要注意符号运算，避免因符号错误得到错误结果。
【难度系数】
0.7
将△ABC绕点C旋转180°得到△A'B'C，说明点C是点A与点A'的对称中心，即点C是线段AA'的中点。我们可以利用中点坐标公式，设出点A'的坐标，代入公式列方程求解即可得到A'的坐标。
【解析】
解：设点A'的坐标为$(x,y)$。
由旋转180°的性质可知，点$C(0,-1)$是线段$AA'$的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
已知点$A(-4,-3)$，代入得：
$\begin{cases}\frac{-4+x}{2}=0 \\\frac{-3+y}{2}=-1\end{cases}$
解第一个方程：$-4+x=0$，得$x=4$；
解第二个方程：$-3+y=-2$，得$y=1$。
因此点$A'$的坐标为$(4,1)$。
【答案】
$(4,1)$
【知识点】
中心对称的性质；中点坐标公式
【点评】
本题解题核心是理解旋转180°的本质是中心对称，对称中心是对应点连线的中点，计算纵坐标时要注意符号运算，避免因符号错误得到错误结果。
【难度系数】
0.7
8 教材变式题 如图，$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 关于点O成中心对称.
（1）找出它们的对称中心；
（2）若$AC=6$，$AB=5$，$BC=4$，求$△ DEF$的周长；
（3）连接$AF$，$CD$，试判断四边形$ACDF$的形状，并说明理由.
（1）找出它们的对称中心；
（2）若$AC=6$，$AB=5$，$BC=4$，求$△ DEF$的周长；
（3）连接$AF$，$CD$，试判断四边形$ACDF$的形状，并说明理由.
答案
8.（1）如图，点O即为所求作
（2）由题意，得$△ ABC ≌ △ DEF$，$\therefore △ DEF$ 的周长$=△ ABC$ 的周长$=6+5+4=15$
（3）四边形$ACDF$是平行四边形 理由:由题意,得$OA=OD$,$OC=OF$,$\therefore$ 四边形$ACDF$是平行四边形.
解析
【分析】
（1）找中心对称的对称中心，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，因此只需连接两组对称点，两条连线的交点就是对称中心，可选取对应点A与D、C与F，连线的交点即为所求。
（2）求△DEF的周长，首先根据中心对称的性质可知成中心对称的两个图形全等，因此△DEF和△ABC的周长相等，先计算△ABC的周长即可得到△DEF的周长。
（3）判断四边形ACDF的形状，先回顾平行四边形的判定定理，再结合中心对称的性质可得：对称点的连线被对称中心平分，即OA=OD、OC=OF，可知四边形ACDF的对角线互相平分，即可判定它的形状。
【解析】
（1）根据中心对称的性质，连接两组对应点的连线，交点即为对称中心，连接AD、CF，两线交于点O，点O就是△ABC和△DEF的对称中心。
（2）
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称
∴△ABC≌△DEF，全等三角形周长相等
∵△ABC的周长=AC+AB+BC=6+5+4=15
∴△DEF的周长=△ABC的周长=15
（3）四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，点A与点D是对称点，点C与点F是对称点
∴OA=OD，OC=OF
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ACDF是平行四边形。
【答案】
（1）如图，点O即为所求作
（2）△DEF的周长为15
（3）四边形$ACDF$是平行四边形 理由:由题意,得$OA=OD$,$OC=OF$,$\therefore$ 四边形$ACDF$是平行四边形。
【知识点】
中心对称的性质；全等三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用题，结合了全等三角形和平行四边形判定的相关知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的对应性质，灵活选用合适的判定方法解决几何问题。
【难度系数】
0.8
（1）找中心对称的对称中心，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，因此只需连接两组对称点，两条连线的交点就是对称中心，可选取对应点A与D、C与F，连线的交点即为所求。
（2）求△DEF的周长，首先根据中心对称的性质可知成中心对称的两个图形全等，因此△DEF和△ABC的周长相等，先计算△ABC的周长即可得到△DEF的周长。
（3）判断四边形ACDF的形状，先回顾平行四边形的判定定理，再结合中心对称的性质可得：对称点的连线被对称中心平分，即OA=OD、OC=OF，可知四边形ACDF的对角线互相平分，即可判定它的形状。
【解析】
（1）根据中心对称的性质，连接两组对应点的连线，交点即为对称中心，连接AD、CF，两线交于点O，点O就是△ABC和△DEF的对称中心。
（2）
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称
∴△ABC≌△DEF，全等三角形周长相等
∵△ABC的周长=AC+AB+BC=6+5+4=15
∴△DEF的周长=△ABC的周长=15
（3）四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，点A与点D是对称点，点C与点F是对称点
∴OA=OD，OC=OF
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ACDF是平行四边形。
【答案】
（1）如图，点O即为所求作
（2）△DEF的周长为15
（3）四边形$ACDF$是平行四边形 理由:由题意,得$OA=OD$,$OC=OF$,$\therefore$ 四边形$ACDF$是平行四边形。
【知识点】
中心对称的性质；全等三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用题，结合了全等三角形和平行四边形判定的相关知识，解题的关键是熟练掌握中心对称的对应性质，灵活选用合适的判定方法解决几何问题。
【难度系数】
0.8
