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1. 已知矩形的面积是$40\ \mathrm{m}^2$，若它的一边长为$x(\mathrm{m})$，则矩形的另一边长$y(\mathrm{m})$与$x$的函数解析式是（
A.$y=20-\frac{1}{2}x$
B.$y=40x$
C.$y=\frac{40}{x}$
D.$y=\frac{x}{40}$
C
）A.$y=20-\frac{1}{2}x$
B.$y=40x$
C.$y=\frac{40}{x}$
D.$y=\frac{x}{40}$
答案
1. C
解析
【分析】
拿到本题，首先回忆矩形面积的计算逻辑：矩形的面积等于相邻两边长的乘积。本题中矩形面积是固定值40，已知两边长分别为x和y，我们可以先根据面积公式列出等量关系，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，最后和选项比对即可得到正确答案。
【解析】
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{一边长}×\mathrm{另一边长}$，代入已知条件得：
$x· y=40$
由于边长$x＞0$，将等式两边同时除以$x$，整理得：
$y=\frac{40}{x}$
因此符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 矩形面积计算
2. 反比例函数解析式
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是抓住几何图形的固定等量关系推导函数表达式，只要掌握矩形面积公式，能正确对等式变形即可快速作答。
【难度系数】
0.9
拿到本题，首先回忆矩形面积的计算逻辑：矩形的面积等于相邻两边长的乘积。本题中矩形面积是固定值40，已知两边长分别为x和y，我们可以先根据面积公式列出等量关系，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式，最后和选项比对即可得到正确答案。
【解析】
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{一边长}×\mathrm{另一边长}$，代入已知条件得：
$x· y=40$
由于边长$x＞0$，将等式两边同时除以$x$，整理得：
$y=\frac{40}{x}$
因此符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 矩形面积计算
2. 反比例函数解析式
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是抓住几何图形的固定等量关系推导函数表达式，只要掌握矩形面积公式，能正确对等式变形即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度$ v \ \mathrm{m/s} $是载重后总质量$ m \ \mathrm{kg} $的反比例函数. 已知一款机器狗载重后总质量$ m=50 \ \mathrm{kg} $时，它的最快移动速度$ v=8 \ \mathrm{m/s} $，则它的最快移动速度$ v $与其载重后总质量$ m $之间的函数解析式为$ v=\_\_\_\_\_\_ $.
答案
$v=\frac{400}{m}$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据“v是m的反比例函数”这一条件，回忆反比例函数的一般形式，设出含待定系数k的函数解析式；再将已知的m、v的对应值代入解析式，求出待定系数k的值；最后将k的值代回所设解析式，即可得到所求的函数关系，注意本题中m代表质量，取值为正数。
【解析】
∵ 最快移动速度$v$是载重后总质量$m$的反比例函数，
∴ 设函数解析式为 $v=\frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$，$m＞0$），
将 $m=50\ \mathrm{kg}$，$v=8\ \mathrm{m/s}$ 代入解析式，得：
$8=\frac{k}{50}$，
解得 $k=8×50=400$，
将$k=400$代入所设解析式，得 $v=\frac{400}{m}$。
【答案】
$\frac{400}{m}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用题，核心考查对反比例函数概念的掌握以及用待定系数法求函数解析式的能力，解题时只需紧扣反比例函数的形式代入已知条件计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据“v是m的反比例函数”这一条件，回忆反比例函数的一般形式，设出含待定系数k的函数解析式；再将已知的m、v的对应值代入解析式，求出待定系数k的值；最后将k的值代回所设解析式，即可得到所求的函数关系，注意本题中m代表质量，取值为正数。
【解析】
∵ 最快移动速度$v$是载重后总质量$m$的反比例函数，
∴ 设函数解析式为 $v=\frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$，$m＞0$），
将 $m=50\ \mathrm{kg}$，$v=8\ \mathrm{m/s}$ 代入解析式，得：
$8=\frac{k}{50}$，
解得 $k=8×50=400$，
将$k=400$代入所设解析式，得 $v=\frac{400}{m}$。
【答案】
$\frac{400}{m}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用题，核心考查对反比例函数概念的掌握以及用待定系数法求函数解析式的能力，解题时只需紧扣反比例函数的形式代入已知条件计算即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
3. 在一段时间内，某新能源汽车的续航里程是一个定值，且在满电情况下平均每天行驶路程$y$(单位：$\mathrm{km}$)与行驶时间$x$(单位：天)满足反比例函数关系. 已知该汽车满电情况下平均每天行驶$125\ \mathrm{km}$，可行驶$4$天；若平均每天行驶$100\ \mathrm{km}$，则可行驶
5
天.答案
3. 5
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题目中“平均每天行驶路程y与行驶时间x满足反比例函数关系”，可设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x＞0$），其中k就是满电状态下的总续航里程，是定值；其次将已知的x、y值代入解析式求出k的值，得到完整的函数解析式；最后将$y=100$代入解析式，即可求出对应的行驶天数x。
【解析】
设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x＞0$）。
将$x=4$，$y=125$代入解析式，得：
$125=\frac{k}{4}$
解得$k=125×4=500$，所以函数解析式为$y=\frac{500}{x}$。
当$y=100$时，代入解析式得：
$100=\frac{500}{x}$
解得$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；反比例函数实际应用
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题关键是抓住总续航里程为定值的特点，熟练运用待定系数法求解函数解析式后代入计算即可，侧重考察对反比例函数概念的理解和基础运用能力。
【难度系数】
0.85
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先根据题目中“平均每天行驶路程y与行驶时间x满足反比例函数关系”，可设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x＞0$），其中k就是满电状态下的总续航里程，是定值；其次将已知的x、y值代入解析式求出k的值，得到完整的函数解析式；最后将$y=100$代入解析式，即可求出对应的行驶天数x。
【解析】
设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$，$x＞0$）。
将$x=4$，$y=125$代入解析式，得：
$125=\frac{k}{4}$
解得$k=125×4=500$，所以函数解析式为$y=\frac{500}{x}$。
当$y=100$时，代入解析式得：
$100=\frac{500}{x}$
解得$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法；反比例函数实际应用
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题关键是抓住总续航里程为定值的特点，熟练运用待定系数法求解函数解析式后代入计算即可，侧重考察对反比例函数概念的理解和基础运用能力。
【难度系数】
0.85
4. 小明要把一篇社会调查报告录入电脑，当他以100字/分的速度录入文字时，经240分钟能完成录入.设他录入文字的速度为$ v $字/分时，完成录入的时间为$ t $分.
(1)求$ t $与$ v $之间的函数解析式；
(2)要在3 h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
(1)求$ t $与$ v $之间的函数解析式；
(2)要在3 h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？
答案
4. 解:(1)由题意,得 $vt=240×100$,则 $t=\frac{24\ 000}{v}(v＞0)$.
(2)$3\ \mathrm{h}=180\ \mathrm{min}$,当 $t=180$ 时,$180=\frac{24\ 000}{v}$,解得 $v=\frac{400}{3}$.
由反比例函数的性质,知当 $v＞\frac{400}{3}$时,$t＜180$,$\because v$ 是整数,
$\therefore v≥134$.故小明每分钟至少应录入 134 个字.
(2)$3\ \mathrm{h}=180\ \mathrm{min}$,当 $t=180$ 时,$180=\frac{24\ 000}{v}$,解得 $v=\frac{400}{3}$.
由反比例函数的性质,知当 $v＞\frac{400}{3}$时,$t＜180$,$\because v$ 是整数,
$\therefore v≥134$.故小明每分钟至少应录入 134 个字.
解析
【分析】
(1) 解题先抓住“录入总字数固定”这一不变量，先根据已知的录入速度和时间算出总字数，再根据“总字数=录入速度×录入时间”的等量关系变形，即可得到t与v的函数解析式，注意录入速度v为正数，需标注自变量的取值范围。
(2) 先统一时间单位，将3小时换算为180分钟，要在3小时内完成即录入时间$t≤180$。结合反比例函数$k＞0$时，t随v的增大而减小的性质，可知当t取最大值180时对应的v是满足要求的最小值，最后结合录入速度为正整数的实际要求，对结果向上取整即可。
【解析】
(1) 由题意得，录入总字数为$100×240=24000$字，
根据总字数、速度、时间的关系可得$vt=24000$，
整理得t与v的函数解析式：$t=\frac{24000}{v}(v＞0)$。
(2) 先换算单位：$3\ \mathrm{h}=3×60=180\ \mathrm{min}$，
将$t=180$代入函数解析式得：$180=\frac{24000}{v}$，
解得$v=\frac{400}{3}\approx133.33$。
由反比例函数性质可知，$k=24000＞0$时，$v＞0$范围内t随v的增大而减小，因此要满足$t≤180$，需$v≥\frac{400}{3}$。
由于v为正整数，因此v最小取134。
【答案】
(1) $t=\frac{24000}{v}(v＞0)$；
(2) 小明每分钟至少应录入134个字。
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；实际问题的整数解
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是抓住总工作量不变的隐含条件建立函数关系，求解最值时要结合反比例函数的增减性分析，同时注意结果要符合实际场景的取值要求。
【难度系数】
0.75
(1) 解题先抓住“录入总字数固定”这一不变量，先根据已知的录入速度和时间算出总字数，再根据“总字数=录入速度×录入时间”的等量关系变形，即可得到t与v的函数解析式，注意录入速度v为正数，需标注自变量的取值范围。
(2) 先统一时间单位，将3小时换算为180分钟，要在3小时内完成即录入时间$t≤180$。结合反比例函数$k＞0$时，t随v的增大而减小的性质，可知当t取最大值180时对应的v是满足要求的最小值，最后结合录入速度为正整数的实际要求，对结果向上取整即可。
【解析】
(1) 由题意得，录入总字数为$100×240=24000$字，
根据总字数、速度、时间的关系可得$vt=24000$，
整理得t与v的函数解析式：$t=\frac{24000}{v}(v＞0)$。
(2) 先换算单位：$3\ \mathrm{h}=3×60=180\ \mathrm{min}$，
将$t=180$代入函数解析式得：$180=\frac{24000}{v}$，
解得$v=\frac{400}{3}\approx133.33$。
由反比例函数性质可知，$k=24000＞0$时，$v＞0$范围内t随v的增大而减小，因此要满足$t≤180$，需$v≥\frac{400}{3}$。
由于v为正整数，因此v最小取134。
【答案】
(1) $t=\frac{24000}{v}(v＞0)$；
(2) 小明每分钟至少应录入134个字。
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；实际问题的整数解
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是抓住总工作量不变的隐含条件建立函数关系，求解最值时要结合反比例函数的增减性分析，同时注意结果要符合实际场景的取值要求。
【难度系数】
0.75
5. 一定质量的氧气,它的密度$\rho$与它的体积$V$成反比例关系.当$V=100\ \mathrm{m}^3$时,$\rho=1.43\ \mathrm{kg/m}^3$,则此时$\rho$与$V$之间的函数解析式是（
A.$\rho=\dfrac{143}{V}$
B.$\rho=\dfrac{14.3}{V}$
C.$\rho=143V$
D.$\rho=14.3V$
A
）A.$\rho=\dfrac{143}{V}$
B.$\rho=\dfrac{14.3}{V}$
C.$\rho=143V$
D.$\rho=14.3V$
答案
5. A
解析
【分析】
题目明确说明氧气的密度$\rho$与体积$V$成反比例关系，解题思路如下：第一步，回忆反比例函数的一般形式，设出$\rho$与$V$的反比例函数解析式；第二步，将已知的$V=100\ \mathrm{m}^3$、$\rho=1.43\ \mathrm{kg/m}^3$代入所设解析式，求出未知常数$k$；第三步，将$k$值代回解析式，得到最终的函数表达式，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ 密度$\rho$与体积$V$成反比例关系
∴ 设$\rho$与$V$的函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{V}$（$k≠0$，$k$为常数）
将$V=100\ \mathrm{m}^3$，$\rho=1.43\ \mathrm{kg/m}^3$代入解析式得：
$1.43=\dfrac{k}{100}$
解得：$k=1.43×100=143$
将$k=143$代回所设解析式，可得$\rho=\dfrac{143}{V}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式的步骤，只要明确反比例函数的形式，代入已知条件计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.85
题目明确说明氧气的密度$\rho$与体积$V$成反比例关系，解题思路如下：第一步，回忆反比例函数的一般形式，设出$\rho$与$V$的反比例函数解析式；第二步，将已知的$V=100\ \mathrm{m}^3$、$\rho=1.43\ \mathrm{kg/m}^3$代入所设解析式，求出未知常数$k$；第三步，将$k$值代回解析式，得到最终的函数表达式，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ 密度$\rho$与体积$V$成反比例关系
∴ 设$\rho$与$V$的函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{V}$（$k≠0$，$k$为常数）
将$V=100\ \mathrm{m}^3$，$\rho=1.43\ \mathrm{kg/m}^3$代入解析式得：
$1.43=\dfrac{k}{100}$
解得：$k=1.43×100=143$
将$k=143$代回所设解析式，可得$\rho=\dfrac{143}{V}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式的步骤，只要明确反比例函数的形式，代入已知条件计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.85
6.【跨学科·物理】如图，根据小孔成像原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高$y$（单位：cm）与物距（蜡烛到小孔的距离）$x$（单位：cm）成反比例关系.已知当$x=4$时，$y=2.5$，则当$x=10$时，$y$的值为（
A.10
B.2.5
C.4
D.1
D
）A.10
B.2.5
C.4
D.1
答案
6. D
解析
【分析】
题目明确说明像高y与物距x成反比例关系，首先我们可以设反比例函数的一般形式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，k为常数），解题分为两步：第一步利用已知的x、y对应值，代入解析式求出常数k，确定函数的具体表达式；第二步将x=10代入求得的解析式，计算对应的y值即可。
【解析】
解：因为y与x成反比例关系，设反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} \ (k ≠ 0) $。
将$ x=4 $，$ y=2.5 $代入解析式，得：
$ 2.5 = \frac{k}{4} $
解得$ k = 4 × 2.5 = 10 $
所以反比例函数的解析式为$ y = \frac{10}{x} $
当$ x=10 $时，代入解析式得：
$ y = \frac{10}{10} = 1 $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求解析式、反比例函数求值
【点评】
本题结合物理中小孔成像的情境考查反比例函数的相关知识，属于基础题，解题的关键是掌握反比例函数的形式和待定系数法的求解步骤，同时体现了跨学科知识结合的考查特点。
【难度系数】
0.8
题目明确说明像高y与物距x成反比例关系，首先我们可以设反比例函数的一般形式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，k为常数），解题分为两步：第一步利用已知的x、y对应值，代入解析式求出常数k，确定函数的具体表达式；第二步将x=10代入求得的解析式，计算对应的y值即可。
【解析】
解：因为y与x成反比例关系，设反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} \ (k ≠ 0) $。
将$ x=4 $，$ y=2.5 $代入解析式，得：
$ 2.5 = \frac{k}{4} $
解得$ k = 4 × 2.5 = 10 $
所以反比例函数的解析式为$ y = \frac{10}{x} $
当$ x=10 $时，代入解析式得：
$ y = \frac{10}{10} = 1 $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求解析式、反比例函数求值
【点评】
本题结合物理中小孔成像的情境考查反比例函数的相关知识，属于基础题，解题的关键是掌握反比例函数的形式和待定系数法的求解步骤，同时体现了跨学科知识结合的考查特点。
【难度系数】
0.8
7.如图,小明想要用撬棍撬动一块大石头,已知阻力为1 000 N,阻力臂长为0.5 m.设动力为y(单位:N),动力臂长为x(单位:m).(杠杆平衡时,动力×动力臂=阻力×阻力臂,图中撬棍本身所受的重力忽略不计)
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当动力臂长为2 m时,撬动石头至少需要多大的力?
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当动力臂长为2 m时,撬动石头至少需要多大的力?
答案
7. 解:(1)由题意,得 $xy=1\ 000×0.5=500$,$\therefore y=\frac{500}{x}$.
(2)当 $x=2$ 时,$y=\frac{500}{2}=250$,$\therefore$ 当动力臂长为 2 m 时,撬动石头至少需要 250 N 的力.
(2)当 $x=2$ 时,$y=\frac{500}{2}=250$,$\therefore$ 当动力臂长为 2 m 时,撬动石头至少需要 250 N 的力.
解析
【分析】
解题需围绕题干给出的杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”展开：第一问求y关于x的函数解析式，只需将已知的阻力、阻力臂代入平衡公式，整理为y用含x的式子表示的形式即可；第二问求指定动力臂下的动力，直接将动力臂的数值代入第一问求出的函数解析式，计算得到对应的y值，即为所需的最小动力。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡公式，代入已知条件可得：
$xy=1000×0.5=500$
整理得y关于x的函数解析式为：$y=\frac{500}{x}$
(2) 当动力臂长$x=2\ \mathrm{m}$时，将$x=2$代入$y=\frac{500}{x}$得：
$y=\frac{500}{2}=250$
即此时撬动石头至少需要250N的力。
【答案】
(1) $y=\frac{500}{x}$；(2) $250\ \mathrm{N}$
【知识点】
反比例函数的应用，函数解析式求解，代入求值
【点评】
本题结合生活中撬石头的实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是根据题干给出的等量关系建立正确的函数模型，再代入数值计算即可，贴合生活实际，能体现数学知识的实用性。
【难度系数】
0.85
解题需围绕题干给出的杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”展开：第一问求y关于x的函数解析式，只需将已知的阻力、阻力臂代入平衡公式，整理为y用含x的式子表示的形式即可；第二问求指定动力臂下的动力，直接将动力臂的数值代入第一问求出的函数解析式，计算得到对应的y值，即为所需的最小动力。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡公式，代入已知条件可得：
$xy=1000×0.5=500$
整理得y关于x的函数解析式为：$y=\frac{500}{x}$
(2) 当动力臂长$x=2\ \mathrm{m}$时，将$x=2$代入$y=\frac{500}{x}$得：
$y=\frac{500}{2}=250$
即此时撬动石头至少需要250N的力。
【答案】
(1) $y=\frac{500}{x}$；(2) $250\ \mathrm{N}$
【知识点】
反比例函数的应用，函数解析式求解，代入求值
【点评】
本题结合生活中撬石头的实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是根据题干给出的等量关系建立正确的函数模型，再代入数值计算即可，贴合生活实际，能体现数学知识的实用性。
【难度系数】
0.85
