4.(河南中考)如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(2,4)$和点$B$,点$B$在点$A$的下方,$AC$平分$∠ OAB$,交$x$轴于点$C$.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段$AC$的垂直平分线(要求:不写作法,保留作图痕迹);
(3)线段$OA$与(2)中所作的垂直平分线相交于点$D$,连接$CD$.求证:$CD// AB$.

(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(2,4)$,
∴$k=2×4=8$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
(2)如图,直线$m$即为所求.
(3)证明:
∵$AC$平分$∠OAB$,
∴$∠OAC=∠BAC$.
∵直线$m$垂直平分线段$AC$,
∴$DA=DC$.
∴$∠OAC=∠DCA$.
∴$∠DCA=∠BAC$.
∴$CD// AB$.

【分析】
(1) 求反比例函数表达式时，已知反比例函数图象经过点A，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的性质，直接代入点A的坐标即可求出k值，得到函数表达式。
(2) 作线段AC的垂直平分线，遵循尺规作图的基本方法：分别以A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧交于两个点，过这两个点作直线，就是AC的垂直平分线，保留作图痕迹即可。
(3) 要证明$CD// AB$，可通过证明内错角相等推导：首先利用角平分线的定义得到一组等角，再根据垂直平分线的性质得到$DA=DC$，由等边对等角得到另一组等角，通过等量代换得到内错角相等，即可推出两直线平行。
【解析】
(1) 将点$A(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$：
$k=2×4=8$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 按照尺规作垂直平分线的操作完成作图即可。
(3) 证明：
∵$AC$平分$∠OAB$，
∴$∠OAC=∠BAC$。
∵直线$m$垂直平分线段$AC$，
∴$DA=DC$，
∴$∠OAC=∠DCA$，
∴$∠DCA=∠BAC$，
∴$CD// AB$。
【答案】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(2,4)$,
∴$k=2×4=8$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$.
(2) 如图,直线$m$即为所求。
(3) 证明:
∵$AC$平分$∠OAB$,
∴$∠OAC=∠BAC$.
∵直线$m$垂直平分线段$AC$,
∴$DA=DC$.
∴$∠OAC=∠DCA$.
∴$∠DCA=∠BAC$.
∴$CD// AB$.
【知识点】
反比例函数解析式确定；线段垂直平分线性质；平行线判定
【点评】
本题综合了反比例函数、尺规作图、几何证明三类考点，侧重对基础性质的理解和简单逻辑推导能力的考查，解题思路清晰，属于常规基础综合题。
【难度系数】
0.7

5.小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边OA落在x轴上，边OC落在y轴上，点C的坐标为(0,4)。若将矩形向右平移1个单位长度，则点C恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上。
(1)求反比例函数的表达式；

(2)若固定矩形边OA，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形$OAB'C'$，当$∠ OAB'=30°$时，边$B'C'$交反比例函数图象于点D，求D点的坐标。

(1)
∵点$C$的坐标为$(0,4)$. 将矩形向右平移1个单位长度,
∴点$C$平移后的坐标为$(1,4)$,且恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上. 代入,得$4=\frac{k}{1}$,解得$k=4$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$.
(2)过点$B'$作$B'E⊥OA$于点$E$.
∵固定矩形边$OA$,向右“推”矩形,得到如图所示平行四边形$OAB'C'$,
∴$AB'=AB=OC=4$. 在$Rt△AB'E$中,$∠OAB'=30°$,
∴$B'E=\frac{1}{2}AB'=\frac{1}{2}×4=2$.
∴$y_D=2$,代入$y=\frac{4}{x}$,得$2=\frac{4}{x}$,解得$x=2$(经检验,是分式方程的解,且符合题意).
∴$D(2,2)$.

【分析】
(1) 要求反比例函数的表达式，需先得到其图象上一个点的坐标。已知点C坐标，根据平移的性质可得到点C向右平移1个单位后的坐标，将该坐标代入反比例函数解析式即可求出k值，进而得到函数表达式。
(2) 要求点D的坐标，已知点D在反比例函数图象上，只需确定其横/纵坐标即可。首先由平行四边形的性质可知AB'长度等于原矩形的边长OC，结合∠OAB'=30°，通过作高构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质可求出B'的纵坐标，由于B'C'与x轴平行，故D点纵坐标与B'纵坐标相等，代入反比例函数解析式即可求出横坐标，得到D点坐标。
【解析】
(1)
∵点C的坐标为(0,4)，将矩形向右平移1个单位长度，
∴点C平移后的坐标为(1,4)，
∵该点落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，代入得$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 过点$B'$作$B'E⊥OA$于点E，
∵固定矩形边OA，向右“推”矩形得到平行四边形$OAB'C'$，
∴$AB'=AB=OC=4$，
在$Rt△AB'E$中，$∠OAB'=30°$，
∴$B'E=\frac{1}{2}AB'=\frac{1}{2}×4=2$，
∵$B'C'//OA$，即$B'C'$上所有点的纵坐标均为2，故D点纵坐标$y_D=2$，
将$y_D=2$代入$y=\frac{4}{x}$，得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$（经检验符合题意），
∴D点坐标为(2,2)。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}$；(2) $D(2,2)$
【知识点】
反比例函数解析式确定，平移的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的基础综合题，解题核心是结合几何图形的性质得到函数图象上点的坐标特征，再代入函数解析式求解，注重对基础知识点的综合运用考查。
【难度系数】
0.7

6.（南阳宛城区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点$A(2,0)$，点$B(0,4)$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点D.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线OD向上平移$m$个单位长度后经过反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的点$(3,n)$，分别求$m$与$n$的值.

(1)过点$D$作$DF⊥x$轴,垂足为$F$.
∵四边形$ABCD$是正方形,
∴$∠BAD=90°$,$AB=AD$.
∵$∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠FAD=90°$,
∴$∠OBA=∠FAD$. 在$△OBA$和$△FAD$中,$\begin{cases}∠AOB=∠DFA,\\∠OBA=∠FAD,\\AB=DA,\end{cases}$
∴$△OBA≌△FAD$ (AAS).
∴$OA=DF=2$,$OB=AF=4$.
∴$OF=6$.
∴$D(6,2)$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$D(6,2)$,
∴$k=12$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$.
(2)
∵点$(3,n)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上,
∴$n=\frac{12}{3}=4$. 设直线$OD$的表达式为$y=tx$,将$D(6,2)$代入,得$2=6t$,解得$t=\frac{1}{3}$.
∴直线$OD$的表达式为$y=\frac{1}{3}x$. 根据题意,得直线$OD$向上平移后的表达式为$y=\frac{1}{3}x+m$,
∵直线$y=\frac{1}{3}x+m$经过点$(3,4)$,
∴$4=\frac{1}{3}×3+m$,解得$m=3$.

【分析】
(1)要确定反比例函数的表达式，需先求出点D的坐标。已知四边形ABCD是正方形，可过D作x轴的垂线构造全等三角形，利用正方形角为90°、边相等的性质证明△OBA和△FAD全等，结合A、B的坐标求出D点坐标，再代入反比例函数解析式求出k即可。
(2)先将点$(3,n)$代入已求出的反比例函数解析式，可直接算出n的值；再求出直线OD的解析式，根据一次函数“上加下减”的平移规律得到平移后直线的解析式，最后将点$(3,n)$代入平移后的解析式即可求出m的值。
【解析】
(1)过点$D$作$DF⊥x$轴，垂足为$F$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$∠BAD=90°$，$AB=AD$。
∵$∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠FAD=90°$，
∴$∠OBA=∠FAD$。
在$△OBA$和$△FAD$中，
$\begin{cases}∠AOB=∠DFA=90°\\∠OBA=∠FAD\\AB=DA\end{cases}$
∴$△OBA≌△FAD$ (AAS)。
∴$OA=DF=2$，$OB=AF=4$。
∴$OF=OA+AF=2+4=6$，即$D(6,2)$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$D(6,2)$，
∴$k=6×2=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$。
(2)
∵点$(3,n)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴$n=\frac{12}{3}=4$。
设直线$OD$的表达式为$y=tx$，将$D(6,2)$代入得：
$2=6t$，解得$t=\frac{1}{3}$，
∴直线$OD$的表达式为$y=\frac{1}{3}x$。
根据一次函数平移规律，直线$OD$向上平移$m$个单位后的表达式为$y=\frac{1}{3}x+m$，
∵该直线经过点$(3,4)$，
∴代入得$4=\frac{1}{3}×3+m$，解得$m=3$。
【答案】
(1)反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{12}{x}(x＞0)}$；
(2)$\boldsymbol{n=4}$，$\boldsymbol{m=3}$。
【知识点】
正方形的性质；反比例函数解析式确定；一次函数平移
【点评】
本题是反比例函数与几何、一次函数的综合题，解题的核心是利用正方形的性质构造全等三角形求出点D的坐标，再结合反比例函数的性质和一次函数平移规律求解，是反比例函数综合类的典型题型。
【难度系数】
0.7