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1.如图,反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y_2=ax+b$的图象相交于点$A(1,4)$和$B(-2,n)$.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)请根据图象直接写出$y_1＜y_2$时,$x$的取值范围.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)请根据图象直接写出$y_1＜y_2$时,$x$的取值范围.
答案
(1)
∵反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象过点$A(1,4)$,
∴$4=\frac{k}{1}$,即$k=4$,
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$.
∵反比例函数$y_1=\frac{4}{x}$的图象过点$B(-2,n)$,
∴$n=\frac{4}{-2}=-2$,
∴$B(-2,-2)$.
∵一次函数$y_2=ax+b$的图象过点$A(1,4)$和点$B(-2,-2)$.
∴$\begin{cases}a+b=4,\\-2a+b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=2,\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_2=2x+2$.
(2)由图象可知,$y_1＜y_2$时,$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞1$.
∵反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象过点$A(1,4)$,
∴$4=\frac{k}{1}$,即$k=4$,
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$.
∵反比例函数$y_1=\frac{4}{x}$的图象过点$B(-2,n)$,
∴$n=\frac{4}{-2}=-2$,
∴$B(-2,-2)$.
∵一次函数$y_2=ax+b$的图象过点$A(1,4)$和点$B(-2,-2)$.
∴$\begin{cases}a+b=4,\\-2a+b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=2,\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y_2=2x+2$.
(2)由图象可知,$y_1＜y_2$时,$x$的取值范围是$-2＜x＜0$或$x＞1$.
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式采用待定系数法：①反比例函数仅需1个已知点即可求出未知参数k，因此先将点A坐标代入反比例函数解析式，计算得到k值，确定反比例函数解析式；②点B在反比例函数图象上，将B的横坐标代入已求出的反比例函数解析式，算出n的值，得到B点完整坐标；③一次函数需要2个已知点求解参数，将A、B两点坐标代入一次函数表达式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数解析式。
(2) $y_1＜y_2$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方，两个交点是函数值相等的分界点，结合反比例函数图象不连续（x≠0）的特点，分区间观察图象位置，即可得到对应的x取值范围。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式：
∵反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象过点$A(1,4)$，
∴将$x=1,y=4$代入得$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
求点B坐标：
∵点$B(-2,n)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴将$x=-2$代入得$n=\frac{4}{-2}=-2$，即$B(-2,-2)$。
求一次函数解析式：
∵一次函数$y_2=ax+b$的图象过$A(1,4)$和$B(-2,-2)$，
将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}a+b=4\\-2a+b=-2\end{cases}$
消去b解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b=4$解得$b=2$，
∴一次函数的解析式为$y_2=2x+2$。
(2) 观察图象可得：
当$-2＜x＜0$或$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=2x+2}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞1}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，函数图象比较大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，重点考查待定系数法的运用以及数形结合思想的应用，解题时要注意反比例函数图象的间断性，比较函数大小时需分区间判断，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数解析式采用待定系数法：①反比例函数仅需1个已知点即可求出未知参数k，因此先将点A坐标代入反比例函数解析式，计算得到k值，确定反比例函数解析式；②点B在反比例函数图象上，将B的横坐标代入已求出的反比例函数解析式，算出n的值，得到B点完整坐标；③一次函数需要2个已知点求解参数，将A、B两点坐标代入一次函数表达式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数解析式。
(2) $y_1＜y_2$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方，两个交点是函数值相等的分界点，结合反比例函数图象不连续（x≠0）的特点，分区间观察图象位置，即可得到对应的x取值范围。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式：
∵反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象过点$A(1,4)$，
∴将$x=1,y=4$代入得$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
求点B坐标：
∵点$B(-2,n)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴将$x=-2$代入得$n=\frac{4}{-2}=-2$，即$B(-2,-2)$。
求一次函数解析式：
∵一次函数$y_2=ax+b$的图象过$A(1,4)$和$B(-2,-2)$，
将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}a+b=4\\-2a+b=-2\end{cases}$
消去b解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b=4$解得$b=2$，
∴一次函数的解析式为$y_2=2x+2$。
(2) 观察图象可得：
当$-2＜x＜0$或$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=2x+2}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞1}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，函数图象比较大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，重点考查待定系数法的运用以及数形结合思想的应用，解题时要注意反比例函数图象的间断性，比较函数大小时需分区间判断，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2.(资阳中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,一次函数$y=kx-2$的图象与x轴交于点$A(-1,0)$,与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$B(-2,a)$,射线BO与反比例函数的图象交于点C,连接AC.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求$△ ABC$的面积.
(2)求$△ ABC$的面积.
答案
(1)
∵一次函数$y=kx-2$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$,
∴$0=-k-2$,解得$k=-2$.
∴一次函数的表达式为$y=-2x-2$.
∵一次函数$y=-2x-2$的图象过点$B(-2,a)$,
∴$a=-2×(-2)-2$.
∴$a=2$,
∴$B(-2,2)$.
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$B(-2,2)$,
∴$2=\frac{m}{-2}$,解得$m=-4$.
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$.
(2)由题意,得点$B$与点$C$关于原点成中心对称,
∴$C(2,-2)$. 过点$B$作$BE⊥x$轴于点$E$,过点$C$作$CD⊥x$轴于点$D$,
∴$BE=2$,$CD=2$.
∵$A(-1,0)$,
∴$AO=1$.
∴$S_{△ABC}=2S_{△AOB}=2×\frac{1}{2}×1×2=2$.
∵一次函数$y=kx-2$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$,
∴$0=-k-2$,解得$k=-2$.
∴一次函数的表达式为$y=-2x-2$.
∵一次函数$y=-2x-2$的图象过点$B(-2,a)$,
∴$a=-2×(-2)-2$.
∴$a=2$,
∴$B(-2,2)$.
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$B(-2,2)$,
∴$2=\frac{m}{-2}$,解得$m=-4$.
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$.
(2)由题意,得点$B$与点$C$关于原点成中心对称,
∴$C(2,-2)$. 过点$B$作$BE⊥x$轴于点$E$,过点$C$作$CD⊥x$轴于点$D$,
∴$BE=2$,$CD=2$.
∵$A(-1,0)$,
∴$AO=1$.
∴$S_{△ABC}=2S_{△AOB}=2×\frac{1}{2}×1×2=2$.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式采用待定系数法：首先将已知点$A(-1,0)$代入一次函数$y=kx-2$，即可求出k的值，得到一次函数解析式；再将点$B(-2,a)$代入求出的一次函数解析式，计算得到a的值，确定B点坐标；最后将B点坐标代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，求出m的值即可得到反比例函数表达式。
(2) 反比例函数图象关于原点中心对称，因此交点C与点B关于原点对称，由B点坐标可直接得到C点坐标；由于O是BC中点，$△ ABC$的面积可转化为2倍的$△ AOB$的面积，计算$△ AOB$的面积后乘2即可得到结果。
【解析】
(1) 求一次函数与反比例函数表达式：
∵一次函数$y=kx-2$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$，
将$A(-1,0)$代入$y=kx-2$得：$0=-k-2$，解得$k=-2$，
∴一次函数的表达式为$y=-2x-2$。
∵点$B(-2,a)$在一次函数$y=-2x-2$的图象上，
将$x=-2$代入$y=-2x-2$得：$a=-2×(-2)-2=2$，即$B(-2,2)$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$B(-2,2)$，
将$B(-2,2)$代入$y=\frac{m}{x}$得：$2=\frac{m}{-2}$，解得$m=-4$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
(2) 求$△ ABC$的面积：
∵反比例函数图象关于原点中心对称，点C在射线BO上且在反比例函数图象上，
∴点B与点C关于原点成中心对称，由$B(-2,2)$可得$C(2,-2)$，即O为BC中点。
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}$，因此$S_{△ ABC}=2S_{△ AOB}$。
已知$A(-1,0)$，则$AO=1$，点B到x轴的距离为B点纵坐标的绝对值，即高为2，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×AO×2=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴$S_{△ ABC}=2×1=2$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{4}{x}}$；
(2) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数对称性，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，主要考查待定系数法求函数解析式的基本方法，以及利用反比例函数的中心对称性简化面积计算的技巧，结合函数图象性质转化问题，可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式采用待定系数法：首先将已知点$A(-1,0)$代入一次函数$y=kx-2$，即可求出k的值，得到一次函数解析式；再将点$B(-2,a)$代入求出的一次函数解析式，计算得到a的值，确定B点坐标；最后将B点坐标代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，求出m的值即可得到反比例函数表达式。
(2) 反比例函数图象关于原点中心对称，因此交点C与点B关于原点对称，由B点坐标可直接得到C点坐标；由于O是BC中点，$△ ABC$的面积可转化为2倍的$△ AOB$的面积，计算$△ AOB$的面积后乘2即可得到结果。
【解析】
(1) 求一次函数与反比例函数表达式：
∵一次函数$y=kx-2$的图象与$x$轴交于点$A(-1,0)$，
将$A(-1,0)$代入$y=kx-2$得：$0=-k-2$，解得$k=-2$，
∴一次函数的表达式为$y=-2x-2$。
∵点$B(-2,a)$在一次函数$y=-2x-2$的图象上，
将$x=-2$代入$y=-2x-2$得：$a=-2×(-2)-2=2$，即$B(-2,2)$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点$B(-2,2)$，
将$B(-2,2)$代入$y=\frac{m}{x}$得：$2=\frac{m}{-2}$，解得$m=-4$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$。
(2) 求$△ ABC$的面积：
∵反比例函数图象关于原点中心对称，点C在射线BO上且在反比例函数图象上，
∴点B与点C关于原点成中心对称，由$B(-2,2)$可得$C(2,-2)$，即O为BC中点。
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}$，因此$S_{△ ABC}=2S_{△ AOB}$。
已知$A(-1,0)$，则$AO=1$，点B到x轴的距离为B点纵坐标的绝对值，即高为2，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×AO×2=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴$S_{△ ABC}=2×1=2$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{4}{x}}$；
(2) $△ ABC$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数对称性，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，主要考查待定系数法求函数解析式的基本方法，以及利用反比例函数的中心对称性简化面积计算的技巧，结合函数图象性质转化问题，可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
3. 如图，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象分别与反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象在第一象限交于点$A(4,3)$，与$y$轴的负半轴交于点$B$，且$OA=OB$。
(1)求函数$y=kx+b$和$y=\frac{a}{x}$的表达式；
(2)已知点$C(0,7)$，试在该反比例函数图象上确定一点$M$，使得$MB=MC$，求此时点$M$的坐标。
(1)求函数$y=kx+b$和$y=\frac{a}{x}$的表达式；
(2)已知点$C(0,7)$，试在该反比例函数图象上确定一点$M$，使得$MB=MC$，求此时点$M$的坐标。
答案
(1)
∵反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象经过点$A(4,3)$,
∴$3=\frac{a}{4}$,
∴$a=12$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$.
∵$A(4,3)$,
∴$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∵$OB=OA=5$,
∴$B(0,-5)$. 把$A(4,3)$,$B(0,-5)$代入$y=kx+b(k≠0)$,得$\begin{cases}4k+b=3,\\b=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-5.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=2x-5$.
(2)由题意,得点$M$在线段$BC$的垂直平分线上.
∵$B(0,-5)$,$C(0,7)$,
∴线段$BC$的中点的纵坐标为$\frac{-5+7}{2}=1$.
∴点$M$在直线$y=1$上,
∴点$M$的纵坐标为1. 又
∵点$M$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上,
∴点$M$的坐标为$(12,1)$.
∵反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象经过点$A(4,3)$,
∴$3=\frac{a}{4}$,
∴$a=12$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$.
∵$A(4,3)$,
∴$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∵$OB=OA=5$,
∴$B(0,-5)$. 把$A(4,3)$,$B(0,-5)$代入$y=kx+b(k≠0)$,得$\begin{cases}4k+b=3,\\b=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-5.\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=2x-5$.
(2)由题意,得点$M$在线段$BC$的垂直平分线上.
∵$B(0,-5)$,$C(0,7)$,
∴线段$BC$的中点的纵坐标为$\frac{-5+7}{2}=1$.
∴点$M$在直线$y=1$上,
∴点$M$的纵坐标为1. 又
∵点$M$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上,
∴点$M$的坐标为$(12,1)$.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式优先使用待定系数法：首先反比例函数已知过点A(4,3)，直接将点坐标代入反比例函数解析式即可求出参数a，得到反比例函数表达式；接下来通过勾股定理计算OA的长度，结合OA=OB且B在y轴负半轴的条件，确定点B的坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到一次函数表达式。
(2) 若MB=MC，根据垂直平分线的判定，可知点M在线段BC的垂直平分线上；B、C两点都在y轴上，因此线段BC的垂直平分线是平行于x轴的直线，计算BC中点的纵坐标即可得到该垂直平分线的解析式，再联立反比例函数解析式，就能求出点M的坐标。
【解析】
(1) 求解反比例函数表达式：
∵反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象经过点$A(4,3)$，
将$x=4$，$y=3$代入解析式得：$3=\frac{a}{4}$，
解得$a=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
求解一次函数表达式：
由点$A(4,3)$，根据勾股定理得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵$OB=OA=5$，且点B在y轴负半轴，
∴点B的坐标为$(0,-5)$。
将$A(4,3)$、$B(0,-5)$代入$y=kx+b(k≠0)$，得方程组：
$\begin{cases}4k+b=3\\b=-5\end{cases}$
把$b=-5$代入第一个方程，得$4k-5=3$，解得$k=2$，
∴一次函数的表达式为$y=2x-5$。
(2)
∵$MB=MC$，
∴点M在线段BC的垂直平分线上。
已知$B(0,-5)$，$C(0,7)$，两点均在y轴上，
∴线段BC中点的纵坐标为$\frac{-5+7}{2}=1$，即线段BC的垂直平分线为直线$y=1$，可得点M的纵坐标为1。
又
∵点M在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
将$y=1$代入解析式得$1=\frac{12}{x}$，解得$x=12$，
∴点M的坐标为$(12,1)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x-5}$；
(2) 点M的坐标为$\boldsymbol{(12,1)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时能灵活运用垂直平分线的性质转化线段相等的条件，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式优先使用待定系数法：首先反比例函数已知过点A(4,3)，直接将点坐标代入反比例函数解析式即可求出参数a，得到反比例函数表达式；接下来通过勾股定理计算OA的长度，结合OA=OB且B在y轴负半轴的条件，确定点B的坐标，再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到一次函数表达式。
(2) 若MB=MC，根据垂直平分线的判定，可知点M在线段BC的垂直平分线上；B、C两点都在y轴上，因此线段BC的垂直平分线是平行于x轴的直线，计算BC中点的纵坐标即可得到该垂直平分线的解析式，再联立反比例函数解析式，就能求出点M的坐标。
【解析】
(1) 求解反比例函数表达式：
∵反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象经过点$A(4,3)$，
将$x=4$，$y=3$代入解析式得：$3=\frac{a}{4}$，
解得$a=12$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
求解一次函数表达式：
由点$A(4,3)$，根据勾股定理得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵$OB=OA=5$，且点B在y轴负半轴，
∴点B的坐标为$(0,-5)$。
将$A(4,3)$、$B(0,-5)$代入$y=kx+b(k≠0)$，得方程组：
$\begin{cases}4k+b=3\\b=-5\end{cases}$
把$b=-5$代入第一个方程，得$4k-5=3$，解得$k=2$，
∴一次函数的表达式为$y=2x-5$。
(2)
∵$MB=MC$，
∴点M在线段BC的垂直平分线上。
已知$B(0,-5)$，$C(0,7)$，两点均在y轴上，
∴线段BC中点的纵坐标为$\frac{-5+7}{2}=1$，即线段BC的垂直平分线为直线$y=1$，可得点M的纵坐标为1。
又
∵点M在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
将$y=1$代入解析式得$1=\frac{12}{x}$，解得$x=12$，
∴点M的坐标为$(12,1)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x-5}$；
(2) 点M的坐标为$\boldsymbol{(12,1)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时能灵活运用垂直平分线的性质转化线段相等的条件，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
