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8.某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强$ p $（kPa）与气体的体积$ V $（$ m^3 $）成反比例.当气体的体积$ V=0.8\ m^3 $时，气球内气体的压强$ p=112.5\ \mathrm{kPa} $.当气球内气体的压强大于150 kPa时，气球就会爆炸.若要保证气球不会爆炸，则气球内气体的体积$ V $（$ m^3 $）应满足（
A.大于$\frac{3}{5}$
B.不小于$\frac{3}{5}$
C.小于$\frac{3}{5}$
D.不大于$\frac{3}{5}$
B
）A.大于$\frac{3}{5}$
B.不小于$\frac{3}{5}$
C.小于$\frac{3}{5}$
D.不大于$\frac{3}{5}$
答案
8. B
解析
【分析】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据“p与V成反比例”的条件，设出反比例函数的一般形式；第二步，将已知的V和p的对应值代入解析式，求出比例常数k，确定p与V的函数关系；第三步，结合“压强大于150kPa会爆炸”的限制，得到不爆炸时p的取值范围，代入函数解析式列不等式求解，注意气体体积V为正数，解不等式时要注意不等号方向，最后根据解集选择正确选项即可。
【解析】
解：
∵温度不变时，气球内气体的压强$ p $与气体的体积$ V $成反比例，
∴设$ p=\frac{k}{V} $（$ k≠0,V＞0 $）。
将$ V=0.8\ \mathrm{m^3} $，$ p=112.5\ \mathrm{kPa} $代入解析式，得：
$ 112.5=\frac{k}{0.8} $，解得$ k=112.5×0.8=90 $，
∴$ p $与$ V $的函数解析式为$ p=\frac{90}{V} $（$ V＞0 $）。
∵气球内气体的压强大于150kPa时会爆炸，要保证气球不爆炸，
∴$ p≤150 $，即$ \frac{90}{V}≤150 $，
∵$ V＞0 $，不等式两边同时乘$ V $，不等号方向不变，得：
$ 90≤150V $，
两边同时除以150，得$ V≥\frac{90}{150}=\frac{3}{5} $，
即气球内气体的体积应不小于$ \frac{3}{5}\ \mathrm{m^3} $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数解析式确定；一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先根据已知条件确定反比例函数的解析式，再结合限制条件列不等式求解，解题时需要注意实际问题中变量的取值范围，避免因忽略V为正数导致不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据“p与V成反比例”的条件，设出反比例函数的一般形式；第二步，将已知的V和p的对应值代入解析式，求出比例常数k，确定p与V的函数关系；第三步，结合“压强大于150kPa会爆炸”的限制，得到不爆炸时p的取值范围，代入函数解析式列不等式求解，注意气体体积V为正数，解不等式时要注意不等号方向，最后根据解集选择正确选项即可。
【解析】
解：
∵温度不变时，气球内气体的压强$ p $与气体的体积$ V $成反比例，
∴设$ p=\frac{k}{V} $（$ k≠0,V＞0 $）。
将$ V=0.8\ \mathrm{m^3} $，$ p=112.5\ \mathrm{kPa} $代入解析式，得：
$ 112.5=\frac{k}{0.8} $，解得$ k=112.5×0.8=90 $，
∴$ p $与$ V $的函数解析式为$ p=\frac{90}{V} $（$ V＞0 $）。
∵气球内气体的压强大于150kPa时会爆炸，要保证气球不爆炸，
∴$ p≤150 $，即$ \frac{90}{V}≤150 $，
∵$ V＞0 $，不等式两边同时乘$ V $，不等号方向不变，得：
$ 90≤150V $，
两边同时除以150，得$ V≥\frac{90}{150}=\frac{3}{5} $，
即气球内气体的体积应不小于$ \frac{3}{5}\ \mathrm{m^3} $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数解析式确定；一元一次不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先根据已知条件确定反比例函数的解析式，再结合限制条件列不等式求解，解题时需要注意实际问题中变量的取值范围，避免因忽略V为正数导致不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
9. 远视眼镜的镜片是凸透镜,镜片的度数$y$(度)是关于镜片焦距$x$(m)($x＞0$)的反比例函数,当$y=200$时,$x=0.5$,下列说法中,错误的是 (
A.$y$与$x$的函数解析式为$y=\dfrac{100}{x}(x＞0)$
B.当远视眼镜的度数是400度时,镜片焦距是0.25 m
C.当远视眼镜的镜片焦距是0.2 m时,该镜片的度数是500度
D.若一副远视眼镜的度数不大于400度,则焦距不大于0.25 m
D
)A.$y$与$x$的函数解析式为$y=\dfrac{100}{x}(x＞0)$
B.当远视眼镜的度数是400度时,镜片焦距是0.25 m
C.当远视眼镜的镜片焦距是0.2 m时,该镜片的度数是500度
D.若一副远视眼镜的度数不大于400度,则焦距不大于0.25 m
答案
9. D
解析
【分析】
这道题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的反比例函数关系，设出反比例函数的一般形式，利用已知的x、y对应值求出比例系数k，得到函数解析式；再将各选项中的已知量代入解析式计算，或根据条件列不等式求解，逐一判断选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
解：由题意，设y与x的函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0, x＞0 $）
把$ y=200, x=0.5 $代入解析式，得$ 200=\frac{k}{0.5} $，解得$ k=200×0.5=100 $
∴y与x的函数解析式为$ y=\frac{100}{x}(x＞0) $，故A选项说法正确，不符合题意。
B选项：当$ y=400 $时，代入解析式得$ 400=\frac{100}{x} $，解得$ x=0.25m $，说法正确，不符合题意。
C选项：当$ x=0.2m $时，代入解析式得$ y=\frac{100}{0.2}=500 $度，说法正确，不符合题意。
D选项：若度数不大于400度，即$ y≤400 $，则$ \frac{100}{x}≤400 $。
∵$ x＞0 $，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$ 100≤400x $，解得$ x≥0.25m $，即焦距不小于0.25m，故D选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活中远视眼镜度数与焦距的关系考查反比例函数的相关知识，难度不大，易错点是求解D选项的不等式时，忽略x为正数的条件，导致不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的反比例函数关系，设出反比例函数的一般形式，利用已知的x、y对应值求出比例系数k，得到函数解析式；再将各选项中的已知量代入解析式计算，或根据条件列不等式求解，逐一判断选项的正误，最终选出错误的选项。
【解析】
解：由题意，设y与x的函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0, x＞0 $）
把$ y=200, x=0.5 $代入解析式，得$ 200=\frac{k}{0.5} $，解得$ k=200×0.5=100 $
∴y与x的函数解析式为$ y=\frac{100}{x}(x＞0) $，故A选项说法正确，不符合题意。
B选项：当$ y=400 $时，代入解析式得$ 400=\frac{100}{x} $，解得$ x=0.25m $，说法正确，不符合题意。
C选项：当$ x=0.2m $时，代入解析式得$ y=\frac{100}{0.2}=500 $度，说法正确，不符合题意。
D选项：若度数不大于400度，即$ y≤400 $，则$ \frac{100}{x}≤400 $。
∵$ x＞0 $，不等式两边同时乘x不等号方向不变，得$ 100≤400x $，解得$ x≥0.25m $，即焦距不小于0.25m，故D选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数应用，不等式求解
【点评】
本题结合生活中远视眼镜度数与焦距的关系考查反比例函数的相关知识，难度不大，易错点是求解D选项的不等式时，忽略x为正数的条件，导致不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图,电源两端的电压U保持不变,电流强度I与总电阻R成反比例.在实验课上,调整滑动变阻器的电阻,改变灯泡亮度,实验测得电路中总电阻R为15 Ω时,通过的电流强度I为0.4 A.
(1)求I关于R的函数解析式.
(2)如果灯泡的电阻为5 Ω,电路中电流控制在0.3 A到0.6 A之间(包括0.3和0.6),那么这个滑动变阻器的电阻应控制在什么范围?
(3)若电路中的总电阻扩大到原来的n倍,则所通过的电流将怎样变化?请利用I关于R的函数解析式来说明理由.
(1)求I关于R的函数解析式.
(2)如果灯泡的电阻为5 Ω,电路中电流控制在0.3 A到0.6 A之间(包括0.3和0.6),那么这个滑动变阻器的电阻应控制在什么范围?
(3)若电路中的总电阻扩大到原来的n倍,则所通过的电流将怎样变化?请利用I关于R的函数解析式来说明理由.
答案
10. 解:(1)由题意,得 $U=IR$,$\therefore U=15×0.4=6$. $\therefore I=\frac{6}{R}$.
(2)由(1)知,$R=\frac{6}{I}$,当 $I=0.3$ 时,$R=20$;当 $I=0.6$ 时,$R=10$,则滑动变阻器的电阻应控制在 $5\ \Omega∼15\ \Omega$ 之间.
(3)总电阻扩大到原来的 $n$ 倍,由 $I=\frac{6}{R}$ 知,电流缩小到原来的$\frac{1}{n}$.
(2)由(1)知,$R=\frac{6}{I}$,当 $I=0.3$ 时,$R=20$;当 $I=0.6$ 时,$R=10$,则滑动变阻器的电阻应控制在 $5\ \Omega∼15\ \Omega$ 之间.
(3)总电阻扩大到原来的 $n$ 倍,由 $I=\frac{6}{R}$ 知,电流缩小到原来的$\frac{1}{n}$.
解析
【分析】
(1) 题目明确电流I与总电阻R成反比例，可设反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}(k≠0)$，其中k为电源电压U，已知R=15Ω时I=0.4A，代入即可求出k的值，得到I关于R的函数解析式。
(2) 先根据得到的反比例解析式，分别算出电流为0.3A和0.6A时对应的总电阻值，总电阻是灯泡电阻与滑动变阻器电阻之和，减去灯泡的5Ω即可得到滑动变阻器的电阻范围，注意电流越大，总电阻越小，对应滑动变阻器阻值也越小。
(3) 利用反比例函数的性质，将变化后的总电阻nR代入解析式，对比原来的电流表达式即可得出电流的变化规律。
【解析】
(1) 由题意结合欧姆定律得$U=IR$，将$R=15\ \Omega$，$I=0.4\ \mathrm{A}$代入得：
$U=15×0.4=6\ \mathrm{V}$
因此I关于R的函数解析式为$I=\frac{6}{R}$（$R＞0$）。
(2) 由(1)的解析式变形可得总电阻$R=\frac{6}{I}$：
当$I=0.3\ \mathrm{A}$时，总电阻$R_1=\frac{6}{0.3}=20\ \Omega$，滑动变阻器阻值$R_{\mathrm{滑}1}=20-5=15\ \Omega$；
当$I=0.6\ \mathrm{A}$时，总电阻$R_2=\frac{6}{0.6}=10\ \Omega$，滑动变阻器阻值$R_{\mathrm{滑}2}=10-5=5\ \Omega$；
因此滑动变阻器的电阻应控制在$5\ \Omega ∼ 15\ \Omega$之间。
(3) 若总电阻扩大到原来的n倍，即新的总电阻$R'=nR$，代入解析式得新的电流：
$I'=\frac{6}{R'}=\frac{6}{nR}=\frac{1}{n}· \frac{6}{R}=\frac{1}{n}I$
因此通过的电流缩小到原来的$\frac{1}{n}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{I=\frac{6}{R}}$
(2) 滑动变阻器的电阻应控制在$\boldsymbol{5\ \Omega ∼ 15\ \Omega}$之间
(3) 电流缩小到原来的$\boldsymbol{\frac{1}{n}}$
【知识点】
反比例函数的应用、欧姆定律、反比例函数的性质
【点评】
本题结合电学场景考查反比例函数的实际应用，解题的核心是明确反比例函数的形式，结合物理中电流、电压、电阻的关系代入计算，求解范围类问题时要注意变量的对应关系，结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确电流I与总电阻R成反比例，可设反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}(k≠0)$，其中k为电源电压U，已知R=15Ω时I=0.4A，代入即可求出k的值，得到I关于R的函数解析式。
(2) 先根据得到的反比例解析式，分别算出电流为0.3A和0.6A时对应的总电阻值，总电阻是灯泡电阻与滑动变阻器电阻之和，减去灯泡的5Ω即可得到滑动变阻器的电阻范围，注意电流越大，总电阻越小，对应滑动变阻器阻值也越小。
(3) 利用反比例函数的性质，将变化后的总电阻nR代入解析式，对比原来的电流表达式即可得出电流的变化规律。
【解析】
(1) 由题意结合欧姆定律得$U=IR$，将$R=15\ \Omega$，$I=0.4\ \mathrm{A}$代入得：
$U=15×0.4=6\ \mathrm{V}$
因此I关于R的函数解析式为$I=\frac{6}{R}$（$R＞0$）。
(2) 由(1)的解析式变形可得总电阻$R=\frac{6}{I}$：
当$I=0.3\ \mathrm{A}$时，总电阻$R_1=\frac{6}{0.3}=20\ \Omega$，滑动变阻器阻值$R_{\mathrm{滑}1}=20-5=15\ \Omega$；
当$I=0.6\ \mathrm{A}$时，总电阻$R_2=\frac{6}{0.6}=10\ \Omega$，滑动变阻器阻值$R_{\mathrm{滑}2}=10-5=5\ \Omega$；
因此滑动变阻器的电阻应控制在$5\ \Omega ∼ 15\ \Omega$之间。
(3) 若总电阻扩大到原来的n倍，即新的总电阻$R'=nR$，代入解析式得新的电流：
$I'=\frac{6}{R'}=\frac{6}{nR}=\frac{1}{n}· \frac{6}{R}=\frac{1}{n}I$
因此通过的电流缩小到原来的$\frac{1}{n}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{I=\frac{6}{R}}$
(2) 滑动变阻器的电阻应控制在$\boldsymbol{5\ \Omega ∼ 15\ \Omega}$之间
(3) 电流缩小到原来的$\boldsymbol{\frac{1}{n}}$
【知识点】
反比例函数的应用、欧姆定律、反比例函数的性质
【点评】
本题结合电学场景考查反比例函数的实际应用，解题的核心是明确反比例函数的形式，结合物理中电流、电压、电阻的关系代入计算，求解范围类问题时要注意变量的对应关系，结果要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
11.小王在网上销售一种成本为20元/件的文化衫,销售过程中的其他各种费用(不再含文化衫成本)总计50(百元),有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下：
(1)求销售这种文化衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数解析式；
(2)销售价格定为多少元/件时,获得的利润最大?最大利润是多少？
(1)求销售这种文化衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数解析式；
(2)销售价格定为多少元/件时,获得的利润最大?最大利润是多少？
答案
11. 解:(1)当 $30≤ x≤60$ 时,$w=(x-20)(-0.1x+8)-50=-0.1x^2+10x-210$;当 $60＜x≤80$ 时,$w=(x-20)·\frac{120}{x}-50 = -\frac{2\ 400}{x} + 70$. 综 上 所 述, $w = \begin{cases}-0.1x^2+10x-210(30≤ x≤60),\\-\frac{2\ 400}{x}+70(60＜x≤80).\end{cases}$
(2)当 $30≤ x≤60$ 时,$w=-0.1x^2+10x-210=-0.1(x-50)^2+40$.
$\because-0.1＜0$,$\therefore$ 当 $x=50$ 时,$w$ 取得最大值,最大值为 40(百元);当 $60＜x≤80$ 时,$w=-\frac{2\ 400}{x}+70$,$\because-2\ 400＜0$,
$\therefore$ 当 $60＜x≤80$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大. $\therefore$ 当 $x=80$ 时,$w_{\mathrm{最大}}=40$(百元).答:销售价格定为 50 元/件或 80 元/件时,获得的利润最大,最大利润是 40 百元.
(2)当 $30≤ x≤60$ 时,$w=-0.1x^2+10x-210=-0.1(x-50)^2+40$.
$\because-0.1＜0$,$\therefore$ 当 $x=50$ 时,$w$ 取得最大值,最大值为 40(百元);当 $60＜x≤80$ 时,$w=-\frac{2\ 400}{x}+70$,$\because-2\ 400＜0$,
$\therefore$ 当 $60＜x≤80$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大. $\therefore$ 当 $x=80$ 时,$w_{\mathrm{最大}}=40$(百元).答:销售价格定为 50 元/件或 80 元/件时,获得的利润最大,最大利润是 40 百元.
解析
【分析】
解题思路：首先明确纯利润的计算逻辑：纯利润=（售价-单件成本）×销售量 - 其他固定费用。本题中销售量y是关于x的分段函数，因此纯利润w也需要按照x的两个取值范围分别推导解析式。求最大利润时，分别分析两个区间内函数的性质（二次函数、反比例函数的增减性），求出对应区间内的最大值，再比较两个最大值即可得到全局最大利润及对应的销售价格。
【解析】
(1) 分两种情况推导纯利润w（百元）的解析式：
① 当 $30\le x\le60$ 时，销售量 $y=-0.1x+8$，单件利润为$(x-20)$元，其他费用为50百元，因此：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-0.1x+8)-50\\&=-0.1x^2+10x-160-50\\&=-0.1x^2+10x-210\end{aligned}$
② 当 $60＜x\le80$ 时，销售量 $y=\frac{120}{x}$，同理可得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)·\frac{120}{x}-50\\&=120-\frac{2400}{x}-50\\&=-\frac{2400}{x}+70\end{aligned}$
综上可得w的解析式。
(2) 分别求解两个区间的利润最大值：
① 当 $30\le x\le60$ 时，对二次函数配方：
$w=-0.1x^2+10x-210=-0.1(x-50)^2+40$
$\because -0.1＜0$，抛物线开口向下，且$x=50$在$30\le x\le60$区间内，
$\therefore$ 当$x=50$时，w取得该区间最大值，为40百元。
② 当 $60＜x\le80$ 时，$w=-\frac{2400}{x}+70$，
$\because -2400＜0$，在$x＞0$范围内w随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=80$时，w取得该区间最大值：$w=-\frac{2400}{80}+70=40$（百元）。
比较两个区间的最大值，可知最大利润为40百元，对应售价为50元/件或80元/件。
【答案】
(1) $w = \begin{cases}-0.1x^2+10x-210&(30\le x\le60)\\-\frac{2400}{x}+70&(60＜x\le80)\end{cases}$
(2) 销售价格定为50元/件或80元/件时，获得的利润最大，最大利润是40百元。
【知识点】
分段函数应用；二次函数最值；反比例函数性质
【点评】
本题属于函数实际应用类题型，解题核心是理清利润的计算关系，结合自变量的取值范围分段讨论函数解析式；求最值时要注意结合对应函数的增减性，同时不能忽略自变量取值范围对最值点的限制，避免出现直接套用公式忽略定义域的错误。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先明确纯利润的计算逻辑：纯利润=（售价-单件成本）×销售量 - 其他固定费用。本题中销售量y是关于x的分段函数，因此纯利润w也需要按照x的两个取值范围分别推导解析式。求最大利润时，分别分析两个区间内函数的性质（二次函数、反比例函数的增减性），求出对应区间内的最大值，再比较两个最大值即可得到全局最大利润及对应的销售价格。
【解析】
(1) 分两种情况推导纯利润w（百元）的解析式：
① 当 $30\le x\le60$ 时，销售量 $y=-0.1x+8$，单件利润为$(x-20)$元，其他费用为50百元，因此：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-0.1x+8)-50\\&=-0.1x^2+10x-160-50\\&=-0.1x^2+10x-210\end{aligned}$
② 当 $60＜x\le80$ 时，销售量 $y=\frac{120}{x}$，同理可得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)·\frac{120}{x}-50\\&=120-\frac{2400}{x}-50\\&=-\frac{2400}{x}+70\end{aligned}$
综上可得w的解析式。
(2) 分别求解两个区间的利润最大值：
① 当 $30\le x\le60$ 时，对二次函数配方：
$w=-0.1x^2+10x-210=-0.1(x-50)^2+40$
$\because -0.1＜0$，抛物线开口向下，且$x=50$在$30\le x\le60$区间内，
$\therefore$ 当$x=50$时，w取得该区间最大值，为40百元。
② 当 $60＜x\le80$ 时，$w=-\frac{2400}{x}+70$，
$\because -2400＜0$，在$x＞0$范围内w随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=80$时，w取得该区间最大值：$w=-\frac{2400}{80}+70=40$（百元）。
比较两个区间的最大值，可知最大利润为40百元，对应售价为50元/件或80元/件。
【答案】
(1) $w = \begin{cases}-0.1x^2+10x-210&(30\le x\le60)\\-\frac{2400}{x}+70&(60＜x\le80)\end{cases}$
(2) 销售价格定为50元/件或80元/件时，获得的利润最大，最大利润是40百元。
【知识点】
分段函数应用；二次函数最值；反比例函数性质
【点评】
本题属于函数实际应用类题型，解题核心是理清利润的计算关系，结合自变量的取值范围分段讨论函数解析式；求最值时要注意结合对应函数的增减性，同时不能忽略自变量取值范围对最值点的限制，避免出现直接套用公式忽略定义域的错误。
【难度系数】
0.6
